人教版八年级数学上册举一反三13.6轴对称图形中的最值问题十大考点练习(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册举一反三13.6轴对称图形中的最值问题十大考点练习(学生版+解析)，共66页。
专题13.6 轴对称图形中的最值问题十大考点【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc26211" 【题型1 两点之间线段最短】  PAGEREF _Toc26211 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27960" 【题型2 垂线段最短】  PAGEREF _Toc27960 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc30887" 【题型3 平行线之间的距离最短】  PAGEREF _Toc30887 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5892" 【题型4 将军饮马（两定一动）】  PAGEREF _Toc5892 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc22693" 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】  PAGEREF _Toc22693 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc24968" 【题型6 双对称周长最小】  PAGEREF _Toc24968 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12728" 【题型7 两定两动】  PAGEREF _Toc12728 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc17418" 【题型8 两定一定长】  PAGEREF _Toc17418 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc31265" 【题型9 两动一定】  PAGEREF _Toc31265 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc28588" 【题型10 费马点】  PAGEREF _Toc28588 \h 11【题型1 两点之间线段最短】【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．    【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）．A．   B．  C．     D．  【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）  【题型2 垂线段最短】【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当BF有最小值时，写出AE的值为 .  【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．  【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值．  【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE长的最小值为 ．  【题型3 平行线之间的距离最短】【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．  【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；(2)若取最小值且，则的取值范围是______．【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当时，有最小值，求m的值；（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．【题型4 将军饮马（两定一动）】【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 ．【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？  【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．【题型5 三点共线（两定一动最大值）】【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .【变式5-1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．【变式5-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP−PE的最大值是 ．【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则PB−PC的最大值是 ．【题型6 双对称周长最小】【例6】（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM= °  【变式6-1】（2023春·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A−2,3，B−3,1，C1,−2．(1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A的对应点A1的坐标；(2)△ABC的面积是________；(3)在y轴上有一点P，使得△ABP的周长最小，请直接写出点P的坐标及△ABP的周长最小值．【变式6-3】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8．如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点．  (1)求点E的坐标及折痕DB的长；(2)如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=x，GC=y，写出y关于x的关系式以及x的取值范围；(3)在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=5，取线段BA段的中点为F，当点M运动到哪里时，四边形BMNF的周长最小？请画出示意图并求出周长最小值．【题型7 两定两动】【例7】（2023春·福建泉州·八年级校考期末）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A'B的长．  (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是________．【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ．【变式7-2】（2023春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【变式7-3】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．  【题型8 两定一定长】【例8】（2023春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是线段OB上的两个动点，且MN=2，则△AOM与△NCB周长和的最小值是 ．【变式8-1】（2023春·河南安阳·八年级校考阶段练习）已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为 ．【变式8-2】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（    ）  A．23 B．22 C．32 D．33【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（2，0），点C，D是y轴上两个动点（点D在点C下方）且CD=2，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为 【题型9 两动一定】【例9】（2023春·湖南衡阳·八年级校联考期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．    【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是（　　）A．