这是一份人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.6添加辅助线构造全等【七大题型】(学生版+解析)，共55页。
专题12.6 添加辅助线构造全等【七大题型】 【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc26365" 【题型1 连接两点构造全等】 PAGEREF _Toc26365 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc2251" 【题型2 作平行线构造全等】 PAGEREF _Toc2251 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc31938" 【题型3 作垂线构造全等】 PAGEREF _Toc31938 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14697" 【题型4 倍长中线构造全等】 PAGEREF _Toc14697 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc3008" 【题型5 截长补短构造全等】 PAGEREF _Toc3008 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc17924" 【题型6 补全图形构造全等】 PAGEREF _Toc17924 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc25803" 【题型7 旋转构造全等】 PAGEREF _Toc25803 \h 8【题型1 连接两点构造全等】【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）D是等边三角形内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数为______． 【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知AB=CD，AC交BD于点O，且AC=BD.试用两种方法证明∠ABO=∠DCO． 【变式1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，求证：∠B=∠E． 【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中） 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． 证明(1)BE=CF； (2)若AB=5，AC=3，求AE、BE的长．【题型2 作平行线构造全等】【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．【变式2-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【变式2-2】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【变式2-3】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【题型3 作垂线构造全等】【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．【变式3-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，DE=AC，求证：∠BAC=∠BED.【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交DE于F.求证：EF=DF.【变式3-3】（23-24八年级·江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【题型4 倍长中线构造全等】【例4】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知AP//BC，点E是DC的中点，且AD+BC=AB，求证：AE⊥BE．【变式4-1】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ．【变式4-2】（23-24八年级·北京房山·期末）如图，在△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．【变式4-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解：（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．【题型5 截长补短构造全等】【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．(1)求证：AE=EF；(2)连接AC，则CFAC的值为__________；(3)连接AF，设AF与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，DH之间的关系．【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．【题型6 补全图形构造全等】【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，求证：CE=2BD. 【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由．【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0∘<α<180∘，连接AD、BD．（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60∘时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20∘时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（60∘
EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．【答案】（1）2EF，（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D是BC边上的中点，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠GDB，AD=GD，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴AC=GB，∠DAC=∠G，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G=∠CAD．【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键．【题型5 截长补短构造全等】【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．(1)求证：AE=EF；(2)连接AC，则CFAC的值为__________；(3)连接AF，设AF与CD交于点H，连接EH，探究BE，EH，DH之间的关系．【答案】(1)见解析(2)12(3)EH=BE+DH，理由见解析【分析】（1）取AB的中点M，并连接ME，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明△AME≌△ECF，即可得出结论；（2）连接AC后，由点M，E分别为AB，BC的中点，推出ME为△ABC的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；（3）结合（1）的结论，可得到∠EAF=45°，从而考虑运用“半角”模型，因此延长CB至点N，使得BN=DH，连接AN，运用两次基础全等证明即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，取AB的中点M，并连接ME，∴AM=BM，∵E是边BC的中点，∴BE=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AM=BM=BE=CE，∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，∴∠MAE=∠CEB，∵BM=BE，∠B=90°∴∠BME=45°，∠AME=135°，∵正方形外角的平分线为CF，∴∠ECF=90°+45°=135°，∴∠AME=∠ECF，在△AME和△ECF中，∠MAE=∠CEBAM=EC∠AME=∠ECF∴△AME≌△ECFASA，∴AE=EF；（2）解：如图所示，连接AC，∵点M，E分别为AB，BC的中点，∴ME为△ABC的中位线，∴AC=2ME，由（1）得△AME≌△ECF，∴ME=CF，∴AC=2CF，∴CFAC=12，故答案为：12；（3）解：EH=BE+DH，理由如下：如图所示，延长CB至点N，使得BN=DH，连接AN，由正方形基本性质得：∠ABN=∠ADH=90°，AB=AD，∴△ABN≌△ADHSAS，∴AN=AH，∠DAH=∠BAN，由（1）知，AE=EF，且∠AEF=90°，∴∠EAF=∠EFA=45°，∴∠DAH+∠BAE=∠BAD−∠EAF=90°−45°=45°，∴∠NAE=∠BAN+∠BAE=45°，即：∠NAE=∠HAE=45°，在△NAE和△HAE中，AN=AH∠NAE=∠HAEAE=AE∴△NAE≌△HAESAS，∴EN=EH，∵EN=BE+BN，BN=DH，∴EN=BE+DH，∴EH=BE+DH．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如图，在CA上截取CN=CB, 连接DN,证明△CBD≌△CND,利用全等三角形的性质证明BD=ND, 求解CN=9,AN=7, 再证明DN=AN, 从而可得答案．