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2025年高考数学精品教案第四章 三角函数 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
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这是一份2025年高考数学精品教案第四章 三角函数 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式，共9页。
学生用书P075
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
（2）商的关系：tan α＝sinαcsα（α≠π2＋kπ，k∈Z）.
（3）公式常见变形：sin2α＝1－cs2α；sin α＝±1－cs2α；sin2α＝sin2αsin2α＋cs2α＝tan2αtan2α+1，cs2α＝cs2αsin2α＋cs2α＝① 1tan2α+1 ；（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α.
注意 利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.
2.诱导公式
1.[易错题]已知α是第二象限角，sin α＝513，则cs α＝（ A ）
A.－1213B.－513C.513D.213
解析 因为α是第二象限角，所以cs α＜0，又sin2α＋cs2α＝1，所以cs α＝
－1－sin2α＝－1213.
2.[2023贵州联考]已知tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝（ D ）
A.－1B.－3C.－12D.12
解析 因为tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝1＋1tanθ＝1－12＝12.
3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（ C ）
A.sin（θ－π2）＝cs θB.cs（3π2＋θ）＝－sin θ
C.sin（3π2－θ）＝－cs θD.cs（θ－π2）＝－sin θ
解析 ∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cs θ，∴A错误；∵cs （3π2＋θ）＝sin θ，∴B错误；∵sin（3π2－θ）＝－cs θ，∴C正确；∵cs（θ－π2）＝cs（π2－θ）＝sin θ，∴D错误.
4.sin 1 050°＝ －12 .
解析 sin 1 050°＝sin（－30°）＝－12.
5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝ 34 .
解析 因为tan（π＋α）＝tan α＝2，所以sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝csα＋sinαsinα+2csα＝1+tanαtanα+2＝1+22+2＝34.
学生用书P076
命题点1 同角三角函数关系的应用
例1 （1）[2024山东模拟]若tan θ＝2，则1＋sin θcs θ＝（ B ）
A.73B.75
C.54D.53
解析 易知cs θ≠0，则1＋sin θcs θ＝1+sinθcsθ1＝sin2θ＋cs2θ＋sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝tan2θ＋tanθ+1tan2θ+1＝22+2+122+1＝75.
（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tan θ＝12，则sin θ－cs θ＝ －55 .
解析 由tanθ＝sinθcsθ＝12，sin2θ＋cs2θ=1，且θ∈（0，π2），解得 sinθ＝55，csθ＝255，故sin θ－cs θ＝－55.
方法技巧
同角三角函数基本关系的应用技巧
（1）利用sin2α＋cs2α＝1和tan α＝sinαcsα，可以解决sin α，cs α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.
（2）利用（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α，可以解决sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－
cs α知一求二的问题，注意方程思想的应用.
（3）利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinαcsα可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.
训练1 [多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cs θ＝713，则下列结论正确的是（ BD ）
A.θ∈（－π，－π2）B.cs θ＝1213
C.tan θ＝512D.sin θ－cs θ＝－1713
解析 由sin θ＋cs θ＝713可得，cs θ＝713－sin θ，
则（713－sin θ）2＋sin2θ＝1，
解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.
由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cs θ＝1213，故B正确；
由sin θ＝－513＜0，cs θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈
（－π2，0），故A错误；
tan θ＝sinθcsθ＝－512，故C错误；
sin θ－cs θ＝－513－1213＝－1713，故D正确.故选BD.
命题点2 诱导公式的应用
例2 （1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝15sin（x＋π3）＋cs（x－π6）的最大值为（ A ）
A.65B.1C.35D.15
解析 因为cs（x－π6）＝cs[（x＋π3）－π2]＝sin（x＋π3），所以f（x）＝65sin（x＋π3），所以f（x）的最大值为65，故选A.
（2）[北京高考]若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cs x的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2（答案不唯一） .
解析 易知当y＝sin（x＋φ），y＝cs x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cs x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cs x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.
方法技巧
应用诱导公式的一般思路
（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
（2）统一角，统一名；
（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.
