人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.5判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】(学生版+解析)

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专题12.5 判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29462" 【题型1 已知两边找另一边，用SSS】  PAGEREF _Toc29462 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6285" 【题型2 已知两边找夹角，用SAS】  PAGEREF _Toc6285 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15572" 【题型3 一直角边一斜边用HL】  PAGEREF _Toc15572 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2213" 【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】  PAGEREF _Toc2213 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22320" 【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】  PAGEREF _Toc22320 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc456" 【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】  PAGEREF _Toc456 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc31431" 【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】  PAGEREF _Toc31431 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc13092" 【题型8 已知两角找夹边，用ASA】  PAGEREF _Toc13092 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc14066" 【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】  PAGEREF _Toc14066 \h 11知识点：判定两个三角形全等的常用思路【题型1 已知两边找另一边，用SSS】【例1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F，E，C在同一条直线上．(1)求证：AB∥CD；(2)若BC=11，EF=7，求BE的长度．【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知BE=CD，BD=CE，求证：∠B=∠C．【变式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如图，点E、F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF，求证：∠AEO=∠CFO．【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，AB=AC，BO=CO，求证：∠ADC=∠AEB．【题型2 已知两边找夹角，用SAS】【例2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ADBC中，AC∥BD，AC=BD，E，F分别是对角线AB上两点，且AE=BF，连接DE，CF．试说明：(1)CF∥DE；(2)∠BCF=∠ADE．【变式2-1】（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，D为△ABC边AC上一点，BC=CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC=CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．  (1)∠BAC与∠DEC相等吗？为什么？(2)求∠DHF的度数．【变式2-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE．  【变式2-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG=BC，连接BG,CF=AB．  【问题解决】（1）试说明：△ABG≌△CFB； 【问题探究】（2）BF与BG垂直吗？请说明理由．【题型3 一直角边一斜边用HL】【例3】（23-24八年级·河南平顶山·期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4，若边BC和B'C'上的高都是3，∠C=n°，则∠C'= ．【变式3-1】（23-24八年级·四川甘孜·期末）如图，已知∠C=∠F=90°，∠A=51°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O．(1)求证：△ABC≌△DEF．(2)求∠BOF．【变式3-2】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点F、G分别为AC、AB上的一点，接GF并延长交BD延长线于点E，若EF=AB，DF=DB，∠C+∠2=180°，求证：CB⊥AB．证明：∵BD⊥AC∴∠EDF=∠ADB=90°在Rt△EDF和Rt△ADB中，____①__ __DF=DB∴Rt△EDF≌Rt△ADB（② ）∴∠E=∠A在△ABD中∵∠A+∠1+∠ADB=180°（③ ）∴∠A+∠1=90°∴④ +∠1=90°∴∠AGE=∠E+∠1=90°∵∠C+∠2=180°∴⑤ （⑥ ）∴∠ABC=∠AGE=90°∴CB⊥AB【变式3-3】（23-24八年级·重庆·期中）如图，△ABC中，∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm，过点A作AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ=AB，则当AP= 时，△ABC和△APQ全等．【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】【例4】（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．2【变式4-1】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点， DE⊥AB于点F，且AB=DE．(1)求证：△ACB≌△EBD；(2)若DB=12．①求AC的长；②求△DCE的面积．【变式4-2】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于点E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．【变式4-3】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距19m，小林同学从教学楼B点沿BD走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得CP和AP的夹角为90°，且CP=AP，已知∠ABD=∠CDB=90°，旗杆CD的高为7m，小林同学行走的速度为0.5m/s．(1)请你求出教学楼AB的高度；(2)小林从P点到达D点还需要多长时间？