高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题32《函数的应用(二)》单元测试(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题32《函数的应用(二)》单元测试(B)(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了个单位.等内容，欢迎下载使用。

命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2020·全国·高考真题（文））Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
2．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
2．（2022·广东·红岭中学高三阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．(1，2)B．(2，3)C．(3，3.5)D．(3.5，4)
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）
A．0.625B．C．0.5625D．0.066
5．（2022·江苏·城南高级中学高一期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是，则这条鱼的耗氧量是（ ）个单位.
A．2400B．2700C．6400D．8100
6．（2022·河南南阳·高一期中）放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一期中）已知函数，下列命题中错误的是（ ）
A．，使得是偶函数B．，都不是R上的单调函数
C．，使得有三个零点D．若的最小值是，则
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知函数，则（ ）
A．在其定义域内单调递增B．是奇函数
C．有两个零点D．的图像与直线无交点
10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
11．（2022·全国·高一课时练习）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：，）（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．（2022·吉林·东北师大附中高一期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数m的取值可以是（ ）
A．3B．4C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·重庆·万州纯阳中学校高一期中）函数的图象如图所示，有下列命题：①函数的定义域是；②函数的值域是； ③函数在其定义域内是增函数； ④函数有且只有一个零点．其中正确命题的序号是______．
14．（2021·上海市行知中学高一期中）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少，那么至少需要将__________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍.
15．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.
16．（2020·北京·牛栏山一中高一期中）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级.震级计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的___________倍.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)若函数在内只有一个零点，求实数的取值范围.
18．（2022·福建·莆田第五中学高一阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．
(1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
(2)现在公司准备投入亿元资金同时生产两种芯片，求分别对两种芯片投入多少资金时，该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．（净利润芯片的毛收入芯片的毛收入研发耗费资金）
19．（2022·上海市市西中学高一期中）20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，是我们平常所说的里氏震级，其计算公式为： ．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离所造成的偏差）
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震振幅是0.001，计算此次地震的震级．（精确到0.1级）
(2)5级地震给人带来的震撼已经比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1倍）
20．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式
(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
21．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）已知函数（，且）．
(1)已知，若函数在上有零点，求的最小值；
(2)若对恒成立，求a的取值范围．
22．（2022·全国·高一课时练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①，②，③，④；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
(3)利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
0.066
0.215
0.512
1.099
上市时间x（天）
2
6
20
市场价y（元）
102
78
120
第四章 专题32 《函数的应用（二）》(B）
命题范围：
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真题：
1．（2020·全国·高考真题（文））Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
2．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
3．（2020·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数的零点所在的区间为（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【答案】A
【分析】分别求区间端点处的函数值，利用零点存在定理判断零点所在的区间.
【详解】函数是定义在R上的连续递增函数，
，，
由零点存在定理，函数零点所在的区间为（0，1）.
故选：A
2．（2022·广东·红岭中学高三阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．(1，2)B．(2，3)C．(3，3.5)D．(3.5，4)
【答案】A
【分析】结合函数的单调性与零点的存在性定理判断即可；
【详解】解：因为函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，
因为，，
所以，函数只有一个零点，且位于区间内.
故选：A．
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，
要使二次函数在区间上有且仅有一个零点，
则需，
所以的取值范围是.
故选：C
4．（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ）
A．0.625B．C．0.5625D．0.066
【答案】C
【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【详解】由题意得在区间上单调递增，
设方程的解的近似值为，
由表格得，
所以,
因为，
所以方程的近似解可取为0.5625．
故选：C.
5．（2022·江苏·城南高级中学高一期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是，则这条鱼的耗氧量是（ ）个单位.
A．2400B．2700C．6400D．8100
【答案】B
【分析】将代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】由，当时，
则，即，解得，
所以.
故选：B.
6．（2022·河南南阳·高一期中）放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.
【详解】由题可得，则，即．
因为，所以．
故选：A
7．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出，代入不等式中求解，即可得到答案．
【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，
所以，即，
因为，
所以，解得，
则地疫苗的接种率至少为．
故选：A．
8．（2022·北京·清华附中朝阳学校高一期中）已知函数，下列命题中错误的是（ ）
A．，使得是偶函数B．，都不是R上的单调函数
C．，使得有三个零点D．若的最小值是，则
【答案】D
【分析】A选项，可举出时，是偶函数；
B选项，得到在分段处函数值相等，结合分段函数的开口方向，对称轴，得到结论；
C选项，可举出时，满足要求；
D选项，分类讨论得到若的最小值是，则，D错误.
