高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题48高一上学期期末模拟试卷1(全一册)(B)(原卷版+解析)

这是一份高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题48高一上学期期末模拟试卷1(全一册)(B)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题范围：全一册
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏南通·高三期末）若集合 ，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．（2022·浙江·缙云西桥中学高一阶段练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川南充·一模（理））函数在上的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知角的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·吉林·四平市第一高级中学高一阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北·石家庄二中实验学校高一阶段练习）已知同时满足下列条件：，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A．3hB．4hC．5hD．6h
8．（2022·重庆·高一阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．，D．，
11．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）下列关于函数图象的对称性描述正确的有（ ）
A．若，则函数的图象关于直线对称
B．若，则函数的图象关于点对称
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
12．（2022·辽宁葫芦岛·高一期中）某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（ ）
A．B．
C．1等奖的面值为3130元D．3等奖的面值为130元
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）函数且的图象过定点，且点在角的终边上，则__________．
14．（2022·陕西·礼泉县第二中学高一阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.如图所示的弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有一圆弧所对圆心角为，弧长为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是______.
15．（2022·广西·南宁二中高一阶段练习）已知定义在上的函数的值域是.若函的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为___________.
16．（2022·上海·曹杨二中高一阶段练习）设，若函数有最小值，则的取值范围是__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
18．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为．
(1)求函数的解析式．并求的值；
(2)若，求的值．
19．（2022·海南·海口一中高一阶段练习）已知是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明之；
(3)解关于t的不等式．
20．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）已知函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)解不等式.
21．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取
22．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）已知函数，，若对任意的x，y都有．
(1)求的解析式；
(2)设，
（ⅰ）判断并证明的奇偶性；
（ⅱ）解不等式：．
专题48 高一上学期期末模拟试卷1(全一册）（B）
命题范围：全一册
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏南通·高三期末）若集合 ，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合，根据集合的并集运算即可得答案.
【详解】解得，解得，
故得 ，
故，
故选：B．
2．（2022·浙江·缙云西桥中学高一阶段练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由特殊角三角函数值、指数函数和对数函数单调性，结合临界值可得到大小关系.
【详解】，.
故选：A.
3．（2022·四川南充·一模（理））函数在上的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，排除CD选项，
且当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
4．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知角的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，然后利用诱导公式求得正确答案.
【详解】由于角的终边过点，
所以，
.
故选：D
5．（2021·吉林·四平市第一高级中学高一阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的值域知，是函数值域的子集，从而得到关于的不等式组，解该不等式组可得答案．
【详解】设，根据题意，
∴，解得，
∴实数的取值范围为．
故选：B．
6．（2022·河北·石家庄二中实验学校高一阶段练习）已知同时满足下列条件：，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别解不等式，再求交集即可求解
【详解】由解得，
由解得，
对于，
当时，由即得，
，解得，
当时，由即得，
，解得，
所以由解得或
由解得，
又同时满足，
所以，
故选：C
7．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A．3hB．4hC．5hD．6h
【答案】B
【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可
【详解】由题意可知，所以，设过滤60%的污染物需要的时间为，则，
所以，
所以
，比较接近4.
故选：B
8．（2022·重庆·高一阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最小值即可.
【详解】为偶函数，为奇函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在是增函数，且，在上是单调递增，
∴由复合函数的单调性可知在为增函数，
∴，
∴，即实数的最大值为
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）已知，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据同角三角函数的平方关系可求出的值，根据角的范围得出角，进而求解.
【详解】因为，所以，
因为，也即，解得：或，
因为，所以，则，
所以，
故选：.
10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】AD
【分析】根据函数的解析式逐项检验函数是否满足相应的性质，必要时可利用反例.
【详解】对于A，，故A正确.
对于B，，故，
故B错误.
对于C，，故，
故C错误.
对于D，当k为奇数时，；
当k为偶数时，，
所以.
故D正确.
故选：AD.
11．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）下列关于函数图象的对称性描述正确的有（ ）
A．若，则函数的图象关于直线对称
B．若，则函数的图象关于点对称
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，由，以替换得，
以替换得，
即，所以函数的图象关于直线对称，A选项正确.
B选项，由，以替换得，
以替换得，
即，所以函数的图象关于点对称，B选项正确.
C选项，对于函数，以替换得，
所以函数与的图象关于直线对称，C选项错误.
D选项，对于函数，以替换，以替换得：
，即，
所以函数与的图象关于点对称，D选项正确.
故选：ABD
12．（2022·辽宁葫芦岛·高一期中）某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（ ）
A．B．
C．1等奖的面值为3130元D．3等奖的面值为130元
【答案】ACD
【分析】根据题意得到4等奖比5等奖的面值多20元，结合3等奖比4等奖的面值多100元，列出方程，求出，A正确；
再代入中，求出，根据4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，求出，3等奖的面值，B错误，D正确；
根据及，求出1等奖的面值，C正确.
