人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.2垂直平分线的判定与性质【十大题型】(学生版+解析)

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专题13.2 垂直平分线的判定与性质【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9116" 【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】  PAGEREF _Toc9116 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4003" 【题型2 由垂直平分线的性质求周长】  PAGEREF _Toc4003 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc13275" 【题型3 由垂直平分线的性质求角度】  PAGEREF _Toc13275 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc11263" 【题型4 由垂直平分线的性质求最值】  PAGEREF _Toc11263 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc31773" 【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】  PAGEREF _Toc31773 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27991" 【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】  PAGEREF _Toc27991 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4954" 【题型7 证明是线段的垂直平分线】  PAGEREF _Toc4954 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc6380" 【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】  PAGEREF _Toc6380 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc13140" 【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】  PAGEREF _Toc13140 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc27894" 【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】  PAGEREF _Toc27894 \h 13知识点1：垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·重庆渝中·开学考试）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点D，且AD=CD，∠ABE+∠CBE=180°，EF⊥BC于点F，若AB=7，BF=1，则BC= ．【变式1-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，已知线段AB，分别以点A,B为圆心，5为半径作弧相交于点C,D．连接CD，点E在CD上，连接CA,CB,EA,EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为 ．【变式1-2】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别为20cm和12cm，则BD的长为 cm．  【变式1-3】（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是 cm．【题型2 由垂直平分线的性质求周长】【例2】（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，在△ABC中，AB=11，AC=6，BC=8，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则△BCE的周长为（    ）A．18 B．14 C．17 D．19【变式2-1】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，BC=12，AB的垂直平分线交BC边于点F，AC的垂直平分线交BC边于点H，则△AFH的周长是（    ）A．63 B．10 C．12 D．4+63【变式2-2】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，在△ABC中，AE=CE=1,DE⊥AC．△BCD的周长为6，则△ABC的周长是 ．【变式2-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC=20，EF=7，则△AEF的周长是 ．【题型3 由垂直平分线的性质求角度】【例3】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，∠A=80°，点O是AB，AC的垂直平分线OD，OE的交点，则∠BOC的度数为（    ）  A．145° B．150° C．160° D．165°【变式3-1】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（    ）  A．40° B．50° C．80° D．100°【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）在△ABC中，AB，AC的垂直平分线FD，GE分别交BC于点 D，E，若∠B=30°，∠C=48°，则∠DAE的度数为（   ）A．26° B．15° C．24° D．30°【变式3-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（   ）  A．α B．14α+90° C．12α+90° D．180°−12α【题型4 由垂直平分线的性质求最值】【例4】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【变式4-1】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，△ABC的周长为30，BC=12,AC=5，作BC边的垂直平分线PF分别交AB，BC于点F,E．连接PB、PC，若点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 ．【变式4-2】（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的点．将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合．点P是直线EF上的任意一点，连接PD、PC．若BC=3，△ABC的面积为9．则△CDP周长的最小值为 ．【变式4-3】（23-24八年级·山西临汾·期末） 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA，PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点．  求证：PA=PB分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB．