2024年湖南省初中学业水平考试数学联考试题（一）

这是一份2024年湖南省初中学业水平考试数学联考试题（一），共10页。试卷主要包含了下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：1．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上．
2．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，填写在试卷上无效．
3．本学科为闭卷考试，考试时长为120分钟，满分120分．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1．实数0，，2，中最小的是（ ）
A．0B．C．2D．
2．下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．湖南省2023年社会消费品零售总额首次突破2万亿，达到20203.34亿元．将20203.34用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，OC是的平分线，OD是的平分线，则（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．下列调查工作需采用抽样调查方式的是（ ）
A．某县教育局调查全县初中学生的数学学科素养情况
B．调查某班学生每天学习数学的时长
C．了解某班每位同学跑400米所需要的时间
D．学校对全校各班安装的投影仪是否能正常工作进行调查
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是关于x的方程的两个根，且，则（ ）
A．B．1C．D．4
8．如图，在四边形ABCD内部，若，则（ ）
A．36°B．76°C．140°D．176°
9．如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板ABC．已知木块M，N的高分别为6cm，16cm，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在DE上，则两木块之间的距离为（ ）
A．22cmB．14cmC．11cmD．10cm
10．如图1，在矩形ABCD中，点M从点A出发，以固定的速度沿AB→BC→CD运动到点D停止，连接DM，设点M的运动距离为x，DM的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为BC的中点时，的面积为（ ）
A．5B．8C．D．12
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．分式有意义的条件是______．
12．分解因式：______．
13．小明和小红两人分别从M，N两个博物馆中选择一个参观，则小明和小红选到同一博物馆的概率为______．
14．如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，且，若，则AC的长为______．
15．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，且，则______m．
16．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋______斤．
17．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于E，F两点，再分别以E，F两点为圆心，以AE长为半径画弧，交于直线BC另一侧的点M处，连接AM交BC于点D，则______．
18．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．
根据此规律确定a的值为______，b的值为______，x的值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解关于x的不等式组：
20．（6分）2024年的春晚设立了四个分会场，它们分别是A（新疆喀什）、B（陕西西安）、C（辽宁沈阳）、D（湖南长沙）．某班组织了一次“你喜欢的春节分会场”调查活动，每位学生从四个分会场中任选一个，选择结果的不完整折线统计图和扇形统计图如图所示．
（1）求该班的学生人数；
（2）求扇形统计图中D分会场所对应的圆心角大小；
（3）请以该班的统计数据估计全校5000名学生中有多少人选D分会场．
21．（8分）如图，BD是的对角线，在和中，DE，BF分别是边AB，CD的中线，．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）求证：是直角三角形．
22．（8分）如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于B，C两点．
（1）求a和b的值；
（2）求BC的长度；
（3）根据图象写出时x的取值范围（不需说明理由）．
23．（9分）如图，为四边形ABCD的外接圆，是等边三角形，AE是的切线，D是的中点，CD的延长线交AE于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
24．（9分）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
（1）每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
（2）该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
25．（10分）已知抛物线的顶点为A，M，N是抛物线上的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为（为常数，且），将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于B，D两点（点B在点D的左侧）．
（1）求顶点A的坐标；
（2）连接MN，若轴，求m的值；
（3）如图，在直线CD上方的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）已知直角三角板ACB中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接AD，BD．
（1）如图1，将直角三角板ACB逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）；
（2）若将直角三角板ACB顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数；
（3）若的平分线CF交BD于点G，交直线AD于点F，连接BF，试证明：．
2024年湖南省初中学业水平考试数学联考试卷（一）
参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）
10．【解析】点是从点出发的，为初始点，观察图象可知，时，，则，点从点沿向点移动的过程中，是不断增加的，而点从点沿向点移动的过程中，是不断減少的，
因此转折点为点，点运动到点时，即时，，此时，即．
在中，，由勾股定理，得，解得．
当为的中点时，，
的面积为．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11． 12． 13． 14．4 15．8 16．60 17．3
18．9 10 69【解析】根据题意，得，解得．
．
．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解：解不等式，得．
解不等式，得．
这个不等式组的解集为．
20．解：（1）该班的学生人数为（名）．
（2）选D分会场的人数为（名），扇形统计图中D分会场所对圆心角大小为．
（3）估计全校5000名学生中选D分会场的人数为（名）．
21．证明：（1）四边形是平行四边形，
．
在和中，分别是边的中线，
分别是的中点．
．
四边形为平行四边形．
又四边形是菱形．
（2）由（1）可得．
四边形为平行四边形．．
．
是直角三角形．
22．解：（1）依题意，将代入，得．
点的坐标为．
将代入，得，即．
（2）由（1）得．
当时，点的纵坐标为4．
当时，点的纵坐标为1．
．
（3）时的取值范围是．
23．（1）证明：是等边三角形，
．
连接，则．
是的切线，．
．
．
．
（2）解：为四边形的外接圆，．
是的中点，．
为直角三角形．
．
．
的面积为．
24．解：（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元．
依题意，得解得
答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元．
（2）①购进的神舟模型为个，购进的天宫模型为个．
，
即．
②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，
，解得．
随的增大而增大，为整数，
当时，（元）．
答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元．
25．解：（1），
顶点的坐标为．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线．
轴，点关于对称轴对称，
又，
，解得．
（3）存在点，使得．
过点作，与直线交于点，过点作轴于点．
点在直线的上方，点在轴上方，如图所示．
易得，
．
是等腰直角三角形．．
．
，即．
．
设直线的解析式为，由点，可得．
直线的解析式为．
令，解得（舍去）或．
点的坐标为．
26．解：（1）．
（2）补全后的图形如图①所示．
由旋转的性质可知，．
．
在等腰三角形中，，
．
（3）①当将直角三角板逆时针旋转时，如图②，
过点作，交的延长线于点．
由是的平分线，
易得是线段的垂直平分线．
．
由（1）知．
是等腰直角三角形．
．
．
又，则．
．
，
即；
②当将直角三角板顺时针旋转时，如图③，
过点作，交的延长线于点．
由是的平分线，
易得是线段的垂直平分线．
．
由（2）知．
是等腰直角三角形．．
又，则．
．
，
即．
综上所述，．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
A
C
C
B
A
D