训练2 （1）[2023山东省济宁市模拟]已知cs （π6－θ）＝13，则cs （5π6＋θ）＋
2sin （5π3－θ）的值为 －1 .
解析 原式＝cs [π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cs （π6－θ）－2cs （π6－θ）＝
－3cs （π6－θ）＝－1.
（2）已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－α－3π2）cs（3π2－α）cs（π2－α）sin（π2＋α）·
tan2（π－α）的值为 －916 .
解析 原式＝－sin（3π2＋α）cs（3π2－α）sinαcsα·tan2α＝－csαsinαsinαcsα·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cs α＝－45，∴tan α＝34.故原式＝－tan2α＝－916.
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
例3 （1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cs （α＋π3）＝－23，则tan （2π3－α）＝（ A ）
A.52B.－52C.53D.－53
解析 由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）＝1－cs2（α＋π3）＝1－（－23）2＝53，所以tan（α＋π3）＝sin（α＋π3）cs（α＋π3）＝－52，所以tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）＝52.故选A.
（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝ －43 .
解析 解法一 因为sin（θ＋π4）＝35，所以cs（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－1－（35）2＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－43.
解法二 因为θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以
cs（θ＋π4）＝45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－cs[π2＋（θ－π4)]sin[π2＋（θ－π4)]＝－cs（θ＋π4）sin（θ＋π4）＝－43.
方法技巧
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；
（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；
（3）化简求值.
注意 （1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.
（2）化简过程是恒等变换.
训练3 [2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M（2，4）在角α终边上，则sin3（π－α）＋cs3（－α）sin3α－2cs3α＝（ B ）
A.23B.32C.－35D.－53
解析 由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin3α＋cs3αsin3α－2cs3α＝tan3α+1tan3α－2＝8+18－2＝32.故选B.
1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cs θ＝33，则tan 2θ＝（ D ）
A.223B.255C.－223D.－255
解析 由sin θ－cs θ＝33，得1－2sin θcs θ＝13，∴sin θcs θ＝13，∴（sin θ＋
cs θ）2＝1＋2sin θ·cs θ＝53.
∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cs θ＝153.
解法一 易得sin θ＝3（5+1）6，cs θ＝3（5－1）6，∴tan θ＝5+15－1，
∴tan 2θ＝2×5+15－1÷[1－（5+15－1）2]＝－255，故选D.
解法二 易得sin θcs θ＝13，∴sin 2θ＝23，
∵sin θ－cs θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）
∴π2＜2θ＜π，
∴cs 2θ＝－53，∴tan 2θ＝－255，故选D.
2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的（ C ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sin α＝sin（2nπ＋β）＝sin β；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sin α＝
sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是
“sin α＝sin β”的充分必要条件.
3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tan α＝csα3－sinα，则sin （2α＋π2）＝ （ D ）
A.23B.13C.89D.79
解析 因为tan α＝csα3－sinα，所以sinαcsα＝csα3－sinα，
即3sin α－sin2α＝cs2α，
所以3sin α＝sin2α＋cs2α＝1，
即sin α＝13，
所以sin（2α＋π2）＝cs 2α＝1－2sin2α＝79，
故选D.
学生用书·练习帮P292
1.若θ∈（π2，π），则1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝（ A ）
A.sin θ－cs θB.cs θ－sin θ
C.±（sin θ－cs θ）D.sin θ＋cs θ
解析 1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝1－2sinθcsθ＝（sinθ－csθ）2＝｜sin θ－cs θ｜，因为θ∈（π2，π），所以sin θ－cs θ＞0，所以原式＝sin θ－cs θ.故选A.
2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sin α＝45，则cs β＝（ B ）
A.－45B.45C.－35D.35
解析 因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sin α＝45，所以cs β＝cs（π2－α＋2kπ）＝sin α＝45（k∈Z），故选B.
