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2025年高考数学精品教案第三章 一元函数的导数及其应用 第2讲 导数与函数的单调性
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这是一份2025年高考数学精品教案第三章 一元函数的导数及其应用 第2讲 导数与函数的单调性，共18页。
学生用书P053
1.函数的单调性与导数的关系
思维拓展
用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
（1）f '（x）＞0（＜0）是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充分不必要条件.
（2）f '（x）≥0（≤0）是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的必要不充分条件.
（3）若f '（x）在区间（a，b）的任意子区间内都不恒等于零，则f '（x）≥0（≤0）是
f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充要条件.
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的④ 定义域 ；
第2步，求出导数f '（x）的⑤ 零点 ；
第3步，用f '（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f '（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
1.[2024陕西汉中模拟]函数f（x）＝x2－5ln x－3x－1的单调递减区间为（ D ）
A.（32，＋∞） B.（0，32）C.（52，＋∞）D.（0，52）
解析 f '（x）＝2x－5x－3＝2x2－3x－5x＝（x+1)(2x－5）x（x＞0），当x∈（0，52）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（0，52）上单调递减，所以f（x）的单调递减区间为（0，52）.
2.已知导函数y＝f '（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ B ）
A B C D
解析 解法一 由y＝f '（x）的图象自左到右先上升后下降，可知函数y＝f（x）图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确.
解法二 由于f '（x）＞0（－1≤x≤1）恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f（x）在[－1，1]上单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足.
由于x＞0时，随着x的变大f '（x）越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平缓”；当x＜0时，随着x的变大 f '（x）越来越大，故函数值增加得越来越快，图象越来越“陡峭”，可以判断B正确.
3.已知函数f（x）＝sin x＋cs x－2x，a＝f（－π），b＝f（20），c＝f（ln 2），则a，b，c的大小关系是（ A ）
A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞b＞a
解析 因为函数f（x）＝sin x＋cs x－2x，所以f '（x）＝cs x－sin x－2＝2cs（x＋π4）－2＜0，所以f（x）为R上的减函数，因为－π＜ln 2＜1＝20，所以f（－π）＞f（ln 2）＞
f（20），即a＞c＞b.故选A.
4.[多选]下列说法正确的是（ BC ）
A.若函数f（x）在定义域上都有f '（x）＜0，则函数f（x）在定义域上一定单调递减
B.在（a，b）上f '（x）＞0（f '（x）＜0）是函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充分不必要条件
C.在（a，b）上f '（x）≤0，且f '（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）上单调递减
D.若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则一定有f '（x）＞0
解析 对于A，不一定，如函数y＝1x的导函数y'＝－1x2，在其定义域上y'＝－1x2＜0恒成立，但是函数y＝1x在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是单调递减的；对于B，结合导数与函数的单调性可知B正确；对于C，数形结合可知C正确；对于D，如函数f（x）＝x3在R上单调递增，但f '（x）＝3x2在R上有零点，即f '（x）≥0.故选BC.
学生用书P054
命题点1 不含参函数的单调性
例1 （1）[2024重庆南开中学模拟]已知函数f（x）＝xsin x＋cs x，x∈[0，2π]，则
f（x）的单调递减区间是（ B ）
A.[0，π2]B.[π2，3π2]
C.[π，2π]D.[3π2，2π]
解析 f '（x）＝xcs x，令f '（x）＝xcs x≤0，则x＝0（舍去）或π2≤x≤3π2，仅在x＝π2和x＝3π2时取等号，故f（x）的单调递减区间是[π2，3π2]，故选B.
（2）若函数f（x）＝lnx+1ex，则函数f（x）的单调递增区间为 （0，1） .
解析 f（x）的定义域为（0，＋∞），f '（x）＝1x－lnx－1ex，令φ（x）＝1x－ln x－1（x＞0），易知φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，
φ（x）＞0，即f '（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，即f '（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）.
方法技巧
利用导数求函数单调区间的思路：解不等式 f '（x）＞0或f '（x）＜0求出单调区间.若导函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解.
注意 （1）求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；（2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
训练1 已知函数f（x）＝（2＋x）ln（1＋x）－2x，讨论函数f（x）的单调性.
解析 由题知函数f（x）的定义域为（－1，＋∞），f '（x）＝ln（1＋x）－x1+x.
设函数g（x）＝f '（x）＝ln（1＋x）－x1+x，则g'（x）＝x（1+x）2.
当－1＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0.
故当x＞－1时，g（x）≥g（0）＝0，
且仅当x＝0时，g（x）＝0，从而f '（x）≥0，且仅当x＝0时，f '（x）＝0.
所以f（x）在（－1，＋∞）上单调递增.
命题点2 含参函数的单调性
例2 已知函数f（x）＝12ax2－（a＋1）x＋ln x，a＞0，讨论函数y＝f（x）的单调性.
解析 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f '（x）＝ax－（a＋1）＋1x＝ax2－（a+1）x+1x＝（ax－1)(x－1）x.
令f '（x）＝0，得x＝1a或x＝1.
①当0＜a＜1时，1a＞1，
∴x∈（0，1）∪（1a，＋∞）时，f '（x）＞0；x∈（1，1a）时，f '（x）＜0.
∴函数f（x）在（0，1）和（1a，＋∞）上单调递增，在（1，1a）上单调递减.
②当a＝1时，1a＝1，
∴f '（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，
∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
③当a＞1时，0＜1a＜1，
∴x∈（0，1a）∪（1，＋∞）时，f '（x）＞0；x∈（1a，1）时，f '（x）＜0.
∴函数f（x）在（0，1a）和（1，＋∞）上单调递增，在（1a，1）上单调递减.
综上，当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1）和（1a，＋∞）上单调递增，在（1，1a）上单调递减；
当a＝1时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＞1时，函数f（x）在（0，1a）和（1，＋∞）上单调递增，在（1a，1）上单调递减.
方法技巧
求解含参函数的单调性的技巧
一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：（1）讨论f '（x）＝0是否有根；（2）讨论f '（x）＝0的根是否在定义域内；（3）讨论根的大小关系.
注意 若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0，判别式Δ的正负等.
训练2 [2021全国卷乙节选]已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1，讨论f（x）的单调性.
解析 由题意知f（x）的定义域为R，f '（x）＝3x2－2x＋a，令f '（x）＝0，则Δ＝
（－2）2－4×3a＝4（1－3a）.
①当Δ≤0，即a≥13时，f '（x）≥0，等号不恒成立，此时f（x）在R上单调递增.
②当Δ＞0，即a＜13时，由f '（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝1－1－3a3，x2＝1+1－3a3.
当x∈（－∞，1－1－3a3）时，f '（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1－1－3a3，1+1－3a3）时，f '（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1+1－3a3，＋∞）时，f '（x）＞0，f（x）单调递增.
综上，当a≥13时，f（x）在R上单调递增；当a＜13时，f（x）在（－∞，1－1－3a3）和（1+1－3a3，＋∞）上单调递增，在（1－1－3a3，1+1－3a3）上单调递减.
命题点3 函数单调性的应用
角度1 已知函数的单调性求参数
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，则a的最小值为（ C ）
A.e2B.eC.e－1D.e－2
解析 因为函数f（x）＝aex－ln x，所以f'（x）＝aex－1x.因为函数f（x）在（1，2）单调递增，所以f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－1x≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜1a≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.
当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以在（1，2）上，g（x）＞e，所以1a≤e，即a≥1e＝e－1，故选C.
（2）[2024贵阳市模拟]若函数f（x）＝x3－12ax2＋x在[1，3]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 （4，＋∞） .
解析 由题意知f'（x）＝3x2－ax＋1.由函数f（x）在[1，3]上存在单调递减区间，可知∃x∈[1，3]，使得f'（x）＜0，即∃x∈[1，3]，3x2－ax＋1＜0，
也即当x∈[1，3]时，（3x＋1x）min＜a.
令g（x）＝3x＋1x，x∈[1，3]，则g'（x）＝3－1x2＝3x2－1x2，x∈[1，3].
当x∈[1，3]时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）min＝g（1）＝4.
所以a＞4，即a的取值范围为（4，＋∞）.
方法技巧
已知函数的单调性求参数的解题技巧
（1）若可导函数f（x）在区间D上单调递增（或递减），则f '（x）≥0（或f '（x）≤0）对x∈D恒成立问题.
注意 “＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.
（2）若可导函数f（x）在某一区间上存在单调区间，则f '（x）＞0（或f '（x）＜0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.
（3）若f（x）在区间D上不单调，则函数f '（x）在区间D上存在变号零点.也可先求出
f（x）在区间D上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解.
（4）若已知f（x）在区间I（含参数）上的单调性，则先求出f（x）的单调区间，然后令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.
角度2 利用函数的单调性比较大小
例4 （1）[2024福州市一检]已知a＝1e，b＝ln2，c＝ln55，则（ A ）
A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b
解析 a＝1e＝ln ee，b＝ln2＝ln22＝ln44，c＝ln55＝ln55.令f（x）＝lnxx，则f '（x）＝1－lnxx2，当x≥e时，f '（x）≤0，故f（x）在区间[e，＋∞）上单调递减.因为e＜4＜5，所以f（e）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c，故选A.
（2）[2023福建省龙岩市质检]已知函数f（x）＝sin x－xcs x，若a＝f（lg2e），b＝
f（ln 3），c＝f（sin e），则a，b，c的大小关系为（ B ）
A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a
解析 f '（x）＝cs x－cs x＋xsin x＝xsin x，当x∈（0，π）时，f '（x）＞0，所以f（x）在（0，π）上单调递增，因为ln 2ln 3＜（ln2+ln32）2＝（ln6ln e2）2＜1，所以1＜ln 3＜1ln2＝1lg22lg2e＝lg2e.因为sin e＜1，所以sin e＜ln 3＜lg2e，又f（x）在（0，π）上单调递增，所以
f（sin e）＜f（ln 3）＜f（lg2e），即a＞b＞c.故选B.