【详解】当时，，定义域为R，
且，故此时为偶函数，A正确；
当时，，开口向上，对称轴为，
当时，，开口向上，对称轴为，
即，
且，，即在分段处函数值相等，
由于的对称轴在的对称轴的左侧，
故，都不是R上的单调函数，B正确；
当时，，
若，即时，当时，令，解得：，
当时，令，解得：，均符合要求，
综上：此时函数有3个零点，故C正确；
由B选项可知的最小值在或处取到，
，
当时，函数最小值在处取到，
由，解得：（舍）或1，故满足题意；
当时，函数最小值在处取到，
由，解得：或2（舍），故满足题意，
当时，函数最小值在或处取到，
由于此时恒成立，恒成立，
故都不合要求，舍去；
综上：若的最小值是，则，D错误.
故选：D
【点睛】二次函数相关知识点总结，对称轴为，顶点坐标为，若，二次函数与轴有两个交点，若，二次函数与轴有1个交点，若，二次函数与轴有0个交点.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知函数，则（ ）
A．在其定义域内单调递增B．是奇函数
C．有两个零点D．的图像与直线无交点
【答案】BCD
【分析】对于A，举反例排除即可；
对于B，利用奇偶性的判断方法判断即可；
对于C，利用直接法，求得的解的个数即可；
对于D，联立方程，有解即为有交点，无解即为无交点.
【详解】对于A，因为，所以，，即，而，故在其定义域内并不单调递增，故A错误；
对于B，因为的定义域关于原点对称，且有，所以是奇函数，故B正确；
对于C，令，即，解得，故有两个零点，故C正确；
对于D，联立，整理得，显然无解，故的图像与直线无交点，故D正确.
故选：BCD.
10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】AB
【分析】由已知，选项A可将图象上的点代入所给的函数关系中求解即可；选项B，利用求解出的函数解析式，令求解出浮萍蔓延的面积即可做出判断；选项C，分别求出浮萍和浮萍所对应的时间，然后作差与1.5比较大小即可；选项D，分别算出从第一个月开始，每个月增加的面积，通过比较即可做出判断.
【详解】由题意，函数图像满足的关系，由图象可知，当时，，
所以，解得，当时，，满足，
当时，，满足，故，选项A正确；
当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项B正确；
由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为
，而，所以，故选项C错误；
由题意可知，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，
所以增加的面积不相等，故选项D错误.
故选：AB.
11．（2022·全国·高一课时练习）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：，）（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】BCD
【分析】由解不等式可得答案.
【详解】设经过n次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，则，
即，两边取对数，得，即，
得.
故选：BCD.
12．（2022·吉林·东北师大附中高一期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数m的取值可以是（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题意利用图象变换画出函数的图象，结合图象可求出的取值范围，从而可得答案.
【详解】因为函数的定义域为R，满足，且当时，，
所以当时，，
当时，，
函数部分图象如图所示，
由，得，解得或，
因为对任意，都有，
所以由图可知，
故选：ABC
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·重庆·万州纯阳中学校高一期中）函数的图象如图所示，有下列命题：①函数的定义域是；②函数的值域是； ③函数在其定义域内是增函数； ④函数有且只有一个零点．其中正确命题的序号是______．
【答案】②④
【分析】根据函数图象确定函数性质，再进行比较选择.
【详解】对于①：由图象知函数的定义域是，故①错误；
对于②：由图象知函数的值域是，故②正确；
对于③：由图象知函数在其定义域内不是增函数，故③错误；
对于④：由图象知函数有且只有一个零点，故④正确；
故答案为：②④
14．（2021·上海市行知中学高一期中）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少，那么至少需要将__________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍.
【答案】
【分析】假设至少要把块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍，可得，解不等式可得答案.
【详解】假设至少要把块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍，
则，即，
所以，，
所以，
所以至少需要将7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍.
故答案为：7
15．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.
【答案】25%
【分析】由题可得，然后根据关系式即得.
【详解】由题，得当时，；
当时，，即，
解得，
所以；
所以当时，，
即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%.
故答案为：25%.
16．（2020·北京·牛栏山一中高一期中）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级.震级计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，5级地震给人的震感已经比较明显，8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的___________倍.
【答案】1000
【分析】先根据求得地震的最大振幅关于M的函数，分别代入即可求解.
【详解】由题意可得：，所以，解得：.
