2024年山西省中考模拟预测数学试题

这是一份2024年山西省中考模拟预测数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第十四届国际数学教育大会等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑.）
1.下列实数中，是无理数的是（ ）
A.2024B.C.D.
2.山西运城高台花鼓是一种古老的传统民间鼓乐舞蹈，源远流长.某校将腰鼓作为特色教育项目引入校园，强健学生体魄，弘扬传统文化.如图为腰鼓实物图，则其三视图中正确的是（ ）
A.B.C.D.
3.“双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少.如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙平均每天完成家庭作业花费的时间相同
B.乙完成家庭作业的平均效率比甲高
C.同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间最长相差1h
D.乙完成家庭作业所花费的时间比甲稳定
4.抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一.如图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则的度数为（ ）
图1 图2
A.125°B.115°C.105°D.95°
5. 1月23日晚，董宇辉带货《人民文学》杂志，短短四个小时，售出杂志超8.26万套，销售额更是超过了1785万，让文化成为爆款.1785万用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
6.已知锐角中，O是AB的中点，小明、小英二人想在AC线段上找一点P，使得为直角，其做法如图.对于小明、小英二人的做法，正确的是（ ）
A.只有小明正确B.只有小英正确C.两人都正确D.两人都不正确
7.“朝三暮四”是一个源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们非常满意.问老翁每天给猴子的食物总量共多少千克？设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等式正确的是（ ）
A.B.
C.D.
8.第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份.则八进制数2024换算成十进制数是（ ）
A.1044B.1048C.1024D.1028
9.如果，点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.因式分解：______.
12.已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则______.
13.“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车.他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上.根据所学知识，该时段动车的平均速度是______米/秒.
14.琮为内圆外方之器，如图1，此玉琮素面琢磨细腻，色泽温润，两端射口稍露，比例恰到好处.图2是“琮”的横截面示意图，其“外方”是一个正方形，“内圆”圆O的圆心与正方形的中心重合，正方形的四个角上各有一个腰长为4cm的等腰直角三角形，圆O与其斜边相切，若圆O的半径为，则正方形的边长为______cm.
图1 图2
15.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G.过点A作，垂足为点M，交边CD于点N.若，，则线段AN的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.（本题共2个小题，每小题4分，共8分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中.
17.（本题8分）如图，AB是的直径，点C是上的一点，射线，，.CP与相切时，连接CP，求BP的长。
18.（本题8分）中国古典四大名著是悠悠中国文学史上灿烂辉煌的一笔.是世界宝贵的文化遗产.某中学鼓励学生研读四大名著，并举行了分享研读心得比赛，每个年级有20名同学参加决赛.七、八各年级决赛选手中前8名学生的比赛成绩统计如下图：
根据图中信息，解答下列问题：
（1）八年级前8名学生中，比赛成绩的众数为______分；
（2）七年级前8名学生中，比赛成绩的中位数为______分；
（3）在分享会上老师采取抽签的形式决定分享内容，规则如下，在四张完全相同的卡片正面分别写了A《水浒传》，B《西游记》，C《三国演义》，D《红楼梦》，然后背面朝上，洗匀放好.由满分同学随机抽取一张，分享该卡片上的名著，然后放回.用列表或画树状图的方法求八年级的两名满分同学分享同一本名著的概率.
19.（本题9分）图1是某路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形，信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形.灯杆AC高1.5m，太阳能板，且D，E是靠近N，Q的三等分点，支架.经过调研发现，当太阳能板MN与支架AD所成的，且支架AD与灯杆AC所成的时，太阳能板接收的光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时点M到底座上底面的距离.（结果精确到1cm）
（参考数据：，，，）
图1 图2
20.（本题9分）阅读与思考
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下：
图1 图2
如图1：已知点P是外一点，PF是切线，F是切点，PBA是割线，点A，B是它与的交点，求证：.
证明：连接FO并延长交于点C，连接AF，BF，BC.
∵PF是的切线，.
∵CF是的直径，（依据：______）.
，.
又（依据：______），
.
……
任务：
（1）完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；
（2）把证明过程补充完整；
（3）如图2，已知AB是的直径，AC是的切线，A为切点，割线CF与AB交于点E，且满足，，求AB的长.