3.[2024江西联考]已知sin（α＋π3）＝－14，则cs（α＋5π6）＝（ B ）
A.－14B.14C.154D.±154
解析 因为sin（α＋π3）＝－14，所以cs（α＋5π6）＝cs[（α＋π3）＋π2]＝－sin（α＋π3）＝14，故选B.
4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cs α）＝（ D ）
A.25B.35C.45D.65
解析 sin α（sin α＋cs α）＝sin2α＋sinαcsαsin2α＋cs2α＝tan2α＋tanαtan2α+1＝22+222+1＝65.故选D.
5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan（π2－θ）＝43，则cs（θ＋π2）＝（ C ）
A.－45B.－35C.35D.45
解析 tan（π2－θ）＝sin（π2－θ）cs（π2－θ）＝csθsinθ＝43，即3cs θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，
∴sin θ＜0，cs θ＜0，又sin2θ＋cs2θ＝1，∴sin θ＝－35，cs θ＝－45，∴cs（θ＋π2）＝
－sin θ＝35.故选C.
6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cs（α＋10°）＝13，则tan（170°－α）＝（ A ）
A.－22B.22C.－2D.2
解析 因为α为第一象限角，且cs（α＋10°）＝13＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以
sin（α＋10°）＝1－cs2（α+10°）＝1－（13）2＝223，可得tan（α＋10°）＝ sin（α+10°）cs（α+10°）＝22，则tan（170°－α）＝ tan[180°－（α＋10°）]＝－tan（α＋10°）＝－22.故选A.
7.[多选]在△ABC中，下列结论正确的是（ ABC ）
A.sin（A＋B）＝sin C
B.sinB＋C2＝csA2
C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠π2）
D.cs（A＋B）＝cs C
解析 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，A正确.sinB＋C2＝sin（π2－A2）＝csA2，B正确.tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（C≠π2），C正确.cs（A＋B）＝cs（π－C）＝－cs C，D错误.故选ABC.
8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC中，3sin （π2－A）＝3sin （π－A）， cs A＝
－3cs （π－B），则△ABC为 直角 三角形.
解析 在△ABC中，由3sin （π2－A）＝3sin （π－A），得3cs A＝3sin A，即tan A＝33，又A∈（0，π），∴A＝π6，又cs A＝－3cs （π－B），∴32＝3cs B，即cs B＝12，又B∈（0，π），∴B＝π3，∴C＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC为直角三角形.
9.已知sin θ＋cs θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝ －43 ；2sinθcsθ+2sin2θ1－tanθ＝ 24175 .
解析 因为sin θ＋cs θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cs θ）2＝1＋2sin θcs θ＝125，所以sin θcs θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cs θ＜0.由sinθ＋csθ＝15，sin2θ＋cs2θ=1，得25sin2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cs θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cs θ＞0，（sin θ－cs θ）2＝sin2θ＋cs2θ－2sin θcs θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cs θ＝75，由sinθ＋csθ＝15，sinθ－csθ＝75，得sinθ＝45，csθ＝－35，所以tan θ＝－43）
解法一 2sinθcsθ+2sin2θ1－tanθ＝2sinθ（csθ＋sinθ）1－sinθcsθ＝2sinθcsθ（csθ＋sinθ）csθ－sinθ＝－2425×15－75＝24175.
解法二 2sin θcs θ＋2sin2θ＝2sinθcsθ+2sin2θsin2θ＋cs2θ＝2tanθ+2tan2θtan2θ+1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinθcsθ+2sin2θ1－tanθ＝8251－（－43）＝24175.
10.设 f（x）＝asin（πx＋α）＋bcs（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，若
f（2 024）＝1，则f（2 025）＝（ D ）
A.1B.2C.0D.－1
解析 f（2 024）＝asin（2 024π＋α）＋bcs（2 024π＋β）＝asin α＋bcs β＝1，
f（2 025）＝asin（2 025π＋α）＋bcs（2 025π＋β）＝asin（π＋α）＋bcs（π＋β）＝
－asin α－bcs β＝－（asin α＋bcs β）＝－1.故选D.
