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湘教版（2019）第1章 数列1.3 等比数列课前预习课件ppt
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这是一份湘教版（2019）第1章 数列1.3 等比数列课前预习课件ppt，共55页。PPT课件主要包含了巩固等比数列的概念，巩固等比中项的定义，对比小结，特殊设项求解等比数列，课后练习，等比数列的性质，巩固等比数列的性质，综合练习，等比数列的实际运用等内容，欢迎下载使用。
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数"，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：2，4，8，16，32，64，… ⑤
实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？
取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
新知1.等比数列的概念
若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列；这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
注：①等比数列的每一项和公比都不为0.
如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列； 0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列；
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
(5) 0,1,2,4,8,…
(6) 2,0,2,0,2,…
(7) 1,a,a2,a4,a8,…
a≠0时，是等比数列，公比为aa=0时，不是等比数列
所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号
等比数列的通项公式的推导
不完全归纳法得an=a1+(n-1)d
不完全归纳法得an=a1qn-1
累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2
新知2.等比数列的通项公式
巩固：等比数列的通项公式
新知3.等比中项的定义
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab； 而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.
③一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项 an+1的等比中项.
(同课本P29-例1)
课本P31-3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q.
课本P30-例3.数列{an}共5项, 前3项成等比数列, 后3项成等差数列, 第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136, 第1项与第5项的和等于132, 求这个数列.
5.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
小结1：特殊设项求解等比数列(对称设项)
1.与等差数列有关的数的设项技巧：
(1)如果是三个数成等差数列，可设为a－d, a, a+d或a, a+d, a+2d
(2)如果是四个数成等差数列，可设为a－2d, a－d, a+d, a+2d
2.与等比数列有关的数的设项技巧：
课本P37-4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比．
小结2：等比数列的判定方法
巩固：等比数列的判定方法
练习2.有4个数,其中前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,并且第1个数与第4个数的和是16,第2个数与第3个数的和是12,求这4个数.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
等比数列 的性质
新知4.等比数列的性质
性质3.等比数列{an}中，下标成等差数列的项仍成等比数列
推论1：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…
等式左右两边的项数相同
解：(法1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
9.已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25且a1, a11, a13成等比数列，则a1＋a4＋a7＋…＋a28＝________.
课本P34-1.求满足下列条件的数：(1)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；(2)在160与﹣5中间插入4个数，使这6个数成等比数列.
(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1, b4, bt(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在, 请指出符合题意的m的个数；若不存在, 请说明理由．
若存在m，使b1, b4, bt成等差数列，则2b4=b1+bt，
∵ 数列{an}是递增数列，
等比数列 应用题
课本P31-例4.用10000元购买某个理财产品一年.(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
课本P33-例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
0.9+0.4%(n－1)
1050·1.05n－1
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}. 由题意知，an=1050×1.05n－1，其中n=1,2,…,24，bn=1－[90%＋0.4%(n－1)]=0.104－0.004n，其中n=1,2,…,24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n－1×(0.104－0.004n)=1.05n×(104－4n),
由计算工具（精确到0.1），并列表，
可发现{an}先递增，在第6项后递减，且a13b13<100
列表可发现{an}先递增，在第6项后递减，且a13b13<100
故生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内.
小结：证明数列单调性的方法
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数"，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：2，4，8，16，32，64，… ⑤
实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？
取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
新知1.等比数列的概念
若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列；这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
注：①等比数列的每一项和公比都不为0.
如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列； 0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列；
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
(5) 0,1,2,4,8,…
(6) 2,0,2,0,2,…
(7) 1,a,a2,a4,a8,…
a≠0时，是等比数列，公比为aa=0时，不是等比数列
所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号
等比数列的通项公式的推导
不完全归纳法得an=a1+(n-1)d
不完全归纳法得an=a1qn-1
累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2
新知2.等比数列的通项公式
巩固：等比数列的通项公式
新知3.等比中项的定义
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab； 而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.
③一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项 an+1的等比中项.
(同课本P29-例1)
课本P31-3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q.
课本P30-例3.数列{an}共5项, 前3项成等比数列, 后3项成等差数列, 第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136, 第1项与第5项的和等于132, 求这个数列.
5.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
小结1：特殊设项求解等比数列(对称设项)
1.与等差数列有关的数的设项技巧：
(1)如果是三个数成等差数列，可设为a－d, a, a+d或a, a+d, a+2d
(2)如果是四个数成等差数列，可设为a－2d, a－d, a+d, a+2d
2.与等比数列有关的数的设项技巧：
课本P37-4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比．
小结2：等比数列的判定方法
巩固：等比数列的判定方法
练习2.有4个数,其中前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,并且第1个数与第4个数的和是16,第2个数与第3个数的和是12,求这4个数.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
等比数列 的性质
新知4.等比数列的性质
性质3.等比数列{an}中，下标成等差数列的项仍成等比数列
推论1：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…
等式左右两边的项数相同
解：(法1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36， ∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.
9.已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25且a1, a11, a13成等比数列，则a1＋a4＋a7＋…＋a28＝________.
课本P34-1.求满足下列条件的数：(1)在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；(2)在160与﹣5中间插入4个数，使这6个数成等比数列.
(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1, b4, bt(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在, 请指出符合题意的m的个数；若不存在, 请说明理由．
若存在m，使b1, b4, bt成等差数列，则2b4=b1+bt，
∵ 数列{an}是递增数列，
等比数列 应用题
课本P31-例4.用10000元购买某个理财产品一年.(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？
课本P33-例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
0.9+0.4%(n－1)
1050·1.05n－1
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}. 由题意知，an=1050×1.05n－1，其中n=1,2,…,24，bn=1－[90%＋0.4%(n－1)]=0.104－0.004n，其中n=1,2,…,24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n－1×(0.104－0.004n)=1.05n×(104－4n),
由计算工具（精确到0.1），并列表，
可发现{an}先递增，在第6项后递减，且a13b13<100
列表可发现{an}先递增，在第6项后递减，且a13b13<100
故生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内.
小结：证明数列单调性的方法
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