【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】【例5】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，△ABC中，∠B=90°，以AC为边向右下方作△ACD，满足CA=AD，点M为BC上一点，连接AM,DM，若∠BAM=12∠CAD，BM=65，CM=135，则DM= ．【变式5-1】（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，D为AC中点，F为AB边上一点，连接FD，并延长FD至点 E，使得ED=DF，连接CE．(1)求证：△CDE≌△ADF；(2)若EF∥BC，∠A=60°，∠E=50°，求∠BCD的度数．【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，AB=AC，BD=CE．      (1)如图1，求证：∠B=∠C；(2)如图2，BE与CD相交于点O，若∠A=36°，∠B=30°，求∠DOB的度数．【变式5-3】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等，且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半．(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等？并说明理由．(2)若∠BCD=90°，试说明CD∥EF．【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】【例6】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于点E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．【变式6-1】（23-24·吉林松原·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，EF⊥AB于点F，AE=CB．求证：△AEF≌△CBD．【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， AD,BE 是 △ABC 的高线，AD与BE 相交于点F ．若AD=BD=6 ，且 △ACD 的面积为12，则AF的长度为（    ）A．1 B．32 C．2 D．3【变式6-3】（23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点C作CE∥AB，连接AE．(1)基本尺规作图：作∠ABF=∠EAC，交线段AC于点F（保留作图疯迹）；(2)求证：BF=AE．解：∵CE∥AB，∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∠BAF=∠ACE ∴△BAF≌△ACEASA，∴BF=AE（_______）【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】【例7】（23-24八年级·湖北鄂州·期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．  (1)求证：AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【变式7-1】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．  (1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．【变式7-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）已知：如图，在△ABN和△ACM中，AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM．求证：(1)BD=CE；(2)△AEM≌△ADN．【变式7-3】（23-24·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．(1)求证：△ABC≌△AFE；(2)如图2，连接AG，若∠ACB=30°，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是△BEG面积的2倍．【题型8 已知两角找夹边，用ASA】【例8】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC,BE⊥CE，下列结论∶①CE 平分∠BCD；②AB+CD=AD；③CE·BE=S四边形ABCD；④AE=DE．其中正确的有（   ）A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④【变式8-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，AB∥DE，∠1=∠2，EF=BC．求证：AF=DC．【变式8-2】（23-24八年级·辽宁阜新·期末）如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC=BF，∠OEB=∠OBE．求证：AE=BD．【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在 △ABC中， ∠ABC和 ∠ACB的平分线BD、CE相交于点 F．(1)如图1，连接AF，求证：∠BFC−∠BAF=90°(2)如图2，当∠A=60°时，若BE=4,CD=3，求BC的长．【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】【例9】（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至A'B'，连接AA'，设A'B'与AC的交点为O．(1)若B'为BC的中点，求证：△AOA'≌△COB'；(2)若AC平分∠BAA'，求∠C的度数．【变式9-1】（23-24·陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知∠B=∠E，∠BAC=∠EDF，BF=CE．求证：AC∥FD．【变式9-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点A、D、B、E在同一直线上，∠C=∠F=90°，AD=BE，∠A=∠E．(1)求证：Rt△ABC≌Rt△EDF；(2)当∠CBA=65°时，求∠E的度数．【变式9-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC>∠BAC．在∠ABC内部作∠ABE=∠BAC，BE交AC于点D．将一个含有45°角的三角板FGH如图放置，使直角边FH与BE重合，三角板FGH沿EB平移．  (1)如图1，当三角板FGH的另一条直角边FG过点A时，试证明AF=BC；(2)将三角板FGH沿EB平移至图2的位置，FG与AB交于点M，过点M作MN⊥AC，垂足为点N，试判断线段MN，MF，BC之间的关系．