21.（本题9分）项目式学习
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行.
图1 图2
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带.围绕这个问题，该小组开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习.
任务一 测量建模
建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米.
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
任务二 推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为d米.
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由.
22.（本题11分）综合与实践
图① 图② 图③
【问题探究】如图①，在正方形ABCD中，，点E为DC上的点，，连接BE，点O为BE上的点，过点O作交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度.
【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，，，连接BD，过BD的中点O作交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度.
【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地，记作平行四边形ABCD.测得米，米，.为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这条小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路MN（小路面积忽略不计）.直接写出新开出的小路的长度.
23.（本题13分）综合与探究
在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.连接BC.
图1 图2
（1）求点A和点C的坐标和直线BC的解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，交BC于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2024年山西省初中学业水平测试信息卷
数学参考答案
一、（每小题3分，共30分）
1-5 DACCB 6-10 CDADA
二、（每小题3分，共15分）
11、 12、15°13、
14、1015、
三、（本大题共8个小题，共75分）
16、解（1）原式
……4分
（2）原式
……7分
当时，原式.……8分
17、解：如图，连接OP，BC，OC.
∵AB是的直径，，，……1分
.，
∴PB为的切线.
∵PC与相切，
，.……2分
∴OP垂直平分BC.
，，
.
，
.……5分
，即.……6分
.……8分
18、解：（1）90……1分
（2）80……2分
（3）列表如下：
……6分
由表格可知一共有16种等可能性的结果数，其中两名满分同学分享同一本名著的结果数有4种，
∴八年级的两名满分同学分享同一本名著的概率为.……8分
19、解：如图，过点D作BA的垂线，交BA延长线于点F，过点M作DF的垂线，交DF于点G，连接MP交BA延长线于点H，
，.
且由题意可知，四边形MGFH是矩形，……1分
.
，.
在中，，，
又，
.……4分
，且D是靠近N的三等分点，
.
，.
在中，，
，
，……7分
……8分
答：点M到底座上底面的距离为265cm.……9分
20、（1）直径所对的圆周角是直角 同弧所对的圆周角相等……2分
（2）证明：……
又，
.
.
.……5分
（3）解：如图，连接AD，BF，
，
∴设，，，则.
∵AC是的切线，CF是割线，
∴由切割线定理得，则，
解得或（舍去），
，，，则.
∵AB是的直径，AC是的切线，
.
.
，，
，则.……7分
，
.……9分
21、解：（1）由题意得：上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
解得：，……2分
∴上边缘抛物线的函数解析式为.……3分
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，……4分
当时，
解得，（舍去），
∴点B的坐标为；……6分
（3）米，米，米，
∴点F的坐标为，……7分
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.……9分
22、【问题探究】
解：如图，过点M作于点G，交BE于点H，
.
，
.
，，，
.
∵四边形ABCD是正方形，
，.
，
.
在和中，，
.
.……2分
，，
.
在中，，
；……4分
【类比迁移】
如图，过点M作于点K，交BD于点L，
.，.
，，，
.
∵四边形ABCD是矩形，
，，.……5分
，，
在和中，，
.
.……7分
∵在中，，
；……9分
【拓展应用】……11分
23、解：（1）将代入中，得，，……1分
将代入中，得，，
∴，.……2分
设直线BC的解析式为，
，解得.
∴直线BC的解析式为.
∴，，
直线BC的解析式为；……3分
（2）过点D作轴于点G，交BC于点F，过点A作轴交BC的延长线于点K，
，.
.……4分
∵将A点横坐标代人中得，
.
.……5分
设，则，
，……6分
，
∴当时，有最大值，最大值为；……8分
（3）合条件的点P的坐标为或.
理由如下：
，
∴直线l的解析式为.
设，
①当点P在直线BQ右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作于点M，
∵，，，
，，，
，
.
，
.
，
.
.
.
.
，.
.……10分
，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去），，
.
②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为，
此时点P的坐标为，……12分
综上所述，存在这样的点P，且坐标为或.……13分
小明的作法
过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求
小英的作法
以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求
A
B
C
D
A
B
C
D