2023-2024学年上海市杨浦高级中学高一（上）摸底数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦高级中学高一（上）摸底数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）化简 ．
2．（3分）已知集合，1，，，，则集合 ．
3．（3分）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的 条件．
4．（3分）满足，，2，3，4，的集合有 个．
5．（3分）若集合，，则 ．
6．（3分）定义集合运算，，，集合，，，，则集合所有元素之和为 ．
7．（3分）设集合，，且，则实数的取值范围是 ．
8．（3分）若集合，，，，，则的取值范围是 ．
9．（3分）已知，若且，则 ．
10．（3分）已知集合，，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 ．
二、选择题（3'×4＝12'）
11．（3分）已知，，若，，则是的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分也非必要
12．（3分）设，2，3，4，，、都是的子集，且，，，，则以下四个判断中正确的
A．且B．且C．且D．且
13．（3分）如图表示图形阴影部分的是
A．B．C．D．
14．（3分）若，则下列结论中正确结论的个数为
①；
②；
③若，，则；
④若，且，则；
⑤存在且，满足．
A．2B．3C．4D．5
三、解答题
15．（10分）（1）设集合，，，，若，求实数的值；
（2）设，求关于与的二元一次方程组的解集．
16．（12分）（1）判断并证明集合，和集合，之间的关系；
（2）判断并证明是的什么条件． “充分非必要、必要非充分、充要、既非充分又非必要”中选择）
17．（12分）（1）设全集，，，已知，求实数，满足的条件．
（2）已知关于的一元二次方程的两根都是整数，求满足条件的整数的值．
18．（12分）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若集合中有两个元素，，求；
（3）若，，求实数的取值范围．
19．（12分）已知数集，，具有性质：对任意的、，与两数中至少有一个属于．
（1）分别判断数集，3，与，2，3，是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：且对任意，都是的因数；
（3）当时，若，求集合．
参考答案
一、填空题（3'×10＝30'）
1．（3分）化简 ．
解：．
故答案为：．
2．（3分）已知集合，1，，，，则集合 ， ．
解：集合，1，，
，，2，，
集合，．
故答案为：，．
3．（3分）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的 必要非充分 条件．
解：因为是的充分非必要条件，
所以，但推不出，
因为的充要条件是，
所以，
故是的必要非充分条件．
故答案为：必要非充分．
4．（3分）满足，，2，3，4，的集合有 7 个．
解：由题意可知，与，4，的非空子集的并集，
而，4，的非空子集有个，
所以满足条件的有7个．
故答案为：7．
5．（3分）若集合，，则 ， ．
解：解得，或；
，．
故答案为：，．
6．（3分）定义集合运算，，，集合，，，，则集合所有元素之和为 18 ．
解：，，，集合，，，，
，，，，
，6，，
集合所有元素之和为18．
故答案为：18．
7．（3分）设集合，，且，则实数的取值范围是 ．
解：集合，，且，
，
．
实数的取值范围是．
故答案为：．
8．（3分）若集合，，，，，则的取值范围是 ．
解：若，则，符合题意，
若，
时，，，不合题意，
时，，
由知，即，符合题意．
故答案为：．
9．（3分）已知，若且，则 ．
解：由且，可得，
因为，
根据集合元素的互异性可得，，
所以，则，此时，，，，，，
所以，解得或或，
其中和，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，
所以，
则
，
．
故答案为：．
10．（3分）已知集合，，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 320 ．
解：集合，，3，4，5，，的所有非空子集数为个，
其中，单元素集合中只有含有元素2，2出现了1次，
双元素集合含有2的有，，，，，，，，2出现了4次，
三元素集合含有2的有，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，2出现了6次
四元素集合含有2的有，3，4，，，3，4，，，3，5，，，4，5，，2出现了4次
五元素集合含有2的有，3，4，5，，2出现了1次，
故2出现了次，
同理，其它元素也都出现了16次，
所以各子集元素和的总和为．
故答案为：320．
二、选择题（3'×4＝12'）
11．（3分）已知，，若，，则是的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分也非必要
解：时，有，满足，则是的充分条件；
时，有或，不能得到，则不是的必要条件．
所以是的充分非必要条件．
故选：．
12．（3分）设，2，3，4，，、都是的子集，且，，，，则以下四个判断中正确的
A．且B．且C．且D．且
解：，2，3，4，，、都是的子集，
且，，，，
作出韦恩图为：
且，故都错误，正确．
故选：．
13．（3分）如图表示图形阴影部分的是
A．B．C．D．
解：结合韦恩图可知，阴影部分为．
故选：．
14．（3分）若，则下列结论中正确结论的个数为
①；
②；
③若，，则；
④若，且，则；
⑤存在且，满足．
A．2B．3C．4D．5
解：若，
对于①，，①正确；
对于②，当中时，，所以，②正确；
对于③，若，，不妨设，
则，，，所以，③正确；
对于④，若，且，不正确，例如，，，④不正确；
对于⑤，存在且，满足，
例如，，，
若，则，
故，⑤正确．
①②③⑤正确．
故选：．
三、解答题
15．（10分）（1）设集合，，，，若，求实数的值；
（2）设，求关于与的二元一次方程组的解集．
解：（1），所以，
当时，或，若，，，不满足互异性，排除；
若，，，，，满足条件；
当时，，此时，，，，，，不成立；
综上所述：．
（2）由，则，得，
当时，等式不成立，无解；
当时，，；
综上所述：当时，解集为；当时，解集为．
16．（12分）（1）判断并证明集合，和集合，之间的关系；
（2）判断并证明是的什么条件． “充分非必要、必要非充分、充要、既非充分又非必要”中选择）
解：（1），理由如下：
，，，
故，；
（2）是的必要非充分条件，理由如下：
，则且，
则且，
但且，
所以是的必要非充分条件．
17．（12分）（1）设全集，，，已知，求实数，满足的条件．
（2）已知关于的一元二次方程的两根都是整数，求满足条件的整数的值．
解：（1），解得或，即，．
因为，所以．
若，，则，解得，；
若，则，解得，；
若，则，解得，；
若，则△；
（2）解：依题意，显然，
原方程可变形为，其两根为，
即要求为整数，
因此符合条件的整数为，0，2，3．
18．（12分）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若集合中有两个元素，，求；
（3）若，，求实数的取值范围．
解：（1）由题意得，，因为，所以，
所以即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，，，满足，所以或．
（2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根，
所以△且，，
所以．
（3）因为，，且，
当时，△，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，所以；
当，时，则，无解，
综上，的范围为．
19．（12分）已知数集，，具有性质：对任意的、，与两数中至少有一个属于．
（1）分别判断数集，3，与，2，3，是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：且对任意，都是的因数；
（3）当时，若，求集合．
解：（1）由于和均不属于数集，3，，所以，数集，3，不具有性质．
由于都属于数集，2，3，，所以数集，2，3，具有性质；
（2）证明：由，故，则，即，
时，，则，故，
，则有，
所以且对任意，都是的因数；
（3）由（2）知，当时，，，则，
由，则，所以，
由，则，得，
所以集合，2，4，8，．