甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（Word版附答案）

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注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，若，则实数（ ）
A．2B．C．D．
4．若复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的右焦点为F，过点F作直线与渐近线垂直，垂足为点P，延长交E于点Q．若，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．在下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台，其中，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．若命题“”为假命题，则a的取值范围为．
13．若圆与圆有且仅有一条公切线，则．
14．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．在中，角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若D在边上且，求的长．
16．函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在R上有三个零点，求m的取值范围．
17．已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，若，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）．
（1）求证：平面平面；
（2）求点P到平面的距离．
18．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率．
19．已知抛物线，过点的直线与E交于两点，设E在点处的切线分别为和与的交点为P．
（1）若点A的坐标为，求的面积（O为坐标原点）；
（2）证明：点P在定直线上．
兰州一中高三年级诊断考试试卷
高三数学答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．13．3614．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．解析：（1）因为，
所以．
所以，得即．
（2）因为，所以，解得，
因为，且A为三角形的内角，所以，
又因为，所以．
因为．
所以，
所以，所以
16．解析：（1）令，则，又是定义在R上的奇函数，
所以可得，
又，故函数的解析式为
（2）根据题意作出的图象如下图所示：
，若函数在R上有三个零点，即方程有三个不等的实数根，
所以函数与有三个不同的交点由图可知当，即时，
函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点．故m的取值范围是．
17．解析：（1）在四棱锥中，平面平面，
则，又，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，点M为中点，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面
（2）由（1）知平面，又平面，则，
因为，点M为的中点，
所以，
因为点N为的四等分点（靠近点P）．
所以，
因为，所以
所以由余弦定理得
，
所以，所以，因为平面，所以
设点P到平面的距离为h，
所以三棱锥的体积．
所以．
18．解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，
乙连负两场的概率为；
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
甲获得冠军的概率为：．
19．解析：（1）直线的斜率．
直线的方程为，即．
联立方程，整理得：．
设，则．
设直线与y轴的交点为D，则．
．
（2）由，得．
的方程为：，整理得．
同理可得的方程为．
设，联立方程，解得．
因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，
故，．所以，可得，
所以点P在定直线上．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
D
C
A
D
B
题号
9
10
11
答案
ABC
BD
AB