角度3 利用函数的单调性解不等式
例5 [江苏高考]已知函数f（x）＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数.若f（a－1）＋f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是 [－1，12] .
解析 由f（x）＝x3－2x＋ex－1ex，x∈R，得f（－x）＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f（x），所以
f（x）是奇函数，又f '（x）＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2ex·1ex＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f（x）在R上单调递增，所以不等式f（a－1）＋f（2a2）≤0⇔f（a－1）≤－f（2a2）＝f（－2a2）⇔a－1≤－2a2，解得－1≤a≤12，即实数a的取值范围是[－1，12].
方法技巧
利用函数的单调性比较大小或解不等式的思路：利用导数判断已知或构造的函数的单调性，由单调性比较大小或解不等式.
训练3 （1）[2023江西省鹰潭市一模]已知a＝1－e－0.2，b＝tan 15，c＝ln 54，其中e为自然对数的底数，则（ A ）
A.c＞b＞aB.b＞c＞a
C.b＞a＞cD.c＞a＞b
解析 由题知a＝1－e－0.2，b＝tan15＝tan 0.2，设f（x）＝1－e－x－tan x，0＜x＜1，则
f '（x）＝e－x－1cs2x，由0＜x＜1，得0＜e－x＜1，1cs2x＞1，于是f '（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，因此f（x）＜0，即1－e－x＜tan x，则1－e－0.2＜tan 0.2，即有a＜b.由b＝tan 0.2，c＝ln 54＝－ln 0.8＝－ln（1－0.2），设g（x）＝tan x＋ln（1－x），0＜x＜1，则g'（x）＝1cs2x－11－x＝sin2x－x（1－x）cs2x，令φ（x）＝sin x－x，0＜x＜1，φ'（x）＝cs x－1＜0，函数φ（x）在（0，1）上单调递减，则φ（x）＜0，即0＜sin x＜x，于是sin2x＜sin x＜x，即有g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，因此g（x）＜0，即tan x＜－ln（1－x），于是tan 0.2＜－ln（1－0.2），即b＜c，所以a＜b＜c.故选A.
（2）[2024安徽模拟]设函数f（x）＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－x＋4，则满足f（x）＋
f（3－2x）＜6的x的取值范围是（ B ）
A.（3，＋∞）B.（1，＋∞）
C.（－∞，3）D.（－∞，1）
解析 设g（x）＝sin x＋ex－e－x－x，x∈R，则g（－x）＝sin（－x）＋e－x－ex＋x，因为
g（x）＋g（－x）＝0，所以g（x）为奇函数.
又f（x）＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－x＋4＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－（x－1）＋3＝
g（x－1）＋3，
所以f（x）的图象是由g（x）的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到的，所以f（x）的图象的对称中心为（1，3），所以f（x）＋f（2－x）＝6.
因为g（x）＝sin x＋ex－e－x－x，x∈R，所以g'（x）＝cs x＋ex＋e－x－1，易得ex＋
e－x≥2ex·e－x＝2，当且仅当x＝0时等号成立，而－1≤cs x≤1，则－2≤cs x－1≤0，所以g'（x）＝cs x＋ex＋e－x－1≥0恒成立，即g（x）在R上单调递增，所以f（x）在R上单调递增，因为f（x）＋f（3－2x）＜6＝f（x）＋f（2－x），即f（3－2x）＜f（2－x），所以3－2x＜2－x，解得x＞1.故选B.
（3）已知函数f（x）＝2ln x＋x2－5x在区间（k－12，
k）上为单调函数，则实数k的取值范围是 {12}∪[1，2]∪[52，＋∞） .
解析 f '（x）＝2x＋2x－5＝（2x－1)(x－2）x，x＞0.易知k≥12.函数f（x）在（k－12，k）上单调，即二次函数y＝（2x－1）（x－2）在（k－12，k）上无零点.
作出y＝（2x－1）（x－2）在（0，＋∞）上的图象，如图，则（k－12，k）⊆（0，12）或（k－12，k）⊆（12，2）或（k－12，k）⊆（2，＋∞），所以实数k的取值范围是{12}∪[1，2]∪[52，＋∞）.
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泰勒公式在比较大小中的应用
例6 [2022新高考卷Ⅰ]设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln 0.9，则（ C ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b
解析 解法一（泰勒公式） a＝0.1e0.1≈0.1（1＋0.1＋0.005）＝0.110 5，b≈0.111…，c＝－ln[1＋（－0.1）]≈－（－0.1－0.005－0.000 3）＝0.105 3，所以c＜a＜b.
解法二 设u（x）＝xex（0＜x≤0.1），v（x）＝x1－x（0＜x≤0.1），w（x）＝－ln（1－x）（0＜x≤0.1），则当0＜x≤0.1时，u（x）＞0，v（x）＞0，w（x）＞0.
①设f（x）＝ln[u（x）]－ln[v（x）]＝ln x＋x－[ln x－ln（1－x）]＝x＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则f'（x）＝1－11－x＝xx－1＜0在（0，0.1]上恒成立，所以f（x）在（0，0.1]上单调递减，所以f（0.1）＜0＋ln（1－0）＝0，即ln[u（0.1）]－ln[v（0.1）]＜0，所以
ln[u（0.1）]＜ln[v（0.1）]，又函数y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，所以u（0.1）＜
v（0.1），即0.1e0.1＜19，所以a＜b.
②设g（x）＝u（x）－w（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则g'（x）＝（x＋1）ex－11－x＝（1－x2）ex－11－x（0＜x≤0.1），设h（x）＝（1－x2）ex－1（0＜x≤0.1），则h'（x）＝（1－2x－x2）ex＞0在（0，0.1]上恒成立，所以h（x）在（0，0.1]上单调递增，所以
h（x）＞（1－02）×e0－1＝0，即g'（x）＞0在（0，0.1]上恒成立，所以g（x）在（0，0.1]上单调递增，所以g（0.1）＞0×e0＋ln（1－0）＝0，即g（0.1）＝u（0.1）－
w（0.1）＞0，
所以0.1e0.1＞－ln 0.9，即a＞c.综上，c＜a＜b，故选C.
方法技巧
1.泰勒公式
若函数f（x）在含有x0的开区间（a，b）内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和：
f（x）＝f（x0）＋f '（x0）·（x－x0）＋f ″（x0）2！·（x－x0）2＋f ‴（x0）3！·（x－x0）3＋…＋f（n）（x0）n！·（x－x0）n＋Rn（x）.
2.常见的泰勒展开式
在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：
（1）ex＝1＋x＋x22！＋x33！＋…＋xnn！＋…；
（2）ln（x＋1）＝x－x22＋x33－…＋（－1）n＋1xnn＋…；
（3）sin x＝x－x33！＋x55！－…＋（－1）n－1·x2n－1（2n－1)!＋…；
（4）cs x＝1－x22！＋x44！－…＋（－1）n·x2n（2n)!＋….
训练4 若a＝ln1－，b＝0.02sin 0.01，c＝0.01sin 0.02，则（ B ）
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 解法一 易知a＝ln1－＜ln 1＝0，而b＞0，c＞0.由泰勒展开式，得b＝0.02sin 0.01≈0.02×[0.01－（0.01）33！]＝2×10－4－13×10－8，c＝0.01sin 0.02≈0.01×[0.02－（0.02）33！]＝2×10－4－43×10－8.因为13×10－8＜43×10－8，所以b＞c.故b＞c＞a.
解法二 a＝ln1－＜ln 1＝0，b＝0.02×sin 0.01＞0，c＝0.01sin 0.02＞0，排除选项C，D.
设f（x）＝sinxx，x∈（0，π），则f '（x）＝xcsx－sinxx2，令g（x）＝xcs x－sin x，则
g'（x）＝cs x－xsin x－cs x＝－xsin x，当x∈（0，π）时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，π）上单调递减，从而g（x）＜g（0）＝0，即f '（x）＜0，
所以f（x）在（0，π）上单调递减，从而f（0.01）＞f（0.02），即＞，
所以0.02sin 0.01＞0.01sin 0.02，即b＞c，综上可知a＜c＜b.
故选B.
1.[命题点1/多选/2024山东省青岛市检测]若函数g（x）＝exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的为（ BC ）
A.f（x）＝5－xB.f（x）＝2－x
C.f（x）＝34x2＋1D.f（x）＝x3
解析 对于A选项，exf（x）＝ex·5－x＝（e5）x，在R上单调递减，故f（x）＝5－x不具有M性质；
对于B选项，exf（x）＝ex·2－x＝（e2）x，e2＞1，在R上单调递增，故f（x）＝2－x具有M性质；
对于C选项，exf（x）＝ex（34x2＋1），则[exf（x）]'＝ex（34x2＋1）＋ex·32x＝ex（34x2＋32x＋1）＝34ex[（x＋1）2＋13]＞0，所以exf（x）＝ex（34x2＋1）在R上单调递增，故f（x）＝34x2＋1具有M性质；
对于D选项，f（x）＝x3的定义域为R，则exf（x）＝exx3，[exf（x）]'＝exx3＋3x2ex＝
x2ex（x＋3），令ex·x2（x＋3）＜0，解得x＜－3，所以exf（x）在（－∞，－3）上单调递减，故f（x）＝x3不具有M性质.故选BC.
2.[命题点2/2023绵阳市一诊]已知函数f（x）＝x2＋12ln x－mx＋m－1（m∈R）.
（1）讨论函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性；
（2）当x∈[12，＋∞）时，f（x）≥0，求m的值.
解析 （1）由题意得f '（x）＝2x＋12x－m，∵x＞0，∴2x＋12x≥22x·12x＝2（当且仅当x＝12时等号成立）.
