四川省内江市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份四川省内江市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数，再求出共轭复数作答.
【详解】依题意，，所以复数的共轭复数.
故选：B
2. 在下列各组向量中，可以作为基底一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为作基底，即可得出结论．
【详解】对于A，，所以，共线，不能作为基底；
对于B，，所以，共线，不能作为基底；
对于C，，所以，共线，不能作为基底；
对于D，，所以，不共线，可以作为基底．
故选：D．
3. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值(单位：)变化的折线图，关于日均值说法正确的是（ ）
A. 这10天日均值分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C. 前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D. 这10天的日均值的中位数为41
【答案】B
【解析】
【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】对于A，将10天中的日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据分位数的定义可得，这10天中日均值的分位数是，故选项A错误；
对于B，前5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，故选项B正确；
对于C，由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值波动性小，所以前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差，故选项C错误；
对于D，这10天中日均值的中位数为，故选项D错误．
故选：B
4. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件作图可得为直角三角形，结合条件，并根据根据投影向量的概念求解即可
【详解】
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，
所以,
如图：
因，所以，即，所以，
向量在向量上的投影数量为：
故选：A
5. 已知，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据二倍角公式、平方关系、商数关系构建齐次式从而得关于的方程，结合角度范围即可得求得的值.
【详解】由于，所以，
整理得，解得或
又，所以，则.
故选：A.
6. 已知，是不共线向量，且，，，则（ ）
A. B，C，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线D. A，B，D三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量共线定理求解.
【详解】因为，
所以，，，
若B，C，D三点共线，则，即，无解，故A错误；
若A，B，C三点共线，则，即，无解，故B错误；
若A，C，D三点共线，则，即，解得，故C正确；
若A，B，D三点共线，则，即，无解，故D错误.
故选：C.
7. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A. 8B. 4C. 16D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先根据，得到，再根据，得到，进而求出的取值范围，再根据，即可求解．
【详解】因为，所以，所以，

由，所以，化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，则的最小值为.
故选：A．
8. 八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（ ）

A. 39B. 48C. 57D. 60
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出A、C的坐标，再根据已知条件可得P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称，设出P、Q坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得，进而可求得其最大值.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系，

因为正八边形的每个内角为，
所以，
所以，
又因为，
所以，，
由题意知，P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称，
所以设，则，
所以
，（），
所以当时，取得最大值为.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表，如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）

