高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.5对数与对数函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(新高考专用)专题2.5对数与对数函数(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了lgab＝eq \f，对数换底公式的重要推论，已知，则的大小关系为，设，，则，已知，且，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。


知识点总结
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝ ；
(2)lgaeq \f(M,N)＝ ；
(3)lgaMn＝ (n∈R)．
知识点二 换底公式
1．lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝eq \f(m,n)lgab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
知识点三 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
典型例题分析
考向一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式：
(1)lg5eq \r(3,625)；(2)lg2(32×42)；
(3)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg5eq \f(9,5).
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
考向二 对数换底公式的应用
例2 (1)计算：(lg43＋lg83)lg32＝________.
(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645.(用a，b表示)
反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路
考向三 对数函数的概念及应用
例3(1)下列给出的函数：
①y＝lg5x＋1；
②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③
④y＝lg3eq \f(x,2)；⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；
⑥其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)对数式系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
考向四 对数函数的图象问题
例4 (1)函数y＝x＋a与y＝lgax的图象可能是下图中的( )
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
考向五 反函数
例5 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．
反思感悟 互为反函数的常用结论
(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．
(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
考向六 解对数不等式
例6 解下列关于x的不等式：
(1)
(2)lga(2x－5)>lga(x－1)．
反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝lgaab)，再借助y＝lgax的单调性求解．
(3)形如lgf(x)a>lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
基础题型训练
一、单选题
1．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，函数与的图像只可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
4．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．函数的最小值为0
三、填空题
9．若，则a=__________.
10．函数的定义域为________.
11．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________．
12．已知，设，则的大小关系为（用“<”号连接）______．
四、解答题
13．已知函数.
(1)若函数的最小值为，求实数的值；
(2)若函数，用定义证明函数在上单调递减.
14．已知，用对数的定义证明公式：．
15．已知，a=，，求的值．
16．设为奇函数，a为常数．
（1）求a的值．
（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
提升题型训练
一、单选题
1．已知函数且，则函数恒过定点（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．9
3．已知满足则（ ）
A．B．C．D．
4．已知 <1，那么a的取值范围是( )
A．0
C．1
5．已知，，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
8．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．已知三个式子，，同时成立，则的取值范围为________．
10．______．
11．方程的解为___________.
12．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
四、解答题
13．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
14．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数满足，求实数的取值范围.
15．（1）将根式化为分式指数幂的形式；
（2）若求的值.
16．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.
y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，y∈
x∈(0,1)时，y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，y∈
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称
2.5 对数与对数函数
思维导图
知识点总结
知识点一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
知识点二 换底公式
1．lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝eq \f(m,n)lgab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
知识点三 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
典型例题分析
考向一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式：
(1)lg5eq \r(3,625)；(2)lg2(32×42)；
(3)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg5eq \f(9,5).
解 (1)原式＝eq \f(1,3)lg5625＝eq \f(1,3)lg554＝eq \f(4,3).
(2)原式＝lg232＋lg242＝5＋4＝9.
(3)原式＝lg5(5×7)－2(lg57－lg53)＋lg57－lg5eq \f(9,5)
＝lg55＋lg57－2lg57＋2lg53＋lg57－2lg53＋lg55＝2lg55＝2.
反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
考向二 对数换底公式的应用
例2 (1)计算：(lg43＋lg83)lg32＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,lg34)＋\f(1,lg38)))lg32
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2lg32)＋\f(1,3lg32)))lg32
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).
(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645.(用a，b表示)
解 因为18b＝5，所以b＝lg185.
所以lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg185×9,lg182×18)
＝eq \f(lg185＋lg189,lg182＋lg1818)
＝eq \f(a＋b,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))
＝eq \f(a＋b,2－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路
考向三 对数函数的概念及应用
例3(1)下列给出的函数：
①y＝lg5x＋1；
②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③
④y＝lg3eq \f(x,2)；⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；
⑥其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数，故③⑥正确．
(2)设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，由图象过点M(8,3)，则有3＝lga8，解得a＝2.所以对数函数的解析式为f(x)＝lg2x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)对数式系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
考向四 对数函数的图象问题
例4 (1)函数y＝x＋a与y＝lgax的图象可能是下图中的( )
答案 C
(2)函数y＝lga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．
答案 (－1,3)
解析 令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．
(3)已知f(x)＝lga|x|满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
解 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝lg5|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg5x，x>0，,lg5－x，x<0.))