【详解】由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，
因为，
所以，
则，A正确；
由，可知．
因为4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，所以，解得，B错误；
则3等奖的面值为元，D正确；
由，故1等奖的面值为3130元，C正确.
故选：ACD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）函数且的图象过定点，且点在角的终边上，则__________．
【答案】
【分析】先利用指数函数的性质求得定点，再利用三角函数的定义即可求得.
【详解】因为且，
所以令，则，，故，
因为点在角的终边上，
所以.
故答案为：.
14．（2022·陕西·礼泉县第二中学高一阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.如图所示的弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有一圆弧所对圆心角为，弧长为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是______.
【答案】
【分析】由条件根据弧长公式求半径，解直角三角形可得弦、矢的值，求出弧田面积.
【详解】如图：
由题意可得，弧的长为，
所以，故，
在中，可得，，，可得矢，
由，可得弦，
所以弧田面积（弦矢矢．
故答案为：.
15．（2022·广西·南宁二中高一阶段练习）已知定义在上的函数的值域是.若函的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由对数函数的值域分类讨论求得，再由指数函数性质得结论．
【详解】函数（且）在上的值域是
当时，单调递减
∴，无解
当时，单调递增，
∴，解得
∵的图象不经过第一象限，
∴解得，
故答案为：
16．（2022·上海·曹杨二中高一阶段练习）设，若函数有最小值，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】先求函数在上的最小值，再讨论，求函数在上的值域，结合条件确定的范围.
【详解】当时，，函数在上为增函数，所以函数在上取值范围为，
当时，，
若，因为，在上都为增函数，所以函数上为增函数，所以函数在上的函数值的取值范围为，所以函数在上没有最小值，与条件矛盾，
若时，因为在上都为增函数，所以函数在上的函数值的取值范围为，所以函数在上没有最小值，与条件矛盾，
当时，任取，且，则，
因为，所以，因为，，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以函数在上的函数值的取值范围为，所以函数在上没有最小值，与条件矛盾，
当时，任取，且，则，
因为，所以，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，同理可证函数在上单调递减，所以函数在上的函数值的取值范围为，当且仅当时，函数有最小值，化简得，
所以函数有最小值时，的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简的表达式.
（2）根据已知条件求得的值，由此化简求得的值.
【详解】（1）
.
（2）依题意，，
所以，，
.
18．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为．
(1)求函数的解析式．并求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，而，根据所在象限，得出，进而求出，再代入，即可求得；
（2）由，得到，根据，得，利用平方关系解得，进而可求出的值.
【详解】（1）因为，且，点在第三象限，所以，
由此得，
（2）由于知，即
由于，得，与此同时，所以
由平方关系解得：，
所以
19．（2022·海南·海口一中高一阶段练习）已知是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明之；
(3)解关于t的不等式．
【答案】(1)1；
(2)函数在上是增函数，证明见解析；
(3)。
【分析】（1）由即可得解；（2）由定义证明单调性即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性进行证明即可.
【详解】（1）解：由题知，由得：
，所以，
解得．
所以，实数a的值为1．
（2）由（1）知：．
因为函数在上是增函数；
又因为函数在上也是增函数，值域为．所以，函数在上是增函数．
证明如下：在上任取，且，
所以，
由可知，
所以，，
所以，
即．
所以，是上的增函数．
（3）解：由（1）（2）知，函数是上的增函数，且为奇函数，
所以，，
所以，，即，解得，
所以，关于t的不等式的解集为.
20．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）已知函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【答案】(1)2；
(2)
【分析】（1）利用偶函数的性质求出的即可；
（2）由，分或解出即可；
【详解】（1）由函数为偶函数，
所以，
即
所以
（2）由（1）
所以，
当时，
，
所以
解得：；
当时，
，
所以
解得：，
所以不等式的解集为：.
21．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取
【答案】(1)8
(2)1.6
【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为，由求解；
（2）得到从第一次喷洒起，经小时后，浓度为，化简利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以其浓度为，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
综上，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度为，
，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，
由，解得，
所以a的最小值为.
22．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）已知函数，，若对任意的x，y都有．
(1)求的解析式；
(2)设，
（ⅰ）判断并证明的奇偶性；
（ⅱ）解不等式：．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）令，解得，结合，可求出的值，即可求出的解析式；
（2）（ⅰ）由奇函数的定义即可证明为奇函数；
（ⅱ）由题意可得，则，解不等式结合对数函数的定义域即可得出答案.
【详解】（1）因为对任意的x，y都有．
所以令，则，解得：，
则，解得：，
故.
（2）（ⅰ），
的定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数.
（ⅱ）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
即，
又因为为奇函数，所以，所以
，则，
所以，则，解得：
又因为，解得：.
综上：.