(1)请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AB与点N，交AC于点M，连接MB，若AB=10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长  ②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由．【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】【例5】（2024八年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小： .（提示：可添加辅助线）  【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.（1）线段AB、AC、CE三者之间的长度有什么关系？（2）线段AB+BD与DE有怎样的关系呢？【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·开学考试）如图， △ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．(1)求证：BG=CF；(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．(1)求证：DC=DF；(2)若点E恰在线段AD的垂直平分线上，求证：AB=BD+DF．【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】【例6】（2024·四川南充·中考真题）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．(1)求证：△BDE≌△CDA．(2)若AD⊥BC，求证：BA=BE【变式6-1】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：AC=AB．  【变式6-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：  (1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，求证：∠DEC=∠FEC． 知识点2：垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．【题型7 证明是线段的垂直平分线】【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D,E分别为AB，AC上的点，BE=CD．(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？(2)连接AF,DE，求证：AF垂直平分DE．【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于F．  (1)求证：AF=CF；(2)连接BF，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【变式7-2】（23-24八年级·江苏·周测）如图，已知△ABC，点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F(1)求证∶ PE=PF (2)若BE=CF，求证：点P在BC的垂直平分线上．【变式7-3】（23-24八年级·江苏·周测）如图，OC是∠AOB的平分线，D、E两点分别在边OA、OB上，且OD=OE，点F在OC上，连接DF、EF、DE．  (1)DE与OF有何关系？为什么？(2)求证：DF=EF． 【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】【例8】（2024·山东青岛·一模）已知△ABC，在BC上方求作一点P，使PB=PC，且S△PBC=S△ABC．【变式8-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，已知△ABC AB90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数．【变式9-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，DA⊥AB，垂足为A,CB⊥AB，垂足为B，E为AB的中点，AB=BC,CE⊥BD．（1）求证：BE=AD．（2）有同学认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度数．【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】【例10】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，请利用尺规作图法，在AB上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）  【变式10-1】（23-24八年级·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．【变式10-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，A、B、C三个居民小区，现要建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，试确定生活超市位置P．  【变式10-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）作图题：金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．  专题13.2 垂直平分线的判定与性质【十大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9116" 【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】  PAGEREF _Toc9116 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4003" 【题型2 由垂直平分线的性质求周长】  PAGEREF _Toc4003 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13275" 【题型3 由垂直平分线的性质求角度】  PAGEREF _Toc13275 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc11263" 【题型4 由垂直平分线的性质求最值】  PAGEREF _Toc11263 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc31773" 【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】  PAGEREF _Toc31773 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc27991" 【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】  PAGEREF _Toc27991 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc4954" 【题型7 证明是线段的垂直平分线】  PAGEREF _Toc4954 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc6380" 【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】  PAGEREF _Toc6380 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc13140" 【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】  PAGEREF _Toc13140 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc27894" 【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】  PAGEREF _Toc27894 \h 38知识点1：垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·重庆渝中·开学考试）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点D，且AD=CD，∠ABE+∠CBE=180°，EF⊥BC于点F，若AB=7，BF=1，则BC= ．