专题12.5 判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29462" 【题型1 已知两边找另一边，用SSS】  PAGEREF _Toc29462 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6285" 【题型2 已知两边找夹角，用SAS】  PAGEREF _Toc6285 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc15572" 【题型3 一直角边一斜边用HL】  PAGEREF _Toc15572 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2213" 【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】  PAGEREF _Toc2213 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc22320" 【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】  PAGEREF _Toc22320 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc456" 【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】  PAGEREF _Toc456 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc31431" 【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】  PAGEREF _Toc31431 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc13092" 【题型8 已知两角找夹边，用ASA】  PAGEREF _Toc13092 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc14066" 【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】  PAGEREF _Toc14066 \h 35知识点：判定两个三角形全等的常用思路【题型1 已知两边找另一边，用SSS】【例1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F，E，C在同一条直线上．(1)求证：AB∥CD；(2)若BC=11，EF=7，求BE的长度．【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．（1）证明△ABE≌△DCFSSS，则∠B=∠C，进而可证AB∥CD；（2）由题意得，EC+BF=BC−EF=4，由EC=BF，可得EC=BF=2，根据BE=EF+BF，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵EC=BF，∴EC+EF=BF+EF，即CF=BE，∵AB=DC，AE=DF，BE=CF，∴△ABE≌△DCFSSS，∴∠B=∠C，∴AB∥CD；（2）解：∵BC=11，EF=7，∴EC+BF=BC−EF=4，∵EC=BF，∴EC=BF=2，∴BE=EF+BF=7+2=9，∴BE的长度为9．【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知BE=CD，BD=CE，求证：∠B=∠C．【答案】证明见详解；【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，连接DE，根据边边边判定证明△BDE≌△CED即可得到答案；【详解】证明：连接DE，在△BDE与△CED中，∵BE=CDBD=CEDE=ED，∴△BDE≌△CED(SSS)，，∴∠B=∠C．【变式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如图，点E、F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF，求证：∠AEO=∠CFO．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据BF=DE，得BE=DF，利用SSS证△ABE≌△CDF，再利用全等三角形性质即可证明结论，明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题．【详解】证明：∵BF=DE，∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，在△ABE和△DFC中，AB=CDBE=DFAE=CF，∴△ABE≌△CDFSSS，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO．【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，AB=AC，BO=CO，求证：∠ADC=∠AEB．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA，证明△AOB≌△AOCSSS得出∠B=∠C，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】证明：如图，连接OA，在△AOB和△AOC中，AB=ACOB=OCOA=OA，∴△AOB≌△AOCSSS，∴∠B=∠C，∵∠DOB=∠EOC，∴∠B+∠DOB=∠C+∠EOC，∴∠ADC=∠AEB．【题型2 已知两边找夹角，用SAS】【例2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ADBC中，AC∥BD，AC=BD，E，F分别是对角线AB上两点，且AE=BF，连接DE，CF．试说明：(1)CF∥DE；(2)∠BCF=∠ADE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．（1）由SAS证明△ACF≌△BDE即可；（2）由SAS证明△BFC≌△AED即可．【详解】（1）解：因为AE=BF，即AE+EF=BF+EF，所以AF=BE，因为AC∥BD．所以∠CAF=∠DBE，在△ACF和△BDE中，AC=BD，∠CAF=∠DBE，AF=BE，所以△ACF≌△BDESAS，所以∠AFC=∠BED，DE=CF，所以CF∥DE．（2）解：因为∠AFC=∠BED，所以∠BFC=∠AED，在△BFC和△AED中，BF=AE,∠BFC=∠AED,CF=DE,所以△BFC≌△AEDSAS，所以∠BCF=∠ADE．【变式2-1】（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，D为△ABC边AC上一点，BC=CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC=CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．  (1)∠BAC与∠DEC相等吗？为什么？(2)求∠DHF的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)60°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用：（1）先求出∠DCE=12∠ACM=60°，再证△BAC ≌△DECSAS，可得∠BAC =∠DEC；（2）先证△CDG ≌△CBFSAS，推出∠CDG =∠CBF，结合∠DFH =∠BFC，可得∠DHF=∠FCB=60°．【详解】（1）解：∠BAC与∠DEC相等，理由如下：∵ ∠ACB=60°，CE平分∠ACM，∴ ∠DCE=12∠ACM=12180°−∠ACB=12=180°−∠60°=60°，在△BAC与△DEC中，BC=DC∠BCA=∠DCE=60°AC=EC，∴ △BAC ≌△DECSAS，∴ ∠BAC =∠DEC；（2）解：在△CDG与△CBF中，CD=CB∠DCG=∠BCF=60°CG=CF，∴ △CDG ≌△CBFSAS，∴ ∠CDG =∠CBF，又∵ ∠DFH =∠BFC，∴ ∠DHF=∠FCB=60°．【变式2-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE．  【答案】证明见解析．