①当m≤2时，不等式f '（x）≥0恒成立（当且仅当x＝12，且m＝2时“＝”成立），
∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
②当m＞2时，由f '（x）＞0，得0＜x＜m－m2－44或x＞m＋m2－44；由f '（x）＜0，得m－m2－44＜x＜m＋m2－44.
∴函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m2－44，＋∞）上单调递增，在（m－m2－44，m＋m2－44）上
单调递减.
综上，当m≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无单调递减区间；
当m＞2时，函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m2－44，＋∞）上单调递增，在（m－m2－44，m＋m2－44）上单调递减.
（2）当x∈[12，＋∞）时，由f（1）＝0知，要使得f（x）≥0恒成立，则f '（1）＝0.
又f '（x）＝2x＋12x－m，
∴f '（1）＝2＋12－m＝0，解得m＝52.
下证：当m＝52时，f（x）≥0恒成立，
此时f（x）＝x2＋12ln x－52x＋32.
f '（x）＝2x＋12x－52＝4x2－5x+12x＝（4x－1)(x－1）2x.
∵x∈[12，＋∞），
∴由f '（x）＞0，解得x＞1，
由f '（x）＜0，解得12≤x＜1.
∴f（x）在[12，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.∴f（x）≥f（1）＝0.
综上，m＝52.
3.[命题点3角度2/2021全国卷乙]设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝1.04－1，则（ B ）
A.a＜b＜cB.b＜c＜a
C.b＜a＜cD.c＜a＜b
解析 b－c＝ln 1.02－1.04＋1，设f（x）＝ln （x＋1）－1+2x＋1，则b－c＝
f（0.02），f '（x）＝1x+1－221+2x＝1+2x－（x+1）1+2x·（x+1）.
当x≥0时，x＋1＝（x+1）2≥1+2x，故当x≥0时，f '（x）＝1+2x－（x+1）1+2x·（x+1）≤0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
所以f（x）在[0，＋∞）上单调递减，
所以f（0.02）＜f（0）＝0，
即b＜c.
a－c＝2ln 1.01－1.04＋1，设g（x）＝2ln （x＋1）－1+4x＋1，则a－c＝g（0.01），g'（x）＝2x+1－421+4x＝2[1+4x－（x+1)]（x+1）1+4x，
当0≤x＜2时，4x+1≥（x+1）2＝x＋1，
故当0≤x＜2时，g'（x）≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
所以g（x）在[0，2）上单调递增，
所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜a，从而有b＜c＜a，故选B.
4.[命题点3角度3/2023广州二模]已知偶函数f（x）与其导函数f '（x）的定义域均为R，且f '（x）＋e－x＋x也是偶函数，若f（2a－1）＜f（a＋1），则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，2）B.（0，2）
C.（2，＋∞）D.（－∞，0）∪（2，＋∞）
解析 因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x），等式两边求导可得f '（x）＝
－f '（－x） ①，（易错：对等式f（x）＝f（－x）两边同时求导的时候，要注意等式右边是一个复合函数，不要把负号漏掉了）
因为函数f '（x）＋e－x＋x为偶函数，所以f '（x）＋e－x＋x＝f '（－x）＋ex－x ②，
联立①②可得f '（x）＝ex－e－x2－x.
令g（x）＝f '（x），则g'（x）＝ex+e－x2－1≥ex·e－x－1＝0，
当且仅当x＝0时取等号，
所以函数g（x）在R上单调递增，
即函数f '（x）在R上单调递增，故当x＞0时，f '（x）＞f '（0）＝0，
所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（2a－1）＜f（a＋1）可得f（｜2a－1｜）＜f（｜a＋1｜），
所以｜2a－1｜＜｜a＋1｜，整理可得a2－2a＜0，解得0＜a＜2.故选B.
学生用书·练习帮P277
1.函数f（x）＝－ln x＋x的单调递增区间是（ C ）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞） B.（－∞，0）和（1，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞）
解析 因为f（x）＝－ln x＋x，所以f '（x）＝－1x＋1，定义域为（0，＋∞），令f '（x）＞0，则－1x＋1＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）.故选C.
2.若函数f（x）＝13x3－12ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上为减函数，在区间[6，＋∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，5]B.[5，7]
C.[7，＋∞）D.（－∞，5]∪[7，＋∞）
解析 解法一 f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，
＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7].
解法二 f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7].
3.若函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，12）B.[2，＋∞）
C.（0，＋∞）D.（－∞，2）
解析 函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3＋a－2x.
当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上单调递增，不满足题意，舍去；
当a＜2时，令f'（x）＝3＋a－2x＝0，解得x＝2－a3＞0，故此时f（x）在定义域上不单调.
故实数a的取值范围是（－∞，2）.
4.[2024湖南模拟]已知实数a，b，c∈（0，1），e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb，2c＝ecln 2，则（ A ）
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 由题意可得e22＝eaa，e33＝ebb，eln4ln4＝ecc，构造函数f（x）＝exx（x＞0），则f '（x）＝（x－1）exx2，当x∈（0，1）时，f '（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，
f '（x）＞0，f（x）单调递增.因为1＜ln 4＜2＜3，所以f（ln 4）＜f（2）＜f（3），所以
f（c）＜f（a）＜f（b），又a，b，c∈（0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，所以b＜a＜c.故选A.
5.[2023山东泰安二模]已知奇函数f（x）在R上单调递减，g（x）＝xf（x），若a＝
g（－lg25.1），b＝g（3），c＝g（20.8），则a，b，c的大小关系为（ D ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜c＜aD.b＜a＜c
解析 因为f（x）为奇函数且在R上单调递减，所以f（－x）＝－f（x），且当x＞0时，
f（x）＜0.因为g（x）＝xf（x），所以g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），故
g（x）为偶函数.g'（x）＝f（x）＋xf '（x），当x＞0时，因为f（x）＜0，f '（x）≤0，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递减.a＝g（－lg25.1）＝g（lg25.1），因为3＝lg28＞lg25.1＞lg24＝2＞20.8＞0，所以g（3）＜g（lg25.1）＜g（20.8），即b＜a＜c.故选D.
6.[2024贵阳市模拟]已知a＝ln43，b＝27，c＝sin27，则（ B ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜a＜cD.a＜c＜b
解析 构造函数f（x）＝sin x－x，x∈（0，π2），则f'（x）＝cs x－1＜0，∴f（x）在（0，π2）上单调递减，∴f（x）＜0，x∈（0，π2），∴sin x＜x，x∈（0，π2），故c＝sin27＜27＝b.排除A，C.
构造函数g（x）＝ln x－2·x－1x+1，x∈（1，＋∞），
则g'（x）＝1x－2·x+1－（x－1）（x+1）2＝（x－1）2x（x+1）2，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）单调递增，∴g（x）＞0，x∈（1，＋∞），
故a＝ln43＞2×43－143+1＝27＝b，选B.
7.[多选]已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f '（x）为其导函数，则下列结论正确的是（ AC ）
A.f '（1）≥0B.f（1）≥0
C.a2－3b≤0D.a2－3b≥0
解析 因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f'（x）＝3x2＋2ax＋b.因为函数f（x）在R上单调递增，所以f'（x）≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f'（1）≥0恒成立，但f（1）的大小未知.对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0.所以正确的是AC.
8.[2024武汉模拟]若函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，则实数a的最大值为 4－2ln2 .
解析 因为函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，所以f '（x）＝
2ln x＋2x+1x－a＝2ln x＋1x＋2－a≥0在（0，＋∞）上恒成立，即a≤2ln x＋1x＋2在（0，
＋∞）上恒成立.
令g（x）＝2ln x＋1x＋2，x＞0，则g'（x）＝2x－1x2＝2x－1x2，令g'（x）＝0，得x＝12，当0＜x＜12时，g'（x）＜0；当x＞12时，g'（x）＞0.
所以函数g（x）在（0，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以g（x）min＝
g（12）＝4－2ln 2，所以a≤4－2ln 2，即实数a的最大值为4－2ln 2.
9.[2023福州5月质检]不等式x＜sin πx4＋16的解集为 （－∞，23） .
解析 设f（x）＝x－sinπx4－16，则f '（x）＝1－π4csπx4＞0，∴f（x）在R上单调递增，又
f（23）＝0，（提示：观察出特殊解是求解的关键）∴f（x）＜0的解集为{x｜x＜23}，故x＜sin πx4＋16的解集为（－∞，23）.
10.[结构不良题/2023湖北襄阳4月期中]在①f '（ln 3）＝2，②f（x）的图象在点（0，
f（0））处的切线斜率为0，③f（x）的单调递减区间为（0，ln 2）这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.
已知f（x）＝12e2x－（a＋2）ex＋2ax.
（1）若，求实数a的值；
（2）若a∈R，讨论函数f（x）的单调性.
解析 （1）f '（x）＝e2x－（a＋2）ex＋2a＝（ex－2）（ex－a）.
若选条件①，则f '（ln 3）＝（3－2）×（3－a）＝2，所以a＝1.
若选条件②，则f '（0）＝（1－2）×（1－a）＝0，所以a＝1.
若选条件③，则依题意得0和ln 2是关于x的方程（ex－2）（ex－a）＝0的两个根，所以a＝e0＝1.
（2）f '（x）＝（ex－2）（ex－a）.
分以下几种情况讨论：
①当a≤0时，令f '（x）＞0，则x＞ln 2，令f '（x）＜0，则x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增.
②当0＜a＜2时，令f '（x）＞0，则x＞ln 2或x＜ln a，令f '（x）＜0，则ln a＜x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，ln 2）上单调递减.
③当a＝2时，f '（x）＝（ex－2）2≥0，所以f（x）在R上单调递增.
