2025年高考数学精品教案第十章 计数原理 概率 随机变量及其分布 突破3 概率、统计与其他知识的综合

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命题点1 概率、统计与函数、导数的综合
例1 [全国卷Ⅰ]某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E（X）；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验？
解析 （1）20件产品中恰有2件不合格品的概率f（p）＝C202p2（1－p）18，
因此f '（p）＝C202[2p（1－p）18－18p2（1－p）17]＝2C202p（1－p）17（1－10p）.
令f '（p）＝0，得p＝0.1.
当p∈（0，0.1）时， f '（p）＞0；
当p∈（0.1，1）时， f '（p）＜0.
所以f（p）的最大值点p0＝0.1.
（2）由（1）知，p0＝0.1，所以p＝0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品的件数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E（X）＝E（40＋25Y）＝40＋25E（Y）＝40＋25×180×0.1＝490.
（ii）如果对这箱余下的所有产品做检验，那么这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E（X）＞400，因此应该对这箱余下的所有产品做检验.
方法技巧
概率、统计与函数、导数的综合问题的解题策略
（1）读懂题意，利用随机变量的概率、均值与方差等的有关公式构造函数；
（2）结合函数的性质及概率统计知识求解.
训练1 [2021新高考卷Ⅱ]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）.
（1）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）.
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p＝1，当E（X）＞1时，p＜1.
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.
解析 （1）由题意，P（X＝0）＝0.4，P（X＝1）＝0.3，P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝0.1，
∴X的分布列为
∴E（X）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
（2）记f（x）＝p3x3＋p2x2＋（p1－1）x＋p0，
由题知，p为f（x）＝0的实根，由p0＝1－p1－p2－p3，
得f（x）＝p3（x3－1）＋p2（x2－1）＋p1（x－1）－（x－1）＝（x－1）[p3x2＋（p3＋p2）x＋p3＋p2＋p1－1].
记g（x）＝p3x2＋（p3＋p2）x＋p3＋p2＋p1－1，
则g（1）＝3p3＋2p2＋p1－1＝E（X）－1，
g（0）＝p3＋p2＋p1－1＝－p0＜0.
当E（X）≤1时，g（1）≤0，易知g（x）在（0，1）上单调递增，∴当x∈（0，1）时，g（x）＝0无实根.
∴f（x）＝0在（0，1]上有且仅有一个实根，即p＝1，
∴当E（X）≤1时，p＝1.
当E（X）＞1时，g（1）＞0，又g（0）＜0，g（x）的图象开口向上，∴g（x）＝0在（0，1）上有唯一实根p'，
∴f（x）＝0的最小正实根p＝p'∈（0，1），∴当E（X）＞1时，p＜1.
（3）E（X）≤1，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以p＝1.
E（X）＞1，表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以正向增长，所以面临灭绝的可能性小于1.
命题点2 概率、统计与数列的综合
例2 [2023新高考卷Ⅰ]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率.
（2）求第i次投篮的人是甲的概率.
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.
解析 （1）记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋BA，
所以PA=PBA+BA=PBA+PBA=PB·PAB+PBPAB=0.5×1-0.6+0.5×0.8=0.6.
（2）设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝12，pi＋1＝pi×0.6＋（1－pi）×（1－0.8），即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝25pi＋15，所以pi＋1－13＝25（pi－13），
又p1－13＝12－13＝16，所以数列{pi－13}是以16为首项，25为公比的等比数列，
所以pi－13＝16×（25）i－1，所以pi＝13＋16×（25）i－1.
（3）设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，所以E（Xi）＝pi.
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由（2）知，pi＝13＋16×（25）i－1，所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×[1＋25＋（25）2＋…＋（25）n－1]＝n3＋16×1－（25）n1－25＝n3＋518×[1－（25）n].
方法技巧
概率、统计与数列的综合问题的解题步骤
（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，确定概率模型；
（2）准确建模，通过概率的求解，建立关于概率的递推关系，转化为数列模型问题；
（3）解决模型，利用数列的有关知识解决模型.
