广东省东莞市东莞外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
展开一、单选题(每题5分,共40分)
1.设集合,,若,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3.某公司为了调查员工的健康状况,由于女员工所占比重大,按性别分层,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,若样本中有女员工39人,男员工21人,女员工的平均体重为50kg,标准差为6,男员工的平均体重为70kg,标准差为4.则所抽取的所有员工的体重的方差为( )
A.29B.120C.100D.112
4.二项式展开式中,含项的系数为( )
A.20B.C.D.80
5.函数,经过点,则关于的不等式解集为( )
A. B. C. D.
6.若函数是定义在上的奇函数,,则( )
A.2B.0C.60D.62
7.如图,在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片,每格只放一张卡片,则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有( )
A.96种B.64种C.32种D.16种
8.已知实数,,满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多选题(每题6分,共18分,部分选对得部分分,错选得0分)
9.已知正数,满足,则下列说法正确的是( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最小值为
10.从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本,将它们进行某项质量指标值测量,并把测量结果x用频率分布直方图进行统计(如图).若同一组中数据用该组区间的中点值作代表,则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是( )
A.指标值在区间的产品约有48件 B.指标值的平均数的估计值是200
C.指标值的第60百分位数是200 D.指标值的方差估计值是150
11.已知函数,的定义域为,的导函数为,且,,若为偶函数,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若存在使在上单调递增,在上单调递减,则的极小值点为
D.若为偶函数,则满足题意的唯一,满足题意的不唯一
三、填空题(每题5分,共15分)
12.已知随机变量服从正态分布,且,则 .(精确到小数点后第五位)
13.已知是定义R在上的奇函数,当时,,当时,,则
14.设,对任意实数x,用fx表示中的较小者.若函数至少有3个零点,则的取值范围为 .
四、解答题
15.(13分)已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
16.(15分)随着中国科技的迅猛发展和进步,中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升,市场规模持续增长.为了适应市场需求,我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机,为测试其性能,对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计,数据如下:
(1)据关系建立y关于x的回归模型 求y关于x的回归方程(精确到0.1,精确到1).
(2)为了检验核心零件报废是否与保养有关,该公司进行第二次测试,从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试,对其中60台进行测试前核心零件保养,测试结束后,有20台无人机核心零件报废,其中保养过的占比30%,请根据统计数据完成2×2列联表,并根据小概率值的独立性检验,能否认为核心零件的报废与保养有关?
附:回归方程 中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 ,
参考数据:
17.(15分)甲、乙两人准备进行台球比赛,比赛规定:一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球,则本局甲赢的概率为,若乙开球,则本局甲赢的概率为,每局比赛的结果相互独立,且没有平局,经抽签决定,第1局由甲开球.
(1)求第3局甲开球的概率;
(2)设前4局中,甲开球的次数为,求的分布列及期望.
18.(17分)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若不等式恒成立,求a的取值范围.
19.(17分)无穷数列,,…,,…的定义如下:如果n是偶数,就对n尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数,这个奇数就是﹔如果n是奇数,就对尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数,这个奇数就是.
(1)写出这个数列的前7项;
(2)如果且,求m,n的值;
(3)记,,求一个正整数n,满足.
飞行距离x(千千米)
56
63
71
79
90
102
110
117
核心零件损坏数y (个)
61
73
90
105
119
136
149
163
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
0. 25
0. 1
0. 05
0.025
0. 01
0. 001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
2024-2025学年第一学期东莞外国语学校高三段考一
参考答案
1.A【详解】,;由可以推出,所以,
a的取值范围是.故选:A.
2.D【详解】由命题否定的定义得命题“,”的否定是,,故D正确.
3.B【详解】依题意,样本中所有员工的体重的平均值为,则样本中所有员工的体重的方差.
4.A【详解】表示5个因式的乘积,要得到含项,需有1个因式取,其余的4个因式都取,系数为,或者需有2个因式取项,需有2个因式取,其余的1个因式都取,系数为,故含项的系数为.
5.B【详解】由函数的图象经过点,得,则,函数在上单调递减,在上单调递减,则在R上单调递减,又,即函数是奇函数,不等式,则,
即,解得,所以原不等式的解集为.
6.A【详解】由题意,所以的周期为4,且关于直线对称,而,所以.故选:A.
7.B【详解】根据题意,分3步进行,一步,要求“只有中间一列两个数字之和为5”,则中间的数字只能为两组数1,4或2,3中的一组,共有种排法;第二步,排第一步中剩余的一组数,共有种排法;第三步,排数字5和6,共有种排法;由分步计数原理知,共有不同的排法种数为.
8.A【详解】由已知有,即,即,因为,令,,易知在上单调递增,因,所以,故,即.以,令,可得,又因在上小于零,故y在单调递减,在上大于零,故y在单调递增,故当时,y取极小值也是最小值为e.故选:A
9.ABD【详解】对于A:∵,,.∴,.当且仅当,即,,取“”,∴A正确;对于B:,由(1)知,∴.
∴.∴B正确;对于C:.∴,∴C错误;对于D:,当且仅当,即,取“”,∴D正确.故选:ABD.
10.ABD【详解】指标值的样本频率是,指标值在区间的产品约有件,A正确;抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为:,,BD正确;由直方图得,从第一组至第七组的频率依次是0.02,0.09,0.22,0.33,0.24,0.08,0.02,所以指标值的第60百分位数m在内,,解得,C错误.