④当a＞2时，令f '（x）＞0，则x＞ln a或x＜ln 2，令f '（x）＜0，则ln 2＜x＜ln a，
所以f（x）在（－∞，ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
综上所述：当a≤0时，f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增；当0＜a＜2时，f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，
ln 2）上单调递减；当a＝2时，f（x）在R上单调递增；当a＞2时， f（x）在（－∞，
ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
11.[2024江西省鹰潭市一模]已知函数f（x）＝xex＋xex＋1，且f（1＋a）＋f（1－a2）＞2，则实数a的取值范围是（ C ）
A.（－2，1）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C.（－1，2）D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）
解析 令F（x）＝f（x）－1＝xex＋xex，定义域为R，则F（－x）＝－xe－x＋－xe－x＝－xex－xex＝－（xex＋xex）＝－F（x），所以F（x）为奇函数，又F'（x）＝（1＋x）ex＋1－xex＝（x+1）e2x+1－xex.
当x≥0时，令g（x）＝（x＋1）e2x＋1－x，
则g'（x）＝e2x＋2（x＋1）e2x－1＝（2x＋3）e2x－1，
因为x≥0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝2＞0，
所以当x≥0时，F'（x）＞0，所以F（x）在[0，＋∞）上单调递增，
又因为F（x）为奇函数，所以F（x）在R上单调递增.
f（1＋a）＋f（1－a2）＞2转化为f（1＋a）－1＋f（1－a2）－1＞0，即F（1＋a）＋F（1－a2）＞0， 所以F（1＋a）＞－F（1－a2）＝F（a2－1），
所以1＋a＞a2－1，即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2，
即实数a的取值范围是（－1，2）.故选C.
12.[2023重庆市三检]已知函数f（x）＝－12｜x+2｜+1，x<0，x3，x≥0，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（ D ）
A.（－4，0）B.[－4，0）
C.[－3，0）D.（－3，0）
解析 f（x）＝12x+2，x＜－2，－12x，－2≤x<0，x3，x≥0， 易知函数f（x）在（－∞，－2），[0，＋∞）上单调递增，在[－2，0）上单调递减，且f（0）＝0，f（－2）＝f（1）＝1，由此作出函数f（x）的图象，如图所示，
因为当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），所以由图可知a＋b＝－4，0＜c＜1，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）＝（a＋b＋c）f（c）＝（c－4）f（c）＝（c－4）c3＝c4－4c3.
令g（c）＝c4－4c3，则当0＜c＜1时，g'（c）＝4c3－12c2＝4c2（c－3）＜0，所以g（c）在（0，1）上单调递减，所以当0＜c＜1时，g（1）＜g（c）＜g（0），即当0＜c＜1时，－3＜g（c）＜0，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（－3，0），故选D.
13.[多选/2024湖北武汉模拟]已知实数a，b满足aea＝bln b＝3，则（ AD ）
A.a＝ln bB.ab＝e
C.b－a＜e－1D.e＋1＜a＋b＜4
解析 因为aea＝3，所以a＞0.令f（x）＝xex，x＞0，则f '（x）＝ex（x＋1）＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.aea＝3，即f（a）＝3，又f（1）＝e＜3，f（2）＝2e2＞3，所以1＜a＜2.因为bln b＝3，所以b＞1.令F（x）＝xln x（x＞1），则F'（x）＝ln x＋1＞0，所以F（x）在（1，＋∞）上单调递增，又F（e）＝e＜3，F（3）＝3ln 3＞3，所以e＜b＜3.
对A，因为aea＝bln b＝ln b·eln b，所以f（a）＝f（ln b），因为a＞0，ln b＞0，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以a＝ln b，选项A正确.
对B，因为bln b＝3，a＝ln b，所以ab＝3，选项B错误.
对C，b－a＝b－ln b，令g（b）＝b－ln b，e＜b＜3，则g'（b）＝1－1b＝b－1b＞0在（e，3）上恒成立，所以g（b）在（e，3）上单调递增，所以g（b）＞e－ln e＝e－1，即b－a＞e－1，选项C错误.
对D，因为a＝ln b，所以a＋b＝b＋ln b，因为y＝b＋ln b在（e，3）上单调递增，所以e＋1＜b＋ln b＜3＋ln 3，即e＋1＜a＋b＜3＋ln 3.因为ab＝3，所以a＋b＝a＋3a，令h（a）＝a＋3a，1＜a＜2，则h（a）在（1，3）上单调递减，在（3，2）上单调递增，又
h（1）＝4，h（2）＝2＋32＝3.5，h（3）＝23，所以23≤h（a）＜4，即23≤a＋b＜4.所以e＋1＜a＋b＜4，选项D正确.综上，选AD.
14.[全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝2ln x＋1.
（1）若f（x）≤2x＋c，求c的取值范围；
（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝f（x）－f（a）x－a的单调性.
解析 设h（x）＝f（x）－2x－c，则h（x）＝2ln x－2x＋1－c，
其定义域为（0，＋∞），h'（x）＝2x－2.
（1）当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0.所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减.从而当x＝1时，h（x）取得最大值，最大值为
h（1）＝－1－c.
故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f（x）≤2x＋c.
所以c的取值范围为[－1，＋∞）.
（2）g（x）＝f（x）－f（a）x－a＝2（lnx－lna）x－a，x∈（0，a）∪（a，＋∞）.
g'（x）＝2（x－ax＋lna－lnx）（x－a）2＝2（1－ax＋lnax）（x－a）2.
取c＝－1得h（x）＝2ln x－2x＋2，h（1）＝0，则由（1）知，当x≠1时，h（x）＜0，即1－x＋ln x＜0.故当x∈（0，a）∪（a，＋∞）时，1－ax＋ln ax＜0，从而g'（x）＜0.
所以g（x）在区间（0，a），（a，＋∞）上单调递减.
15.[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝（1x＋a）ln（1＋x）.
（1）当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程.
（2）若函数f（x）在（0，＋∞）单调递增，求a的取值范围.
解析 （1）当a＝－1时，f（x）＝（1x－1）ln（1＋x），
f '（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x－1）·11+x，
所以f '（1）＝－ln 2，
又f（1）＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－1）ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0.
（2）由题意得f'（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x＋a）·11+x＝ax2＋xx+1－ln（1+x）x2≥0（x＞0），即ax2＋xx+1－ln（1＋x）≥0（x＞0）.
设g（x）＝ax2＋xx+1－ln（1＋x）（x＞0），则g'（x）＝ax2+2ax+1（x+1）2－1x+1＝x（ax+2a－1）（x+1）2（x＞0）.
当a≤0时，则g'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，即g（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以g（x）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
当a＞0时，令ax＋2a－1＝0，则x＝1－2aa.
若1－2aa≤0，即a≥12，则g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞0+00+1－ln（1＋0）＝0，满足题意.
若1－2aa＞0，即0＜a＜12，则g（x）在（0，1－2aa）上单调递减，在（1－2aa，＋∞）上单调递增，则有g（1－2aa）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
综上，a的取值范围是[12，＋∞）.
16.[条件创新]已知ε＞0，x，y∈（－π4，π4），且ex＋ε·sin y＝eysin x，则下列关系式恒成立的为（ A ）
A.cs x≤cs yB.cs x≥cs y
C.sin x≤sin yD.sin x≥sin y
解析 构造函数f（x）＝sinxex，x∈（－π4，π4），则f '（x）＝csx－sinxex，当x∈（－π4，π4）时，cs x＞sin x，f '（x）＝csx－sinxex＞0，所以f（x）＝sinxex在（－π4，π4）上单调递增.
易知0＜ex，0＜ey，eε＞1，则当sinxex＋ε＝sinyey＞0时，sinxex＞sinyey＞0，所以π4＞x＞y＞0，所以0＜sin y＜sin x，cs x＜cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＜0时，sinxex＜sinyey＜0，所以－π4＜x＜y＜0，所以sin x＜sin y＜0，cs x＜
cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＝0时，x＝y＝0，所以sin x＝sin y，cs x＝cs y.故选A.
17.[条件创新]函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是 （0，e）（或（0，e]） .
解析 显然f（x）＞0恒成立，令g（x）＝ln（f（x））＝1xln x，由复合函数的单调性知，g（x）的单调递增区间即为所求，令g'（x）＝1－lnxx2＞0，得0＜x＜e，所以函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是（0，e）（或（0，e]）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
不含参函数的单调性
2023全国卷甲T21；2022新高考卷ⅡT22；2021新高考卷ⅠT22；2021全国卷甲T21；2020全国卷ⅠT21；2020全国卷ⅡT21；2019全国卷ⅡT20
本讲是高考的必考内容，有时单独考查，如求函数的单调区间或讨论函数的单调性，有时作为工具求解其他问题，如通过构造函数研究函数的单调性，进而求解极值、最值、不等式、零点等问题，题型以解答题为主，有时也以小题的形式呈现，难度中等.预计2025年高考命题依然稳定，备考中，一定要掌握讨论函数单调性的方法，它是解决很多问题的基础.
含参函数的单调性
2023新高考卷ⅠT19；2021新高考卷ⅡT22；2021全国卷乙T21；2021全国卷甲T20；2019全国卷ⅢT20
函数单调性的应用
2023新高考卷ⅡT6；2023新高考卷ⅡT22；2023全国卷乙T16；2022新高考卷ⅠT7；2022全国卷甲T12；2021全国卷乙T12
条件
结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导
f '（x）＞0
f（x）在区间（a，b）内单调递① 增
② f'（x）＜0
f（x）在区间（a，b）内单调递减
恒有③ f'（x）＝0
f（x）在区间（a，b）内是常数函数
学生用书P053
1.函数的单调性与导数的关系
思维拓展
用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
（1）f '（x）＞0（＜0）是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充分不必要条件.
（2）f '（x）≥0（≤0）是f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的必要不充分条件.
（3）若f '（x）在区间（a，b）的任意子区间内都不恒等于零，则f '（x）≥0（≤0）是
f（x）在区间（a，b）内单调递增（减）的充要条件.
