2023-2024学年上海市东新区南汇中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市东新区南汇中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）函数恒过定点的坐标为 ．
2．（3分）已知，则化简的结果是 ．
3．（3分）函数的定义域为 ．
4．（3分）若函数，，，则函数值域为 ．
5．（3分）已知，实数的取值范围为 ．
6．（3分）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是 ．
①；②；③；④；⑤（请填入全部正确的序号）
7．（3分）记，那么 ．
8．（3分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是 ．
9．（3分）已知函数满足：对任意非零实数，均有，则（3） ．
10．（3分）已知的定义域为，，则的定义域是 ．
11．（3分）已知函数是定义在上的偶函数，令，若实数满足，则（a）（c） ．
12．（3分）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，，“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
14．（3分）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是
A．
B．
C．
D．
15．（3分）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为
A．，，B．，，
C．，D．，，
16．（3分）记，已知、均是定义在实数集上的函数，设，，有下列两个命题：
①若函数、都是偶函数，则也是偶函数；
②若函数、都是奇函数，则也是奇函数．
则关于两个命题判断正确的是
A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误
三、解答题（17题8分，18、19题每题10分，20题12分，21题12分，共52分）
17．（8分）设集合为函数的定义域，集合为函数的定义域，若，求实数的取值范围．
18．（10分）已知函数，其中实数为常数．
（1）若，解关于的方程；
（2）若函数是奇函数，求实数的值．
19．（10分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为，为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据，
20．（12分）已知函数的表达式为．
（1）若，，，求函数的值域；
（2）当，时，求函数的最小值（a）；
（3）对于（2）中的函数（a），是否存在实数，，同时满足下列两个条件：；当（a）的定义域为，，其值域为，；若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数．
（1）判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由；
（2）若函数是定义在，上的“无奇”函数，求实数的取值范围；
（3）若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．（3分）函数恒过定点的坐标为 ．
解：函数且，令，得（1），
可得它的图象恒过定点
故答案为：．
2．（3分）已知，则化简的结果是 ．
解：．
故答案为：．
3．（3分）函数的定义域为 ， ．
解：令，得，
所以函数的定义域为，．
故答案为：，．
4．（3分）若函数，，，则函数值域为 ．
解：函数，，，
因为函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
又（1），（2），
所以的最大值为4，
则的值域为．
故答案为：．
5．（3分）已知，实数的取值范围为 ．
解：，，，
故答案为：．
6．（3分）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的是 ②⑤ ．
①；②；③；④；⑤（请填入全部正确的序号）
解：由于函数的定义域为，，故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除①；
由于函数是上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故②满足条件；
由于函数的定义域为，，故它的图像不可能关于原点成中心对称，故排除③；
由于函数是上的减函数，故排除④；
由于函数是上的增函数，且是奇函数，故它的图像关于原点成中心对称，故⑤满足条件，
故答案为：③⑤．
7．（3分）记，那么 1 ．
解：，
则
．
故答案为：1．
8．（3分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是 ， ．
解：是奇函数，在，上是减函数，
在上单调递减，
，
，
即，
，
解得．
故答案为：，．
9．（3分）已知函数满足：对任意非零实数，均有，则（3） 7 ．
解：，
取，则，即（3）．
故答案为：7．
10．（3分）已知的定义域为，，则的定义域是 ， ．
解：函数的定义域为，，
，
．
在函数中，，
．
故答案为：，．
11．（3分）已知函数是定义在上的偶函数，令，若实数满足，则（a）（c） 2022 ．
解：根据题意，若实数满足，则有，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
所以（a）（c）
．
故答案为：2022．
12．（3分）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是 ， ．
解：令，解得，
令，解得，
因为函数的值域为，，又当时，，，
则函数的最大值只能在时取，所以，
且函数的最大值必须大于等于0，则，
综上，实数的范围为，，
故答案为：，．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．（3分）已知，，“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解：但，若不是正数，则，没有意义，
若，则根据对数函数在定义域内单调递增可知，
是的必要不充分条件，
故选：．
14．（3分）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，，令，有，与轴交点为，
令，可得，解可得，即其图象与轴交点也为，
由于且，则函数与坐标轴的交点都在正半轴上，排除、，
当时，为减函数，的图象可以由的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，
而在和上都是减函数，排除．
故选：．
15．（3分）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为
A．，，B．，，
C．，D．，，
解：任意的，有，
则函数在上单调递增，
函数为定义在上的奇函数，故函数在上单调递增，
又因为，
故（1），
又，画出函数简图，如图所示：
当时，，即，；
当时，，即，；
当时，不成立．
综上所述：，，．
故选：．
16．（3分）记，已知、均是定义在实数集上的函数，设，，有下列两个命题：
①若函数、都是偶函数，则也是偶函数；
②若函数、都是奇函数，则也是奇函数．
则关于两个命题判断正确的是
A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误
解：由题意得，①若函数、都是偶函数，则，也是偶函数，；
②函数、都是奇函数，则显然不是上的奇函数．
故选：．
三、解答题（17题8分，18、19题每题10分，20题12分，21题12分，共52分）
17．（8分）设集合为函数的定义域，集合为函数的定义域，若，求实数的取值范围．
解：，
，
因为，
所以，即，解得，
故实数的取值范围为，．
18．（10分）已知函数，其中实数为常数．
（1）若，解关于的方程；
（2）若函数是奇函数，求实数的值．
解：（1）因为，则，解得，则，即，
整理得，则，或，解得或．
故方程的根为1或．
（2）函数是奇函数，又的定义域为，则，解得；
当时，，则，
满足为奇函数，故．
19．（10分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为，为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据，
解：（Ⅰ）令，则，
由图象可知，图象经过，两点，
则有，解得，
所以；
（Ⅱ）由题意可知，有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度在15时为最迟停止注射时间，
故，解得，
浓度在从15时降到4时为最长间隔时间，
故，即，
两边同时取以2为底的对数，
则有，
即
，
所以，
所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．
20．（12分）已知函数的表达式为．
（1）若，，，求函数的值域；
（2）当，时，求函数的最小值（a）；
（3）对于（2）中的函数（a），是否存在实数，，同时满足下列两个条件：；当（a）的定义域为，，其值域为，；若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，，
，，，，则，，
函数的值域为，；
（2）令，
，，即，则，
①当时，则在，上单调递增，则；
②当时，则在，上单调递减，在，上单调递增，则（a）（a）；
③当时，则在，上单调递减，则（a）（3），
综上所述，（a）；
（3）假设满足题意的，存在，
由（2）得（a），
，（a），
（a）在上是严格减函数，
（a）在，上的值域为，，
又（a）在，上的值域为，，则，，
，
又，则，
又，则，与矛盾，
故不存在满足条件的实数，．
21．（12分）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数．
（1）判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由；
（2）若函数是定义在，上的“无奇”函数，求实数的取值范围；
（3）若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围．
解：（1）①因为，符合，
所以不是“无奇“函数；
②恒成立，
所以是“无奇”函数；
（2）在，无解，
即在，无解，
所以，，；
（3）若不是“无奇”函数，
则有解，
即，
即有解，
令，
则，
所以，即，
所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是．