11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cs（απ3＋2π3）＝（ C ）
A.32B.－32C.12D.－12
解析 任取数字2 023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cs（απ3＋2π3）＝cs（123π3＋2π3）＝cs（41π＋2π3）＝cs（π＋2π3）＝－cs2π3＝csπ3＝12，故选C.
12.已知－π＜α＜0，且满足.
从①sin α＝55，②cs α＋sin α＝－55，③tan α＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.
（1）求cs α－sin α的值；
（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求csβ＋sinβcsβ－sinβ的值.
解析 方案一 选择条件②.
（1）由cs α＋sin α＝－55，得（cs α＋sin α）2＝15，
则2sin αcs α＝－45＜0.
又－π＜α＜0，所以sin α＜0，cs α＞0，所以cs α－sin α＞0，
所以cs α－sin α＝1－2csαsinα＝1+45＝355.
（2）由题意得cs β＝－cs α，sin β＝sin α，
所以csβ＋sinβcsβ－sinβ＝－csα＋sinα－csα－sinα＝－35555＝－3.
方案二 选择条件③.
（1）因为tan α＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sin α＝－2cs α＜0.
又sin2α＋cs2α＝1，所以sin α＝－255，cs α＝55，
所以cs α－sin α＝355.
（2）由题可得cs β＝－cs α，sin β＝sin α，
所以csβ＋sinβcsβ－sinβ＝－55－255－55＋255＝－3.
（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sin α＜0，与sin α＝55矛盾，故条件①不符合题意.）课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，sinxcsx＝tan x.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）
同角三角函数关系的应用
2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9
本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.
诱导公式的应用
2020北京T9；2019全国卷ⅠT7
同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
② －sinα
－sin α
③ sinα
cs α
④ csα
余弦
cs α
⑤ －csα
cs α
⑥ －csα
sin α
⑦ －sinα
正切
tan α
⑧ tanα
－tan α
⑨ －tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限.
学生用书P075
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
（2）商的关系：tan α＝sinαcsα（α≠π2＋kπ，k∈Z）.
（3）公式常见变形：sin2α＝1－cs2α；sin α＝±1－cs2α；sin2α＝sin2αsin2α＋cs2α＝tan2αtan2α+1，cs2α＝cs2αsin2α＋cs2α＝① 1tan2α+1 ；（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α.
注意 利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.
2.诱导公式
1.[易错题]已知α是第二象限角，sin α＝513，则cs α＝（ A ）
A.－1213B.－513C.513D.213
解析 因为α是第二象限角，所以cs α＜0，又sin2α＋cs2α＝1，所以cs α＝
－1－sin2α＝－1213.
2.[2023贵州联考]已知tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝（ D ）
A.－1B.－3C.－12D.12
解析 因为tan θ＝－2，则sinθ＋csθsinθ＝1＋1tanθ＝1－12＝12.
3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（ C ）
A.sin（θ－π2）＝cs θB.cs（3π2＋θ）＝－sin θ
C.sin（3π2－θ）＝－cs θD.cs（θ－π2）＝－sin θ
解析 ∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cs θ，∴A错误；∵cs （3π2＋θ）＝sin θ，∴B错误；∵sin（3π2－θ）＝－cs θ，∴C正确；∵cs（θ－π2）＝cs（π2－θ）＝sin θ，∴D错误.
4.sin 1 050°＝ －12 .
解析 sin 1 050°＝sin（－30°）＝－12.
5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝ 34 .
解析 因为tan（π＋α）＝tan α＝2，所以sin（π2＋α）＋sin（π－α）cs（3π2＋α）－2cs（π＋α）＝csα＋sinαsinα+2csα＝1+tanαtanα+2＝1+22+2＝34.
学生用书P076
命题点1 同角三角函数关系的应用
例1 （1）[2024山东模拟]若tan θ＝2，则1＋sin θcs θ＝（ B ）
A.73B.75
C.54D.53
解析 易知cs θ≠0，则1＋sin θcs θ＝1+sinθcsθ1＝sin2θ＋cs2θ＋sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝tan2θ＋tanθ+1tan2θ+1＝22+2+122+1＝75.
