初中数学人教版（2024）八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形课时练习，共52页。

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\l "_Tc21313" 【题型1 作中线构造三线合一模型】 PAGEREF _Tc21313 \h 1
\l "_Tc16365" 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc16365 \h 2
\l "_Tc13774" 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 PAGEREF _Tc13774 \h 4
\l "_Tc31793" 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc31793 \h 5
\l "_Tc24035" 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc24035 \h 6
\l "_Tc21352" 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc21352 \h 8
\l "_Tc14202" 【题型7 旋转构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc14202 \h 9
方法点拨：作中线构造三线合一模型
遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。
【题型1 作中线构造三线合一模型】
【例1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点，
（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【变式1-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，且DF⊥BC连接AD，CF，若∠CFE=32°，∠ADB=45°，则∠B的大小是( )
A. 32°B. 64°C. 77°D. 87°
【变式1-2】（23-24春·山东泰安·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD.求证：CD⊥AC．
【变式1-3】（23-24春·河南南阳·八年级统考期末）如图，四边形ADBC中，BC=2BD，AB平分∠DBC，AB=AC，求证：AD⊥BD．
方法点拨：作垂线构造三线合一模型
遇等腰三角形，常作底边上的高，构造三线合一的模型解题。
【题型2 作垂线构造等腰三角形】
【例2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB=EC．

(1)如果∠ABC=40∘，则∠DEC的度数为
(2)求证：BC=2AB．
【变式2-1】（23-24八年级·四川自贡·期末）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD=AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，且EA⊥AB．
(1)若DG⊥AE，垂足为G，求证：AE=AF+BC；
(2)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并说明理由．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，点D在AB上，AD = AC，BE⊥直线CD于E．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD = 2BE；
（3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系．
【变式2-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE=CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．
(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；
(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．
方法点拨：构造等腰（直角）三角形
在同一个三角形中证明两线段相等或垂直时，往往构造等腰（直角）三角形，运用三线合一来解决问题。
【题型3 构造等腰（直角）三角形】
【例3】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，△ABC中，AC=DC=4，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【变式3-1】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积为________．
【变式3-2】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底边BC上的高，E是AD上的一点，以CE为边向上作等边三角形CEF，连接BF，则∠CBF的度数为 ．
【变式3-3】（23-24春·安徽亳州·八年级统考期末）(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，D、E为△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长为_______；
(2)如图2，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC.则∠CAD的度数为________．
方法点拨：作平行线构造等腰三角形
作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的平行线也可得等腰三角形。

【题型4 作平行线构造等腰三角形】
【例4】（23-24八年级·河南开封·期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ=PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）

A．0.5B．0.9C．1D．1.25
【变式4-1】（23-24八年级·湖北宜昌·期中）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于
点D．

（1）证明：PD=DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）在△ABC中，AB=AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD=CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．
(1)当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF=EF．
(2)过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC=4,CF=1，求BH的长是多少？
【变式4-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，∠B=∠ACB，点D是AB上一点，DE∥AC交BC于点E，点F是CE的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点G，求证：BD=CG；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，连接AE，∠EAF=∠BAE，AF与DC的延长线交于点F．探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，某校有一块四边形空地ABCD，现将这块空地规划为实践活动区域，在BC的中点E处修建入口，沿AE修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在△ABE内种植蔬菜，在四边形ADCE内种植果树，已知∠BAD=60°，AE恰好平分∠BAD，∠B=180°−12∠BCD，BC=100m，求CD的长．
方法点拨：倍长中线构造等腰三角形
中线倍长，将相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形。
【题型5 倍长中线构造等腰三角形】
【例5】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证：AB=CD．
【变式5-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF．求证：BF=AC．
【变式5-2】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD=9，AC=11.5，则边BC的长为______．
【变式5-3】（23-24春·山东威海·八年级统考期末）如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE=EF.若AB=5，则CF=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
【题型6 截长补短构造等腰三角形】
【例6】（23-24春·安徽六安·八年级校考期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠C=2∠B，AB−BE= 7，则DE=______．
【变式6-1】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）如图，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D为BF上一点，∠ABC=∠ADC．
(1)如图1，求证：∠DAB=∠DCB；
(2)判断△ADC的形状并证明；
(3)如图2，过点D作DH⊥AB于点H，若AH=7，BH=1，求线段CB的长．
【变式6-2】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）已知在△ABC中，∠ABC