【答案】9【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形．由线段垂直平分线的性质得到AE=CE，由补角的性质推出∠EBF=∠EBH，由AAS证明△EBH≌△EBF，得到EH=EF，BH=BF=1，又CE=AE，推出Rt△CEF≌Rt△AEH(HL)，得到FC=AH，求出AH=8，即可得到BC=CF+BF=8+1=9．【详解】解：过E作EH⊥AB交AB延长线于H，连接EA，∵DE⊥AC于点D，且AD=CD，∴AE=CE，∵∠ABE+∠CBE=180°，∠ABE+∠EBH=180°，∴∠EBF=∠EBH，∵EF⊥BC于点F，∴∠EFB=∠EHB=90°，∵EB=EB，∴△EBH≌△EBF(AAS)，∴EH=EF，BH=BF=1，∵CE=AE，∴Rt△CEF≌Rt△AEH(HL)，∴FC=AH，∵AH=AB+BH=7+1=8，∴FC=8，∴BC=CF+BF=8+1=9．故答案为：9．【变式1-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，已知线段AB，分别以点A,B为圆心，5为半径作弧相交于点C,D．连接CD，点E在CD上，连接CA,CB,EA,EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，△ABC与△ABE的周长之差为4，就是2AC−2AE=4，即可求解．【详解】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC,AE=BE，∴△ABC与△ABE的周长之差为4，即2AC−2AE=4，∵AC=5，∴10−2AE=4，解得AE=3，故答案为：3．【变式1-2】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别为20cm和12cm，则BD的长为 cm．  【答案】4【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，AD=BD=12AB，∵△BCE的周长是12cm，∴BC+BE+EC=12cm，即AC+BC=12cm，∵△ABC的周长是20cm，∴AB+AC+BC=20cm，∴AB=20−12=8cm，∴BD=12AB=12×8=4cm．故答案为：4【变式1-3】（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是 cm．【答案】8【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD，再根据三角形周长公式可得AD+DC+AC=22cm、AB+BC+AC=22cm、即AB+BD+DC+AC=22cm，然后将AB+BC+AC=22cm整体代入即可解答．【详解】解：∵点D刚好落在AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∵△ADC的周长为14cm，∴AD+DC+AC=22cm，∴△ABC的周长为22cm，∴AB+BC+AC=22cm，即AB+BD+DC+AC=22cm，∴AB+AD+DC+AC=22cm，即AB+AD+DC+AC=22cm∴AB=22cm−AD+DC+AC=22cm−14cm=8cm．故答案为：8．【题型2 由垂直平分线的性质求周长】【例2】（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，在△ABC中，AB=11，AC=6，BC=8，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则△BCE的周长为（    ）A．18 B．14 C．17 D．19【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是求出△BCE的周长=BC+AB．先根据线段垂直平分线的性质求出AE=CE，然后根据三角形的周长公式求解即可．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△BCE的周长=BC+AE+BE=BC+AB，∵AB=11，BC=8，∴△BCE的周长=8+11=19．故选：D．【变式2-1】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，BC=12，AB的垂直平分线交BC边于点F，AC的垂直平分线交BC边于点H，则△AFH的周长是（    ）A．63 B．10 C．12 D．4+63【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由FD是AB的垂直平分线，HG是AC的垂直平分线，得出AF=BF,AH=CH，即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：∵FD是AB的垂直平分线，HG是AC的垂直平分线，∴AF=BF,AH=CH，∵BC=12∴△AFH的周长=AF+FH+AH=BF+FH+CH=BC=12，故选：C．【变式2-2】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，在△ABC中，AE=CE=1,DE⊥AC．△BCD的周长为6，则△ABC的周长是 ．【答案】8【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据垂直平分线的性质得出CD=AD．由题意可知DE垂直平分AC，再根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得CD=AD，结合△BCD的周长=BC+BD+CD，△ABC的周长=BC+AB+AC =BC+BD+AD+AE+CE，即可获得答案．【详解】解：∵AE=CE=1，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC，∴CD=AD，∵△BCD的周长为6，∴BC+BD+CD=6，∴△ABC的周长=BC+AB+AC=BC+BD+AD+AE+CE=BC+BD+CD+AE+CE=6+1+1=8．故答案为：8．【变式2-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC=20，EF=7，则△AEF的周长是 ．【答案】34【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到BE=AE，CF=AF，再根据三角形周长公式推出△AEF的周长=BC+2EF，据此可得答案．【详解】解：∵DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，∴BE=AE，CF=AF，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=CF+BE+EF=BF+EF+EF+CE+EF=BC+2EF，∵BC=20，EF=7，∴△AEF的周长为34，故答案为：34．