四川省成都市嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试卷（Word版附解析）

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测试时间：120分钟 满分：150分
一，单项选择题.（每题5分，共40分）
1. 在平面直角坐标系中，两条直线（ ）时候垂直？
A. 斜率之积为-1时
B. 两条直线有1个公共点的时候
C. 两条直线分别与坐标轴垂直的时候
D. 以上答案均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.
【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确
对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误
对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误
对于D：错误
故选：A
2. 关于数的分类，以下说法正确的是（ ）
A. 无理数相加不可能是有理数
B. 是无限不循环小数
C. 0不属于自然数集
D. 若抛物线的系数均不是整数，那它的对称轴，也不是整数
【答案】B
【解析】
【分析】由，可判断A；是无限不循环小数可判断B；0属于自然数集可判断C；由，求得对称轴判断D.
【详解】对于A：由，故两个无理数的和可能是有理数，故A错误；
对于B：是无限不循环小数，故B正确；
对于C：0属于自然数集，故C错误；
对于D：抛物线的对称轴为，
当时，对称轴为，故D错误.
故选：B.
3. 下面说法正确的是（ ）
A. 两个不同的点确定一条直线，三个不同的点确定一条曲线
B. 如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的
C. 函数的对称轴只有一条
D. 反比例函数上的三个不同的点可能在某些情况是共线的
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明三个不同的点不能确定一条曲线，判断A，举例说明在特殊条件下，已知抛物线上的一个点，可以求其解析式，判断B，取，函数没有对称轴，判断C；设反比例函数上存在三个点共线，联立反比例函数的解析式与直线方程，化简推出矛盾，判断D.
【详解】因为点都在抛物线上，
点也都在反比例函数的图象上，
所以三个不同的点不能确定一条曲线，A错误；
若抛物线的解析式为，且抛物线过点，
则，此时抛物线的解析式为，
故如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的，B正确；
当，函数的解析式可化为，该函数的图象没有对称轴，C错误；
设反比例函数的解析式为，
设函数的图象上存在三个不同的点共线，
则该直线方程不可能为，
设其解析式为，
联立，化简可得，
因为方程至多只有个解，
所以方程组至多只有组解，矛盾，D错误
故选：B.
4. 下面说法正确的是（ ）
A. 借助两点间距离公式，可以知道甲地到乙地的路程
B. 两点间距离公式是通过勾股定理推导出来的
C. 满足这样轨迹方程的一定是圆，因为圆的有一个定义是，点到定点距离为定值的轨迹，再根据两点间距离公式，将这个转换为数学语言，就是
D. 以上选项均不正确
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式、圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，两点间的距离是两点间的直线距离，甲乙两地的道路不一定是直线，
所以A选项错误.
B选项，两点间距离公式可以通过勾股定理来推导，也可以通过向量法、解析几何法、
坐标变换法、微积分等方法来进行推导，所以B选项错误.
C选项，当时，满足的点，即点，
所以C选项错误.
故选：D
5. 老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（ ）
A 任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果
B. 不努力学习也可能有好结果
C. 努力学习一定有好结果
D. 如果没有取得好结果，那么一定没有努力
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可.
【详解】对于A，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确.
对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误；
对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误；
对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误.
故选：A
6. 抛物线与圆相交形成交点（ ）
A. 横坐标相加之和为0
B. 可能有3个
C. 将交点连接后，其形状可能是等腰梯形或一条直线
D. 以上说法均不正确
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线与圆有三个交点可判断每个选项的正确性.
【详解】若抛物线方程为，圆的方程为，
联立方程组解得或，
当时，，当时，或，
故此时抛物线与圆有三个交点，故B正确；
故横坐标之和不为0，故A错误；
连接交点可得一个三角形，故C错误.
故选：B.
7. 请结合计算和画图，判断（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】作出直角三角形，利用锐角三角函数的定义计算判断即可.
【详解】在中，令锐角的对边为，邻边为，斜边为，则，
，所以.
故选：A
8. 已知，则直线恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，可得定点坐标.
【详解】因为，所以，
由，可得，所以，
当时，所以对为任意实数均成立,
故直线过定点.
故选：A.
二.不定项选择题.（每题6分，共18分）
9. 当二次函数自变量有范围限制的时候，会出现（ ）情况
A. 若限制范围包含顶点，那么最小值或最大值是不变的
B. 若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值或者最大值
C. 若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值和最大值
D. 若限制范围为确定的值，而不是一个区间，那么它的最小值和最大值相等
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合二次函数图象性质逐项判断即得.
【详解】对于A，限制范围包含顶点，若二次函数图象开口向上，则顶点的纵坐标值为二次函数最小值；
若二次函数图象开口向下，则顶点的纵坐标值为二次函数最大值，因此最小值或最大值不变，A正确；
对于BC，限制范围不包含顶点，当限制范围的端点值不能被取到时，该函数可能没有最小值和最大值，BC错误；
对于D，限制范围为确定的值，而不是一个区间，该函数只有一个函数值，其最小值和最大值相等，D正确.
故选：AD
10. 下面图形是矩形的是（ ）
A. 长方形B. 正方形
C 菱形D. 直角梯形
【答案】AB
【解析】
【分析】由矩形的定义可得结论.
【详解】由矩形的定义可得是矩形的有长方形，正方形.
故选：AB.
11. 一个直角三角形，直角边分别是，那么下面说法正确的是（ ）
A. 斜边长度为
B. 斜边长度最小值是2
C. 将其绕其直角顶点旋转一周，那么其斜边上任何一个点（包含端点）的运动轨迹都是圆
D. 这个直角三角形可能是等腰直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合直角三角形的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，由直角三角形勾股定理得斜边长度为，A正确；
对于B，，当且仅当，即取等号，B错误；
对于C，直角三角形斜边上一点与直角顶点为端点的线段，绕直角顶点旋转一周，另一端点的轨迹是圆，C正确；
对于D，当时，该直角三角形是等腰直角三角形，D正确.
故选：ACD
三.填空题：（每题5分，共15分）
12. 若集合A有3个元素，集合B有4个元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________个元素.
【答案】0或1或2或3
【解析】
【分析】利用集合公共元素个数即可得解.
【详解】集合A有3个元素，集合B有4个元素，则集合的公共元素个数最多为3个，
所以集合A和集合B的交集可能有0或1或2或3.
故答案为：0或1或2或3
13. 已知一元二次方程的两根分别为，那么_________.
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】因为一元二次方程的两根分别为，
所以.
故答案为：.
14. 函数（为确定的实数）的因变量取值范围是__________.
【答案】当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是.
【解析】
【分析】对进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案.
【详解】当时，，则；
当时，二次函数，则顶点的纵坐标为，
所以，当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是.
故答案为：当时，因变量的取值范围是R；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是.
四．解答题：（15题13分，16题～17题每题15分，18～19题每题17分，共77分）
15. 已知，请作出，，的图象，并说说你是怎么作出的.
【答案】作图见解析.
【解析】
【分析】利用函数利用变换法作出图象，并叙述作图过程.
【详解】当时，，此时的图象为函数图象在轴及右侧图象，
当时，，此时的图象为函数在轴右侧图象关于轴对称而得，
函数的图象，如图，
当时，，此时的图象为函数图象在轴及上方图象，
当时，，此时的图象为函数在轴下方图象关于对称而得，
函数的图象，如图：
函数的图象是将函数图象向右平移1个单位而得，如图.
16. 请利用种方法证明勾股定理.并说出一例勾股定理在生活中的运用.
【答案】证明见解析，举例见解析.
【解析】
【分析】方法一：过作，垂足为，证明，由此可得，同理可得，由此证明结论；
方法二：以为边作正方形，过点作垂足为，过点作，垂足为， 延长，交于点，证明，再证明四边形为正方形，结合面积关系证明结论；
方法三：以点为圆心，为半径作圆，分别交和的延长线于点，证明为圆的切线，结合切割线定理证明结论.
再举例说明勾股定理在生活中的应用.
【详解】如图，在直角三角形中，，求证：.

