高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题27高一上学期期中模拟试卷2(集合--指数函数)(A)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题27高一上学期期中模拟试卷2(集合--指数函数)(A)(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题范围：第一章----第四章 指数函数
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·广东·广州市育才中学高一期中）设集合，或，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·广东·高一期中）一元二次方程有实数根，，是的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
4．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b，则B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则D．若，则a＞b
5．（2022·云南昭通·高一阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．D． 或
6．（2022·江苏·南京市第一中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
7．（浙江省温州十校联合体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）,,,则下列关于大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2020·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知幂函数互质，下列结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数，为奇函数
B．m是奇数，n为偶数时，为偶函数
C．m是偶数，n为奇数时，为偶函数
D．当时，在上是增函数
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的值域为RB．是R上的增函数
C．是R上的奇函数D．有最大值
12．（2022·吉林·永吉县第四中学高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．不等式恒成立
B．若，，则
C．若，，满足，则
D．存在，使得成立
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数，若，则______.
14．（2022·河南·高一阶段练习）已知是定义域为的奇函数，在上的图象如图所示，则的单调递增区间为______．
16．（2022·湖南省宁远县第一中学高一期中）已知函数同时满足条件：①；②，.请写出这样的一个函数___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·北京市第五十六中学高一期中）设全集，，.
(1)求.
(2)求.
18．（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知函数(且）的图象过点.
(1)求的值；
(2)计算.
19．（2022·广东·高二学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：
(1)甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；
(2)乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．
20．（2022·甘肃武威·高二期末（文））已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．
(1)求f（x）的解析式；
(2)若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
21．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学高一期中）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明；
(2)当时，用定义法证明函数在上单调递增；
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7．
(1)求a的值；
(2)证明：函数是上的增函数．
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过的部分但不超过的部分
6元
超过的部分
9元
专题27 高一上学期期中模拟试卷2(集合--指数函数）（A）
命题范围：第一章----第四章 指数函数
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高一期中）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案.
【详解】命题，
则为:
故选：C
2．（2022·广东·广州市育才中学高一期中）设集合，或，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由题意得，所以，
故选：A
3．（2022·广东·高一期中）一元二次方程有实数根，，是的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】求出一元二次方程有实数根的充分必要条件即可判断．
【详解】一元二次方程有实数根的充分必要条件为，
所以是的充分必要条件．
故选：C．
4．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b，则B．若a＞b＞0，则
C．若a＞b，则D．若，则a＞b
【答案】D
【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.
【详解】当时，，选项A错误；
，所以，所以选项B错误；
时，，所以选项C错误；
时，，所以选项D正确.
故选：D
5．（2022·云南昭通·高一阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．D． 或
【答案】A
【分析】根据二次函数和二次不等式的关系，数形结合即可求得结果.
【详解】不等式的解集即为其对应二次函数函数值小于0时对应的取值，
数形结合可得，不等式解集为或.
故选：.
6．（2022·江苏·南京市第一中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.
【详解】解：因为，
所以，解得，即函数的定义域为.
故选：C
7．（浙江省温州十校联合体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）,,,则下列关于大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三个数构造函数,大概计算三个数的范围,比较出三个数的大小即可.
【详解】解:由题知单调递增,
,
,
,
所以.
故选:A
8．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减.
【详解】由对任意，都有成立可得，
在上单调递减，
所以 ，解得，
故选:C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】结合函数的奇偶性、单调性确定正确选项.
【详解】A选项，的定义域为，，为偶函数.
当时，为增函数，符合题意.
B选项，的定义域为，当时，为减函数，不符合题意.
C选项，的定义域为，，为奇函数，不符合题意.
D选项， 的定义域为，，为偶函数.
当时，根据复合函数单调性同增异减可知：为增函数，符合题意.
故选：AD
10．（2020·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知幂函数互质，下列结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数，为奇函数
B．m是奇数，n为偶数时，为偶函数
C．m是偶数，n为奇数时，为偶函数
D．当时，在上是增函数
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的奇偶性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，
A选项，是奇数，的定义域为，
，是奇函数，A选项正确.