BC边上高的长 B．线段EF的长度C．BC边的长度 D．以上都不对【变式9-2】（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于（    ）    A．4 B．245 C．5 D．485【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是 ．  【题型10 费马点】【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题提出】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是________．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和（即AE+BE+CE）最小时，平行四边形公园ABCD的面积．【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．【变式10-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP'C'，则可以构造出等边△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值转化为PP'+PB+P'C'的值，当B，P，P'，C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．(1)【拓展应用】如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'．①若PA=3，则点P与点P'之间的距离是______；②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP'C的大小；(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．专题13.6 轴对称图形中的最值问题十大考点【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc26211" 【题型1 两点之间线段最短】  PAGEREF _Toc26211 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27960" 【题型2 垂线段最短】  PAGEREF _Toc27960 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30887" 【题型3 平行线之间的距离最短】  PAGEREF _Toc30887 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc5892" 【题型4 将军饮马（两定一动）】  PAGEREF _Toc5892 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc22693" 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】  PAGEREF _Toc22693 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc24968" 【题型6 双对称周长最小】  PAGEREF _Toc24968 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc12728" 【题型7 两定两动】  PAGEREF _Toc12728 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc17418" 【题型8 两定一定长】  PAGEREF _Toc17418 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc31265" 【题型9 两动一定】  PAGEREF _Toc31265 \h 41 HYPERLINK \l "_Toc28588" 【题型10 费马点】  PAGEREF _Toc28588 \h 45【题型1 两点之间线段最短】【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．    【答案】4【分析】将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A'，再连接A'B，与哪个钢梁相交，就从哪个钢梁上通过．【详解】解：将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A'，再连接A'B，如下图：    线段A'B与4号钢梁相交，则从4号钢梁上通过时，全程路程最短，故答案为：4【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，先对A点进行平移．【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．【答案】5cm【分析】分三种情况讨论∶ 当点C在线段AB上时， 当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时， 点C在线段AB外时，结合两点之间，线段最短，即可求解．【详解】解：当点C在线段AB上时， AC+BC=AB=5cm，当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时，∴AC+BC>AB=5cm，点C在线段AB外时，∵两点之间，线段最短，∴AC+BC>AB=5cm，综上所述，AC+BC的最小值为5cm． 故答案为：5cm．【点睛】本题主要考查了线段之间的数量关系，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）．A．   B．  C．     D．  【答案】C【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．【详解】解：如图：作点A关于街道的对称点A'，连接A'B交街道所在直线于点C，∴ A'C=AC，∴ AC+BC=A'B，在街道上任取除点C以外的一点C'，连接A'C'，BC'，AC'，∴ AC'+BC'=A'C'+BC'，在ΔA'C'B中，两边之和大于第三边，∴ A'C'+BC'>A'B，∴ AC'+BC'>AC+BC，∴点C到两小区送奶站距离之和最小．  故选：C．【点睛】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）  【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可．【详解】解：如图所示：  （1）过点P作PA⊥l1，垂足为A，过点Q作QB⊥l4，垂足为B；（2）分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度；（3）连接CD，分别交l2和l3于点E和M；（4）过点E和M分别作l1和l4的垂线段，垂足分别为F和N；（5）连接PF和QN．则桥建在FE和MN处才能使两村之间的路程最短．【点睛】本题考查最短路径问题．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解．【题型2 垂线段最短】【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当BF有最小值时，写出AE的值为 .  【答案】1.3【分析】过D作BD垂线且使得B' D=BD，连接B' E，构造△ B' DE≌△BDF得BF= B' E，根据点到直线垂线段最短知B' E⊥AC时，B' E取最小值，求出此时AE即可．【详解】解：如图，过D作BD垂线且使得B' D=BD，连接B' E，  ∵∠EDF=∠ B' DB=90°，∴∠BDF+∠ B' DF=∠ B' DF+∠ B' DE，∴∠BDF=∠ B' DE，在△ B' DE与△BDF中，B'D=BD∠B'DE=∠BDFDE=DF，∴△ B' DE≌△BDFSAS，∴BF= B' E，∵点到直线垂线段最短，∴ B' E⊥AC时，B' E取最小值，过点B'作B' G⊥AC交AC于G，∵∠C=∠CD B' =∠CG B' =90°，∴ AC∥BD,B'G∥CD，∴ B' G=CD=3.3，CG= B' D=BD=8−3.3=4.7，∴BF取最小值时AE=AG=AC−CG=1.3，故答案为：1.3．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，平行线之间的距离相等，作出辅助线构造△ B' DE≌△BDF是本题的关键．