（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tan θ＝12，则sin θ－cs θ＝ －55 .
解析 由tanθ＝sinθcsθ＝12，sin2θ＋cs2θ=1，且θ∈（0，π2），解得 sinθ＝55，csθ＝255，故sin θ－cs θ＝－55.
方法技巧
同角三角函数基本关系的应用技巧
（1）利用sin2α＋cs2α＝1和tan α＝sinαcsα，可以解决sin α，cs α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.
（2）利用（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α，可以解决sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－
cs α知一求二的问题，注意方程思想的应用.
（3）利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinαcsα可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.
训练1 [多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cs θ＝713，则下列结论正确的是（ BD ）
A.θ∈（－π，－π2）B.cs θ＝1213
C.tan θ＝512D.sin θ－cs θ＝－1713
解析 由sin θ＋cs θ＝713可得，cs θ＝713－sin θ，
则（713－sin θ）2＋sin2θ＝1，
解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.
由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cs θ＝1213，故B正确；
由sin θ＝－513＜0，cs θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈
（－π2，0），故A错误；
tan θ＝sinθcsθ＝－512，故C错误；
sin θ－cs θ＝－513－1213＝－1713，故D正确.故选BD.
命题点2 诱导公式的应用
例2 （1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝15sin（x＋π3）＋cs（x－π6）的最大值为（ A ）
A.65B.1C.35D.15
解析 因为cs（x－π6）＝cs[（x＋π3）－π2]＝sin（x＋π3），所以f（x）＝65sin（x＋π3），所以f（x）的最大值为65，故选A.
（2）[北京高考]若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cs x的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2（答案不唯一） .
解析 易知当y＝sin（x＋φ），y＝cs x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cs x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cs x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.
方法技巧
应用诱导公式的一般思路
（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
（2）统一角，统一名；
（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.
训练2 （1）[2023山东省济宁市模拟]已知cs （π6－θ）＝13，则cs （5π6＋θ）＋
2sin （5π3－θ）的值为 －1 .
解析 原式＝cs [π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cs （π6－θ）－2cs （π6－θ）＝
－3cs （π6－θ）＝－1.
（2）已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－α－3π2）cs（3π2－α）cs（π2－α）sin（π2＋α）·
tan2（π－α）的值为 －916 .
解析 原式＝－sin（3π2＋α）cs（3π2－α）sinαcsα·tan2α＝－csαsinαsinαcsα·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cs α＝－45，∴tan α＝34.故原式＝－tan2α＝－916.
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
例3 （1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cs （α＋π3）＝－23，则tan （2π3－α）＝（ A ）
A.52B.－52C.53D.－53
解析 由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）＝1－cs2（α＋π3）＝1－（－23）2＝53，所以tan（α＋π3）＝sin（α＋π3）cs（α＋π3）＝－52，所以tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）＝52.故选A.
（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝ －43 .
解析 解法一 因为sin（θ＋π4）＝35，所以cs（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－1－（35）2＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－43.
解法二 因为θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以
cs（θ＋π4）＝45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4）cs（θ－π4）＝－cs[π2＋（θ－π4)]sin[π2＋（θ－π4)]＝－cs（θ＋π4）sin（θ＋π4）＝－43.
方法技巧
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；
（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；
（3）化简求值.
注意 （1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.
（2）化简过程是恒等变换.
训练3 [2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M（2，4）在角α终边上，则sin3（π－α）＋cs3（－α）sin3α－2cs3α＝（ B ）
A.23B.32C.－35D.－53
解析 由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin3α＋cs3αsin3α－2cs3α＝tan3α+1tan3α－2＝8+18－2＝32.故选B.
