人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】(学生版+解析)

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专题13.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17764" 【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】  PAGEREF _Toc17764 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19445" 【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】  PAGEREF _Toc19445 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10180" 【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】  PAGEREF _Toc10180 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc11260" 【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】  PAGEREF _Toc11260 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26072" 【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】  PAGEREF _Toc26072 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31854" 【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】  PAGEREF _Toc31854 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25886" 【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】  PAGEREF _Toc25886 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc31460" 【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】  PAGEREF _Toc31460 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc2690" 【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】  PAGEREF _Toc2690 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc26503" 【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】  PAGEREF _Toc26503 \h 11知识点：含30°的直角三角形的性质在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．  (1)求证：BE=AD；(2)若PQ=4，求BP的长．【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）在等边三角形△ABC，若AB边上的高CD与边BC所夹得角为30°，且BD=3，则△ABC的周长为（     ）A．18 B．9 C．6 D．4.5【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E．若AE=3，则△ABC的边长为（    ）A．12 B．10 C．8 D．6【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB=5.4，CE=3，则BE= ．【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段AC在直线MN上．若点F恰好是线段AB中点，则∠AFD的大小为 °．【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=45°，点M为边BC上的动点，当2AM+CM最小时，则∠CAM的度数为（   ）  A．60° B．45° C．30° D．15°【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，△ABC中，AC=BC，且点D在△ABC外，D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC=30°，∠ACD=12°，则∠A= °．【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）已知在等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD=12BC，则∠C的度数有（    ）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△CDE:S△ABC的值是（    ）A．1:2 B．3:3 C．2:5 D．1:3【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是AB上一点，且BD=CD=6,∠DBC=15°，则△BCD的面积为（    ）A．9 B．12 C．18 D．6【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，D是BC上一点，连接AD，若AD平分∠BAC，设△ADB和△ADC的面积分别是S1，S2，则S1:S2=（    ）A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．3:2【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1B1C1，求阴影部分的面积．【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，CA⊥直线l于点A，CA=4，点B是直线l上一动点，以CB为边向上作等边△MBC，连接MA，则MA的最小值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，OP=6，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（　　）A．4 B．2 C．5 D．3【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，AG是底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE=150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值(     )A．6 B．4 C．3 D．2【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO=30°，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）如图，等边△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A−3，0，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．  【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为0，0，点M的坐标为3，0，N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值（    ）A．32 B．323 C．2 D．23【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是(0,1)，以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3⋯，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2021A2021A2022，则点A2021的纵坐标为 ．【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，交BC于点D．(1)用尺规作出线段AD的垂直平分线交AD于点M，交AB于点N．（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，求证：CD=12AN．【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，∠ACB=4∠B，点D是AC边的中点，DE⊥AC，交AB于点E，连接CE．(1)求∠BCE的度数；(2)求证：AB=3CE．【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在△ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．(1)若AC=6cm，求CE的长度；(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）如图，已知在等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，且AE=DC，连接AD，BE相交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，求证：BP=2PQ．【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=4，∠C=30°．沿过点A的直线将纸片折叠（折痕为AF），使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E（折痕为EG），则FG的长是（    ）A．3 B．4 C．6 D．8【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AB边D点，若EC=6cm，则AC=（   ）cm．A．12 B．16 C．18 D．14【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为 ．【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=2，则BC为 ．【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=5 cm，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，点B的对应点为点B'，点C的对应点C'恰好落在边AB上．设旋转角为α．(1)α的度数为 °；(2)求△ABB'的周长．【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B=90°，∠C=30°，AB=2，则AE的长为 ．  【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）如图，△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，已知∠B=90°，AB=1，∠C=30°，则CC'的长为 ．【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）如图，在等边△ABC中，AB=10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论：嘉嘉：△PNC为直角三角形．淇淇：当AM=2时，AN=7．珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况．下列说法正确的是（    ）A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）如图：△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为t(s)．当t为 时，△PBQ是直角三角形．【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,AC=8cm，动点P、Q同时从A、C两点出发，分别在AC、BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2cm/s,vQ=1cm/s，当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．(1)当t为何值时，△PCQ为等边三角形？(2)当t为何值时，△PCQ为直角三角形？【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．  (1)当动点P、Q同时运动2s时，则BP= cm，BQ= cm．(2)当动点P、Q同时运动ts时，分别用含有t的式子表示；BP= cm，BQ= cm．(3)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=4cm，AC=12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts0