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安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学（B卷）试题(无答案)
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这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学（B卷）试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题单位：淮南二中数学教研组 编审单位：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知某学校参加数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．90
4．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则（ ）
A．B．事件A与事件B互斥C．D．事件A与事件B相互独立
5．已知，，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．3D．2
6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（ ）
A．B．C．1D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为1
B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1
10．把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．当时，的值域为
D．若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为
11．如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ）
A．当M在平面内运动时，四棱锥的体积是定值
B．当M在直线上运动时，BM与AC所成角的取值范围为
C．使得直线MA与平面ABCD所成的角为60°的点M的轨迹长度为
D．若N为棱的中点，当M在底面ABCD内运动，且平面时，MN的最小值
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若，则______．
13．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（单位：m/s），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（单位：m/s），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（单位：m/s），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______m．
14．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，PD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、皖西大白鹅等等出现在大众视野．现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，六安文旅在7月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．
（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数；
（2）六安文旅对来六安旅游的游客发起满意度调查知：7月1日—7月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74；7月8日—7月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69．由这些数据计算7月1日—7月14日的总样本的平均数与方差．
16．（15分）
已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围．
17．（15分）
如图1，矩形ABCD中，，，E为边CD上的一点．现将沿着AE折起，使点D到达点P的位置．
（1）如图2，若E为边CD的中点，点F为线段PB的中点，求证：平面PAE；
（2）如图3，设点P在平面ABCE内的射影K落在线段AB上．
①求证：CB⊥平面PAB；
②当时，求直线PC与平面ABCE所成的角的余弦值．
18．（17分）
设函数，．
（1）判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
（2）求证：；
（3）若在区间上的最小值为，求t的值．
19．（17分）
对于集合和常数，定义：
为集合A相对的的“正弦标准差”．
（1）若集合，，求A相对的的“正弦标准差”；
（2）若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
命题单位：淮南二中数学教研组 编审单位：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知某学校参加数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A．86B．87C．88D．90
4．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则（ ）
A．B．事件A与事件B互斥C．D．事件A与事件B相互独立
5．已知，，若，则实数m的值为（ ）
A．B．C．3D．2
6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（ ）
A．B．C．1D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为1
B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1
10．把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．当时，的值域为
D．若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为
11．如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ）
A．当M在平面内运动时，四棱锥的体积是定值
B．当M在直线上运动时，BM与AC所成角的取值范围为
C．使得直线MA与平面ABCD所成的角为60°的点M的轨迹长度为
D．若N为棱的中点，当M在底面ABCD内运动，且平面时，MN的最小值
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若，则______．
13．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（单位：m/s），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（单位：m/s），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（单位：m/s），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______m．
14．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，PD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、皖西大白鹅等等出现在大众视野．现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，六安文旅在7月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．
（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数；
（2）六安文旅对来六安旅游的游客发起满意度调查知：7月1日—7月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74；7月8日—7月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69．由这些数据计算7月1日—7月14日的总样本的平均数与方差．
16．（15分）
已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围．
17．（15分）
如图1，矩形ABCD中，，，E为边CD上的一点．现将沿着AE折起，使点D到达点P的位置．
（1）如图2，若E为边CD的中点，点F为线段PB的中点，求证：平面PAE；
（2）如图3，设点P在平面ABCE内的射影K落在线段AB上．
①求证：CB⊥平面PAB；
②当时，求直线PC与平面ABCE所成的角的余弦值．
18．（17分）
设函数，．
（1）判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
（2）求证：；
（3）若在区间上的最小值为，求t的值．
19．（17分）
对于集合和常数，定义：
为集合A相对的的“正弦标准差”．
（1）若集合，，求A相对的的“正弦标准差”；
（2）若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
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