高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题12《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题12《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷(B)(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·四川甘孜·高一期末）若不等式 ​的解集为​， 则​=（ ）
A．​B．0C．1D．2
2．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（北京市昌平区2021--2022学年高二下学期期末质量抽测数学试题）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·四川乐山·高一期末）小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·上海·模拟预测）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南驻马店·高二期末（文））若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
8．（2022·全国·高一专题练习）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2023·全国·高三专题练习）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
10．（山东省日照市2021-2022学年高二下学期期末校际联合考试数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
11．（2022·湖南·周南中学高二期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·河北保定·高二期末）已知a，b，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
14．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
15．（2021·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知，，且，则的最大值为______，此时，______．
16．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
18．（山东省日照市2021-2022学年高二下学期期末校际联合考试数学试题）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
19．（2022·全国·高一专题练习）若，，求的最大值.
20．（2022·湖北黄冈·高一期末）已知关于的一元二次函数
(1)若的解集为或，求实数、的值．
(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．
21．（2021·上海交大附中高一期中）已知不等式，其中x，k∈R．
(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；
(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
22．（2022·广东·高一期末）设函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
第二章 专题12 《一元二次函数、方程和不等式》综合测试卷(B）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·四川甘孜·高一期末）若不等式 ​的解集为​， 则​=（ ）
A．​B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理.
【详解】
因为不等式 ​的解集为​
所以 ，-2和1是方程​的两实数根
所以 ，解得
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
2．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求出的值，根据的范围，即可求出答案.
【详解】
设，
所以，解得：，
因为，所以，
故选：A.
3．（北京市昌平区2021--2022学年高二下学期期末质量抽测数学试题）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.
【详解】
为正数，为负数，所以，，
，
所以.
故选：C
4．（2022·四川乐山·高一期末）小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设矩形的长、宽分别为x，y，篱笆的长为l，则，且，然后利用基本不等式可求得答案
【详解】
设矩形的长、宽分别为x m(x≤18 )，y m，篱笆的长为l m，则，且，
则，当且仅当(m)，符合题意，
即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为，
故选：C．
5．（2022·上海·模拟预测）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】
因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
6．（2022·河南驻马店·高二期末（文））若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可
【详解】
对于A，若，则满足，此时，所以A错误，
对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，
对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，
对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，
故选：C
7．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知，再利用基本不等式即得.
【详解】
∵正实数a、b满足，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B.
8．（2022·全国·高一专题练习）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】
实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，

，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2023·全国·高三专题练习）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进行选择.
【详解】
由题设知，对应的，
即，故，
所以数值中，可取到的数为1，2.
故选：.
10．（山东省日照市2021-2022学年高二下学期期末校际联合考试数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
【答案】BC
【解析】
【分析】
对A，根据全称命题的否定判断即可
对B，根据基本不等式求解即可；
对C，根据二次不等式根与系数的关系求解即可；
对D，根据分式不等式求解判断即可
【详解】
对A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
对B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对C，由不等式的解集为，可知，，∴，，，故C正确；
对D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D错误.
故选：BC
11．（2022·湖南·周南中学高二期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据列不等式判断AD，再根据基本不等式判断BC即可
【详解】
∴.∴，解得，
同理，则A不正确.D正确：
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，则B正确：
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，则C正确.
故选：BCD.
12．（2022·河北保定·高二期末）已知a，b，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对AC，利用基本不等式可求解；对B，根据可判断；对D，利用可判断.
【详解】
对A，因为，当且仅当时等号成立，所以，故A正确；
对B，，所以，故B错误；
对C，，当且仅当等号成立，所以，故C正确；
对D，因为，所以，所以，当且仅当等号成立，故D正确.
故选：ACD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得存在量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围.
【详解】
由题意得，“，”是真命题，
则对恒成立，
在区间上，的最小值为，
所以，
即a的取值范围是.
故答案为：
14．（2022·全国·高一专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】
【分析】
求出方程的解，然后由解满足的条件求参数范围．
【详解】
方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
15．（2021·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知，，且，则的最大值为______，此时，______．
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式可得出关于的不等式，可解得的最大值，利用等号成立的条件可求得的值.
【详解】
因为，．所以，
则，令，得．解得，
又，，所以，所以的最大值为，
当且仅当，即当，时，等号成立．
故答案为：；.
16．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】
因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）即，求解一元二次不等式的解集即可；
（2）将原式整理为恒成立，通过判别式，即可求得m的范围.
(1)
解：即，
整理得，
解得：，
∴的解集为.
(2)
∵，
即恒成立，
恒成立，
只需，
即，
解得：，所以m的取值范围为
18．（山东省日照市2021-2022学年高二下学期期末校际联合考试数学试题）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)将代入得，求出即可.
(2)化简，将已知条件转化为，列出不等式求解，写出范围.
(1)
当时，由不等式，得，
故，又
所以.
(2)
若“”是“”的充分条件，等价于，
因为，由不等式，得 ，
又
要使，则或，又因为
综上可得实数a的取值范围为.
19．（2022·全国·高一专题练习）若，，求的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，由均值不等式可得答案.
【详解】
设，则，
由
，即.
故答案为：2
20．（2022·湖北黄冈·高一期末）已知关于的一元二次函数
(1)若的解集为或，求实数、的值．
(2)若实数、满足，求关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据二次不等式的解集与系数的关系求解即可；
（2）化简可得，再分根据为分界点讨论的范围，再求解不等式即可
(1)
的解集为或，
与是一元二次方程的两个实数根，
，解得．
(2)
，关于的不等式化为：，
因式分解为：，
当时，化为，则；
当时，，解得，不等式的解集为；
时，，解得不等式的解集为；
时，，不等式化为：，解得或，不等式的解集为或．
21．（2021·上海交大附中高一期中）已知不等式，其中x，k∈R．
(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；
(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
【答案】(1)或或}
(2)
【解析】
【分析】
（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．
(1)
若x＝4，则不等式变形为
即，
解得或，
所以 或或，
故不等式的解集为或或}；
(2)
令，
则不等式对任意k∈R恒成立，
等价于对任意t≥1恒成立，
因为，
当且仅当，即t＝时取等号，
所以x≤，
故x的最大值为．
22．（2022·广东·高一期末）设函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集．
(2)若，当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）将原不等式可化为，再分由与的大小关系讨论二次不等式的解集即可；
（2）分离参数得，再构造函数，利用基本不等式求解函数的最值即可
(1)
，即，当时，原不等式可化为，其解得情况应由与的大小关系确定，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得.
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
(2)
由得，
，，
在上恒成立，即在上恒成立，
令，则只需
又
，当且仅当时等式成立，
的取值范围是.
*答案中出现了“区间”