所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．
反思感悟 现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
考向五 反函数
例5 函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝(x<0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．
解 (x<0)是增函数，
所以0<<100，
所以0<<1，
故f(x)＝的定义域为(－∞，0)，值域为(0,1)，
所以g(x)＝2 019lg x，定义域为(0,1)，值域为(－∞，0)．
反思感悟 互为反函数的常用结论
(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．
(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
考向六 解对数不等式
例6 解下列关于x的不等式：
(1)
(2)lga(2x－5)>lga(x－1)．
解 (1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,4－x>0，,x<4－x，))解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5>x－1.))解得x>4.
当00，,x－1>0，,2x－5解得eq \f(5,2)综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝lgaab)，再借助y＝lgax的单调性求解．
(3)形如lgf(x)a>lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
基础题型训练
一、单选题
1．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】考虑的值，再利用指对数转换可得和的关系.
【详解】由题设可得，故，
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本题属于容易题.
2．已知，函数与的图像只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据是增函数，函数的定义域为，且在定义域内为减函数，从而得出结论．
【详解】解：已知，故函数是增函数．
而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．
3．已知，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数的运算及对数函数的性质,结合幂函数的性质即可求解.
【详解】因为，，
因为函数在上单调递增，又，
所以，
故．
故选：D.
4．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先利用对数函数的图像与性质判断出与的符号，从而可判断出的符号，利用换底公式计算出与的大小，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】对数函数为上的减函数，则，即.
又对数函数为上的增函数，则，即，
由换底公式得，，，
，即，即，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题.
5．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可知函数为偶函数，且当时，函数单调递增，进而可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】因为函数满足，且定义域为R，
所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，
故可以变为，即，
当时，；
当时，可得．
又，当且仅当时取等号，
所以，解得.
故选：B．
6．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数解析式可得函数为偶函数，且当时，为增函数，将不等式转化为求解即可．
【详解】因为，
所以，所以函数为偶函数．
当时，，为增函数，
由（1），
（1）
得（1），即（1），
可得，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断与应用，考查转化思想的应用及运算求解能力，属于中档题．
二、多选题
7．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由基本不等式可得，A由求的范围即可判断；B由求范围即可判断；C应用对数运算及对数的性质即可判断；D利用基本不等式求的范围即可判断.
【详解】由题设，，则(仅等号成立)，可得，
由，即，则，A正确；
由，即，B错误；
由，C正确；
由，当且仅当时等号成立，D错误；
故选：AC
8．已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．函数的最小值为0
【答案】BC
【分析】由对数性质求函数定义域，再根据二次函数、对数函数的单调性判断复合函数的单调性并判断最值情况，判断是否相等判断对称性.
【详解】由题设，故，其定义域为，
令，而递增，
又在上递增，在上递减，
故在上递增，在上递减，且最大值为，无最小值，
所以A、D错误，B正确；
，则的图象关于直线对称，C正确.
故选：BC
三、填空题
9．若，则a=__________.
【答案】2
【分析】化为同底的对数相等求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：2.
10．函数的定义域为________.
【答案】
【详解】试题分析：由题意得，，解得，即函数的定义域为.
考点：指数函数与对数函数的性质.
11．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.
【详解】因为对，且都有成立，
所以函数在上单调递增.
所以，解得.
故答案为：
12．已知，设，则的大小关系为（用“<”号连接）______．
【答案】
【分析】利用对数函数、指数函数的图象与性质，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，因为，则，
根据对数函数的单调性，可得，
根据指数函数的图象与性质，可得，
所以．
【点睛】本题主要考查了三个数的比较大小，同时考查了对数函数、指数函数的图象与性质的应用，着重考查了运算、求解能力，属于基础题．
四、解答题
13．已知函数.
(1)若函数的最小值为，求实数的值；
(2)若函数，用定义证明函数在上单调递减.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】(1)利用函数的单调性即可求解；(2)利用函数单调性的定义证明.
【详解】（1）要使函数有意义，则，解得,
,
二次函数的对称轴为，且，
所以函数在单调递增，在单调递减，
又因为，所以在单调递减，在单调递增，
所以，解得.
（2）由(1)得，
所以，
，
单调性证明如下，
且，
=，
因为且，所以
且，即，所以，
即，所以函数在上单调递减.
14．已知，用对数的定义证明公式：．
【答案】详见解析.
【解析】设，利用对数的定义得到，再利用同底数幂的除法求解.
【详解】设，
则，
所以，
即，
所以.
15．已知，a=，，求的值．
【答案】2020
【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解,利用对数的运算法则求解，然后代入化简即可.