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的④ 定义域 ；
第2步，求出导数f '（x）的⑤ 零点 ；
第3步，用f '（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f '（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.
1.[2024陕西汉中模拟]函数f（x）＝x2－5ln x－3x－1的单调递减区间为（ D ）
A.（32，＋∞） B.（0，32）C.（52，＋∞）D.（0，52）
解析 f '（x）＝2x－5x－3＝2x2－3x－5x＝（x+1)(2x－5）x（x＞0），当x∈（0，52）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（0，52）上单调递减，所以f（x）的单调递减区间为（0，52）.
2.已知导函数y＝f '（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ B ）
A B C D
解析 解法一 由y＝f '（x）的图象自左到右先上升后下降，可知函数y＝f（x）图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确.
解法二 由于f '（x）＞0（－1≤x≤1）恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f（x）在[－1，1]上单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足.
由于x＞0时，随着x的变大f '（x）越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平缓”；当x＜0时，随着x的变大 f '（x）越来越大，故函数值增加得越来越快，图象越来越“陡峭”，可以判断B正确.
3.已知函数f（x）＝sin x＋cs x－2x，a＝f（－π），b＝f（20），c＝f（ln 2），则a，b，c的大小关系是（ A ）
A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞b＞a
解析 因为函数f（x）＝sin x＋cs x－2x，所以f '（x）＝cs x－sin x－2＝2cs（x＋π4）－2＜0，所以f（x）为R上的减函数，因为－π＜ln 2＜1＝20，所以f（－π）＞f（ln 2）＞
f（20），即a＞c＞b.故选A.
4.[多选]下列说法正确的是（ BC ）
A.若函数f（x）在定义域上都有f '（x）＜0，则函数f（x）在定义域上一定单调递减
B.在（a，b）上f '（x）＞0（f '（x）＜0）是函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充分不必要条件
C.在（a，b）上f '（x）≤0，且f '（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）上单调递减
D.若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则一定有f '（x）＞0
解析 对于A，不一定，如函数y＝1x的导函数y'＝－1x2，在其定义域上y'＝－1x2＜0恒成立，但是函数y＝1x在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是单调递减的；对于B，结合导数与函数的单调性可知B正确；对于C，数形结合可知C正确；对于D，如函数f（x）＝x3在R上单调递增，但f '（x）＝3x2在R上有零点，即f '（x）≥0.故选BC.
学生用书P054
命题点1 不含参函数的单调性
例1 （1）[2024重庆南开中学模拟]已知函数f（x）＝xsin x＋cs x，x∈[0，2π]，则
f（x）的单调递减区间是（ B ）
A.[0，π2]B.[π2，3π2]
C.[π，2π]D.[3π2，2π]
解析 f '（x）＝xcs x，令f '（x）＝xcs x≤0，则x＝0（舍去）或π2≤x≤3π2，仅在x＝π2和x＝3π2时取等号，故f（x）的单调递减区间是[π2，3π2]，故选B.
（2）若函数f（x）＝lnx+1ex，则函数f（x）的单调递增区间为 （0，1） .
解析 f（x）的定义域为（0，＋∞），f '（x）＝1x－lnx－1ex，令φ（x）＝1x－ln x－1（x＞0），易知φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，
φ（x）＞0，即f '（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，即f '（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）.
方法技巧
利用导数求函数单调区间的思路：解不等式 f '（x）＞0或f '（x）＜0求出单调区间.若导函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解.
注意 （1）求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；（2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
训练1 已知函数f（x）＝（2＋x）ln（1＋x）－2x，讨论函数f（x）的单调性.
解析 由题知函数f（x）的定义域为（－1，＋∞），f '（x）＝ln（1＋x）－x1+x.
设函数g（x）＝f '（x）＝ln（1＋x）－x1+x，则g'（x）＝x（1+x）2.
当－1＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0.
故当x＞－1时，g（x）≥g（0）＝0，
且仅当x＝0时，g（x）＝0，从而f '（x）≥0，且仅当x＝0时，f '（x）＝0.
所以f（x）在（－1，＋∞）上单调递增.
命题点2 含参函数的单调性
例2 已知函数f（x）＝12ax2－（a＋1）x＋ln x，a＞0，讨论函数y＝f（x）的单调性.
解析 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f '（x）＝ax－（a＋1）＋1x＝ax2－（a+1）x+1x＝（ax－1)(x－1）x.
令f '（x）＝0，得x＝1a或x＝1.
①当0＜a＜1时，1a＞1，
∴x∈（0，1）∪（1a，＋∞）时，f '（x）＞0；x∈（1，1a）时，f '（x）＜0.
∴函数f（x）在（0，1）和（1a，＋∞）上单调递增，在（1，1a）上单调递减.
②当a＝1时，1a＝1，
∴f '（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，
∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
③当a＞1时，0＜1a＜1，
∴x∈（0，1a）∪（1，＋∞）时，f '（x）＞0；x∈（1a，1）时，f '（x）＜0.
∴函数f（x）在（0，1a）和（1，＋∞）上单调递增，在（1a，1）上单调递减.
综上，当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1）和（1a，＋∞）上单调递增，在（1，1a）上单调递减；
当a＝1时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＞1时，函数f（x）在（0，1a）和（1，＋∞）上单调递增，在（1a，1）上单调递减.
方法技巧
求解含参函数的单调性的技巧
一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：（1）讨论f '（x）＝0是否有根；（2）讨论f '（x）＝0的根是否在定义域内；（3）讨论根的大小关系.
注意 若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0，判别式Δ的正负等.
训练2 [2021全国卷乙节选]已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1，讨论f（x）的单调性.
解析 由题意知f（x）的定义域为R，f '（x）＝3x2－2x＋a，令f '（x）＝0，则Δ＝
（－2）2－4×3a＝4（1－3a）.
①当Δ≤0，即a≥13时，f '（x）≥0，等号不恒成立，此时f（x）在R上单调递增.
②当Δ＞0，即a＜13时，由f '（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝1－1－3a3，x2＝1+1－3a3.
当x∈（－∞，1－1－3a3）时，f '（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1－1－3a3，1+1－3a3）时，f '（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1+1－3a3，＋∞）时，f '（x）＞0，f（x）单调递增.
综上，当a≥13时，f（x）在R上单调递增；当a＜13时，f（x）在（－∞，1－1－3a3）和（1+1－3a3，＋∞）上单调递增，在（1－1－3a3，1+1－3a3）上单调递减.
命题点3 函数单调性的应用
角度1 已知函数的单调性求参数
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，则a的最小值为（ C ）
A.e2B.eC.e－1D.e－2
解析 因为函数f（x）＝aex－ln x，所以f'（x）＝aex－1x.因为函数f（x）在（1，2）单调递增，所以f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－1x≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜1a≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.
当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以在（1，2）上，g（x）＞e，所以1a≤e，即a≥1e＝e－1，故选C.
（2）[2024贵阳市模拟]若函数f（x）＝x3－12ax2＋x在[1，3]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 （4，＋∞） .
解析 由题意知f'（x）＝3x2－ax＋1.由函数f（x）在[1，3]上存在单调递减区间，可知∃x∈[1，3]，使得f'（x）＜0，即∃x∈[1，3]，3x2－ax＋1＜0，
也即当x∈[1，3]时，（3x＋1x）min＜a.
令g（x）＝3x＋1x，x∈[1，3]，则g'（x）＝3－1x2＝3x2－1x2，x∈[1，3].
当x∈[1，3]时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）min＝g（1）＝4.
所以a＞4，即a的取值范围为（4，＋∞）.
方法技巧
已知函数的单调性求参数的解题技巧
（1）若可导函数f（x）在区间D上单调递增（或递减），则f '（x）≥0（或f '（x）≤0）对x∈D恒成立问题.
注意 “＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.
（2）若可导函数f（x）在某一区间上存在单调区间，则f '（x）＞0（或f '（x）＜0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.
（3）若f（x）在区间D上不单调，则函数f '（x）在区间D上存在变号零点.也可先求出
f（x）在区间D上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解.
（4）若已知f（x）在区间I（含参数）上的单调性，则先求出f（x）的单调区间，然后令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.
角度2 利用函数的单调性比较大小
例4 （1）[2024福州市一检]已知a＝1e，b＝ln2，c＝ln55，则（ A ）
A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b
解析 a＝1e＝ln ee，b＝ln2＝ln22＝ln44，c＝ln55＝ln55.令f（x）＝lnxx，则f '（x）＝1－lnxx2，当x≥e时，f '（x）≤0，故f（x）在区间[e，＋∞）上单调递减.因为e＜4＜5，所以f（e）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c，故选A.
（2）[2023福建省龙岩市质检]已知函数f（x）＝sin x－xcs x，若a＝f（lg2e），b＝
f（ln 3），c＝f（sin e），则a，b，c的大小关系为（ B ）
A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a
解析 f '（x）＝cs x－cs x＋xsin x＝xsin x，当x∈（0，π）时，f '（x）＞0，所以f（x）在（0，π）上单调递增，因为ln 2ln 3＜（ln2+ln32）2＝（ln6ln e2）2＜1，所以1＜ln 3＜1ln2＝1lg22lg2e＝lg2e.因为sin e＜1，所以sin e＜ln 3＜lg2e，又f（x）在（0，π）上单调递增，所以
f（sin e）＜f（ln 3）＜f（lg2e），即a＞b＞c.故选B.
角度3 利用函数的单调性解不等式
例5 [江苏高考]已知函数f（x）＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数.若f（a－1）＋f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是 [－1，12] .
解析 由f（x）＝x3－2x＋ex－1ex，x∈R，得f（－x）＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f（x），所以
f（x）是奇函数，又f '（x）＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2ex·1ex＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f（x）在R上单调递增，所以不等式f（a－1）＋f（2a2）≤0⇔f（a－1）≤－f（2a2）＝f（－2a2）⇔a－1≤－2a2，解得－1≤a≤12，即实数a的取值范围是[－1，12].
