湖南省长沙市岳麓区西雅中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷

这是一份湖南省长沙市岳麓区西雅中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷，共16页。
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（2，5）
2．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．四边相等B．对角线相等
C．对角相等D．邻角互补
3．（3分）安徽砀山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首．甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨的平均质量与方差s2如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
5．（3分）设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
6．（3分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（2，0），∠OAB＝120°，则顶点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x的一元一次不等式kx﹣2＜x﹣b的解集为（ ）
A．x＞4B．x＜4C．x＞2D．x＜2
9．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（3，1）在直线l：y＝kx+4上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则另一个解为x＝ ．
13．（3分）点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式3m﹣n+1的值是 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长为 ．
15．（3分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．
16．（3分）一次函数y＝kx+b的图象交x轴、y轴分别于点A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，点C的坐标为 ，若P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，P的坐标是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）先化简：先化简，再求值：，然后从﹣3≤x≤0中选出一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
18．（6分）解方程：
（1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
19．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求△AOD的面积．
20．（8分）在一次“慈善一日捐”捐款活动中，某中学学生会对该校学生捐款进行随机抽样调查和分组统计，将数据整理成以下统计图（信息不完整）．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）样本中捐款数50＜x≤100的学生有 人，并补全图中的捐款人数条形统计图；
（3）若该校共有1600名学生，根据以上信息估计全校捐款超过50元的人数是多少？
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
22．（9分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝8，求m的值．
23．（9分）某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（x为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用1元，设服装店每月销售该种衬衫获利为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？
24．（10分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有 ；
①2x﹣2＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③|x﹣2|＝1．
（2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝6，且当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0），B（0，﹣3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N．设点P的横坐标为t．
（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若S△BPO=2S△APN，求此时点P的坐标:
(3)是否存在这样的点M，使得以A、B、M 为顶点组成直角三角形?若存在，直接写出点M的坐标:若不存在,请说明理由.
湖南省长沙市岳麓区西雅中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各点中，在直线y＝3x上的点是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（2，5）
【答案】A
2．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．四边相等B．对角线相等
C．对角相等D．邻角互补
【答案】A
3．（3分）安徽砀山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首．甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨的平均质量与方差s2如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
4．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【答案】C
5．（3分）设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【答案】A
6．（3分）若A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣4，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【答案】A
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（2，0），∠OAB＝120°，则顶点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x的一元一次不等式kx﹣2＜x﹣b的解集为（ ）
A．x＞4B．x＜4C．x＞2D．x＜2
【答案】C
9．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242
【答案】A
10．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（3，1）在直线l：y＝kx+4上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
12．（3分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则另一个解为x＝ 3 ．
【答案】3．
13．（3分）点（m，n）在直线y＝3x﹣2上，则代数式3m﹣n+1的值是 3 ．
【答案】3．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长为 6 ．
【答案】见试题解答内容
15．（3分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 7 米．
【答案】见试题解答内容
16．（3分）一次函数y＝kx+b的图象交x轴、y轴分别于点A（2，0），B（0，4），点C，D分别是OA，AB的中点，点C的坐标为 （1，0） ，若P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，P的坐标是 （0，1） ．
【答案】（1，0）；（0，1）．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）先化简：先化简，再求值：，然后从﹣3≤x≤0中选出一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】，．
18．（6分）解方程：
（1）x（x﹣6）＝5（6﹣x）；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣5；（2）x1＝1+，x2＝1﹣．
19．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求△AOD的面积．
【答案】（1）y＝x+1；
（2）1．
20．（8分）在一次“慈善一日捐”捐款活动中，某中学学生会对该校学生捐款进行随机抽样调查和分组统计，将数据整理成以下统计图（信息不完整）．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 50 ；
（2）样本中捐款数50＜x≤100的学生有 14 人，并补全图中的捐款人数条形统计图；
（3）若该校共有1600名学生，根据以上信息估计全校捐款超过50元的人数是多少？
【答案】（1）50；
（2）14；图见解答；
（3）448人．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
【答案】（1）见解析；
（2）4，5．
22．（9分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝8，求m的值．
【答案】（1）且m≠0；
（2）m＝2
23．（9分）某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（x为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用1元，设服装店每月销售该种衬衫获利为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？
【答案】见试题解答内容
24．（10分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有 ①③ ；
①2x﹣2＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③|x﹣2|＝1．
（2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝6，且当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围．
【答案】（1）①③；（2）y＝（9﹣6）x﹣3+6或y＝（9+6）x﹣3﹣6或y＝﹣3x+6；（3）＜|x1﹣x2|＜3．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0），B（0，﹣3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N．设点P的横坐标为t．
（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若S△BPO=2S△APN，求此时点P的坐标:
(3)是否存在这样的点M，使得以A、B、M 为顶点组成直角三角形?若存在，直接写出点M的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】（1）AB：y＝x﹣3，y＝x2﹣2x﹣3；果篮
甲
乙
丙
丁
平均质量（克）
450
500
450
500
方差s2
1.1
1.1
1.2
1.2
组别
组别捐款数（x）元
A
x≤10
B
10＜x≤20
C
20＜x≤50
D
50＜x≤100
E
x＞100
果篮
甲
乙
丙
丁
平均质量（克）
450
500
450
500
方差s2
1.1
1.1
1.2
1.2
组别
组别捐款数（x）元
A
x≤10
B
10＜x≤20
C
20＜x≤50
D
50＜x≤100
E
x＞100