【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=80°，则∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAESAS即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】证明：由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=80°，∴∠BAC=∠DAE=80°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAESAS，∴BD=CE．【变式2-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG=BC，连接BG,CF=AB．  【问题解决】（1）试说明：△ABG≌△CFB； 【问题探究】（2）BF与BG垂直吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）BF与BG垂直，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形的内角和定理．（1）根据AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD=90°，根据CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD=90°，即可推出∠BAG=∠BCF，最后即可根据SAS得出△ABG≌△CFB；（2）根据垂直的定义得出∠G+∠DBG=90°，根据全等三角形的性质得出∠G=∠CBF，则∠CBF+∠DBG=90°，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，则∠BAG+∠ABD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，则∠BCF+∠ABD=90°，∴∠BAG=∠BCF，在△ABG和△CFB中，AG=BC∠BAG=∠BCFCF=AB，∴△ABG≌△CFBSAS．（2）解：BF与BG垂直，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠BDG=90°，则∠G+∠DBG=90°，由（1）可得：△ABG≌△CFBSAS，∴∠G=∠CBF，∴∠CBF+∠DBG=90°，即∠GBF=90°，∴BF⊥BG．【题型3 一直角边一斜边用HL】【例3】（23-24八年级·河南平顶山·期末）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4，若边BC和B'C'上的高都是3，∠C=n°，则∠C'= ．【答案】n°或180°−n°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作AD⊥BC于点D，过A'作A'D'⊥B'C'于点D'，可得AD=A'D'=3，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作AD⊥BC于点D，过A'作A'D'⊥B'C'于点D'，∵边BC和B'C'上的高都是3，∴AD=A'D'=3，当B、C在点D的两侧，B'、C'在点D'的两侧时，如图，  ∵AD=A'D'=3，AC=A'C'=4，∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'HL，∴∠C'=∠C=n°；当B、C在点D的同侧，B'、C'在点D'的同侧时，如图，  同理可得：∠A'C'D'=∠ACD，∠A'C'B'=∠ACB=n°；当B、C在点D的两侧，B'、C'在点D'的同侧时，如图，  ∵AD=A'D'=3，AC=A'C'=4，∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'HL，∴∠A'C'D'=∠C=n°，即∠A'C'B'=180°−∠A'C'D'=180°−n°；当B、C在点D的同侧，B'、C'在点D'的两侧时，如图，  同理可得：∠C'=∠ACD=180°−∠ACB=180°−n°；综上，∠C'的值为n°或180°−n°．故答案为：n°或180°−n°．【变式3-1】（23-24八年级·四川甘孜·期末）如图，已知∠C=∠F=90°，∠A=51°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O．(1)求证：△ABC≌△DEF．(2)求∠BOF．【答案】(1)证明见解析(2)78°【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，（1）根据HL证明两个三角形全等即可；（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；解题的关键是掌握三角形全等的判定．【详解】（1）证明：∵AE=DB，∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE，∵∠C=∠F=90°，在Rt△ACB和Rt△DFE中，AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL；（2）解：∵∠C=90°，∠A=51°，∴∠ABC=90°−∠A=90°−51°=39°，由（1）知：Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∴∠DEF=39°，∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°，∴∠BOF的度数为78°．【变式3-2】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点F、G分别为AC、AB上的一点，接GF并延长交BD延长线于点E，若EF=AB，DF=DB，∠C+∠2=180°，求证：CB⊥AB．证明：∵BD⊥AC∴∠EDF=∠ADB=90°在Rt△EDF和Rt△ADB中，____①__ __DF=DB∴Rt△EDF≌Rt△ADB（② ）∴∠E=∠A在△ABD中∵∠A+∠1+∠ADB=180°（③ ）∴∠A+∠1=90°∴④ +∠1=90°∴∠AGE=∠E+∠1=90°∵∠C+∠2=180°∴⑤ （⑥ ）∴∠ABC=∠AGE=90°∴CB⊥AB【答案】EF=AB；HL；三角形的内角和定理，∠E；EG∥BC；同旁内角互补，两直线平行．【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键．根据全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可．【详解】解：证明：∵BD⊥AC∴∠EDF=∠ADB=90°在Rt△EDF和Rt△ADB中，EF=ABDF=DB∴Rt△EDF≌Rt△ADB（HL）∴∠E=∠A在△ABD中∵∠A+∠1+∠ADB=180°（三角形的内角和定理）∴∠A+∠1=90°∴∠E+∠1=90°∴∠AGE=∠E+∠1=90°∵∠C+∠2=180°∴EG∥BC (同旁内角互补，两直线平行)∴∠ABC=∠AGE=90°∴CB⊥AB故答案为：EF=AB；HL；三角形的内角和定理，∠E；EG∥BC；同旁内角互补，两直线平行．【变式3-3】（23-24八年级·重庆·期中）如图，△ABC中，∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm，过点A作AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ=AB，则当AP= 时，△ABC和△APQ全等．【答案】8cm或16cm【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPAHL；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQAHL，此时AP=AC=16cm．【详解】解：①当P运动到AP=BC时，如图所示：在Rt△ABC和Rt△QPA中，BC=PAAB=QP，∴Rt△ABC≌Rt△QPAHL，即AP=BC=8cm；②当P运动到与C点重合时，如图所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中，AC=PAAB=QP，∴Rt△ABC≌Rt△PQAHL），即AP=AC=16cm．