甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版附答案）

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说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知等差数列的前项和为，且点在直线上，则（ ）
A．2019B．2020C．4038D．4040
3．如图，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（ ）
A．点B．点C．点但不过点D．点和点
4．若函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增B．函数的最小正周期为
C．函数图象关于对称D．函数的图象关于点对称
5．已知一组正数的方差为，则数据，的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件A表示“第一次取出的小球标号为3”，事件B表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件C表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件D表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ）
A．A与C相互独立B．A与B是互斥事件
C．C与D是对立事件D．B与D相互独立
7．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（ ）
A．B．6C．4D．10
8．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，则平行于内的无数条直线
C．若，则D．若，则
10．下列说法正确的有（ ）
A．在中，若，则
B．在中，
C．若，则一定是针角三角形
D．若，则符合条件的有两个
11．在边长为4的正方形中，如图1所示，分别为的中点，分别沿及所在直线把和折起，使三点重合于点，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）
图1 图2
A．
B．三棱锥外接球的表面积为
C．三棱锥的体积为
D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知数列的前项和，则它的通项公式______．
13．已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为______．
14．如图，在中，平面，且，，，．则此几何体的体积为______．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）在中，分别为角所对的边，S为的面积，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若为的中点，且，求的值．
16．（15分）黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求x的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；
（3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
17．（15分）已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的通项公式．
18．（17分）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（17分）已知数列具有性质A：，都，使得．
（1）分别判断以下两个数列是否满足性质A，并说明理由；
（ⅰ）有穷数列；
（ⅱ）无穷数列；
（2）若有穷数列满足性质A，且各项互不相等，求项数的最大值．
兰州一中2024-2025-1学期入学测试
高二数学答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．ACD 10．BC 11．ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12． 13．2 14．96
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（Ⅰ）； （Ⅱ）．
【详解】（Ⅰ）由已知得，
．
即．
．
又，
（Ⅱ）由得：
，又为的中点，，
，即．
又，
．
又，
．
16．（1） （2）83.33 （3）
【详解】（1）由图知：，可得．
（2）由，所以分位数在区间内，令其为，
则，解得．
所以满意度评分的分位数为83.33．
（3）因为评分在的频率分别为，
则在中抽取人，设为；
在中抽取人，设为；
从这6人中随机抽取2人，则有：
，
，
共有15个基本事件，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则有，共有8个基本事件，所以．
17．（1） （2）
【详解】（1）当时，为等差数列，设公差为．
（2）由（1）得，
，
18．【详解】（1）由菱形可得，
平面平面，平面平面，
又正方形中，
平面，又平面，
平面平面．
（2）过作于，则平面．
过作于，连接，
因平面，则，
又平面，故平面，
又平面，所以，
故为二面角的平面角，
在中，设，
．
即二面角的余弦值为．
19．【详解】（1）（ⅰ）有穷数列，则，
例如取，不存在，使得，
所以有穷数列不满足性质A；
（ⅱ）无穷数列，
对任意，则，
可知，则存在，使得，
所以无穷数列满足性质A．
（2）因为有穷数列各项互不相等，
若满足题意，可知是数列中的项，
取，解得或，即0，1可能符合题意，
若，则，即也可能符合题意，
对于有穷数列，检验可知有穷数列满足性质A，
假设有穷数列还有其他项，满足性质A，
取，则存在，使得；
取，则存在，使得；
…；
依此类推，可得到，
此时数列不是有穷数列，与题干相矛盾，
即假设不成立，可知数列不存在其他项，所以项数的最大值为3．