A. 2022年农村居民人均可支配收入增长额超过城镇居民人均可支配收入增长额
B. 2022年城镇居民收入增长率快于农村居民
C. 从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕
D. 2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%
【答案】CD
【解析】
【分析】从图甲的柱状图分别计算2022年城镇居民、农村居民人均可支配收入增长额即可判断A；从图甲的折线图即可看出增长率可判断B；从图乙可看出2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，再结合题目所给的恩格尔系数的比例即可判断C；从图乙可看出2022年食品烟酒和居住占比，相加即可判断D．
【详解】对于选项A，从图甲可知，2022年城镇居民人均可支配收入增长额为，2022年农村居民人均可支配收入增长额为，故A错误；
对于选项B，从图甲可知，2022年城镇居民收入实际增速为，2022年农村居民收入实际增速为，故B错误；
对于选项C，从图乙可知，2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，属于的范围，故C正确；
对于选项D，从图乙可知，2022年食品烟酒和居住占比为，故D正确．
故选：CD．
10. 从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（ ）
A. “三个都为偶数”和“三个都为奇数”B. “至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C. “至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D. “一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
【答案】AD
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断即可.
【详解】从1~9中任取三数，按这三个数的奇偶性分类，有四种情况：
（1）三个均为奇数；（2）两个奇数一个偶数；（3）一个奇数两个偶数；（4）三个均为偶数，所以选项A、D互斥但不是对立事件，选项C是对立事件，选项B不是互斥事件.
故选：AD.
11. 对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则△ABC为等腰三角形
B. 若，，，则符合条件的△ABC有两个
C. 若，则△ABC为等腰直角三角形
D. 若，则△ABC是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由余弦函数的性质判断，对于B，由正弦定理分析判断，对于C，由正弦定理统一成角的形式，再化简判断，对于D，利用正弦定理和余弦定理分析判断.
【详解】对于A，因为，，所以，所以为等腰三角形，故正确
对于B，由正弦定理得：，
因为，所以，即，所以或，则三角形有两解，故B正确；
对于C，在中，，由正弦定理得，即，
因为，所以或，即或，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，由余弦定理得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故D正确；
故选：ABD．
12. 已知函数，以下说法中，正确的是（ ）
A. 函数关于点对称
B. 函数在上单调递增
C. 当时，的取值范围为
D. 将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为，
对于A，由，即，所以对称中心为，
令，得到一个对称中心为，所以A错误；
对于B，当时，，由的图像与性质知，在上单调递增，所以B正确；
对于C，当时，，所以，
所以，所以C正确；
对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，得到图像对应的解析式为，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先将复数化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数的取值范围.
【详解】复数，因为复数对于的点在第四象限，
所以，解得：.
故答案为：
14. 某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取__________人．
【答案】21
【解析】
【分析】由分层抽样定义按比例计算可得.
【详解】设男生就抽取人，则，解得．
故答案为：21.
15. 一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于___________；该圆锥的体积等于___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；求出圆锥的底面半径和高可得圆锥的体积.
【详解】因为扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于；
设圆锥的底面半径为，所以，解得，
则圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故答案为：；.
16. 在中，由以下各个条件分别能得出为等边三角形的有：______.
①已知且；②已知且；
③已知且；④已知且.
【答案】①③
【解析】
【分析】根据余弦定理求得边的关系即可判断①，利用正弦值求解角即可判断②，利用边的关系及完全平方式判断③，利用正弦定理及二倍角求出角判断④.
【详解】对于①，因为，所以，由余弦定理得，，
又，所以，所以，所以，所以，
所以为等边三角形；
对于②，因为，，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以为等腰三角形；
对于③，因为且，所以，所以，所以，
又，所以，所以为等边三角形；
对于④，因为，所以，即，所以，
所以或，所以或，
当时，，所以，所以为等边三角形；
当时，，所以，所以为直角三角形；
故答案为：①③
【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）如果题目给的边的关系，往往配方找到边的等量关系判断，（2）利用余弦定理化边为角，判断三角形的形状，（3）利用正弦定理化角为边，利用边长关系判断三角形的形状，其中边角互化是解决此类问题的关键.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，求下列式子的值．
（1）为第二象限角，求；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式得，再结合三角函数的商的关系以及同角的平方和关系即可解出，则得到答案；
（2）利用弦化切即可得到答案.
【小问1详解】
利用诱导公式化简，
又由，得，
又由为第二象限角，，
可得， 解得（负舍），
再由得出，
进而得出.
【小问2详解】
由
分子分母同除以可得，
再由（1）中可得，
故得出.
18. 已知向量的夹角为，且，，．
（1）求；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据模长公式即可求解，
（2）根据向量垂直可得数量积为0，即可求解.
【小问1详解】
由，
得．
【小问2详解】
由题设得，
则，
解得．
19. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”，黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一､明代旅行家､地理学家徐霞客两游黄山，赞叹说：“登黄山天下无山，观止矣!”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求x的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；
（3）若2022年黄山景区累计接待进山游客约140万人，试估计满意度评分不低于70分的人数.
【答案】（1）
（2）
（3）万人
【解析】
【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；
（2）由百分位数的定义，结合直方图求40%分位数；
（3）用满意度评分不低于70分的频率乘以游客总人数即可.
【小问1详解】
由图知：，可得.
【小问2详解】
由，
所以40%分位数在区间内，令其为，则，
所以.
【小问3详解】
由题意，估计满意度评分不低于70分的人数为万人.
20. 已知函数
（1）求函数的最小正周期及函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）最小正周期；单调递减区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得单调区间；
（2）由x的范围和三角函数的性质逐步求解可得值域．
【小问1详解】
∵，
∴的最小正周期；
令，，解得：，，
∴的单调递减区间为，；
【小问2详解】
当时，，
∴，∴
即在上的值域为
21. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.

（1）求点D到塔底B的距离；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长；
（2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得.
【小问1详解】
由题意可知，，故，
在中， 由正弦定理， 得，即，
所以（米）.
因此点D到塔底B的距离为米；
【小问2详解】
在中， 由正弦定理， 得，
得
，
在中，，
所以铁塔高为米.
22. 已知平面向量，，函数．
（1）求的单调增区间．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，，求△ABC周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；
(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.
【小问1详解】
，
所以令，解得，
所以函数的单调递增区间为;
【小问2详解】
因为，即，解得，即，
因为A为三角形的内角，所以，
又因为，所以，即即，解得，
又因为a，b，c是的边，所以，故△ABC周长.
所以周长的取值范围是.