四川省成都市石室成飞中学2025届高三上学期8月月考数学试卷（Word版附答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 0.1/ 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）∵，∴①
∵，，成等比数列，∴，∴化简得，
∵，∴②，由①②可得，，
所以数列的通项公式是 ………………………………6分
（2）由（1）得
∴………13分
16.（15分）
解：（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，A10,0,4.

因为，分别为的中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，即，
令，则有，，即，
因为，所以，
又平面，所以平面； ………………………………7分
（2）由（1）可知，，
，
所以与平面所成角的正弦值为. ………………………………15分
17.（15分）
解：（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异. ………………………………6分
（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量数学期望.…………………………15分
18.（17分）
解：（1）因为，所以，
又连接四个顶点所得菱形的面积为，可得，
解得，所以椭圆方程为. ………………………………4分
（2）如图所示：
设直线的方程为：
联立，可得：，则，
由韦达定理可得：，
由弦长公式可得：
当时，取得最大值. ………………………………10分
（3）如图所示：
设直线的方程为：
联立，可得：，则
由韦达定理可得：，
又由，可得，
代入可得，即.所以，所以
故为定值. ………………………………17分
19.（17分）
解：（1）由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； ………………………………4分
（2）（i）由，得，
设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． ………………………………10分
（ii）不妨设，则，且．
解法一：
当时，，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
解法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，
又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证． ………………………………17分
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
B
C
B
C
C
A
9
10
11
ACD
AB
ABD
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