综上所述，AP的长度是8cm或16cm．故答案为：8cm或16cm．【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】【例4】（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为（    ）    A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明△ABC≌△CEDAAS，由DE=BC=BE−AB即可求出结果．【详解】解：∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠B=∠E=∠ACD， ∴∠ACD+∠ACB+∠BAC=180°，∵ ∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，∠BAC=∠DCE∠B=∠EAC=CD，∴ △ABC≌△CEDAAS，∴BC=DE,AB=CE，∵ AB=2，BE=6，∴ DE=BC=BE−CE=BE−AB=6−2=4，故选：C．【变式4-1】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点， DE⊥AB于点F，且AB=DE．(1)求证：△ACB≌△EBD；(2)若DB=12．①求AC的长；②求△DCE的面积．【答案】(1)见解析(2)①6；②36【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．（1）由题意知，∠ABC+∠ABD=90°，∠ABD+∠EDB=90°，则∠ABC=∠EDB，证明△ACB≌△EBDAAS；（2）①由题意知，CE=BE=12BC，由△ACB≌△EBDAAS，可得AC=BE=12BC=12BD，计算求解即可；②根据S△DCE=12CE×BD，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵∠DBC=90°，∴∠ABC+∠ABD=90°，∵DE⊥AB，∴∠DFB=90°，即∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ABC=∠EDB，∵∠ACB=∠EBD，∠ABC=∠EDB，AB=DE，∴△ACB≌△EBDAAS；（2）①解：∵点E是BC的中点，∴CE=BE=12BC，由（1）可知，△ACB≌△EBDAAS，∴AC=BE,BC=BD，∴AC=BE=12BC=12BD=6，∴AC的长为6；②解：由题意知，S△DCE=12CE×BD=12×6×12=36，∴△DCE的面积为36．【变式4-2】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于点E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明∠ABE=∠FAD，根据AAS即可得到答案．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠DAB+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠DAB=90°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD，在△BEA和△ADF中，∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°BE=AD，∴△BEA≌△ADF(AAS)．【变式4-3】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距19m，小林同学从教学楼B点沿BD走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得CP和AP的夹角为90°，且CP=AP，已知∠ABD=∠CDB=90°，旗杆CD的高为7m，小林同学行走的速度为0.5m/s．(1)请你求出教学楼AB的高度；(2)小林从P点到达D点还需要多长时间？【答案】(1)12m(2)24s【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；（1）先证明∠CPD=∠PAB，再结合CP=AP，即可得到结论；（2）利用路程除以速度即可得到答案．【详解】（1）解：∵CP和AP的夹角为90°，∴∠APB+∠CPD=90°．∵∠ABD=90°，∴∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPD=∠PAB．在△CDP和△PBA中，∠CPD=∠PAB∠CDP=∠PBACP=PA，∴△CDP≌△PBA(AAS)，∴CD=PB，PD=AB．∵CD=7m，∴PB=7m．∵BD=19m，∴PD=12m，∴AB=12m．答：教学楼AB的高度为12m．（2）12÷0.5=24(s)．答：小林从P点到达D点还需要24s．【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】【例5】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，△ABC中，∠B=90°，以AC为边向右下方作△ACD，满足CA=AD，点M为BC上一点，连接AM,DM，若∠BAM=12∠CAD，BM=65，CM=135，则DM= ．【答案】5【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．延长CB到E，使BE=BM，连接AE，先证明△ABE≌△ABMSAS，得到∠BAE=∠BAM，AE=AM，再证明△EAC≌△MADSAS，得到EC=DM，即可由DM=EB+BM+CM=2BM+CM，进而即可求解．【详解】解：延长CB到E，使BE=BM，连接AE，如图，∵BE=BM，∠ABE=∠ABM=90°，AB=AB，∴△ABE≌△ABMSAS，∴∠BAE=∠BAM，AE=AM，∴∠BAM=12∠EAM，∵∠BAM=12∠CAD，∴∠EAM=∠CAD，∴∠EAM+∠CAM=∠CAD+∠CAM，∴∠EAC=∠MAD，在△EAC与△MAD中，AE=AM∠EAC=∠MADAC=AD，∴△EAC≌△MADSAS，∴EC=DM，∴DM=EB+BM+CM=2BM+CM=2×65+135=5．故答案为：5．【变式5-1】（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，D为AC中点，F为AB边上一点，连接FD，并延长FD至点 E，使得ED=DF，连接CE．(1)求证：△CDE≌△ADF；(2)若EF∥BC，∠A=60°，∠E=50°，求∠BCD的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BCD=70°．【分析】（1）由D为AC中点得AD=CD，然后用“SAS”证明即可；（2）由△CDE≌△ADF，得∠A=∠DCE=60°， 三角形的内角和得∠CDE=70°，最后由平行线的性质即可求解；本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵D为AC中点，∴AD=CD，在△CDE和△ADF中，AD=CD∠ADF=∠CDEDF=DE，∴△CDE≌△ADFSAS；（2）由（1）得：△CDE≌△ADF，∴∠A=∠DCE=60°，∵∠CDE+∠E+∠DCE=180°，∠E=50°，∴∠CDE=70°，∵EF∥BC，∴∠BCD=∠CDE=70°．【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，AB=AC，BD=CE．      (1)如图1，求证：∠B=∠C；(2)如图2，BE与CD相交于点O，若∠A=36°，∠B=30°，求∠DOB的度数．【答案】(1)证明见解析(2)84°【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．