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湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考（一）数学试卷（Word版附解析）
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，且为实数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. -2
3. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与垂直
4. 已知a是函数f(x)＝2x－的零点，若0A f(x0)<0B. f(x0)＝0
C. f(x0)>0D. f(x0)的符号不确定
5. 若，，则的值为（ ）
A. B. －C. D.
6. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A. 8B. 24C. 48D. 120
7. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
8. 刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体，四边形和是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的面､等腰三角形所在的面与底面所成夹角的正切值均为．若为这个模型的轮廓（即所有的棱）安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知变量之间线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量之间呈现负相关关系B.
C. 可以预测，当时，约为D. 由表格数据知，该回归直线必过点
10. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ）
A. B. C. D.
11. 直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则的面积为4
C.
D. 的最小值为4
第Ⅱ卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
13. 已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是，则_______.
14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角正弦值．
16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17. 已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
18. 椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值．
19. 如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.
（1）已知，求三角形式；
（2）已知为定值，，将复数化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，且为实数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. -2
3. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与垂直
4. 已知a是函数f(x)＝2x－的零点，若0
C. f(x0)>0D. f(x0)的符号不确定
5. 若，，则的值为（ ）
A. B. －C. D.
6. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A. 8B. 24C. 48D. 120
7. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
8. 刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体，四边形和是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的面､等腰三角形所在的面与底面所成夹角的正切值均为．若为这个模型的轮廓（即所有的棱）安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知变量之间线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量之间呈现负相关关系B.
C. 可以预测，当时，约为D. 由表格数据知，该回归直线必过点
10. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ）
A. B. C. D.
11. 直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则的面积为4
C.
D. 的最小值为4
第Ⅱ卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
13. 已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是，则_______.
14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角正弦值．
16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17. 已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
18. 椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值．
19. 如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.
（1）已知，求三角形式；
（2）已知为定值，，将复数化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．x
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