[数学]贵州省部分校2025届高三上学期入学考试试卷(解析版)

这是一份[数学]贵州省部分校2025届高三上学期入学考试试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，，
所以，
故选：A．
2. 若向量，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，，
故选：C．
3. 已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 4
【答案】D
【解析】因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，即，
则
因为，且，所以，
所以，
当且仅当即等号成立，
则的最小值是4.
故选：D.
4. 的展开式中项的系数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由二项式定理得的展开式的通项为，
化简得，
令，解得，
所以项的系数为，故B正确.
故选：B.
5. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为有三个零点，
所以有三个根，所以和有三个交点，
而，令，，
令，，
所以在上分别单调递增，在上单调递减，
所以极小值为，极大值为，
当时，，时，，
所以，故B正确.
故选：B.
6. 如图所示，为测量一座古塔的高度，工作人员从塔底同一水平面的处测得塔顶C的仰角为，然后从处出发朝古塔方向走了60米到达处，在处测得塔顶C的仰角为，把塔顶正下方的一点记为点，则该古塔的高度为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】C
【解析】由题意得，，，，
所以，且设，得到即为所求古塔高度，
而，
由锐角三角函数的定义得，
解得，故C正确.
故选：C.
7. 已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2，由题可知，，
则，所以，即，解得，
所以，则，
所以，
故选：B．
8. 已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】对于①，令，则，所以，故错误；
对于②，令，则，
所以的图象关于对称，所以的图象关于点对称，故正确；
对于③，因为，若，则，故正确；
对于④，令，则，可得，
令，则，故错误.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若z为纯虚数，则
B. 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则
C. 若，则
D 若，则
【答案】BCD
【解析】由，
若z为纯虚数，即且，则，故A错误；
若z在复平面内对应的点位于第一象限，则，得，即，故B正确；
若，则，则，故C正确；
若，则，解得，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】因为，
所以，
所以，而将的图象平移后能与
函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误，
此时，向右平移个单位长度后，
设得到的新函数为，，
由正弦函数性质得是奇函数，故B正确，
令，解得，
当时，，所以的图象关于点对称，故C正确，
由题意得，，，
所以在上不单调，故D错误.
故选：BC.
11. 已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ）
A. 点F的坐标为
B. 的最小值为
C. 存在两个P点，使得
D. 若为正三角形，则圆M与直线PQ相交
【答案】ACD
【解析】对A，准线与圆相切，
可知，可得，所以F1,0，故A正确；
对B，根据可得，
可确定最小值为，故B错误；

对C，若，则PM=PF，做中垂线，
根据题意知，设为中点，则可得，
直线斜率为，根据点斜式可确定为，
与抛物线联立得，，
所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确；
对D，根据为正三角形，所以，则，
且，所以可得，和圆与轴交点为0,3，
，所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确.

故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】因为函数，
所以，
所以.
13. 已知一组样本数据1，2，m，6的极差为6，若，则______，这组数据的方差为______．
【答案】
【解析】因为一组样本数据1，2，m，6的极差为6，且，
所以,解得，则，
所以方差为.
14. 在三棱锥中，，，D为AC的中点，平面ABC，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】在中，，，
由余弦定理得，
所以，设的外接圆的半径为，
则由正弦定理得，解得，
结合图形分析：

因为D为AC的中点，平面ABC，且，
在中，，，
又，则圆心到点的距离为，
另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，
则中，，即，
直角梯形中，，即，
解得，，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求的单调区间和极小值．
解：（1）因为，定义域为0,+∞，
所以，，则，
又，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，即，
令得，令得，
故所求三角形的面积为．
（2）因为，，
令得或，
令得或，令得，
又函数的定义域为0,+∞，
所以的增区间为，，减区间为，
所以的极小值为．
16. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）求的分布列及期望．
解：（1）情况1：在接下来的比赛中，甲连赢局，则甲获胜，
概率为；
情况2：在接下来的比赛中，前局甲赢局，负局，第局甲赢，则甲获胜，
概率为.
所以甲获得这次比赛胜利的概率为.
（2）的可能取值为，
时，在接下来的比赛中，乙连赢局，
所以，则，
所以的分布列为：
数学期望.
17. 在三棱锥中，，，，为线段的中点．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：作面，，
如图，以中点为原点建立如下空间直角坐标系，
所以，因为，
所以，是等边三角形，设，
因为为线段的中点，所以，，
故，所以，，
得到，
因为，所以，
而，，
所以，
解得，所以，，
所以，设，因为是等边三角形，
所以，故，而，，
所以，解得，所以，
因为，所以，
，故，
由两点间距离公式得，解得，
所以，故，
而，可得，故得证.
（2）解：由上问得，，
设面的法向量为，
所以，故得到，
令，解得，，所以，
而，，
设面的法向量为，
所以，故得到，
令，解得，，所以，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．
（1）解：因为双曲线的实轴长为6，所以，
因为双曲线的离心率为，所以，解得，
由，得，则C的方程为．
（2）证明：设，，因为直线过定点B-2,0，显然直线l不垂直于轴，则设直线，
联立方程组，消去x得，
由，得，
则，，
因为A为双曲线C的左顶点，所以，
直线AE的斜率，直线AF的斜率，
所以
，
即直线AE与AF的斜率之积为定值．
19. 若n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”．
（1）设数列是项数为7的“对称数列”，，若成等差数列，且，试写出所有可能的数列．
（2）已知递增数列的前n项和为，且．
①求的通项公式；
②组合数具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记，求．
解：（1）因为成等差数列，所以，
又，所以，则，
①当时，，
则所以可能数列为：；；；；
①当时，
由，解得，，
当时，由，且，，所以不合题意舍去；
所以可能数列为：；；；；；；；；；；；．
综上，所有可能的数列为：；；；；；；；；；；；；；；；．
（2）①当时，，则；
当，，
所以，
因为递增数列，且，所以时，，
所以，即，
所以为首项为，公差为的等差数列，；
②
，
设，
两边求导得，，
令，则，所以，
所以，
设，则，
两式相减得，
所以，所以．