【详解】解：如图，在CA上截取CN=CB, 连接DN, ∵CD平分∠ACB, ∴∠BCD=∠NCD, ∵CD=CD, ∴△CBD≌△CND(SAS), ∴BD=ND,∠B=∠CND,CB=CN, ∵BC=9,AC=16, ∴CN=9,AN=AC−CN=7, ∵∠CND=∠NDA+∠A, ∴∠B=∠NDA+∠A, ∵∠B=2∠A, ∴∠A=∠NDA, ∴ND=NA, ∴BD=AN=7. 故选：B.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．【答案】见解析【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，连接EF′，在△FCE与△F′CE中，CF=CF'∠F'CE=∠FCECE=CE，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE与△F′BE中，∠A=∠BF'E∠ABE=∠F'BEBE=BE，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）AB+BC=BD，见解析；（3）BC−AB=2CE，见解析【分析】（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，证明△ABD≌△MBD(SAS)，得出∠A=∠BMD，AD=MD，进而得出∠C=∠CMD，则DM=DC，等量代换即可得证；方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD(SAS)，得出∠BND=∠C，ND=CD，进而得出∠BND=∠NAD，则DN=DA，等量代换即可得证（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，连接AF，由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC为等边三角形，证明△ABC≌△AFD(SAS)，得出DF=BC，进而即可得证；方法2：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，由(1)知AD=CD，则△ADC，△ABP是等边三角形，证明△PAC≌△BAD(SAS)，得出PC=BD，进而即可得证；（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC−AB=2CE，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DEC(AAS)，Rt△BDF≌和Rt△BDE(HL)，得出BF=BE，进而即可得证．【详解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△MBD中，BD=BD∠ABD=∠MBDBA=BM，∴△ABD≌△MBD(SAS)，∴∠A=∠BMD，AD=MD，∵∠BMD+∠CMD=180°，∠C+∠A=180°，∴∠C=∠CMD，∴DM=DC，∴DA=DC；方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，∵BD平分∠ABC，∴∠NBD=∠CBD，在△NBD和△CBD中，BD=BD∠NBD=∠CBDBN=BC，∴△NBD≌△CBD(SAS)，∴∠BND=∠C，ND=CD，∵∠NAD+∠BAD=180°，∠C+∠BAD=180°，∴∠BND=∠NAD，∴DN=DA，∴DA=DC；（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：理由如下：如图2，在BD上截取BF=AB，连接AF，由(1)知∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠DAC=180°，∵∠DAC=60°，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=∠DBC=60°，∴△ABF为等边三角形， ∴AB=AF=BF，∠BAF=60°，∵AD=DC，∴△ADC为等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°，∴∠DAF=∠BAC，∴△ABC≌△AFD(SAS)，∴DF=BC，∴BD=BF+DF=AB+BC．方法2：理由：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，由(1)知AD=CD，∵∠DAC=60°，∴△ADC是等边三角形， ∴AC=AD，∠ADC=60°，∵∠BCD+∠BAD=180°，∴∠ABC=360°−180°−60°=120°，∴∠PBA=180°−∠ABC=60°，∵BP=BA，∴△ABP为等边三角形，∴∠PAB=60°，AB=AP，∵∠DAC=60°，∴∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠PAC=∠BAD，在△PAC和△BAD中，PA=BA∠PAC=∠BADAC=AD，∴△PAC≌△BAD(SAS)，∴PC=BD，∵PC=BP+BC=AB+BC，∴AB+BC=BD；（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC−AB=2CE．连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°，∴∠FAD=∠C，在△DFA和△DEC中，∠DFA=∠DEC∠FAD=∠CDA=DC，∴△DFA≌△DEC(AAS)，∴DF=DE，AF=CE，在Rt△BDF和Rt△BDE中，BD=BDDF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，∴BF=BE，∴BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE，∴BC−BA=2CE，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【题型6 补全图形构造全等】【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，求证：CE=2BD. 【答案】见解析.【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．【详解】证明：如图，延长BD交CA的延长线于F，∵∠BAC=90°∴∠BAF=∠BAC=90° , ∠ACE+∠AEC=90°∵∠BDC=90°∴∠BDC=∠FDC=90°∴∠ABF+∠BED=90°∵∠AEC=∠BED∴∠ACE=∠ABF∵AB=AC∴ΔACE≌ΔABF(ASA)∴CE=BF∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∵CD=CD∴ΔCBD≌ΔCFD(ASA)∴BD=FD=12BF∴BD=12CE∴CE=2BD【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．【详解】（1）解：如图所示，线段AC为所求作的线段；（2）已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．求证：BC=12AC．解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=CB，连接DB．∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．∵CD=CB，∴△BCD是等边三角形．∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=30°．∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．∵BC=CD=DB，∴BC=12AC．解法二：如图，延长CB至点D，使CB=BD，连接AD．∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，∴△ABC≌△ABDSAS．∴AC=AD．∴△ACD是等边三角形．∴AC=CD．∵BC=12CD，∴BC=12AC．【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键．【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由．【答案】（1）BE＝12AD，见解析；（2）△BEG是等腰直角三角形，见解析【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝12BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝12AD；（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE＝12AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∠BAE=∠HAE，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝12BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∠CBH=∠CAD，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝12AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝12∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0∘<α<180∘，连接AD、BD．（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60∘时，∠CBD 的大小为_________；（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20∘时，求∠CBD的大小；（3）已知∠BAC的大小为m（60∘