（1）利用三角形全等判定与性质，证得△ABE≌△ACDSAS，即可得证∠B=∠C；（2）利用全等三角形性质得到∠C=∠B=30°，再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案．【详解】（1）证明：∵ AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，在△ABE和△ACD中，AD=AE∠A=∠AAB=AC∴△ABE≌△ACDSAS，∴ ∠B=∠C；（2）解：由（1）知，∠C=∠B=30°，在△ACD中，∠BDC是其外角，则∠BDC=∠A+∠C=36°+30°=66°，∴在△BOD中，∠DOB=180°−∠B−∠BDO=180°−30°−66°=84°．【变式5-3】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等，且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半．(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等？并说明理由．(2)若∠BCD=90°，试说明CD∥EF．【答案】(1)相等，理由见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．（1）根据BD的长度等于长方形ADEG周长的一半，得出AB=DE，证明△ABC≌△DEF，即可证明；（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，结合∠B+∠BDC=90°，得出∠DEF+∠BDC=90°，证出∠BDC=∠F，即可证明；【详解】（1）解：BC=EF．理由：∵BD的长度等于长方形ADEG周长的一半，BD=AD+AB∴BD=AD+DE，∴AB=DE．在△ABC和△DEF中，AB=DE∠BAC=∠EDF=90°AC=DF，∴△ABC≌△DEFSAS，∴BC=EF．（2）∵∠BCD=90°，∴∠B+∠BDC=90°．∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF，∴∠DEF+∠BDC=90°．∵∠DEF+∠F=90°，∴∠BDC=∠F，∴CD∥EF．【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】【例6】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE⊥AF于点E，AD=BE，求证△BEA≌△ADF．【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明∠ABE=∠FAD，根据AAS即可得到答案．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠DAB+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠DAB=90°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD，在△BEA和△ADF中，∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°BE=AD，∴△BEA≌△ADF(AAS)．【变式6-1】（23-24·吉林松原·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，EF⊥AB于点F，AE=CB．求证：△AEF≌△CBD．【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用AAS证明即可．【详解】证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°．∵DC⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°．∴∠A=∠BCD．∵EF⊥AB，∴∠EFA=∠BDC=90°．在△AEF和△CBD中，∠A=∠BCD∠EFA=∠BDCAE=CB，∴△AEF≌△CBD(AAS)．【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， AD,BE 是 △ABC 的高线，AD与BE 相交于点F ．若AD=BD=6 ，且 △ACD 的面积为12，则AF的长度为（    ）A．1 B．32 C．2 D．3【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF=DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案．【详解】解：∵AD，BE是△ABC的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，∵∠BFD=∠AFE，∴∠DBF=∠CAD，在△ACD和△BFD中，∠DBF=∠CADBD=AD∠BDF=∠ADC，∴△ACD≌△BFDASA，∴DF=DC，∵△ACD的面积为12，∴12×CD×6=12，∴CD=4，∴DF=4，∴AF=AD−DF=2，故选：C．【变式6-3】（23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点C作CE∥AB，连接AE．(1)基本尺规作图：作∠ABF=∠EAC，交线段AC于点F（保留作图疯迹）；(2)求证：BF=AE．解：∵CE∥AB，∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∠BAF=∠ACE ∴△BAF≌△ACEASA，∴BF=AE（_______）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据运用作相等角的作图方法画图即可；（2）根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④．【详解】（1）解：如图：∠BAF即为所求；（2）解：∵CE∥AB∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°−∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中∠ABF=∠EACBA=AC∠BAF=∠ACE∴△BAF≌△ACEASA∴BF=AE（全等三角形的对应边相等）．【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】【例7】（23-24八年级·湖北鄂州·期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．  (1)求证：AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)6cm【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在△AEC和△CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．（2）由（1）得BD=EC=12BC=12AC，且AC=12cm，即可求出BD的长．【详解】（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．在△DBC和△ECA中，∵∠D=∠AEC∠DBC=∠ECABC=AC∴△DBC≌△ECAAAS．∴AE=CD．（2）∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC=12BC=12AC，且AC=12cm.∴BD=6cm．【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式7-1】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．  (1)试说明△ABC≌△DBE．