训练2 [全国卷Ⅰ]为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
（1）求X的分布列.
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝－1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）.假设α＝0.5， β＝0.8.
（i）证明：{pi＋1－pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列.
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解析 （1）X的所有可能取值为－1，0，1.
P（X＝－1）＝（1－α）β，
P（X＝0）＝αβ＋（1－α）（1－β），
P（X＝1）＝α（1－β）.
所以X的分布列为
（2）（i）由（1）得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1（i＝1，2，…，7），故0.1（pi＋1－pi）＝0.4（pi－pi－1），即pi＋1－pi＝4（pi－pi－1）.
又p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}（i＝0，1，2，…，7）是公比为4，首项为p1的等比数列.
（ii）由（i）可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝（p8－p7）＋（p7－p6）＋…＋（p1－p0）＝48－13p1.
因为p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝（p4－p3）＋（p3－p2）＋（p2－p1）＋（p1－p0）＝44－13×p1＝1257.
p4表示甲药的累计得分为4分时，最终认为甲药比乙药更有效的概率.由计算结果可以看出，当甲药的治愈率为0.5，乙药的治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率p4＝1257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
1.[命题点1/2023石家庄市三检]国家在《中小学生健康体检管理办法（2021年版）》中规定：中小学校每年组织1次在校学生健康体检.现某学校有4 000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m％，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4 000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
（1）若m＝0.4，记每人血样化验次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求此时化验总次数.
（2）若m＝0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用（k＋4）元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求此时化验总费用.
参考数据及公式：10≈3.16，（1＋x）n≈1＋nx（n∈N*，n≥2，｜x｜≤0.01）.
解析 （1）由题意知，若混合血样呈阴性，则X＝1k，P（X＝1k）＝0.996k，若混合血样呈阳性，则X＝1k＋1，P（X＝1k＋1）＝1－0.996k，
所以E（X）＝1k×0.996k＋（1＋1k）×（1－0.996k）＝1＋1k－0.996k＝1＋1k－（1－0.004）k≈1k＋0.004k.
令f（x）＝1x＋0.004x，则f'（x）＝0.004－1x2，当x∈（0，510）时，f'（x）＜0，当x∈（510，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，510）上单调递减，在(510,+∞)上单调递增.
因为k∈N*，（注意k取正整数）
510≈5×3.16＝15.8，且f（15）＝115＋0.004×15≈0.126 7，f（16）＝116＋0.004×16＝0.126 5，
所以当k＝16时，E（X）取得最小值，且E（X）的最小值为0.126 5.
所以当k取16时，每人血样化验次数X的数学期望最小，此时化验总次数为4 000×0.126 5=506.
（2）设每组k人时，每组化验总费用为Y元，
若混合血样呈阴性，则Y＝k＋4，若混合血样为阳性，则Y＝6k＋4，且P（Y＝k＋4）＝0.992k，P（Y＝6k＋4）＝1－0.992k，
所以E（Y）＝（k＋4）×0.992k＋（6k＋4）（1－0.992k）＝6k－5k×0.992k＋4.
每个人血样的化验费用为E（Y）k＝6－5×0.992k＋4k＝6－5×（1－0.008）k＋4k≈6－5×（1－0.008k）＋4k＝1＋0.04k＋4k≥1＋20.04k·4k＝1.8，
当且仅当0.04k＝4k，即k＝10时取等号，所以当k取10时，每人血样化验费用的数学期望最小，此时化验总费用为4 000×1.8＝7 200（元）.
2.[命题点2/2023南京市二模]进行独立重复试验，设每次成功的概率为p（0＜p＜1），失败的概率为1－p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为X～NB（r，p）.
（1）若X～NB（3，13），求P（X＝5）.
（2）若X～NB（2，12），n∈N*，n≥2.
①求∑i=2nP（X＝i）；
②要使得在n次内结束试验的概率不小于34，求n的最小值.