【题型3 由垂直平分线的性质求角度】【例3】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，∠A=80°，点O是AB，AC的垂直平分线OD，OE的交点，则∠BOC的度数为（    ）  A．145° B．150° C．160° D．165°【答案】C【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题．【详解】解：连接OA，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°−80°=100°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB=OA，OC=OA，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∴∠OBC+∠OCB=100°−(∠OBA+∠OCA)=20°，∴∠BOC=180°−20°=160°，故选C．  【变式3-1】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（    ）  A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【分析】由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．【详解】∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵∠BEC=∠A+∠ABE∴∠BEC=40°+40°=80°．故选：C．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）在△ABC中，AB，AC的垂直平分线FD，GE分别交BC于点 D，E，若∠B=30°，∠C=48°，则∠DAE的度数为（   ）A．26° B．15° C．24° D．30°【答案】C【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由垂直平分线的性质得到∠BAD=∠B=30°，∠CAE=∠C=48°，再根据三角形内角和定理得到∠BAC=102°，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：∵FD垂直平分AB，，∴BD=AD，又∵∠B=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∵GE垂直平分AC，，∴AE=CE，又∵∠C=48°，∴∠CAE=∠C=48°，∵∠B=30°，∠C=48°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=102°，∴∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠CAE=102°−30°−48°=24°，故选：C．【变式3-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（   ）  A．α B．14α+90° C．12α+90° D．180°−12α【答案】B【分析】连接CO并延长，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°−∠AIB，根据角平分线的定义得到∠IAB+∠IBA=90°−α4，求出∠AIB．【详解】解：连接CO并延长，    ∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC，OB=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，同理，∠BOD=2∠OCB，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，∴∠OCA+∠OCB=α2，∴∠ACB=α2，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°−∠ACB)=90°−α4，∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【题型4 由垂直平分线的性质求最值】【例4】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可．【详解】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AG=BG，EF⊥AB，∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC面积为10，∴12×4×AD=10，解得AD=5．故选：B．【变式4-1】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，△ABC的周长为30，BC=12,AC=5，作BC边的垂直平分线PF分别交AB，BC于点F,E．连接PB、PC，若点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 ．【答案】18【分析】本题主要考查了最短距离问题，根据PF是BC的垂直平分线，即可得出MC=MB，当点M与点F重合时，MC+MA=FB+FA=AB，此时△MAC的周长最小，根据AB与AC的长即可得到△MAC周长的最小值．【详解】解：如图，连接FC，∵PF是BC边的垂直平分线，∴FC=FB，如图所示，当点M与点F重合时，MC+MA=FB+FA=AB，此时△MAC的周长最小，∵BC=12，AC=5，△ABC的周长为30，∴AB=13，∴△MAC周长的最小值为AB+AC=13+5=18，故答案为：18．【变式4-2】（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的点．将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合．点P是直线EF上的任意一点，连接PD、PC．若BC=3，△ABC的面积为9．则△CDP周长的最小值为 ．【答案】152【分析】连接AP，AD，先证明EF是线段AC的垂直平分线，再得出当AD交EF于点P时，△PCD的周长最小，利用三角形的面积得出AD的长，最后根据△CDP周长＝PC+PD+CD得出结论．【详解】解：如图，连接AP，AD，∵将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合，∴AF=CF，EF⊥AC，∴EF是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，PA=PC，∵PC+PD=PA+PD≥AD，∴当AD交EF于点P时，△PCD的周长最小，∵AB=AC，D为边BC的中点，∴AD⊥BC，CD=BD=12BC=12×3=32，∵SΔABC=12BC⋅AD=12×3×AD=9，∴AD=6，∴△CDP周长的最小值为：PC+PD+CD=PA+PD+CD=AD+CD=6+32=152，故答案为：152．【点睛】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的判定和性质及三角形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意，得出当AD交EF于点P时，△PCD的周长最小是解题的关键．【变式4-3】（23-24八年级·山西临汾·期末） 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA，PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点．  求证：PA=PB分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB．