[数学][一模]河南省安阳市林州市部分学校2023届高考试卷(解析版)

这是一份[数学][一模]河南省安阳市林州市部分学校2023届高考试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
2. 已知全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为全集，，
所以，所以.
故选：C.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】向量，若，
则，则.
故选：D.
4. 已知，直线，若点满足，过点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】点满足，所以点是以为焦点的椭圆，
所以点的轨迹为，
联立，消去得，
，
所以直线与椭圆相离，
设与直线平行的直线方程为，
联立，消去得
令，解得，
当时，，可得的最大值为，
当时，，可得的最小值为，
故选：A.
5. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形、现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为，
设圆锥的母线长为，
则，所以，
所以该圆锥的表面积为.
故选：D.
6. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，不等式，
令函数，求导得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，则，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
7. 已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为，高为3，则该棱台外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图为正三棱台，分别为正三棱台上下底面的中心，
则该棱台外接球的球心在直线上，
设上下底面外接圆的半径分别为，棱台外接球的半径为，
则，所以r1=1,r2=2，
因为，则球心在三棱台内部，即线段上，
设OO1=x，
由勾股定理可得，解得，所以，
所以该棱台外接球的体积为.
故选：A.
8. 已知函数定义域均为为奇函数，为偶函数，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为奇函数，为偶函数，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，则，
所以①，
所以，
所以，
即，
所以函数是以为周期周期函数，
由①得，
所以，
所以，
所以
.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日，赛龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍，一个袋中装有大小一样的4个豆沙粽、2个成肉粽，现从中随机地取3个粽子，设取出的3个粽子中成肉粽的个数为X，则（ ）
A. 的所有可能取值为0，1，2，3B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为袋中装有4个豆沙粽、2个成肉粽，从中随机地取3个粽子，
所以的所有可能取值为0，1，2，
且，，，
则，
.
故选：BCD.
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为D.
【答案】ABD
【解析】由，得，
则分别为直线与函数的图象交点的横坐标，
而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线与互相垂直，
因此点与关于直线对称，则，
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，函数单调递增，，，
则，，即，，C错误；
对于D，显然，因此，D正确.
故选：ABD.
11. 设抛物线的焦点为为抛物线上一动点．当点运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点，则（ ）
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为8
C. 以为直径的圆与轴相切
D. 若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点
【答案】ACD
【解析】对于A：因为抛物线的准线为，设点到的距离为，
则，解得，
所以抛物线的方程为，故A正确；
可得抛物线的方程为的焦点，准线.
对于B：若，则，解得，即点在抛物线内，
可得，
当且仅当点为过点作的垂线与抛物线的交点时，等号成立，故B错误；
对于C：设的中点为，过作y轴的垂线，垂足为，
则，
因为，可得，
所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：设直线，
联立方程，消去x得，
则，
可得，
，
即的中点，
若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则，
即，整理得，即，
此时，满足题意，
此时直线过焦点，故D正确；
故选：ACD.
12. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】设，则，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
由，可得，
即，又，，则
则，则，故选项A判断正确，选项C判断错误；
构造函数，
则（当且仅当时等号成立）
则在R上单调递增，又，
则当时，，即，，
则，
又，当时单调递减，
则，则
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 展开式中的系数为60，则实数______．
【答案】
【解析】展开式的通项为，
令，则，
所以展开式中的系数为，解得.
14. 写出一个过点和点的圆的方程：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，不妨求以为直径的圆，
因为点和点，所以，
的中点为，则以为直径的圆的方程为.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则图象的对称中心为______．
【答案】
【解析】由在上单调递增，在上单调递减可得，
解得，
又，解得，
解得
所以当时，，所以，
令，得，
所以图象的对称中心为.
16. 在正四面体中，M为线段AC上一点，且，点N为线段BC的中点，则直线与平面所成角的正切值是_____．
【答案】
【解析】如图，过点A作AO垂直底面，垂足为O，连接，
因为平面，则，，
过点M作于G，连接NG，
又，则且，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
则即为直线与平面所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2，则，
所以，则，
在中，
则由余弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值是．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）设等差数列an的公差为，
由，得，解得，
所以；
（2）由（1）得，
所以.
18. 已知的内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若为线段上一点，且，求的长．
解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，所以，所以，即.
（2）由题意知，
由余弦定理可得，即，
整理得，解得或（舍去）.
因为，
所以，
故
.
所以，即的长为.
19. 如图，圆锥的顶点为，其母线长为3，点都在底面圆上，为直径，且，设分别是母线上靠近点的三等分点．

（1）证明：．
（2）当时，求二面角的余弦值．
（1）证明：因为，，，所以，
则，在圆锥中，平面，平面，则，即,
又因为为直径，则，
又，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为分别是母线上靠近点的三等分点，
所以且，
又，所以，即.
（2）解：由得，均为等边三角形，则，
如图，以为坐标原点，垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，，

的高为，则，，
则，，，，，，
分别是母线上靠近点的三等分点，
所以，则，
，则，
，，，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，则，
令，则，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，则，
令，则，
因为，所以，
故二面角的余弦值为.
20. 某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下：
经计算得，，，，其中表示工龄为i年的年薪，．
（1）求年薪与工龄i（）的相关系数r，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）．
（2）在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01）
附：样本的相关系数，，，， ．
解：（1）计算相关系数
，
因为，所以可认为年薪与工龄不具有线性相关关系．
（2）因为，，
所以在之内的范围是，
显然第13号员工不在此范围之内，所以需要对余下的员工进行计算，
剔除离群值后，剩下的数据平均值为，
因为，
所以，
所以剔除离群值后样本方差为，
故剔除离群值后样本标准差为．
21. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有三个不同的零点，求a的取值范围.
解：（1）当时，，，
当x1时，，
在上单调递减，在上单调递增.
（2）由有三个不同的零点，
有三个不同的根，又不是方程的根，
有三个不同的根，
令，，即与有三个不同的交点，
，
在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，的极小值为，
又为过点的直线，斜率为，
由与有三个不同的交点，且，
直线的斜率，
，即a的取值范围为.
22. 如图，已知直线，M是平面内一个动点，且MA与相交于点A（A位于第一象限），，且MB与相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′:，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．
解：（1）设，所在直线方程为，
联立方程得，
同理，
，
所以四边形OAMB的面积为：
，
所以，
所以动点M的轨迹C的方程为．
（2）假设存在定直线l′：，使为定值．
设，PQ中点，直线l方程为，
联立方程，
由，得，
，
，
，
设G到直线l′：的距离，
，
因为为定值，所以为定值．
由为定值，
故即，即当时，为定值，
此时．
所以存在定直线，使为定值．工龄（年）
1
2
3
4
5
6
7
8
年薪（万）
9.95
10.12
996
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
工龄（年）
9
10
11
12
13
14
15
16
年薪（万）
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95