2023-2024学年上海市静安区新中高级中学高一（上）段考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区新中高级中学高一（上）段考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了幂函数的定义域为　 　，已知，，试用、表示　 　，设，且满足，则　 　等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）幂函数的定义域为 ．
2．（4分）已知，，试用、表示 ．
3．（4分）如果幂函数的图像，当时，在直线的上方，那么的取值范围是 ．
4．（4分）光线透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板 块．（参考数据：，
5．（4分）设函数的值域为，函数，的值域为，全集，则集合的补集为 ．
6．（4分）已知函数在区间，上是严格减函数，则实数的取值范围是 ．
7．（5分）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
8．（5分）设，且满足，则 ．
9．（5分）已知是一条过的抛物线，已知，则的顶点坐标为 ．
10．（5分）研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中，为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为，则释放信息素4秒后，距释放处的 米的位置，信息素浓度为．
11．（5分）已知函数，其中，若（a），则 ．
12．（5分）幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么 ．
二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）
13．（4分）设，，，1，2，，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（4分）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，则约为
A．48B．72C．63D．59
15．（5分）下列四个函数中，图象如图1所示的只能是
A．B．C．D．
16．（5分）指数函数图象经过点，，那么这个指数函数可能经过
A．B．C．D．
三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）
17．（14分）已知幂函数的图象经过点．
（1）试确定的值；
（2）求满足条件 的实数的取值范围．
18．（14分）已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求解不等式；
（Ⅲ）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
19．（14分）已知幂的基本不等式：当，时，．
请利用此基本不等式解决下列相关问题：
（1）当，时，求的取值范围；
（2）当，时，求证：；
（3）利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数在上是严格增函数．
20．（18分）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：
①奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加；
②奖金不低于10万元且不超过200万元；
③奖金不超过投资收益的．
（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的”可以表述为：“恒成立”．请你用数学语言表述另外两条奖励方案；
（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？
21．（18分）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程在区间上恰有一个实数解，求的取值范围；
（3）设，若存在使得函数在区间，上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围．
参考答案
一.填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1．（4分）幂函数的定义域为 ．
解：因为，
所以．
故答案为：．
2．（4分）已知，，试用、表示 ．
解：，
故答案为：．
3．（4分）如果幂函数的图像，当时，在直线的上方，那么的取值范围是 ．
解：当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图：
由图知不满足题意；
当时，幂函数的图像与直线的图象重合，不满足题意；
当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图，
由图知满足题意；
当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图，
由图知满足题意；
当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图，
由图知满足题意．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
4．（4分）光线透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板 11 块．（参考数据：，
解：由题得经过第块玻璃板后，其光线的强度变为原来的，
由．
所以取11．
故答案为 11．
5．（4分）设函数的值域为，函数，的值域为，全集，则集合的补集为 ．
解：由，得，即．
由，，得，则，，即，．
则，，
，则集合的补集为，．
故答案为：．
6．（4分）已知函数在区间，上是严格减函数，则实数的取值范围是 ， ．
解：根据题意，所以，若，解可得，
则在区间上递减，在，上递增，
若在，严格减函数，
所以时符合题意，即，则的取值范围为，．
故答案为：，．
7．（5分）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 4 ．
解：由已知定点坐标为，由点在直线上，
，
又，，，
，
当且仅当两数相等时取等号．
故答案为：4．
8．（5分）设，且满足，则 ．
解：设，
则，，，即，，
将方程两边同时除以，得，即，
则，即．
故答案为：．
9．（5分）已知是一条过的抛物线，已知，则的顶点坐标为 ．
解：根据题意，是一条过的抛物线，
设，
又由，则，
则，；
则有；
必有，解可得，，
故，则的顶点为．
故答案为：．
10．（5分）研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中，为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为，则释放信息素4秒后，距释放处的 4 米的位置，信息素浓度为．
解：由题意可知，，，，
则①，
当，时，，
即，
则②，
联立①②解得，．
故答案为：4．
11．（5分）已知函数，其中，若（a），则 ．
解：根据题意，因为，
所以，
所以（a），
因为（a），所以，得．
故答案为：．
12．（5分）幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么 1 ．
解：，点，，所以
，分别代入，
故答案为：1
二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）
13．（4分）设，，，1，2，，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：函数的图像经过点，
则，1，3，
当，1，3时，
函数为奇函数，充分性成立，
当函数为奇函数时，
则，1，3，函数的图像经过点，必要性成立，
故“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的充要条件．
故选：．
14．（4分）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，则约为
A．48B．72C．63D．59
解：由题意得：，
即，
两边取对数得，
即，
解得．
故选：．
15．（5分）下列四个函数中，图象如图1所示的只能是
A．B．C．D．
解：中，，，当时，恒成立，故函数在定义域上为增函数，故不符合题目要求；
中，，，当时，，时，，故函数在上为减函数，在为增函数，故符合题目要求；
中，，，当时，，时，，故函数在上为增函数，在为减函数，故不符合题目要求；
中，，，当时，恒成立，故函数在定义域上为减函数，故不符合题目要求；
故选：．
16．（5分）指数函数图象经过点，，那么这个指数函数可能经过
A．B．C．D．
解：，，，，
若设指数函数，且，则易知：，
所以当时，；当时，；
故只有才可能是该指数函数经过的点．
故选：．
三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）
17．（14分）已知幂函数的图象经过点．
（1）试确定的值；
（2）求满足条件 的实数的取值范围．
解：（1）将代入函数的解析式得：
，即，
解得：（舍或，
故；
（2）由，在递增，
若 ，
则，解得：．
18．（14分）已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求解不等式；
（Ⅲ）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）根据题意，函数，
．
（Ⅱ），即，即，
得．
（Ⅲ），
故在，上为减函数，
，即，
即，，
又，，，故，
当时，，，满足题意，
综上
19．（14分）已知幂的基本不等式：当，时，．
请利用此基本不等式解决下列相关问题：
（1）当，时，求的取值范围；
（2）当，时，求证：；
（3）利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数在上是严格增函数．
解：（1），时，，
，时，，，
，
，
的取值范围为；
（2）证明：，，
设，，
，即；
（3）证明：设，则，且，
由（2）得，，
，
当时，对数函数在上是严格增函数．
20．（18分）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：
①奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加；
②奖金不低于10万元且不超过200万元；
③奖金不超过投资收益的．
（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的”可以表述为：“恒成立”．请你用数学语言表述另外两条奖励方案；
（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？
解：（1）①“奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当，时，是的增函数；
②“奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值，．
（2）函数在，上是增函数，，
函数的值域，
由得：，解得，因此对，，不成立，
即对，，不等式不恒成立，
所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求．
（3）因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在，上是增函数，有，
，，解得，
由，，不等式恒成立，得，
显然，，当且仅当，即时取等号，
于是，解得，从而，
因此当时，，当且仅当且时取等号，且，
所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金．
21．（18分）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程在区间上恰有一个实数解，求的取值范围；
（3）设，若存在使得函数在区间，上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围．
解：（1）当时，，，
即，，，与同解，
得；
（2）由题意：关于的方程在区间上恰有一个实数解，
则，
在区间上恰有一个实数解，
即，解得：，且，即，
故的取值范围为，．
（3）由题：，，，函数在区间，上单调递减，
最大值和最小值的差不超过1，即，，
，
即存在，使成立，只需 即可，
考虑函数，，，，，，
令，，
根据对勾函数性质在单调递减，
所以在，单调递减，
故，即，
所以，．