高二数学同步备课(人教A版2019选择性必修第一册)第一章空间向量与立体几何章末综合(练案)原卷版+解析

这是一份高二数学同步备课(人教A版2019选择性必修第一册)第一章空间向量与立体几何章末综合(练案)原卷版+解析，共36页。
空间向量与立体几何 章末检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2022·广西桂林高三模拟）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①+与1+1是一对相反向量；②-1与-1是一对相反向量；③1+1+1+1与+++是一对相反向量；④-与1-1是一对相反向量．正确结论的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．42．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·重庆南开中学高二期末）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（       ）A． B． C． D．4．（2022·河南新蔡县第一高级中学高二期末）四面体中，，则（       ）A． B． C． D．5．（2022·湖北高二期末）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ）A．4 B．3 C．2 D．16．（2022·江西景德镇一中高二期末）如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（       ）A． B．C． D．7．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（       ）A．1 B． C． D．8．（2022·浙江慈溪市三山高级中学高二期末）在三棱锥中， 所有棱的长均为，点在棱上， 满足， 点在棱上运动， 设直线与平面所成角为， 则的最小值为（       ）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·福建莆田八中高三期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（       ）A．B．存在点M，使平面SBCC．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值10．（2022·湖南长沙一中高二期末）下面四个结论正确的是（       ）A．空间向量，若，则B．若空间四个点，，则三点共线C．已知向量，若，则为钝角D．任意向量满足11．（2022·福建漳州高二期末）已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是（       ）A．点到平面的距离为B．直线与平面所成角的余弦值为C．若、分别是、的中点，直线平面，则D．为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值12．（2022·山东青岛高二期末）已知空间向量，则下列说法正确的是（       ）A．B．向量与向量共线C．向量关于轴对称的向量为D．向量关于平面对称的向量为三、填空题13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．14．在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________.15．（2022·青海高三模拟）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．16．（2022·内蒙古赤峰二中高二期末）已知几何体如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则___________.四、解答题17．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．(1)以为一组基底表示向量；(2)若，，，求．18．如图，在直三棱柱中，为的中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．19．（2022·黑龙江大庆实验中学高二期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，．(1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB；(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的余弦值．20．如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．(1)求证：平面；(2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．21.在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离.22．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．空间向量与立体几何 章末检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2022·广西桂林高三模拟）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①+与1+1是一对相反向量；②-1与-1是一对相反向量；③1+1+1+1与+++是一对相反向量；④-与1-1是一对相反向量．正确结论的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】设E,F分别为AD和A1D1的中点，①+与+不是一对相反向量，错误；②-与-不是一对相反向量，错误；③1+1+1+是一对相反向量,正确；④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个.故选A.2．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】若，，，四点共面，则，则.故选D．3．（2022·重庆南开中学高二期末）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选A.4．（2022·河南新蔡县第一高级中学高二期末）四面体中，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以.故选C.5．（2022·湖北高二期末）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】因为，，所以，因为平面的一个法向量为，所以，则，解得.故选C.6．（2022·江西景德镇一中高二期末）如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，对于A，，，，与不垂直，A不是；对于B，，，，，B是；对于C，，，，与不垂直，C不是；对于D，，，，与不垂直，D不是.故选B.7．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，∴动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选D.8．（2022·浙江慈溪市三山高级中学高二期末）在三棱锥中， 所有棱的长均为，点在棱上， 满足， 点在棱上运动， 设直线与平面所成角为， 则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中点，连接.三棱锥各棱长均为，在底面内的投影为的中心，；以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.轴平面，平面的一个法向量.设，，，，即，，.当时，，；当时，；设，则；当时，，，.综上所述：的最小值为.故选A.二、多选题9．（2022·福建莆田八中高三期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（       ）A．B．存在点M，使平面SBCC．