1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cs θ＝33，则tan 2θ＝（ D ）
A.223B.255C.－223D.－255
解析 由sin θ－cs θ＝33，得1－2sin θcs θ＝13，∴sin θcs θ＝13，∴（sin θ＋
cs θ）2＝1＋2sin θ·cs θ＝53.
∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cs θ＝153.
解法一 易得sin θ＝3（5+1）6，cs θ＝3（5－1）6，∴tan θ＝5+15－1，
∴tan 2θ＝2×5+15－1÷[1－（5+15－1）2]＝－255，故选D.
解法二 易得sin θcs θ＝13，∴sin 2θ＝23，
∵sin θ－cs θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）
∴π2＜2θ＜π，
∴cs 2θ＝－53，∴tan 2θ＝－255，故选D.
2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的（ C ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sin α＝sin（2nπ＋β）＝sin β；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sin α＝
sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是
“sin α＝sin β”的充分必要条件.
3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tan α＝csα3－sinα，则sin （2α＋π2）＝ （ D ）
A.23B.13C.89D.79
解析 因为tan α＝csα3－sinα，所以sinαcsα＝csα3－sinα，
即3sin α－sin2α＝cs2α，
所以3sin α＝sin2α＋cs2α＝1，
即sin α＝13，
所以sin（2α＋π2）＝cs 2α＝1－2sin2α＝79，
故选D.
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1.若θ∈（π2，π），则1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝（ A ）
A.sin θ－cs θB.cs θ－sin θ
C.±（sin θ－cs θ）D.sin θ＋cs θ
解析 1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝1－2sinθcsθ＝（sinθ－csθ）2＝｜sin θ－cs θ｜，因为θ∈（π2，π），所以sin θ－cs θ＞0，所以原式＝sin θ－cs θ.故选A.
2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sin α＝45，则cs β＝（ B ）
A.－45B.45C.－35D.35
解析 因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sin α＝45，所以cs β＝cs（π2－α＋2kπ）＝sin α＝45（k∈Z），故选B.
3.[2024江西联考]已知sin（α＋π3）＝－14，则cs（α＋5π6）＝（ B ）
A.－14B.14C.154D.±154
解析 因为sin（α＋π3）＝－14，所以cs（α＋5π6）＝cs[（α＋π3）＋π2]＝－sin（α＋π3）＝14，故选B.
4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cs α）＝（ D ）
A.25B.35C.45D.65
解析 sin α（sin α＋cs α）＝sin2α＋sinαcsαsin2α＋cs2α＝tan2α＋tanαtan2α+1＝22+222+1＝65.故选D.
5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan（π2－θ）＝43，则cs（θ＋π2）＝（ C ）
A.－45B.－35C.35D.45
解析 tan（π2－θ）＝sin（π2－θ）cs（π2－θ）＝csθsinθ＝43，即3cs θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，
∴sin θ＜0，cs θ＜0，又sin2θ＋cs2θ＝1，∴sin θ＝－35，cs θ＝－45，∴cs（θ＋π2）＝
－sin θ＝35.故选C.
6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cs（α＋10°）＝13，则tan（170°－α）＝（ A ）
A.－22B.22C.－2D.2
解析 因为α为第一象限角，且cs（α＋10°）＝13＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以
sin（α＋10°）＝1－cs2（α+10°）＝1－（13）2＝223，可得tan（α＋10°）＝ sin（α+10°）cs（α+10°）＝22，则tan（170°－α）＝ tan[180°－（α＋10°）]＝－tan（α＋10°）＝－22.故选A.
7.[多选]在△ABC中，下列结论正确的是（ ABC ）
A.sin（A＋B）＝sin C
B.sinB＋C2＝csA2
C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠π2）
D.cs（A＋B）＝cs C
解析 在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，A正确.sinB＋C2＝sin（π2－A2）＝csA2，B正确.tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（C≠π2），C正确.cs（A＋B）＝cs（π－C）＝－cs C，D错误.故选ABC.
8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC中，3sin （π2－A）＝3sin （π－A）， cs A＝
－3cs （π－B），则△ABC为 直角 三角形.