解析 （1）因为X～NB（3，13），
X＝5表示做了5次试验，前4次中有2次成功，第5次也成功，所以P（X＝5）＝C42（1－13）2×（13）3＝6×49×127＝881.
（2）①解法一 P（X＝i）＝Ci－11×（1－12）i－2×（12）2＝（i－1）×（12）i.
记S＝∑i=2nP（X＝i）＝1×（12）2＋2×（12）3＋…＋（n－1）×（12）n，则12S＝1×（12）3＋2×（12）4＋…＋（n－1）×（12）n＋1，两式相减，得12S＝（12）2＋（12）3＋…＋（12）n－（n－1）×（12）n＋1
＝（12）2[1－（12）n－1]1－12－（n－1）×（12）n＋1
＝12－（12）n－（n－1）×（12）n＋1
＝2n－n－12n+1，
所以S＝2n－n－12n，即∑i=2nP（X＝i）＝2n－n－12n.
解法二 ∑i=2nP（X＝i）＝P（X≤n），事件“X≤n”的对立事件为“n次试验中，成功了0次或1次”.
“n次试验中，成功了0次”的概率p1＝（1－12）n＝12n；
“n次试验中，成功了1次”的概率p2＝Cn1×（1－12）n－1×12＝n2n.
所以P（X≤n）＝1－12n－n2n＝2n－n－12n，
即∑i=2nP（X＝i）＝2n－n－12n.
②n次内结束试验的概率为P（X≤n），即∑i=2nP（X＝i）＝2n－n－12n，所以2n－n－12n≥34，即n+12n≤14.
记f（n）＝n+12n（n≥2），因为f（n＋1）－f（n）＝n+22n+1－n+12n＝－n2n+1＜0，所以f（n）为递减数列.
因为f（4）＝516＞14，f（5）＝316＜14，
故使得不等式n+12n≤14成立的最小正整数为5，
所以n的最小值为5.
学生用书·练习帮P401
1.[设问创新]鲁班锁是中国一种古老的益智玩具，它与九连环、华容道、七巧板被称为中国民间的四大传统益智玩具.鲁班锁看似简单，却凝结着不平凡的智慧，是榫卯结构的集中展现，一般由六根木条组成，三维拼插，内部榫卯咬合，外观严丝合缝，十字立体，易拆难装，十分巧妙.某玩具公司新开发了A，B两款鲁班锁玩具，记A，B两款鲁班锁玩具所获利润分别为X万元、Y万元，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下表：（成本利润率＝利润÷成本×100％）
A款鲁班锁玩具：
B款鲁班锁玩具：
（1）若A，B两款鲁班锁玩具的投资成本均为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差；
（2）若A，B两款鲁班锁玩具的投资成本共为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和的最小值.
解析 （1）A款鲁班锁玩具的利润：20×4％＝0.8，20×8％＝1.6，20×10％＝2，B款鲁班锁玩具的利润：20×3％＝0.6，20×5.5％＝1.1，20×7.5％＝1.5，
则X的分布列为
Y的分布列为
所以E（X）＝0.8×0.3＋1.6×0.6＋2×0.1＝1.4，
E（Y）＝0.6×0.2＋1.1×0.3＋1.5×0.5＝1.2，
则D（X）＝（0.8－1.4）2×0.3＋（1.6－1.4）2×0.6＋（2－1.4）2×0.1＝0.168.
D（Y）＝（0.6－1.2）2×0.2＋（1.1－1.2）2×0.3＋（1.5－1.2）2×0.5＝0.12.
（2）记A款鲁班锁玩具的投资成本为m（0≤m≤20）万元，则B款鲁班锁玩具的投资成本为（20－m）万元，
投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和f（m）＝D（m20X）＋D（20－m20Y），
得f（m）＝（m20）2×0.168＋（20－m20）2×0.12＝m2400×0.168＋（1－m10＋m2400）×0.12＝0.288400m-2532＋0.07≥0.07，
所以当m＝253时，投资A，B两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和取得最小值0.07.