(1)请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AB与点N，交AC于点M，连接MB，若AB=10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长  ②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析(2)①BC=8cm；②图见解析，△PBC的周长最小值是18cm【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定：（1）证明△ACP≌△BCPSAS即可证明PA=PB；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，再根据三角形周长公式得到MB+MC+BC=AC+BC=18cm，再由AC=AB=10cm，可得BC=8cm；②如图所示，连接PA、PB、PC，PA=PB， 则当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，PA+PC的值最小，即此时△PBC的周长最小，最小值为PA+PC+8=AC+8=18cm．【详解】（1）证明：∵MN⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°，在△ACP和△BCP中，AC=BC∠ACP=∠BCPPC=PC，∴△ACP≌△BCPSAS∴PA=PB；（2）解：①∵MN垂直平分AB，∴MB=MA．∵△MBC的周长是18cm，∴MB+MC+BC=MA+MC+BC=AC+BC=18cm∵AC=AB=10cm，∴BC=8cm；②如图所示，连接PA、PB、PC，∵AB的垂直平分线交AB与点N，交AC于点M，∴PA=PB，∴△PBC的周长=PB+PC+BC=PA+PC+8∴当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，PA+PC的值最小，即此时△PBC的周长最小，最小值为PA+PC+8=AC+8=18cm． 【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】【例5】（2024八年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小： .（提示：可添加辅助线）  【答案】BE+CF>EF【分析】延长ED至H，使DH=DE，连接CH、FH，证明△BDE≌△CDH，根据全等三角形的性质得到CH=BE，再根据线段垂直平分线的性质可得EF=HF，根据三角形的三边关系解答即可．【详解】延长ED至H，使DH=DE，连接CH、FH，在△BDE和△CDH中， BD=CD∠BDE=∠CDHED=HD，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴CH=BE，∵ED=HD，DE⊥DF，∴DF是EH的垂直平分线，∴EF=HF，在△CFH中，CH+CF>FH，∴BE+CF>EF，故答案为：BE+CF>EF．  【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.（1）线段AB、AC、CE三者之间的长度有什么关系？（2）线段AB+BD与DE有怎样的关系呢？【答案】（1）AB=AC=CE，理由见解析；（2）AB+BD=DE，理由见解析【分析】（1）因为AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB=AC=CE；（2）AB+BD=DE，由（1）的结论得AB=AC=CE，因为AC+CD=AB+BD，所以DE=EC+CD=AB+BD，即AB+BD=DE．【详解】解：（1）∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE∴AB、AC、CE之间的长度关系是AB=AC=CE.（2）∵BD=DC∴AB+BD=AC+BD=AC+CD=CE+CD=DE.∴AB+BD与DE之间的关系是AB+BD=DE【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·开学考试）如图， △ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．(1)求证：BG=CF；(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【答案】(1)详见解析(2)BE+CF>EF【分析】本题考查三角形全等的判定方法，垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．（1）先利用ASA判定ΔBGD≅ΔCFD，从而得出BG=CF；（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF>EF．【详解】（1）证明：∵BG//AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵ ∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF∴△BGD≌△CFDASA．∴BG=CF．（2）证明：BE+CF>EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF．【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．(1)求证：DC=DF；(2)若点E恰在线段AD的垂直平分线上，求证：AB=BD+DF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识 ：（1）由“ASA”可证△ADC≌△BDF，可得DC=DF；（2）连接DE，证明∠EDC=∠C；EA=EC，得出BE是AC的垂直平分线，得出AB=BC，故可得结论【详解】（1）证明：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°,∵∠DBF+∠DFB=90°，∠ABC=45°,∴∠BAD=45°=∠ABD,∴AD=BD，∵BE⊥AC于点E，∴∠DBF+∠C=90°，∴∠C=∠DFB，在△ADC和△BDF中，∠ADC=∠BDF，∠C=∠DFB，AD=BD，∴△ADC≌△BDF，∴DC=DF，（2）证明：连接DE.∵E在AD垂直平分线上，∴EA=ED，∴∠EDA=∠EAD，∵AD⊥BC，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠EAD+∠C=90°，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴EA=EC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AB=BC，∵BC=BD+CD=BD+DF，∴AB=BD+DF．【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】【例6】（2024·四川南充·中考真题）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．(1)求证：△BDE≌△CDA．(2)若AD⊥BC，求证：BA=BE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：（1）由中点，得到BD=CD，由BE∥AC，得到∠E=∠DAC,∠DBE=∠C，即可得证；（2）由全等三角形的性质，得到ED=AD，进而推出BD垂直平分AE，即可得证．【详解】（1）证明：∵D为BC的中点，∴BD=CD．           ∵BE∥AC,∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C；                             在△BDE和△CDA中，∠E=∠DAC∠DBE=∠C BD=CD      ∴△BDE≌△CDAAAS；（2）证明：∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD∵AD⊥BC,∴BD垂直平分AE，∴BA=BE．