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值【答案】ABD【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），设，则，由M是棱SD上的动点，设，，，，故A正确；当为的中点时，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；，若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，则，化简得，方程无解，故C错误；点M到平面ABCD的距离，点M与平面SAB的距离，所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，是定值，故D正确.故选ABD.10．（2022·湖南长沙一中高二期末）下面四个结论正确的是（       ）A．空间向量，若，则B．若空间四个点，，则三点共线C．已知向量，若，则为钝角D．任意向量满足【答案】AB【解析】对于A：因为，，则，故A正确；对于B：因为，则，即，又与有公共点，所以三点共线，故B正确；对于C：，若为钝角：则，且与不共线，由得，当时，，即，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，故C错误；对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误.故选AB.11．（2022·福建漳州高二期末）已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是（       ）A．点到平面的距离为B．直线与平面所成角的余弦值为C．若、分别是、的中点，直线平面，则D．为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值【答案】ACD【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，对于A选项，、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，到平面的距离为，A对；对于B选项，设直线与平面所成角为，所以，，则，故直线与平面所成角的余弦值为，B错；对于C选项，延长、交于点，连接交线段于点.，则，则，即为的中点，，，故，C对；对于D选项，设点，其中，，，，则，可得，，则到平面的距离为，易知是边长为的等边三角形，故，因此，，D对.故选ACD.12．（2022·山东青岛高二期末）已知空间向量，则下列说法正确的是（       ）A．B．向量与向量共线C．向量关于轴对称的向量为D．向量关于平面对称的向量为【答案】ABC【解析】A：因为，所以本选项说法正确；B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于轴对称的点的坐标为，所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于平面对称点的坐标为，所以向量关于平面对称的向量为.故选ABC.三、填空题13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，则实数的值为____．【答案】或【解析】，，，解得或．14．在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________.【答案】2【解析】设平面的法向量，则，令，则，因为，所以四棱锥的高为.15．（2022·青海高三模拟）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．【答案】【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，，所以可得，所以，所以，所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.16．（2022·内蒙古赤峰二中高二期末）已知几何体如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则___________.【答案】【解析】把该几何体补成一个正方体，如图，，连接，由平面，平面，得，同理，．又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面内的直线在平面上的射影是，即是直线MB与平面BEF所成的角，，，．，．四、解答题17．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．(1)以为一组基底表示向量；(2)若，，，求．【解析】（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；（2）．18．如图，在直三棱柱中，为的中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．【证明】(1)在直三棱柱中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，设平面的法向量，则，取，得，，且平面，则平面(2)，，设平面的一个法向量，则，取，得，又平面的法向量，则，则平面平面．19．（2022·黑龙江大庆实验中学高二期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，．(1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB；(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的余弦值．【解析】(1)证明：连接交于，连接，因为 ，所以，所以，所以，又，所以，因为平面，平面，所以平面MQB；(2)解：连接， 由题意，都是等边三角形，因为是中点，所以，又，所以平面，， 在中，，所以，在平面内作于，则，由平面，所以，又，所以平面，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由，可得，所以，设平面的法向量, 则，可取，则，直线的方向向量，设直线和平面所成角为，则，所以，即直线和平面所成角的余弦值等于.20．如图，四棱锥中，为矩形，，且．为上一点，且．(1)求证：平面；(2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．【解析】(1)，且平面又平面，矩形中，又，则与相似，则．；又，平面；(2)，且平面．又，则可以D为原点分别以DA、DC、DS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，假设存在满足且．在线段上 ，可设的坐标在线段上，可设则．要使且，则，又，，可得，解得 ．故存在使且，其中是线段靠近的四等分点，是线段靠近的四等分点.21.在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离.【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为面是边长为2的正方形，，且，为的中点，所以，，，，，，，所以，因为平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；（2）解：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面，所以平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；（3）解：由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离；22．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．【解析】(1)证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，则，平面的一个法向量，，，由，取，得，，，平面；解：设平面的一个法向量，，，由，取，解得设平面的一个法向量，由图可知二面角为锐二面角，二面角的大小为；(3)解：设存在点满足条件，由，，设，整理得，.直线与平面所成角的大小为，，则，由，得，即点和点重合，故在线段上存在一点，且．