2025年高考数学精品教案第二章 函数 第1讲 函数的概念及其表示

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学生用书P018
1.函数的概念及表示
注意 （1）与x轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.
常用结论
求函数的定义域时常用的结论
（1）分式型1f（x）要满足f（x）≠0；（2）偶次根式型2nf（x）（n∈N*）要满足f（x）≥0；（3）[f（x）]0要满足f（x）≠0；（4）对数型lgaf（x）（a＞0，且a≠1）要满足
f（x）＞0；（5）正切型tan f（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈Z.
2.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
注意 （1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.
1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（ B ）
A.f（x）＝x2－1 与g（x）＝x－1·x+1 B.f（x）＝x与g（x）＝x3＋xx2+1
C.f（x）＝x与g（x）＝（x）2D.f（x）＝x2 与g（x）＝3x3
2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（ D ）
A.y＝xB.y＝lg xC.y＝2xD.y＝1x
3.[教材改编]已知函数f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，x>1，则f（f（－2））＝（ B ）
A.8B.12C.－34D.－109
解析 因为f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，x>1，所以f（－2）＝（－2）2－1＝3，所以
f（f（－2））＝f（3）＝13－1＝12，故选B.
4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为 {－1，1，3，5，7} .
学生用书P019
命题点1 求函数的定义域
例1 （1）[2022北京高考]函数f（x）＝1x＋1－x的定义域是 （－∞，0）∪（0，1] .
解析 因为f（x）＝1x＋1－x，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].
（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为 [－3，3] .
解析 因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].
命题拓展
若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为 [－12，1] .
解析 由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].
方法技巧
1.求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.
2.求抽象函数的定义域的策略
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.
注意 无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.
训练1 （1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝f（2x+1）x+1的定义域是（ A ）
A.[－32，－1）∪（－1，1]
B.[－3，－1）∪（－1，7]
C.（－1，7]
D.[－32，－1）
解析 因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选A.
（2） [2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为 [23，4）∪（4，＋∞） .
解析 要使函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0有意义，则有3x－2≥0，x－4≠0，解得x≥23且x≠4，
所以函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.
命题点2 求函数的解析式
例2 （1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝ 4x－5或－4x＋253 .
解析 设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴k2=16，kb＋b＝－25，∴k=4，b＝－5或k＝－4，b＝253，∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋253.
（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1x）＝3x－1，则f（x）＝ 2x－1x－13 .
解析 已知2f（x）＋f（1x）＝3x－1 ①，
以1x代替①中的x（x≠0），得2f（1x）＋f（x）＝3x－1 ②，
①×2－②，得3f（x）＝6x－3x－1，故f（x）＝2x－1x－13.
方法技巧
求函数解析式的常用方法
（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.
（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令
g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.
（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.
（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1x），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1x，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x）.
注意 求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.
训练2 （1）已知f（x2＋1x2）＝x4＋1x4，则f（x）的解析式为 f（x）＝x2－2，x∈[2，
＋∞）.
解析 因为f（x2＋1x2）＝（x2＋1x2）2－2，所以f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.
（2）[2024安徽淮南模拟]已知f（x）是二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x＋4，则f（x）＝ x2－2x＋1 .
解析 因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则有a（x＋1）2＋
b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2x2－4x＋4，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x＋4，所以2a=2，2b＝－4，2a+2c=4，所以a=1，b＝－2，c=1，所以f（x）＝x2－2x＋1.
（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f（x）满足3f（x）＋2f（1－x）＝4x，则
f（x）的解析式为 f（x）＝4x－85 .
解析 3f（x）＋2f（1－x）＝4x ①，用1－x代替①中的x可得3f（1－x）＋2f（x）＝
4（1－x） ②，由3×①－2×②可得f（x）＝4x－85.
命题点3 分段函数
角度1 分段函数的求值（求参）问题
例3 （1）[山东高考]设f（x）＝x，00，则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（ D ）
A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）
C.（－1，0）D.（－∞，0）
解析 解法一 当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥
f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使
f（x＋1）＜f（2x），则需x+10，解得0≤x＜12，所以函数f（x）的定义域是[0，12），故选A.
2.[命题点2]定义在（－1，1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则
f（x）＝ 23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1） .
解析 当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1） ①.
以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1） ②.
由①②消去f（－x）得，f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.
3.[命题点3角度1]设函数f（x）＝2－x，x≤1，x2，x>1，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，0]B.[0，2]
C.[2，＋∞）D.（－∞，0]∪[2，＋∞）
解析 作出f（x）的图象（图略），可得f（x）的最小值为12，令t＝f（a），则t≥12，考虑f（t）＝t2的解，作出y＝f（t）与y＝t2在[12，＋∞）上的图象，如图1中实线所示，由图可知，当t≥1时，f（t）＝t2，故t≥1.
下面考虑f（a）≥1的解集，作出y＝f（a）与y＝1的图象如图2所示，由图可得a≤0或a≥2.故选D.
图1图2
4.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f（x）＝－x2+2mx－m2，x≤m，x－m，x＞m，若
f（a2－4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－1，4）B.（－∞，－1）∪（4，＋∞）
C.（－4，1）D.（－∞，－4）∪（1，＋∞）
解析 由题意知f（x）＝－（x－m）2，x≤m，x－m，x＞m，易知函数f（x）在（m，＋∞），
（－∞，m]上单调递增，且m－m＝－（m－m）2，所以函数f（x）在R上单调递增.则由
f（a2－4）＞f（3a），得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是
（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选B.
学生用书·练习帮P264
1.函数f（x）＝3x－1＋1ln（2－x）的定义域为（ C ）
A.[13，1）∪（1，＋∞）B.[13，2）
C.[13，1）∪（1，2）D.（0，2）
解析 要使函数f（x）＝3x－1＋1ln（2－x）有意义，则3x－1≥0，2－x>0，2－x≠1，解得x≥13，x0，x2+4x+1，x≤0，若实数a满足f（f（a））＝1，则实数a的所有取值的和为（ C ）
A.1B.1716－5
C.－1516－5D.－2
解析 作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得xA＝－4，xB＝0，xC＝2.
令f（a）＝－4，则由图可得lg2a＝－4，解得a＝2－4＝116；
令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或lg2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；
令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或lg2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.
所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4＝
－1516－5，
故选C.
10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝x，0