【详解】
，
【点晴】本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示
16．设为奇函数，a为常数．
（1）求a的值．
（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由奇函数的性质，代入运算后可得，代入验证即可得解；
（2）转化条件为对于恒成立，令，结合函数的单调性求得即可得解.
【详解】（1）因为为奇函数，
则
，
则，所以即，
当时，，不合题意；
当时，，由可得或，满足题意；
故；
（2）由可得，
则对于恒成立，
令，
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.
提升题型训练
一、单选题
1．已知函数且，则函数恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数函数过定点求解.
【详解】令，解得，，
所以函数恒过定点，
故选：D
2．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】B
【解析】根据函数，先求得，再求即可.
【详解】因为函数，
所以，
所以，
故选：B
3．已知满足则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.
【详解】，故
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题.
4．已知 <1，那么a的取值范围是( )
A．0
C．1
【答案】D
【分析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
【详解】当a>1时，由lga，得a>1；当0故0【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．
5．已知，，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，分别缩小的范围，即可得到答案；
【详解】因为，
所以；
因为，
所以；
因为，
所以，
所以.
故选：.
6．若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解．
【详解】，，，
，，，
，，
，
故选：．
二、多选题
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】BD
【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.
【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，，故正确；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；
对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；
故选：
【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
8．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】分析得到选项AB的函数的值域为，选项C的函数的值域为,选项D的函数的值域为，即得解.
【详解】对于函数，因为，所以，所以选项A正确；
对于函数，因为，所以，所以选项B正确；
对于函数，因为，所以，所以选项C错误；
对于函数，因为，所以函数的值域为，所以选项D正确．
故选：AB．
三、填空题
9．已知三个式子，，同时成立，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性，即可求解.
【详解】；；
，，同时成立则有，
，当时，，
三个式子，，同时成立，
的取值范围为.
故答案为:.
【点睛】本题考查函数的单调性应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
10．______．
【答案】1
【分析】根据指数和对数的运算性质进行计算即可.
【详解】,
故答案为：1.
11．方程的解为___________.
【答案】2
【详解】依题意，所以，
令，所以，解得或，
当时，，所以，而，所以不合题意，舍去；
当时，，所以，，，所以满足条件，
所以是原方程的解.
考点：对数方程.
12．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
【答案】
【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
四、解答题
13．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则即得；（2）利用指对运算法则计算．
【详解】（1）原式
（2）原式
14．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）由奇偶性定义直接判断即可；
（2）化简函数得到，由此可知在上单调递增；利用奇偶性可化简所求不等式为，利用单调性解不等式即可.
(1)
为奇函数，证明如下：
定义域为，，
为定义在上的奇函数.
(2)
，
又在上单调递增，在上单调递增；
由（1）知：，
，，
，即，
，解得：，即实数的取值范围为.
15．（1）将根式化为分式指数幂的形式；
（2）若求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先将每个因式的公式化为分式指幂的形式，然后根据指数幂的运算法则求解即可；
（2）由，根据对数的运算法则分别求出的值，作差即可.
【详解】（1）.
（2）由，可得，由，可得，可得.
16．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.
【答案】(1)函数f(x)在上是 “友好”的；
(2)；
(3).
【分析】(1)利用函数单调性求出f(x)在上的最值即可判断得解.
(2)利用函数单调性，求出f(x)在区间(1≤m≤2)上的最值，建立不等关系，分离参数，构造函数并求出其最值即可作答.
(3)利用对数函数的性质变形等式，求出方程的解，再讨论验证即可作答.
【详解】（1）当a=1时，在上单调递减，， ，
于是得，即，有，
所以当a=1时，函数f(x)在上是 “友好”的.
（2）依题意，在上单调递减，
则，，
则有，
即，可得，令t=2m-1(1≤t≤3)，
则，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，当t=1或3时，取最大值1，此时，，
于是当t=1或3时，取最大值，依题意，，
又对于任意的，，即，此时，
综上，a的取值范围是.
（3）依题意，方程化为：，且，
于是得：，即，
当a=3时，可得x=-1，此时有且，则a=3，
当a=2时，可得x=-1，此时有，矛盾，
当a≠2且a≠3时，可得x=-1或，若x=-1是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=a-1>0，且a-1≠1，则a>1且a≠2，
若是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=2a-3>0，且2a-3≠1，则且a≠2，
因此，要使方程有且仅有一个解，必有，
综上，方程的解集中有且仅有一个元素，有或a=3，
所以实数a的取值范围为.
y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝lgax与y＝的图象关于x轴对称