【变式6-1】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：AC=AB．  【答案】见解析【分析】连接BC，利用线段垂直平分线的性质即可证明结论成立.【详解】证明：如图，连接BC，  ∵CD⊥AB于D,D是AB的中点，即CD垂直平分AB，∴AC=BC（线段垂直平分线的性质），∵E为AC中点，BE⊥AC，∴BC=AB（线段垂直平分线的性质），∴AC=AB．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的判定及性质，理解题意，作出辅助线是解题关键．【变式6-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：  (1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AD所在直线垂直平分线段BC得到BD=CD，从而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行线的性质可知∠CBD=∠FCB，再用等量代换即可证明；（2）由AD所在直线垂直平分线段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，从而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根据∠FCB=∠BCE即可得证．【详解】（1）证明：∵AD所在直线垂直平分线段BC，∴BD=CD，∴∠BCD=∠CBD．∵BD∥CF，∴∠CBD=∠FCB，∴∠FCB=∠BCD，即CB平分∠ECF；（2）∵AD所在直线垂直平分线段BC，∴AC=AB，∴∠ACB=∠ABC．∵∠ABC是△BCE的一个外角，∴∠ABC=∠E+∠BCE，∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，∴∠ACF=∠E．【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键．【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，求证：∠DEC=∠FEC． 【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．先证明△AGE≌△AGC(ASA)，得GE=GC，再由线段垂直平分线的性质得DE=DC，则∠DEC=∠DCE，然后由平行线的性质得∠FEC=∠DCE，即可得出结论；【详解】证明： ∵CE⊥AD，∴∠AGE=∠AGC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAG=∠CAG，在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGCAG=AG∠EAG=∠CAG，∴△AGE≌△AGC(ASA)，∴GE=GC，∴AG垂直平分CE，∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵EF∥BC，∴∠FEC=∠DCE，∴∠DEC=∠FEC．知识点2：垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．【题型7 证明是线段的垂直平分线】【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D,E分别为AB，AC上的点，BE=CD．(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？(2)连接AF,DE，求证：AF垂直平分DE．【答案】(1)△ABD≌△ACE，详见解析；(2)详见解析．【分析】本题考查三角形全等的判定和性质定理、垂直平分线的判定定理等知识点，（1）根据AB=AC，BE=CD可得AE=AD，利用SAS，进而证明△ABD≌△ACE；（2）由AE=AD则A在DE的垂直平分线上，再证明△CDF≌△BEF可得EF=DF，故F在DE的垂直平分线上，则AF垂直平分DE；正解理解题意是解决此问题的关键．【详解】（1）△ABD与△ACE全等；理由：∵AB=AC，BE=CD，∴AB−BE=AC−CD即AE=AD，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠A=∠AAE=AD，∴△ABD≌△ACESAS；（2）如图：连接DE，AF，由（1）∵AD=AE，∴A在DE的垂直平分线上，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，在△CDF与△BEF，∠ABD=∠ACE，∠BFE=∠CFDBE=CD，∴△CDF≌△BEF（AAS），∴EF=DF，∴F在DE的垂直平分线上，∴AF垂直平分DE．【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于F．  (1)求证：AF=CF；(2)连接BF，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BF⊥AC．理由见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得BA=BC，∠BDA=∠BEC，根据补角的性质，可得∠FDC=∠FEA，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．（2）由AB=CB，AF=CF可得点B，F在AC的垂直平分线，即可得出结论【详解】（1）在△BAD和△BCE中，∵∠B=∠B∠BAD=∠BCEBD=BE，∴△BAD≌△BCE，∴AB=CB，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCE，∴∠BAC−∠BAD=∠BCA−∠BCE，即∠FAC=∠FCA∴AF=CF．（2）BF⊥AC．理由：由（1）得AB=CB，∴点B在AC的垂直平分线上．∵AF=CF，∴点F在AC的垂直平分线，∴BF垂直平分AC，即BF⊥AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，利用了全等三角形的判定与性质，补角的性质．【变式7-2】（23-24八年级·江苏·周测）如图，已知△ABC，点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F(1)求证∶ PE=PF (2)若BE=CF，求证：点P在BC的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）通过证明△APE≌△APF，即可求证；（2）连接PB、PC，通过证明△BPE≌△CPF，得到BP=CP，即可求证．【详解】（1）证明：∵点P为∠BAC的平分线上一点∴∠BAP=∠FAP∵PE⊥AB，PF⊥AF∴∠PEA=∠PFA=90°在△APE和△APF中∠BAP=∠FAP∠PEA=∠PFAAP=AP∴△APE≌△APFAAS∴PE=PF（2）证明：连接PB、PC，如下图：由（1）可得：∠BEP=∠CFP=90°又∵PE=PF，BE=CF∴△BPE≌△CPFSAS∴BP=CP∴点P在BC的垂直平分线上【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．【变式7-3】（23-24八年级·江苏·周测）如图，OC是∠AOB的平分线，D、E两点分别在边OA、OB上，且OD=OE，点F在OC上，连接DF、EF、DE．  (1)DE与OF有何关系？为什么？(2)求证：DF=EF． 【答案】(1)OF垂直平分线DE，理由见解析(2)见解析【分析】（1）由角平分线的定义可知∠DOF=∠EOF，进而利用SAS可证明△DOF≌△EOF，可得DF=EF，即可证明OF垂直平分线DE；（2）由（1）△DOF≌△EOF，即可证得结论．