(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BED=36°【分析】（1）利用AAS证明三角形全等即可；（2）全等三角形的性质，得到∠BED=∠BCA，证明△DBC≌△ABCSSS，得到∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，即可得解．【详解】（1）解：因为∠DBA=∠CBE，所以∠DBA+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠DBE=∠ABC．在△ABC和△DBE中，∠ABC=∠DBE∠BAC=∠BDEAC=DE，所以△ABC≌△DBEAAS．（2）因为△ABC≌△DBE，所以BD=BA，∠BCA=∠BED．在△DBC和△ABC中，DC=ACCB=CBBD=BA，所以△DBC≌△ABCSSS，所以∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，所以∠BED=∠BCA=36°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．【变式7-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）已知：如图，在△ABN和△ACM中，AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM．求证：(1)BD=CE；(2)△AEM≌△ADN．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．（1）根据∠BAN=∠CAM得到∠1+∠MAN=∠2+∠MAN即∠1=∠2，证明△ACE≌△ABDSAS即可．（2）根据△ACE≌△ABDSAS得到∠ADB=∠AEC，结合∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE，得到180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE即∠M=∠N，证明即可．【详解】（1）∵∠BAN=∠CAM，∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN，∴∠1=∠2，∵AB=AC∠1=∠2AD=AE，∴△ACE≌△ABDSAS，∴BD=CE．（2）∵△ACE≌△ABDSAS∴∠ADB=∠AEC，∵∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE，∴180°−∠MDO−∠MOD=180°−∠NEO−∠NOE，∴∠M=∠N，∵∠M=∠N∠MAE=∠NADAE=AD，∴△AEM≌△ADNAAS．【变式7-3】（23-24·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°,AD∥BC,DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．(1)求证：△ABC≌△AFE；(2)如图2，连接AG，若∠ACB=30°，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是△BEG面积的2倍．【答案】(1)见详解(2)△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；（1）用AAS即可证明△ABC≌△AFE；（2）先证明BA=BE，则S△AEG=2S△BEG，再证明△AEG≌△ACG，则S△ACG=2S△BEG，由△ACG与△CDG同底等高，得S△GCD=2S△BEG，再证明△ADC≌△AGC，则S△ACD=2S△BEG，最后△ACG与△CDG同底等高，得S△ACG=S△GCD，所以S△GCD=2S△BEG．【详解】（1）证明：∵DE⊥AC∴∠AFE=90°∵∠ABC=90°∴∠AFE=∠ABC∴在△ABC和△AFE中，∠ABC=∠AFE∠BAC=∠FAEAC=AE，∴△ABC≌△AFE；（2）∵△ABC≌△AFE∴AB=AF，∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFGHL，∴∠1=∠2 ∵∠ACB=30°，∴∠1=∠2=12×60°=30°∵△ABC≌△AFE，AE=AC∴∠ACB=30°=∠E，∴∠1=∠E，∴GA=GE，∵∠ABC=90°，∴BA=BE，∴S△AEG=2S△BEG∵AG=AG ∠1=∠2，AE=AC,∴△AEG≌△ACG，∴S△ACG=2S△BEG∵AD∥BC∴△ACG与△CDG同底等高，∴S△ACG=S△GCD,∴S△GCD=2S△BEG∵∠1=∠2=30°，∴∠DAC=30°，∴∠2=∠DAC=30°,∴∠ADG=∠AGD=60°，∴AD=AG，∵AC=AC，∴△ADC≌△AGC，∴S△ACD=2S△BEG，∵AD∥BC∴△ACD与△DAG同底等高，∴S△ACD=S△GAD，∴S△AGD=2S△BEG，∴△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG的面积为△BEG面积的2倍．【题型8 已知两角找夹边，用ASA】【例8】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC,BE⊥CE，下列结论∶①CE 平分∠BCD；②AB+CD=AD；③CE·BE=S四边形ABCD；④AE=DE．其中正确的有（   ）A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出∠DCE+∠ABE=90∘，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．【详解】解：∵ AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180∘∵BE⊥CE∴∠BEC=90∘∴∠BCE+∠CBE=90∘∴∠DCE+∠ABE=180∘−∠BCE+∠CBE=90∘，∵ BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE ∴∠BCE=∠DCE，∴CE 平分∠BCD，故①正确；在BC上截取BF=BA，连接EF，在△FBE和△ABE中，BF=BA∠FBE=∠ABEBE=BE∴△FBE≅△ABESAS∴FE=AE,∠FEB=∠AEB∵∠FEC+∠FEB=∠BEC=90∘∴∠DEC+∠AEB=180∘−∠BEC =90∘∴∠FEC=∠DEC， 在△FEC和△DEC中，∠FEC=∠DECCE=CE∠FCE=∠DCE∴△FEC≅△DECASA∴CF=CD,FE=DE∴AB+CD=FB+FC=BC ≠AD，AE=DE，故②不正确，④正确；∵S△FBE=S△ABE,S△FEC=S△DEC∴S△FBE+S△ABE+S△FEC+S△DEC=S△BEC=S四边形ABCD∴2S△BEC=2×12CE×BE=CE×BE，∴CE·BE=S四边形ABCD，故③正确；故选：C．【变式8-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，AB∥DE，∠1=∠2，EF=BC．求证：AF=DC．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由AB∥DE证明∠B=∠E，再证EC=BF，即可证明△AFB ≌△DCEASA，由此可得AF=DC．【详解】证明：∵ AB∥DE，∴ ∠B=∠E，∵ EF=BC，∴ EF+FC=BC+FC，即EC=BF，在△AFB和△DCE中，∠1=∠2BF=EC∠B=∠E，∴ △AFB ≌△DCEASA，∴ AF=DC．【变式8-2】（23-24八年级·辽宁阜新·期末）如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC=BF，∠OEB=∠OBE．求证：AE=BD．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用ASA证明△ACB≌△DFEASA得到AC=DF，进而利用SAS证明△ACE≌△DFB，即可证明AE=DB．