所以8级地震的最大振幅，5级地震的最大振幅.
因为，
所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.
故答案为：1000.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2020·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)若函数在内只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出对称轴，根据其在上是单调函数，列出不等式，求解即可.
（2）分两种情况进行讨论，第一种在实数范围内只有一个零点，且零点在内；第二种函数在实数范围内有两个零点，其中一个零点在内，分别列出不等式计算即可.
（1）
易知函数的图像开口向上且对称轴为，
当在上单调递增时，，解得；
当在上单调递减时，，解得.
综上，
（2）
函数在内只有一个零点分两种情况：
①函数在实数范围内只有一个零点，此时有且，解得；
②函数在实数范围内有两个零点，此时当时，，函数在内有一个零点；
当时，必有，即，解得.
综上，或
18．（2022·福建·莆田第五中学高一阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．
(1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式；
(2)现在公司准备投入亿元资金同时生产两种芯片，求分别对两种芯片投入多少资金时，该公司可以获得最大净利润，并求出最大净利润．（净利润芯片的毛收入芯片的毛收入研发耗费资金）
【答案】(1)，
(2)当对芯片投入亿元，对芯片投入亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润为千万元
【分析】（1）对于芯片，采用待定系数法，设即可代入已知数据求得结果；对于芯片，根据图象中的点坐标可构造方程组求得参数，由此可得函数关系式；
（2）设对芯片投入的资金为千万元，净利润为千万元，可得到关于的函数关系式，采用换元法可将其转化为二次函数最大值的求解问题，结合二次函数性质可得结果.
（1）
生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，可设，
每投入千万元，公司获得毛收入千万元，，
生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：；
由图象可知：，解得：，
生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：.
（2）
设对芯片投入的资金为千万元，则对芯片投入的资金为千万元，
设净利润为千万元，则，
令，则，
则当，即时，，
当对芯片投入亿元，对芯片投入亿元时，该公司可以获得最大的净利润，最大净利润为千万元.
19．（2022·上海市市西中学高一期中）20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，是我们平常所说的里氏震级，其计算公式为： ．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离所造成的偏差）
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震振幅是0.001，计算此次地震的震级．（精确到0.1级）
(2)5级地震给人带来的震撼已经比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1倍）
【答案】(1)4.3级
(2)398倍
【分析】（1）根据即可求解；
（2）计算出两次地震的最大振幅，相比即可.
【详解】（1）由题可知：
，
因此此次地震的震级约为里氏4.3级.
（2）由得，即，
当时，地震的最大振幅为，
当时，地震的最大振幅为，
所以两次地震的最大振幅之比为，
即7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的约398倍.
20．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式
(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）依题意函数过点和，根据所选模型利用待定系数法计算可得；
（2）将代入（1）中函数解析式，求出预测值，即可判断更合适的模型，可得，两边取对数，最后根据对数的运算性质求出的范围，即可得解.
（1）
解：依题意函数过点和，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）
解：若选择模型，即，当时，
若选择模型，即，当时，
因为，所以更合适，
令，则，两边取对数可得，
则，
所以水葫芦覆盖面积达到的最小月份是月份.
21．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）已知函数（，且）．
(1)已知，若函数在上有零点，求的最小值；
(2)若对恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，由转化为，从而得到的取值范围及最小值；
（2）分和分类讨论，利用单调性解不等式，转化为恒成立问题，结合二次函数单调性，求出最值，求出a的取值范围.
【详解】（1）由，得，
则，由，得，
即，
因为，
所以当时，取得最小值．
（2），
则，则，且．
当时，在上单调递增，则单调递减，
在上的最大值为，
则，整理得，
因此当时，符合条件．
当时，在上单调递增，
在上的最大值为，
则，整理得，
又因为，所以．
综上，a的取值范围为．
22．（2022·全国·高一课时练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①，②，③，④；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
(3)利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)选择，理由见解析
(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元
(3)
【分析】(1)由表格数据分析变量与变量的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为，由条件可得，利用函数的单调性求的最小值，由此可得k的取值范围．
（1）
由题表知，随着时间x的增大，y的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．
（2）
把，，分别代入，得
解得，，
∴，．
∴当时，y有最小值，且．
故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．
（3）
令，
因为存在，使得不等式成立，
则．
又在上单调递减，在上单调递增，
∴ 当时，取得最小值，且最小值为，
∴．
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
0.066
0.215
0.512
1.099
上市时间x（天）
2
6
20
市场价y（元）
102
78
120