11.ABD【详解】对A,因为为偶函数,所以是奇函数,所以,又,以,故A对;对B,由,,得,所以,所以,,又,所以是周期为4的函数,也是周期为4的函数,所以,故B对;对C,在上严格增,在上严格减,由,的图象关于对称且,由A可得,故在上严格增,在上严格减,可知在严格递减,在严格递增,又的周期为4, 所以在严格递增,所以在严格递减,在严格递减,又,所以0是的极大值点,是周期为4的函数,所以则的极大值点为,故C错;对D,若为偶函数,由于是奇函数,,则,即,所以,,所以唯一,不唯一,故D对.故选:ABD.
12.0.15865【详解】由于服从正态分布,故正态曲线的对称轴为直线.所以,故.故答案为:0.15865
13. 【详解】令,则,所以.因为是定义在R上的奇函数,所以,所以,所以,,
14.【详解】设,,由可得.要使得函数至少有个零点,则函数至少有一个零点,则,
解得或.
①当时,,作出函数、的图象如下图所示:
此时函数只有两个零点,不合乎题意;
②当时,设函数的两个零点分别为、,
要使得函数至少有个零点,则,所以,,解得;
③当时,,作出函数、的图象如下图所示:
由图可知,函数的零点个数为,合乎题意;
④当时,设函数的两个零点分别为、,
要使得函数至少有个零点,则,
可得,解得,此时.
综上所述,实数的取值范围是.故答案为:.
【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
15.【详解】(1)当时,,定义域为0,+∞,则,……..2分
当时,f'x<0,当时,f'x>0,则在0,1上单调递减,在1,+∞上单调递增,
所以有极小值,无极大值………………………………………………………………..6分
(2)因为恒成立,得,,………………………………………………..8分
令,,求导的,
当,,当时,,
即函数在上递减,在上递增,………………………………………………分
因此,则a≤-1e,所以的取值范围a≤-1e. …………………………………13分
16.【详解】(1)依题意,,……..4分(列式对了给2分,算出1.6再得2分,若算出1.5或者1.7的第一问总体扣2分,其他值不给分.)
,所以y 关于 x的线性回归方程为.……………7分
(2)依题意,报废机核心零件中保养过的有台,未保养的有台,………8分
则列联表如下:
………………………………………………………………………………………………………………10分
零假设:核心零件是否报废与保养无关,
则,…………………………………………14分(式子列对得2分,算对得2分)
根据小概率值的独立性检验,
推断不成立,即认为核心零件报废与是否保养有关,此推断的错误概率不大于0.01. …………15分
17.【详解】(1)设第局甲胜为事件,则第局乙胜为事件,其中
则“第3局甲开球”为事件,
.…………………6分
(2)依题意,………………………………………………………………………… 7分
,
,
,
,…………………………………………………… 11分(每个1分)
的分布列为
………………………………………………………………………………………………… 13分
则……………………………………………………分
18.【详解】(1),,.………………..2分
,∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,…………..4分
切线与坐标轴交点坐标分别为,……………………………………………..6分
∴所求三角形面积为.…………………………………………………..7分
(2)[方法一]:通性通法
,,且.……………………………..9分
设,则…………………………………………………分
∴g(x)在上单调递增,即在上单调递增,……………………分
当时,,∴,∴成立.
当时, ,,,
∴存在唯一,使得,且当时,当时,,,……………………………………………………分
因此
>1,
∴∴恒成立;
当时, ∴不是恒成立.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞). ……………………………………………………分
[方法二]【最优解】:同构
由得,即,而,所以.
令,则,所以在R上单调递增.
由,可知,所以,所以.
令,则.
所以当时,单调递增;
当时,单调递减.
所以,则,即.
所以a的取值范围为.
[方法三]:换元同构
由题意知,令,所以,所以.
于是.由于,而在时为增函数,故,即,分离参数后有.令,所以.当时,单调递增;当时,单调递减.所以当时,取得最大值为.所以.
[方法四]:
因为定义域为,且,所以,即.令,则,所以在区间内单调递增.因为,所以时,有,即.下面证明当时,恒成立.令,只需证当时,恒成立.因为,所以在区间内单调递增,则.因此要证明时,恒成立,只需证明即可.由,得.上面两个不等式两边相加可得,故时,恒成立.当时,因为,显然不满足恒成立.所以a的取值范围为.
19.【详解】(1)根据题意,,,
,,,
,.…………………………………………………3分(算对两个得1分)
(2)由已知,m,n均为奇数,不妨设.
当时,因为,所以,故;…………………………5分(猜对但是没证明的只给2分)
当时,因为,而n为奇数,,所以.
又m为奇数,,所以存在,使得为奇数.
所以.
而,所以,即,,无解.
所以.………………………………………………………………………………8分
(3)显然,n不能为偶数,否则,不满足.……………………9分
所以,n为正奇数.又,所以.
设或,.………………………………………………………11分
当时,,不满足;
当时,,即.
所以,取,时,………………………………………………………14分
即.………………………………………17分
【点睛】关键点点睛:第(3)问中,发现当时,满足,从而设,,验证满足条件.
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100
1
2
3
4
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