解析 在△ABC中，由3sin （π2－A）＝3sin （π－A），得3cs A＝3sin A，即tan A＝33，又A∈（0，π），∴A＝π6，又cs A＝－3cs （π－B），∴32＝3cs B，即cs B＝12，又B∈（0，π），∴B＝π3，∴C＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC为直角三角形.
9.已知sin θ＋cs θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝ －43 ；2sinθcsθ+2sin2θ1－tanθ＝ 24175 .
解析 因为sin θ＋cs θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cs θ）2＝1＋2sin θcs θ＝125，所以sin θcs θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cs θ＜0.由sinθ＋csθ＝15，sin2θ＋cs2θ=1，得25sin2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cs θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cs θ＞0，（sin θ－cs θ）2＝sin2θ＋cs2θ－2sin θcs θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cs θ＝75，由sinθ＋csθ＝15，sinθ－csθ＝75，得sinθ＝45，csθ＝－35，所以tan θ＝－43）
解法一 2sinθcsθ+2sin2θ1－tanθ＝2sinθ（csθ＋sinθ）1－sinθcsθ＝2sinθcsθ（csθ＋sinθ）csθ－sinθ＝－2425×15－75＝24175.
解法二 2sin θcs θ＋2sin2θ＝2sinθcsθ+2sin2θsin2θ＋cs2θ＝2tanθ+2tan2θtan2θ+1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinθcsθ+2sin2θ1－tanθ＝8251－（－43）＝24175.
10.设 f（x）＝asin（πx＋α）＋bcs（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，若
f（2 024）＝1，则f（2 025）＝（ D ）
A.1B.2C.0D.－1
解析 f（2 024）＝asin（2 024π＋α）＋bcs（2 024π＋β）＝asin α＋bcs β＝1，
f（2 025）＝asin（2 025π＋α）＋bcs（2 025π＋β）＝asin（π＋α）＋bcs（π＋β）＝
－asin α－bcs β＝－（asin α＋bcs β）＝－1.故选D.
11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cs（απ3＋2π3）＝（ C ）
A.32B.－32C.12D.－12
解析 任取数字2 023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cs（απ3＋2π3）＝cs（123π3＋2π3）＝cs（41π＋2π3）＝cs（π＋2π3）＝－cs2π3＝csπ3＝12，故选C.
12.已知－π＜α＜0，且满足.
从①sin α＝55，②cs α＋sin α＝－55，③tan α＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.
（1）求cs α－sin α的值；
（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求csβ＋sinβcsβ－sinβ的值.
解析 方案一 选择条件②.
（1）由cs α＋sin α＝－55，得（cs α＋sin α）2＝15，
则2sin αcs α＝－45＜0.
又－π＜α＜0，所以sin α＜0，cs α＞0，所以cs α－sin α＞0，
所以cs α－sin α＝1－2csαsinα＝1+45＝355.
（2）由题意得cs β＝－cs α，sin β＝sin α，
所以csβ＋sinβcsβ－sinβ＝－csα＋sinα－csα－sinα＝－35555＝－3.
方案二 选择条件③.
（1）因为tan α＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sin α＝－2cs α＜0.
又sin2α＋cs2α＝1，所以sin α＝－255，cs α＝55，
所以cs α－sin α＝355.
（2）由题可得cs β＝－cs α，sin β＝sin α，
所以csβ＋sinβcsβ－sinβ＝－55－255－55＋255＝－3.
（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sin α＜0，与sin α＝55矛盾，故条件①不符合题意.）课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，sinxcsx＝tan x.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）
同角三角函数关系的应用
2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9
本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.
诱导公式的应用
2020北京T9；2019全国卷ⅠT7
同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
② －sinα
－sin α
③ sinα
cs α
④ csα
余弦
cs α
⑤ －csα
cs α
⑥ －csα
sin α
⑦ －sinα
正切
tan α
⑧ tanα
－tan α
⑨ －tanα
口诀
奇变偶不变，符号看象限.
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