方法一：过作，垂足为，
则，，故，
又，所以，
所以，即，
同理：，
所以，
所以.

方法二：如图，以为边作正方形，
过点作垂足为，过点作，垂足为，
延长，交于点，

由已知，，
所以，故，
因为，,
所以，又，，
所以,
同理可证，，
所以，，
所以，又，
所以四边形为正方形，
设正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，
则，
所以，
所以.
方法三：以点为圆心，为半径作圆，分别交和的延长线于点，
则，
因为，点在圆上，
所以为圆的切线，
所以，
所以.

家装时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出，并标记在一个点，然后量这两点间距离是否是，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.
17. 请讨论方程解的个数.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据的不同取值分类讨论，结合一元二次方程性质判断解的个数，即可得到答案.
【详解】当，即或时，
方程为一元一次方程，有一个解；
当，即且时，
方程为一元二次方程，，
令，即，解得，
所以当时，，方程有一个解，
当时，，方程无解，
当且或且时，，方程有两个解，
综上，
当或或时，方程有1个解，
当时，方程无解，
当当且或且时，方程有两个解.
18. 已知抛物线C的顶点在原点，开口向上，且经过点.
（1）求它向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式；
（2）当m，n是方程的两根的时候，求抛物线C的解析式；
（3）求经过的切线方程，并说明这样的切线有几条.
【答案】（1）；
（2）或；
（3），1条.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的解析式，利用平移变换求出解析式.
（2）求出，再分类求出解析式.
（3）求出过点的切线方程，再与抛物线方程联立即可求解即得.
【小问1详解】
依题意，设抛物线的解析式为，则，解得，
因此抛物线的解析式为，
将抛物线向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式为.
【小问2详解】
解方程，得，
当时，抛物线对应的解析式为，
当时，抛物线对应的解析式为，
所以抛物线的解析式为或.
小问3详解】
设过点的切线方程为，则，解得，
即切线方程为，由消去得，
，解得，
所以经过的抛物线切线方程为，这样的切线方程只有一条.
19. 在初中的时候，我们知道三角形是有稳定性的，那为什么它有稳定性，而平行四边形没有稳定性呢？GGbnd数学研究小组对这个问题进行了探究，上网查阅了资料，了解了一个公式，已知三角形三边长度为a，b，c，三个角为A，B，C，那么，请你结合这个公式，来思考这个问题，并回答：
（1）请利用这个公式说明边长为3，3，7的三角形是不存在的；
（2）证明这个公式；
（3）若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，请说明这样的平行四边形有几个，请直接写出你的答案；
（4）请利用这个公式，阐述为什么三角形有稳定性，而平行四边形没有稳定性.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）无数个； （4）见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意求出，即可判断；
（2）以为坐标原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，由两点间的距离公式即可证明.
（3）如图，设，由题意可得，当长度变化时，也会变化，所以说明这样的平行四边形有无数个.
（4）三角形的三边长是固定的，由题意可知三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，由题意可知平行四边形的角不固定.
【小问1详解】
设，
所以，
所以边长为3，3，7的三角形是不存在的.
【小问2详解】
如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以，所以，
所以.
【小问3详解】
无数个.
如图，设，
则，所以，
当长度变化时，也会变化，
所以若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，这样的平行四边形有无数个.
【小问4详解】
三角形的三边长是固定的，由可知，
三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，
当一个平行四边形四边长固定，但是平行四边形的四个角不固定，
所以平行四边形没有稳定性.