方法技巧
利用函数的单调性比较大小或解不等式的思路：利用导数判断已知或构造的函数的单调性，由单调性比较大小或解不等式.
训练3 （1）[2023江西省鹰潭市一模]已知a＝1－e－0.2，b＝tan 15，c＝ln 54，其中e为自然对数的底数，则（ A ）
A.c＞b＞aB.b＞c＞a
C.b＞a＞cD.c＞a＞b
解析 由题知a＝1－e－0.2，b＝tan15＝tan 0.2，设f（x）＝1－e－x－tan x，0＜x＜1，则
f '（x）＝e－x－1cs2x，由0＜x＜1，得0＜e－x＜1，1cs2x＞1，于是f '（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，因此f（x）＜0，即1－e－x＜tan x，则1－e－0.2＜tan 0.2，即有a＜b.由b＝tan 0.2，c＝ln 54＝－ln 0.8＝－ln（1－0.2），设g（x）＝tan x＋ln（1－x），0＜x＜1，则g'（x）＝1cs2x－11－x＝sin2x－x（1－x）cs2x，令φ（x）＝sin x－x，0＜x＜1，φ'（x）＝cs x－1＜0，函数φ（x）在（0，1）上单调递减，则φ（x）＜0，即0＜sin x＜x，于是sin2x＜sin x＜x，即有g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，因此g（x）＜0，即tan x＜－ln（1－x），于是tan 0.2＜－ln（1－0.2），即b＜c，所以a＜b＜c.故选A.
（2）[2024安徽模拟]设函数f（x）＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－x＋4，则满足f（x）＋
f（3－2x）＜6的x的取值范围是（ B ）
A.（3，＋∞）B.（1，＋∞）
C.（－∞，3）D.（－∞，1）
解析 设g（x）＝sin x＋ex－e－x－x，x∈R，则g（－x）＝sin（－x）＋e－x－ex＋x，因为
g（x）＋g（－x）＝0，所以g（x）为奇函数.
又f（x）＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－x＋4＝sin（x－1）＋ex－1－e1－x－（x－1）＋3＝
g（x－1）＋3，
所以f（x）的图象是由g（x）的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到的，所以f（x）的图象的对称中心为（1，3），所以f（x）＋f（2－x）＝6.
因为g（x）＝sin x＋ex－e－x－x，x∈R，所以g'（x）＝cs x＋ex＋e－x－1，易得ex＋
e－x≥2ex·e－x＝2，当且仅当x＝0时等号成立，而－1≤cs x≤1，则－2≤cs x－1≤0，所以g'（x）＝cs x＋ex＋e－x－1≥0恒成立，即g（x）在R上单调递增，所以f（x）在R上单调递增，因为f（x）＋f（3－2x）＜6＝f（x）＋f（2－x），即f（3－2x）＜f（2－x），所以3－2x＜2－x，解得x＞1.故选B.
（3）已知函数f（x）＝2ln x＋x2－5x在区间（k－12，
k）上为单调函数，则实数k的取值范围是 {12}∪[1，2]∪[52，＋∞） .
解析 f '（x）＝2x＋2x－5＝（2x－1)(x－2）x，x＞0.易知k≥12.函数f（x）在（k－12，k）上单调，即二次函数y＝（2x－1）（x－2）在（k－12，k）上无零点.
作出y＝（2x－1）（x－2）在（0，＋∞）上的图象，如图，则（k－12，k）⊆（0，12）或（k－12，k）⊆（12，2）或（k－12，k）⊆（2，＋∞），所以实数k的取值范围是{12}∪[1，2]∪[52，＋∞）.
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泰勒公式在比较大小中的应用
例6 [2022新高考卷Ⅰ]设a＝0.1e0.1，b＝19，c＝－ln 0.9，则（ C ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b
解析 解法一（泰勒公式） a＝0.1e0.1≈0.1（1＋0.1＋0.005）＝0.110 5，b≈0.111…，c＝－ln[1＋（－0.1）]≈－（－0.1－0.005－0.000 3）＝0.105 3，所以c＜a＜b.
解法二 设u（x）＝xex（0＜x≤0.1），v（x）＝x1－x（0＜x≤0.1），w（x）＝－ln（1－x）（0＜x≤0.1），则当0＜x≤0.1时，u（x）＞0，v（x）＞0，w（x）＞0.
①设f（x）＝ln[u（x）]－ln[v（x）]＝ln x＋x－[ln x－ln（1－x）]＝x＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则f'（x）＝1－11－x＝xx－1＜0在（0，0.1]上恒成立，所以f（x）在（0，0.1]上单调递减，所以f（0.1）＜0＋ln（1－0）＝0，即ln[u（0.1）]－ln[v（0.1）]＜0，所以
ln[u（0.1）]＜ln[v（0.1）]，又函数y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，所以u（0.1）＜
v（0.1），即0.1e0.1＜19，所以a＜b.
②设g（x）＝u（x）－w（x）＝xex＋ln（1－x）（0＜x≤0.1），则g'（x）＝（x＋1）ex－11－x＝（1－x2）ex－11－x（0＜x≤0.1），设h（x）＝（1－x2）ex－1（0＜x≤0.1），则h'（x）＝（1－2x－x2）ex＞0在（0，0.1]上恒成立，所以h（x）在（0，0.1]上单调递增，所以
h（x）＞（1－02）×e0－1＝0，即g'（x）＞0在（0，0.1]上恒成立，所以g（x）在（0，0.1]上单调递增，所以g（0.1）＞0×e0＋ln（1－0）＝0，即g（0.1）＝u（0.1）－
w（0.1）＞0，
所以0.1e0.1＞－ln 0.9，即a＞c.综上，c＜a＜b，故选C.
方法技巧
1.泰勒公式
若函数f（x）在含有x0的开区间（a，b）内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和：
f（x）＝f（x0）＋f '（x0）·（x－x0）＋f ″（x0）2！·（x－x0）2＋f ‴（x0）3！·（x－x0）3＋…＋f（n）（x0）n！·（x－x0）n＋Rn（x）.
2.常见的泰勒展开式
在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：
（1）ex＝1＋x＋x22！＋x33！＋…＋xnn！＋…；
（2）ln（x＋1）＝x－x22＋x33－…＋（－1）n＋1xnn＋…；
（3）sin x＝x－x33！＋x55！－…＋（－1）n－1·x2n－1（2n－1)!＋…；
（4）cs x＝1－x22！＋x44！－…＋（－1）n·x2n（2n)!＋….
训练4 若a＝ln1－，b＝0.02sin 0.01，c＝0.01sin 0.02，则（ B ）
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 解法一 易知a＝ln1－＜ln 1＝0，而b＞0，c＞0.由泰勒展开式，得b＝0.02sin 0.01≈0.02×[0.01－（0.01）33！]＝2×10－4－13×10－8，c＝0.01sin 0.02≈0.01×[0.02－（0.02）33！]＝2×10－4－43×10－8.因为13×10－8＜43×10－8，所以b＞c.故b＞c＞a.
解法二 a＝ln1－＜ln 1＝0，b＝0.02×sin 0.01＞0，c＝0.01sin 0.02＞0，排除选项C，D.
设f（x）＝sinxx，x∈（0，π），则f '（x）＝xcsx－sinxx2，令g（x）＝xcs x－sin x，则
g'（x）＝cs x－xsin x－cs x＝－xsin x，当x∈（0，π）时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，π）上单调递减，从而g（x）＜g（0）＝0，即f '（x）＜0，
所以f（x）在（0，π）上单调递减，从而f（0.01）＞f（0.02），即＞，
所以0.02sin 0.01＞0.01sin 0.02，即b＞c，综上可知a＜c＜b.
故选B.
1.[命题点1/多选/2024山东省青岛市检测]若函数g（x）＝exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的为（ BC ）
A.f（x）＝5－xB.f（x）＝2－x
C.f（x）＝34x2＋1D.f（x）＝x3
解析 对于A选项，exf（x）＝ex·5－x＝（e5）x，在R上单调递减，故f（x）＝5－x不具有M性质；
对于B选项，exf（x）＝ex·2－x＝（e2）x，e2＞1，在R上单调递增，故f（x）＝2－x具有M性质；
对于C选项，exf（x）＝ex（34x2＋1），则[exf（x）]'＝ex（34x2＋1）＋ex·32x＝ex（34x2＋32x＋1）＝34ex[（x＋1）2＋13]＞0，所以exf（x）＝ex（34x2＋1）在R上单调递增，故f（x）＝34x2＋1具有M性质；
对于D选项，f（x）＝x3的定义域为R，则exf（x）＝exx3，[exf（x）]'＝exx3＋3x2ex＝
x2ex（x＋3），令ex·x2（x＋3）＜0，解得x＜－3，所以exf（x）在（－∞，－3）上单调递减，故f（x）＝x3不具有M性质.故选BC.
2.[命题点2/2023绵阳市一诊]已知函数f（x）＝x2＋12ln x－mx＋m－1（m∈R）.
（1）讨论函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性；
（2）当x∈[12，＋∞）时，f（x）≥0，求m的值.
解析 （1）由题意得f '（x）＝2x＋12x－m，∵x＞0，∴2x＋12x≥22x·12x＝2（当且仅当x＝12时等号成立）.
①当m≤2时，不等式f '（x）≥0恒成立（当且仅当x＝12，且m＝2时“＝”成立），
∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
②当m＞2时，由f '（x）＞0，得0＜x＜m－m2－44或x＞m＋m2－44；由f '（x）＜0，得m－m2－44＜x＜m＋m2－44.
∴函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m2－44，＋∞）上单调递增，在（m－m2－44，m＋m2－44）上
单调递减.