【详解】证明：∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠ACB=∠DFE=90°．∵EC=BF，∴EC+EB=BF+EB，即CB=FE，又∵∠OEB=∠OBE，即∠ABC=∠DEF∴△ACB≌△DFEASA，∴AC=DF，在△ACE与△DFB中，AC=DF∠ACE=∠DFBCE=FB，∴△ACE≌△DFBSAS，∴AE=DB．【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在 △ABC中， ∠ABC和 ∠ACB的平分线BD、CE相交于点 F．(1)如图1，连接AF，求证：∠BFC−∠BAF=90°(2)如图2，当∠A=60°时，若BE=4,CD=3，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质：（1）在△BCF中，根据三角形内角和定理可得∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC，再由角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=360°−2∠BFC，从而得到2∠BAF=2∠BFC−180°，即可解答；（2）连接AF，在BC上截取BG=BE=4，连接FG，由（1）得：∠BFC−∠BAF=90°，从而得到∠BFC=120°，∠DFC=∠BFE=60°，再证明△BEF≌△BGF，可得∠BFE=∠BFG=60°，从而得到∠CFG=∠CFD，可证明△FCG≌△FCD，从而得到CG=CD=3，即可求解．【详解】（1）证明：在△BCF中， ∠CBF+∠BCF=180°−∠BFC，∵∠ABC和 ∠ACB的平分线BD、CE相交于点 F．∴∠ABC=2∠CBF,∠ACB=2∠BCF，∠BAC=2∠BAF，∴∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=2∠CBF+∠BCF=360°−2∠BFC，∴∠BAC=180°−∠ABC+∠ACB=180°−2∠CBF+∠BCF=2∠BFC−180°，∴2∠BAF=2∠BFC−180°，∴∠BFC−∠BAF=90°；（2）解：如图，连接AF，在BC上截取BG=BE=4，连接FG，由（1）得：∠BFC−∠BAF=90°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=12∠BAC=30°，∴∠BFC=120°，∴∠DFC=∠BFE=60°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵BF=BF，BG=BE，∴△BEF≌△BGFSAS，∴∠BFE=∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC−∠BFG=60°，∴∠CFG=∠CFD，∵∠FCG=∠FCD,CF=CF，∴△FCG≌△FCDASA，∴CG=CD=3，∴BC=BG+CG=7．【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】【例9】（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至A'B'，连接AA'，设A'B'与AC的交点为O．(1)若B'为BC的中点，求证：△AOA'≌△COB'；(2)若AC平分∠BAA'，求∠C的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．（1）根据平移性质得到AA'∥BB'，AA'=BB'，从而得到∠OAA'=∠C，再根据B'为BC的中点，得到AA'=B'C，从而证明结论；（2）根据AC平分∠BAA'，得到∠BAC=∠OAA'，从而证明∠BAC=∠C．再根据三角形内角和定理以及∠B=80°，即可求解；【详解】（1）解：∵A'B'由AB沿射线BC的方向平移所得，∴AA'∥BB'，AA'=BB'，∴∠OAA'=∠C，∵B'为BC的中点，∴BB'=B'C，∴AA'=B'C．在△AOA'和△COB'中∠OAA'=∠C∠AOA'=∠COB'AA'=B'C，∴△AOA'≌△COB'(AAS)；（2）∵AC平分∠BAA'，∴∠BAC=∠OAA'，又∵∠OAA'=∠C，∴∠BAC=∠C．∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=80°，∴∠C=180°−80°÷2=50°．【变式9-1】（23-24·陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知∠B=∠E，∠BAC=∠EDF，BF=CE．求证：AC∥FD．【答案】见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键：先推出BC=EF，由此证得△ABC≌△DEF，得到∠ACB=∠EFD，即可推出AC∥FD．【详解】证明：∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEFAAS，∴∠ACB=∠EFD，∴AC∥FD．【变式9-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点A、D、B、E在同一直线上，∠C=∠F=90°，AD=BE，∠A=∠E．(1)求证：Rt△ABC≌Rt△EDF；(2)当∠CBA=65°时，求∠E的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠E=25°．【分析】（1）由AD=BE可得AB=ED，利用AAS即可证明Rt△ABC≌Rt△EDF；（2）∠C=90°，∠CBA=65°可得∠A=∠E=25°，即可求解；本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∠C=∠F=90°∠A=∠EAB=ED，∴Rt△ABC≌Rt△EDFAAS；（2）解：∵∠C=90°，∠CBA=65°，∴∠A=180°−90°−65°=25°，∵Rt△ABC≌Rt△EDF∴∠E=∠A=25°．【变式9-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC>∠BAC．在∠ABC内部作∠ABE=∠BAC，BE交AC于点D．将一个含有45°角的三角板FGH如图放置，使直角边FH与BE重合，三角板FGH沿EB平移．  (1)如图1，当三角板FGH的另一条直角边FG过点A时，试证明AF=BC；(2)将三角板FGH沿EB平移至图2的位置，FG与AB交于点M，过点M作MN⊥AC，垂足为点N，试判断线段MN，MF，BC之间的关系．【答案】(1)见解析(2)MN+MF=BC【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AD=BD，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过A作AP⊥FG于P，AQ⊥BE于Q，则四边形APFQ是矩形，根据矩形的性质得到AQ=PF，AP∥FQ，根据平行线的性质得到∠PAM=∠ABF，得到MN=MP，由(1)知，AQ=BC，等量代换得到PF=BC，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵∠ABE=∠BAC，∴AD=BD，在△ADF与△BDC中，∠AFD=∠C=90°∠ADF=∠BDCAD=BD，∴△ADF≌△BDCAAS，∴AF=BC；（2）MN+MF=BC.理由：过A作AP⊥FG于P，AQ⊥BE于Q，  则四边形APFQ是长方形AQ=PF，AP∥FQ，∴∠PAM=∠ABF，∵∠ABE=∠BAC，∴∠MAN=∠PAM，∵MN⊥AC，∴MN=MP，由(1)知，AQ=BC，∴PF=BC，∵PF=FM+PM，∴BC=FM+MN．【点睛】本题考查了作图一平移变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．