高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理当堂检测题，共21页。试卷主要包含了2空间向量基本定理》练案，以下四个命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．或
2.以下四个命题中正确的是（ ）
A．基底中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是
D．空间向量的基底只能有一组
3.（2022江苏盐城市）在三棱锥中，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4.（2022山东济宁市）在空间四边形中，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5.（多选）（2021·广东广州市高二期末）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6.（2022·湖南常德市）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
7.如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证．
8.（2022·天津市）在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点.
（1）构成空间的一个基底，用它们表示，，设，，.
（2）求与的夹角.
9.（2022·安徽池州市高二期末）如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
10.（多选）（2022·江苏南通市高二期末）设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数，，，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底，使得
11.（2022·陕西西安市长安一中高二期末）如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，连结，交于点P，则（ ）
A．B．
C．D．
已知四面体OABC，，．求证：．


13.（2022·四川成都市树德中学高二月考）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A．B．C．D．
14.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
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《1.2空间向量基本定理》练案
1.设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合，
得与是共面向量，同理与是共面向量，
所以与不能与构成空间的一个基底；
又与和不共面，所以与构成空间的一个基底．故选C．
2.以下四个命题中正确的是（ ）
A．基底中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是
D．空间向量的基底只能有一组
【答案】B
【解析】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；
△ABC为直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正确；
空间基底可以有无数多组，故D不正确.故选B.
3.（2022·江苏盐城市）在三棱锥中，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意是中点，∴，
又，则，
∴，
若，则．故选C．
4.（2022·山东济宁市）在空间四边形中，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
.故选C.
5.（多选）（2022·广东广州市高二期末）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】分别是的中点，，故A正确；
，
，，
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.故选ABD.
6.（2022·湖南常德市）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
【答案】
【解析】
如图设，，，
所以
，
因为
,
所以.
7.如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证．
【解析】
因为正方体，所以，平面，
又因为平面，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以.
8.（2022·天津市）在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点.
（1）构成空间的一个基底，用它们表示，，设，，.
（2）求与的夹角.
【解析】（1）因为，，
所以，；
（2）因为
，
所以，所以与的夹角为.
9.（2022·安徽池州市高二期末）如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方法一：依题意，.
因为为等边三角形，，，， ，
所以
.故选D．
方法二：，，，
∴,
，即.
∵，，
，．故选D．
10.（多选）（2022·江苏南通市高二期末）设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数，，，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底，使得
【答案】BCD
【解析】 A选项，假设存在不全为零的实数，，，使得，不妨令，则，此时，，共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，故A错；
B选项，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，即B正确；
C选项，因为，，而不能由，表示出，即向量，，不共面，因此，，可以构成一组基底，即C正确；
D选项，若与都是构成空间的基底，如果，若，，，则， 即与是不同的基底，故D正确．故选BCD.
11.（2022·陕西西安市长安一中高二期末）如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，连结，交于点P，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，可得，
点M是棱的中点，所以，
所以.故选B.
12.已知四面体OABC，，．求证：．
【解析】
因为,
所以,
因为，，
所以，
所以，即.


13.（2022·四川成都市树德中学高二月考）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，
为的重心，可得，
而，
，
所以，，
所以，，因此，.故选C.
14.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
【解析】（1）连接，如图：
因为，，，在，根据向量减法法则可得：
因为底面是平行四边形，故
因为 且，
又为线段中点，
在中，
（2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
故，，
由（1）可知，故平行四边形中
故：
，故
（3）因为，
又.