综上，当m≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无单调递减区间；
当m＞2时，函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m2－44，＋∞）上单调递增，在（m－m2－44，m＋m2－44）上单调递减.
（2）当x∈[12，＋∞）时，由f（1）＝0知，要使得f（x）≥0恒成立，则f '（1）＝0.
又f '（x）＝2x＋12x－m，
∴f '（1）＝2＋12－m＝0，解得m＝52.
下证：当m＝52时，f（x）≥0恒成立，
此时f（x）＝x2＋12ln x－52x＋32.
f '（x）＝2x＋12x－52＝4x2－5x+12x＝（4x－1)(x－1）2x.
∵x∈[12，＋∞），
∴由f '（x）＞0，解得x＞1，
由f '（x）＜0，解得12≤x＜1.
∴f（x）在[12，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.∴f（x）≥f（1）＝0.
综上，m＝52.
3.[命题点3角度2/2021全国卷乙]设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝1.04－1，则（ B ）
A.a＜b＜cB.b＜c＜a
C.b＜a＜cD.c＜a＜b
解析 b－c＝ln 1.02－1.04＋1，设f（x）＝ln （x＋1）－1+2x＋1，则b－c＝
f（0.02），f '（x）＝1x+1－221+2x＝1+2x－（x+1）1+2x·（x+1）.
当x≥0时，x＋1＝（x+1）2≥1+2x，故当x≥0时，f '（x）＝1+2x－（x+1）1+2x·（x+1）≤0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
所以f（x）在[0，＋∞）上单调递减，
所以f（0.02）＜f（0）＝0，
即b＜c.
a－c＝2ln 1.01－1.04＋1，设g（x）＝2ln （x＋1）－1+4x＋1，则a－c＝g（0.01），g'（x）＝2x+1－421+4x＝2[1+4x－（x+1)]（x+1）1+4x，
当0≤x＜2时，4x+1≥（x+1）2＝x＋1，
故当0≤x＜2时，g'（x）≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
所以g（x）在[0，2）上单调递增，
所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜a，从而有b＜c＜a，故选B.
4.[命题点3角度3/2023广州二模]已知偶函数f（x）与其导函数f '（x）的定义域均为R，且f '（x）＋e－x＋x也是偶函数，若f（2a－1）＜f（a＋1），则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，2）B.（0，2）
C.（2，＋∞）D.（－∞，0）∪（2，＋∞）
解析 因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x），等式两边求导可得f '（x）＝
－f '（－x） ①，（易错：对等式f（x）＝f（－x）两边同时求导的时候，要注意等式右边是一个复合函数，不要把负号漏掉了）
因为函数f '（x）＋e－x＋x为偶函数，所以f '（x）＋e－x＋x＝f '（－x）＋ex－x ②，
联立①②可得f '（x）＝ex－e－x2－x.
令g（x）＝f '（x），则g'（x）＝ex+e－x2－1≥ex·e－x－1＝0，
当且仅当x＝0时取等号，
所以函数g（x）在R上单调递增，
即函数f '（x）在R上单调递增，故当x＞0时，f '（x）＞f '（0）＝0，
所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（2a－1）＜f（a＋1）可得f（｜2a－1｜）＜f（｜a＋1｜），
所以｜2a－1｜＜｜a＋1｜，整理可得a2－2a＜0，解得0＜a＜2.故选B.
学生用书·练习帮P277
1.函数f（x）＝－ln x＋x的单调递增区间是（ C ）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞） B.（－∞，0）和（1，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞）
解析 因为f（x）＝－ln x＋x，所以f '（x）＝－1x＋1，定义域为（0，＋∞），令f '（x）＞0，则－1x＋1＞0，解得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）.故选C.
2.若函数f（x）＝13x3－12ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上为减函数，在区间[6，＋∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，5]B.[5，7]
C.[7，＋∞）D.（－∞，5]∪[7，＋∞）
解析 解法一 f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，
＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7].
解法二 f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7].
3.若函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，12）B.[2，＋∞）
C.（0，＋∞）D.（－∞，2）
解析 函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3＋a－2x.
当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上单调递增，不满足题意，舍去；
当a＜2时，令f'（x）＝3＋a－2x＝0，解得x＝2－a3＞0，故此时f（x）在定义域上不单调.
故实数a的取值范围是（－∞，2）.
4.[2024湖南模拟]已知实数a，b，c∈（0，1），e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb，2c＝ecln 2，则（ A ）
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 由题意可得e22＝eaa，e33＝ebb，eln4ln4＝ecc，构造函数f（x）＝exx（x＞0），则f '（x）＝（x－1）exx2，当x∈（0，1）时，f '（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时，
f '（x）＞0，f（x）单调递增.因为1＜ln 4＜2＜3，所以f（ln 4）＜f（2）＜f（3），所以
f（c）＜f（a）＜f（b），又a，b，c∈（0，1），f（x）在（0，1）上单调递减，所以b＜a＜c.故选A.
5.[2023山东泰安二模]已知奇函数f（x）在R上单调递减，g（x）＝xf（x），若a＝
g（－lg25.1），b＝g（3），c＝g（20.8），则a，b，c的大小关系为（ D ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜c＜aD.b＜a＜c
解析 因为f（x）为奇函数且在R上单调递减，所以f（－x）＝－f（x），且当x＞0时，
f（x）＜0.因为g（x）＝xf（x），所以g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），故
g（x）为偶函数.g'（x）＝f（x）＋xf '（x），当x＞0时，因为f（x）＜0，f '（x）≤0，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递减.a＝g（－lg25.1）＝g（lg25.1），因为3＝lg28＞lg25.1＞lg24＝2＞20.8＞0，所以g（3）＜g（lg25.1）＜g（20.8），即b＜a＜c.故选D.
6.[2024贵阳市模拟]已知a＝ln43，b＝27，c＝sin27，则（ B ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.b＜a＜cD.a＜c＜b
解析 构造函数f（x）＝sin x－x，x∈（0，π2），则f'（x）＝cs x－1＜0，∴f（x）在（0，π2）上单调递减，∴f（x）＜0，x∈（0，π2），∴sin x＜x，x∈（0，π2），故c＝sin27＜27＝b.排除A，C.
构造函数g（x）＝ln x－2·x－1x+1，x∈（1，＋∞），
则g'（x）＝1x－2·x+1－（x－1）（x+1）2＝（x－1）2x（x+1）2，
当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）单调递增，∴g（x）＞0，x∈（1，＋∞），
故a＝ln43＞2×43－143+1＝27＝b，选B.
7.[多选]已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f '（x）为其导函数，则下列结论正确的是（ AC ）
A.f '（1）≥0B.f（1）≥0
C.a2－3b≤0D.a2－3b≥0
解析 因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f'（x）＝3x2＋2ax＋b.因为函数f（x）在R上单调递增，所以f'（x）≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f'（1）≥0恒成立，但f（1）的大小未知.对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b≤0，即a2－3b≤0.所以正确的是AC.
8.[2024武汉模拟]若函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，则实数a的最大值为 4－2ln2 .
解析 因为函数f（x）＝（2x＋1）ln x－ax是（0，＋∞）上的增函数，所以f '（x）＝
2ln x＋2x+1x－a＝2ln x＋1x＋2－a≥0在（0，＋∞）上恒成立，即a≤2ln x＋1x＋2在（0，
＋∞）上恒成立.
令g（x）＝2ln x＋1x＋2，x＞0，则g'（x）＝2x－1x2＝2x－1x2，令g'（x）＝0，得x＝12，当0＜x＜12时，g'（x）＜0；当x＞12时，g'（x）＞0.
所以函数g（x）在（0，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以g（x）min＝
g（12）＝4－2ln 2，所以a≤4－2ln 2，即实数a的最大值为4－2ln 2.
9.[2023福州5月质检]不等式x＜sin πx4＋16的解集为 （－∞，23） .
解析 设f（x）＝x－sinπx4－16，则f '（x）＝1－π4csπx4＞0，∴f（x）在R上单调递增，又
f（23）＝0，（提示：观察出特殊解是求解的关键）∴f（x）＜0的解集为{x｜x＜23}，故x＜sin πx4＋16的解集为（－∞，23）.
10.[结构不良题/2023湖北襄阳4月期中]在①f '（ln 3）＝2，②f（x）的图象在点（0，
f（0））处的切线斜率为0，③f（x）的单调递减区间为（0，ln 2）这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.
已知f（x）＝12e2x－（a＋2）ex＋2ax.
（1）若，求实数a的值；
（2）若a∈R，讨论函数f（x）的单调性.
解析 （1）f '（x）＝e2x－（a＋2）ex＋2a＝（ex－2）（ex－a）.
若选条件①，则f '（ln 3）＝（3－2）×（3－a）＝2，所以a＝1.
若选条件②，则f '（0）＝（1－2）×（1－a）＝0，所以a＝1.
若选条件③，则依题意得0和ln 2是关于x的方程（ex－2）（ex－a）＝0的两个根，所以a＝e0＝1.
（2）f '（x）＝（ex－2）（ex－a）.
分以下几种情况讨论：
①当a≤0时，令f '（x）＞0，则x＞ln 2，令f '（x）＜0，则x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增.
②当0＜a＜2时，令f '（x）＞0，则x＞ln 2或x＜ln a，令f '（x）＜0，则ln a＜x＜ln 2，
所以f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，ln 2）上单调递减.
③当a＝2时，f '（x）＝（ex－2）2≥0，所以f（x）在R上单调递增.
④当a＞2时，令f '（x）＞0，则x＞ln a或x＜ln 2，令f '（x）＜0，则ln 2＜x＜ln a，
所以f（x）在（－∞，ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
综上所述：当a≤0时，f（x）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增；当0＜a＜2时，f（x）在（－∞，ln a），（ln 2，＋∞）上单调递增，在（ln a，
ln 2）上单调递减；当a＝2时，f（x）在R上单调递增；当a＞2时， f（x）在（－∞，
ln 2），（ln a，＋∞）上单调递增，在（ln 2，ln a）上单调递减.