2.[2024贵州六校联考]为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当甲、乙两人中有一人先赢得三局比赛时，该选手获胜，比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为p（0＜p＜1）.
（1）若比赛进行三局就结束的概率为f（p），求f（p）的最小值；
（2）记（1）中，f（p）取得最小值时，p的值为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙实际比赛的局数，求X的分布列及数学期望E（X）.
解析 （1）三局就结束比赛的概率f（p）＝p3＋（1－p）3，
f '（p）＝3p2－3（1－p）2＝6p－3，
当0＜p＜12时，f '（p）＜0；当12＜p＜1时，f '（p）＞0.
所以f（p）在（0，12）上单调递减，在（12，1）上单调递增，
所以当p＝12时，f（p）取得最小值，为14.
（2）由（1）知，p＝p0＝12.
X的所有可能取值为3，4，5，
P（X＝3）＝（12）3＋（1－12）3＝14，
P（X＝4）＝2×C32×（12）2×（1－12）×12＝38，
P（X＝5）＝2×C42×（12）2×（1－12）2×12＝38，
所以X的分布列为
E（X）＝3×14＋4×38＋5×38＝338.
3.[2024安徽六校联考]为庆祝中国共产党成立102周年，某校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组（每组两人），进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有1道是送分题（即每位同学至少可答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.
（1）若第1次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；
（2）若第1次由甲组答题，记第n次由甲组答题的概率为Pn，求Pn.
解析 （1）将第1次由甲组答题记作事件A，第2次由乙组答题记作事件B，则第1次由乙组答题为事件A，
因为答对的题数之和为3的倍数的可能情况为1＋2，1＋5，2＋4，3＋3，3＋6，4＋5，6＋6，
所以其概率为5×2+236＝13，
则答对的题数之和不是3的倍数的概率为1－13＝23，
则P（B）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝12×23＋12×13＝12.
（2）第（n＋1）次由甲组答题，是第n次由甲组答题，第（n＋1）次继续由甲组答题的事件与第n次由乙组答题，第（n＋1）次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第n次由甲组答题，第（n＋1）次继续由甲组答题的概率为13Pn，
第n次由乙组答题，第（n＋1）次由甲组答题的概率为23（1－Pn），因此，Pn＋1＝13Pn＋231－Pn=-13Pn＋23（n∈N*），则Pn＋1－12＝－13（Pn－12）.
因为第1次由甲组开始，所以P1＝1，
所以{Pn－12}是首项为12，公比为－13的等比数列，
所以Pn－12＝12×（－13）n－1，故Pn＝12×（－13）n－1＋12.
4.[2024山东省实验中学模拟]某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登记消费信息，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知某顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为Pn.
（1）求P2的值，并探究数列{Pn}的通项公式；
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程.
解析 （1）记该顾客第i（i∈N*）次摸球抽中奖品为事件Ai，依题意，P1＝27，
P2＝P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（A1）P（A2｜A1）＝27×13＋（1－27）×12＝1942.
因为P（An｜An－1）＝13，P（An｜An－1）＝12，Pn＝P（An）＝P（An－1）×P（An｜An－1）＋P（An－1）P（An｜An－1），
所以Pn＝13Pn－1＋12（1－Pn－1）＝－16Pn－1＋12，
所以Pn－37＝－16（Pn－1－37），
由P1＝27，得P1－37＝－17≠0，
所以数列{Pn－37}是首项为－17，公比为－16的等比数列，故Pn＝37－17（－16）n－1.
（2）当n为奇数时，Pn＝37－17×6n－1＜37＜1942，
当n为偶数时，Pn＝37＋17×6n－1，Pn随着n的增大而减小，所以Pn≤P2＝1942.
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
X
－1
0
1
P
（1－α）β
αβ＋（1－α）（1－β）
α（1－β）
成本利润率
4％
8％
10％
概率P
0.3
0.6
0.1
成本利润率
3％
5.5％
7.5％
概率P
0.2
0.3
0.5
X
0.8
1.6
2
P
0.3
0.6
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