B选项，是奇数，是偶数，的定义域为，
，是偶函数，B选项正确.
C选项，是偶数，是奇数，的定义域为，是非奇非偶函数，C选项错误.
D选项，根据幂函数的性质可知，当时，在上是增函数，D选项正确.
故选：ABD
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的值域为RB．是R上的增函数
C．是R上的奇函数D．有最大值
【答案】ABC
【分析】，而得到的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项.
【详解】，而，所以值域为R，A正确，D错误；
因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确；
因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确；
故选：ABC
12．（2022·吉林·永吉县第四中学高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．不等式恒成立
B．若，，则
C．若，，满足，则
D．存在，使得成立
【答案】BCD
【分析】举反例可判断A选项，利用基本不等式可判断BC选项，举例子判断D选项.
【详解】A选项：当，时，，，所以不成立，故A选项错误；
B选项：，，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，故B选项正确；
C选项：，，由，得，当且仅当，即时等号成立，故C选项正确；
D选项：当时，，所以存在，使得成立，D选项正确；
故选：BCD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数，若，则______.
【答案】
【分析】构造奇函数，根据函数的奇偶性性质即可求解.
【详解】令，
，
所以为奇函数，则有，
因为，所以，则，
所以，
故答案为:.
14．（2022·河南·高一阶段练习）已知是定义域为的奇函数，在上的图象如图所示，则的单调递增区间为______．
【答案】（也可写成）
【分析】根据奇函数的知识求得，结合图象求得的单调递增区间.
【详解】由题意得，得，
所以是定义域为的奇函数，
画出的图象如下图所示，由图可知的单调递增区间为．
故答案为：（也可写成）
15．（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）已知函数，若，则_______．
【答案】9
【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.
【详解】当时，则，则不成立
当时，则，则成立
∴
故答案为：9.
16．（2022·湖南省宁远县第一中学高一期中）已知函数同时满足条件：①；②，.请写出这样的一个函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知函数性质，结合指数函数的单调性和运算性质写出一个符合要求的函数.
【详解】令，则满足①；
又，即递减， 也满足；
所以这样的函数可为.
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·北京市第五十六中学高一期中）设全集，，.
(1)求.
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据并集、补集的知识求得正确答案.
【详解】（1）依题意，.
（2）由于，
所以.
18．（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知函数(且）的图象过点.
(1)求的值；
(2)计算.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由结合的取值范围可求得实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值；
（2）利用指数的运算性质计算可得结果.
(1)
解：由已知可得，解得，则，所以.
(2)
解：原式.
19．（2022·广东·高二学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：
(1)甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；
(2)乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．
【答案】(1)30元
(2).
【分析】(1)直接根据图表数据求解;(2)建立分段函数模型可求解.
（1）
甲用户该月需要缴纳的水费：元.
（2）
设用水量为，需要缴纳的水费为，
由题可知，
整理得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以令，
解得，因此乙用户该月的用水量为.
20．（2022·甘肃武威·高二期末（文））已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．
(1)求f（x）的解析式；
(2)若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点（2，4）代入函数解析式即可；
（2）根据函数的单调性，即可求出m的取值范围.
(1)
将点（2，4）代入 ，得 ，
故 ；
(2)
， 是增函数，
，即 ，
， ；
综上，，.
21．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学高一期中）已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明；
(2)当时，用定义法证明函数在上单调递增；
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）应用奇偶性定义证明奇偶性；
（2）令，根据函数解析式，应用作差法判断的大小关系证明结论.
【详解】（1）由题设为奇函数，证明如下：
且定义域为，故为奇函数.
（2）由题设，令，
所以，
而，则，即，
所以在上单调递增.
22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7．
(1)求a的值；
(2)证明：函数是上的增函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据单调性代入计算即可；
（2）根据定义法证明函数为增函数即可.
（1）
因为在区间上单调递增，
所以函数在区间上的最大值与最小值之和为，
所以，解得，
又因为，所以．
（2）
由（1）知，，
任取，且，则
．
因为，所以，，
所以，即，
所以是上的增函数．
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过的部分但不超过的部分
6元
超过的部分
9元