11.[2024江西省鹰潭市一模]已知函数f（x）＝xex＋xex＋1，且f（1＋a）＋f（1－a2）＞2，则实数a的取值范围是（ C ）
A.（－2，1）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C.（－1，2）D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）
解析 令F（x）＝f（x）－1＝xex＋xex，定义域为R，则F（－x）＝－xe－x＋－xe－x＝－xex－xex＝－（xex＋xex）＝－F（x），所以F（x）为奇函数，又F'（x）＝（1＋x）ex＋1－xex＝（x+1）e2x+1－xex.
当x≥0时，令g（x）＝（x＋1）e2x＋1－x，
则g'（x）＝e2x＋2（x＋1）e2x－1＝（2x＋3）e2x－1，
因为x≥0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝2＞0，
所以当x≥0时，F'（x）＞0，所以F（x）在[0，＋∞）上单调递增，
又因为F（x）为奇函数，所以F（x）在R上单调递增.
f（1＋a）＋f（1－a2）＞2转化为f（1＋a）－1＋f（1－a2）－1＞0，即F（1＋a）＋F（1－a2）＞0， 所以F（1＋a）＞－F（1－a2）＝F（a2－1），
所以1＋a＞a2－1，即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2，
即实数a的取值范围是（－1，2）.故选C.
12.[2023重庆市三检]已知函数f（x）＝－12｜x+2｜+1，x<0，x3，x≥0，若存在实数a，b，c，当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（ D ）
A.（－4，0）B.[－4，0）
C.[－3，0）D.（－3，0）
解析 f（x）＝12x+2，x＜－2，－12x，－2≤x<0，x3，x≥0， 易知函数f（x）在（－∞，－2），[0，＋∞）上单调递增，在[－2，0）上单调递减，且f（0）＝0，f（－2）＝f（1）＝1，由此作出函数f（x）的图象，如图所示，
因为当a＜b＜c时，满足f（a）＝f（b）＝f（c），所以由图可知a＋b＝－4，0＜c＜1，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）＝（a＋b＋c）f（c）＝（c－4）f（c）＝（c－4）c3＝c4－4c3.
令g（c）＝c4－4c3，则当0＜c＜1时，g'（c）＝4c3－12c2＝4c2（c－3）＜0，所以g（c）在（0，1）上单调递减，所以当0＜c＜1时，g（1）＜g（c）＜g（0），即当0＜c＜1时，－3＜g（c）＜0，所以af（a）＋bf（b）＋cf（c）的取值范围是（－3，0），故选D.
13.[多选/2024湖北武汉模拟]已知实数a，b满足aea＝bln b＝3，则（ AD ）
A.a＝ln bB.ab＝e
C.b－a＜e－1D.e＋1＜a＋b＜4
解析 因为aea＝3，所以a＞0.令f（x）＝xex，x＞0，则f '（x）＝ex（x＋1）＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.aea＝3，即f（a）＝3，又f（1）＝e＜3，f（2）＝2e2＞3，所以1＜a＜2.因为bln b＝3，所以b＞1.令F（x）＝xln x（x＞1），则F'（x）＝ln x＋1＞0，所以F（x）在（1，＋∞）上单调递增，又F（e）＝e＜3，F（3）＝3ln 3＞3，所以e＜b＜3.
对A，因为aea＝bln b＝ln b·eln b，所以f（a）＝f（ln b），因为a＞0，ln b＞0，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以a＝ln b，选项A正确.
对B，因为bln b＝3，a＝ln b，所以ab＝3，选项B错误.
对C，b－a＝b－ln b，令g（b）＝b－ln b，e＜b＜3，则g'（b）＝1－1b＝b－1b＞0在（e，3）上恒成立，所以g（b）在（e，3）上单调递增，所以g（b）＞e－ln e＝e－1，即b－a＞e－1，选项C错误.
对D，因为a＝ln b，所以a＋b＝b＋ln b，因为y＝b＋ln b在（e，3）上单调递增，所以e＋1＜b＋ln b＜3＋ln 3，即e＋1＜a＋b＜3＋ln 3.因为ab＝3，所以a＋b＝a＋3a，令h（a）＝a＋3a，1＜a＜2，则h（a）在（1，3）上单调递减，在（3，2）上单调递增，又
h（1）＝4，h（2）＝2＋32＝3.5，h（3）＝23，所以23≤h（a）＜4，即23≤a＋b＜4.所以e＋1＜a＋b＜4，选项D正确.综上，选AD.
14.[全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝2ln x＋1.
（1）若f（x）≤2x＋c，求c的取值范围；
（2）设a＞0，讨论函数g（x）＝f（x）－f（a）x－a的单调性.
解析 设h（x）＝f（x）－2x－c，则h（x）＝2ln x－2x＋1－c，
其定义域为（0，＋∞），h'（x）＝2x－2.
（1）当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0.所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减.从而当x＝1时，h（x）取得最大值，最大值为
h（1）＝－1－c.
故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f（x）≤2x＋c.
所以c的取值范围为[－1，＋∞）.
（2）g（x）＝f（x）－f（a）x－a＝2（lnx－lna）x－a，x∈（0，a）∪（a，＋∞）.
g'（x）＝2（x－ax＋lna－lnx）（x－a）2＝2（1－ax＋lnax）（x－a）2.
取c＝－1得h（x）＝2ln x－2x＋2，h（1）＝0，则由（1）知，当x≠1时，h（x）＜0，即1－x＋ln x＜0.故当x∈（0，a）∪（a，＋∞）时，1－ax＋ln ax＜0，从而g'（x）＜0.
所以g（x）在区间（0，a），（a，＋∞）上单调递减.
15.[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝（1x＋a）ln（1＋x）.
（1）当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程.
（2）若函数f（x）在（0，＋∞）单调递增，求a的取值范围.
解析 （1）当a＝－1时，f（x）＝（1x－1）ln（1＋x），
f '（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x－1）·11+x，
所以f '（1）＝－ln 2，
又f（1）＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－1）ln 2，即xln 2＋y－ln 2＝0.
（2）由题意得f'（x）＝－1x2ln（1＋x）＋（1x＋a）·11+x＝ax2＋xx+1－ln（1+x）x2≥0（x＞0），即ax2＋xx+1－ln（1＋x）≥0（x＞0）.
设g（x）＝ax2＋xx+1－ln（1＋x）（x＞0），则g'（x）＝ax2+2ax+1（x+1）2－1x+1＝x（ax+2a－1）（x+1）2（x＞0）.
当a≤0时，则g'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，即g（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以g（x）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
当a＞0时，令ax＋2a－1＝0，则x＝1－2aa.
若1－2aa≤0，即a≥12，则g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞0+00+1－ln（1＋0）＝0，满足题意.
若1－2aa＞0，即0＜a＜12，则g（x）在（0，1－2aa）上单调递减，在（1－2aa，＋∞）上单调递增，则有g（1－2aa）＜0+00+1－ln（1＋0）＝0，不满足题意.
综上，a的取值范围是[12，＋∞）.
16.[条件创新]已知ε＞0，x，y∈（－π4，π4），且ex＋ε·sin y＝eysin x，则下列关系式恒成立的为（ A ）
A.cs x≤cs yB.cs x≥cs y
C.sin x≤sin yD.sin x≥sin y
解析 构造函数f（x）＝sinxex，x∈（－π4，π4），则f '（x）＝csx－sinxex，当x∈（－π4，π4）时，cs x＞sin x，f '（x）＝csx－sinxex＞0，所以f（x）＝sinxex在（－π4，π4）上单调递增.
易知0＜ex，0＜ey，eε＞1，则当sinxex＋ε＝sinyey＞0时，sinxex＞sinyey＞0，所以π4＞x＞y＞0，所以0＜sin y＜sin x，cs x＜cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＜0时，sinxex＜sinyey＜0，所以－π4＜x＜y＜0，所以sin x＜sin y＜0，cs x＜
cs y；
当sinxex＋ε＝sinyey＝0时，x＝y＝0，所以sin x＝sin y，cs x＝cs y.故选A.
17.[条件创新]函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是 （0，e）（或（0，e]） .
解析 显然f（x）＞0恒成立，令g（x）＝ln（f（x））＝1xln x，由复合函数的单调性知，g（x）的单调递增区间即为所求，令g'（x）＝1－lnxx2＞0，得0＜x＜e，所以函数f（x）＝x1x（x＞0）的单调递增区间是（0，e）（或（0，e]）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
不含参函数的单调性
2023全国卷甲T21；2022新高考卷ⅡT22；2021新高考卷ⅠT22；2021全国卷甲T21；2020全国卷ⅠT21；2020全国卷ⅡT21；2019全国卷ⅡT20
本讲是高考的必考内容，有时单独考查，如求函数的单调区间或讨论函数的单调性，有时作为工具求解其他问题，如通过构造函数研究函数的单调性，进而求解极值、最值、不等式、零点等问题，题型以解答题为主，有时也以小题的形式呈现，难度中等.预计2025年高考命题依然稳定，备考中，一定要掌握讨论函数单调性的方法，它是解决很多问题的基础.
含参函数的单调性
2023新高考卷ⅠT19；2021新高考卷ⅡT22；2021全国卷乙T21；2021全国卷甲T20；2019全国卷ⅢT20
函数单调性的应用
2023新高考卷ⅡT6；2023新高考卷ⅡT22；2023全国卷乙T16；2022新高考卷ⅠT7；2022全国卷甲T12；2021全国卷乙T12
条件
结论
函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导
f '（x）＞0
f（x）在区间（a，b）内单调递① 增
② f'（x）＜0
f（x）在区间（a，b）内单调递减
恒有③ f'（x）＝0
f（x）在区间（a，b）内是常数函数
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