【详解】（1）OF垂直平分线DE，理由如下：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF=∠EOF，在△DOF与△EOF中，OD=OE∠DOF=∠EOFOF=OF，∴△DOF≌△EOFSAS，∴DF=EF，又∵OD=OE，∴OF垂直平分线DE；（2）证明：由（1）可知△DOF≌△EOF，∴DF=EF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】【例8】（2024·山东青岛·一模）已知△ABC，在BC上方求作一点P，使PB=PC，且S△PBC=S△ABC．【答案】见解析【分析】本题考查了作图，线段垂直分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．先作出BC的垂直平分线，再过点A作∠ABC的等角∠HAB，AH交BC的垂直平分线于点P，此时PB=PC，且S△PBC=S△ABC，点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求．【变式8-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，已知△ABC AB90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数．【答案】(1)证明见解析(2)62°【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．（1）连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．【详解】（1）证明：连接PB、PC，PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，∴PA=PB，PA=PC，∴PB=PC∴点P在线段BC的垂直平分线上；（2）解：∵ PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，∴FA=FB，NA=NC，∠AEP=∠AMP=90°，∠ABC=∠BAF，∠ACB=∠CAN，在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠FAN=56°，∴∠ABC+∠BAF+∠FAN+∠ACB+∠CAN=180°，即，2∠BAF+2∠CAN+∠FAN=180°，∴ ∠BAF+∠CAN=62°∴∠BAC=∠BAF+∠CAN+∠FAN=118°在四边形AEPM中，∠AEP+∠AMP+∠BAC+∠FPN=360°，∴∠FPN=360°−90°−90°−118°=62°【变式9-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，DA⊥AB，垂足为A,CB⊥AB，垂足为B，E为AB的中点，AB=BC,CE⊥BD．（1）求证：BE=AD．（2）有同学认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度数．【答案】（1）详情见解析；（2）对，理由见解析；（3）50°【分析】（1）首先根据题意证明∠ADB=∠BEC，然后利用“AAS”证明△ADB与△BEC全等，最后利用全等三角形性质进一步证明即可；（2）根据E是AB的中点可知AE=BE，从而得出AE=AD，然后根据AB=BC得出∠BAC=∠BCA，据此结合题意进一步证明△ADC≅△AEC，由此得出DC=CE，从而得出C点在线段DE的垂直平分线上，最后进一步证明出A点在线段DE的垂直平分线上，由此即可得出结论；（3）首先利用全等三角形性质得出DB=CE，结合题意进一步得出∠CBD=∠BCD，据此求出∠CBD的度数，然后进一步求解即可.【详解】（1）∵BD⊥EC，DA⊥AB，∴∠BEC+∠DBA=90°，∠DBA+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠BEC，在△ADB与△BEC中，∵∠ADB=∠BEC，∠DAB=∠EBC，AB=BC，∴△ADB≅△BEC（AAS），∴BE=AD；（2）对的，AC是线段DE的垂直平分线，理由如下：∵E是AB中点，∴AE=BE,∵BE=AD，∴AE=AD，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠BAC=∠DAC，在△ADC与△AEC中，∵AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，∴△ADC≅△AEC（SAS），∴DC=CE，∴C点在线段DE的垂直平分线上，∵AD=AE，∴A点在线段DE的垂直平分线上，∴AC垂直平分DE；（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，∴CD=CE，∵△ADB≅△BEC（AAS），∴DB=CE，∴CD=BD，∴∠CBD=∠BCD，∵∠ABD=25°，∴∠CBD=90°−25°=65°，∴∠BDC=180°−2∠CBD=50°.【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定及线段垂直平分线性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】【例10】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，请利用尺规作图法，在AB上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）  【答案】见解析【分析】连接MN，作线段MN的垂直平分线l交AB于点C，点C即为所求．【详解】解：如图，点C即为所求．  【点睛】本题考查作图，复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题．【变式10-1】（23-24八年级·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．【答案】连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置；图见解析【分析】连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置；【详解】解：连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置，如图所示：【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键．【变式10-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，A、B、C三个居民小区，现要建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，试确定生活超市位置P．  【答案】见解析【分析】连接AB，BC，作它们的中垂线，交于点P，即可．【详解】如图所示：  点P即为生活超市位置．【点睛】本题主要考查根据题意确定点的位置，掌握尺规作垂直平分线的方法，是解题的关键．【变式10-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）作图题：金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．  【答案】见解析【分析】以A为圆心，适当长为半径画弧交直线l于C、D，分别以C、D为圆心，AD长为半径画弧，交点为A'，连接A'B，交直线l于P，连接AP，由线段垂直平分线的性质可得A'P=AP，则AP+BP=A'P+BP，点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求；      【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，尺规作垂线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．