【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．  【答案】1【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：  ∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的高线，∴HB=12AB，∴HB=BG，又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，BG=BH∠MBG=∠NBHMB=NB，∴△MBG≌△NBH(SAS)，∴MG=NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，此时即HN最短，∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×4=2，在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∠CMG=90°，MG=12CG=12×2=1，∴HN=MG=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30°的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值．  【答案】6【分析】根据BC∥OM，OA=AB，可以证明△OAD≌△BAC，得到AD=AC继而得到CD=2AD，故线段CD的最小值转化为线段DA得最小值，根据垂线段最短，结合角的平分线的性质定理计算即可．【详解】∵BC∥OM，∴∠DOA=∠CBA，∵点A为OB的中点∴OA=AB，∵∠DOA=∠CBAOA=BA∠DAO=∠CAB，∴△OAD≌△BACASA，∴AD=AC，∴CD=2AD，∴线段CD的最小值转化为线段DA得最小值，根据垂线段最短，∴DA⊥OM，∵AE⊥ON，OB平分∠MON，∴AE=AD，∵AE=3，∴AD=3，∴CD=2AD=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握角的平分线性质定理，三角形全等，垂线段最短是解题的关键．【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE长的最小值为 ．  【答案】9.6【分析】过B作BF⊥AC于点F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE有最小值，由于平行线间的距离处处相等，故这个最小值也就是BF的长度．【详解】解：过B作BF⊥AC于点F，  ∵平行四边形ADBE中，AD∥BE，即AC∥BE，∵AB=AC=10，BC=12，设CF=x，则AF=10−x， ∵BF2=CB2−CF2=AB2−AF2，即122−x2=102−10−x2，解得，x=7.2，∴CF=3.6，∴BF= BC2−CF2=122−7.22=9.6.，由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE有最小值，由于平行线间的距离处处相等，AC∥BE，故这个最小值也就是BF的长度．∴DE的最小值为9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识；构造直角形求出BF是解题的关键．【题型3 平行线之间的距离最短】【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．  【答案】8【分析】根据垂线段最短进行求解即可【详解】解：∵直线，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，∴根据垂线段最短可知，在运动过程中，当时，线段有最小值，∵a，b之间相距，∴线段的最小值为，故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．【详解】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；(2)若取最小值且，则的取值范围是______．【答案】(1)0或1(2)【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解；（2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可．【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时，此时线段与的公共点个数为0；  当点A和B在直线，之间时，如图所示：此时线段与的公共点个数为1；  故答案为：0或1；（2）当取最小值且时，如图所示：此时点A恰好在，的中间直线上，∴，之间的距离为2，即，  当点P在上方或下方时，如图所示：  此时即为，之间的距离为2；当点P在，之间时，如图所示：  ∵，∴当点P在，的中间直线上时，，当点P不在，的中间直线上时，；综上可得：，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当时，有最小值，求m的值；（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．【答案】（1）10；（2），见解析；（3）或【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．【详解】解：（1）当点P与E不重合时，在中，，当点P与E重合时，此时最小，∴．∵，，∴． ∴．故时，值最小；（2），理由如下：如图，当即时，点P在AE上，过点P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【点睛】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键．【题型4 将军饮马（两定一动）】【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 ．【答案】5【分析】作C点关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于P点，连接C'B，根据勾股定理即可求出C'D的长，即 PC+PD的值最小值.【详解】解：如图，作C点关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于P点，则PC+PD=PC'+PD=C'D，根据“两点之间线段最短”可知此时PC+PD的值最小，连接C'B，∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴∠ABC=45°，∵C点与C'关于AB对称，∴C'B=CB=2,∠C'BA=∠CBA=45°,∴∠C'BC=90°,∵BC=2, D为BC边的中点，∴BD=1,∴C'D=C'B2+BD2=22+12=5,∴PC+PD的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了轴对称以及求最短路径问题，熟练掌握将军饮马模型是解题的关键.【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？  【答案】17km【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点A'，连接A'B，构建直角三角形，则A'B就是最短路线；在Rt△A'DB中，∠A'DB=90°，BD=8km，A'D=AD+A'A，利用勾股定理即可求出A'B．【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，则A'B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．  由题意知：A'D=4+4+7=15km，BD=8km，∠D=90°，在Rt△A'DB中，由勾股定理求得A'B=A'D2+BD2=17km，则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．【答案】4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，证明△CBD≌△A'BD，得到CD=A'D，推出当A、D、A'三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A'B+AB=4．【详解】解：如图，连接A'D，∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，∴∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，∴∠CBC'=60°，∴∠CBC'=∠A'BC'，∵BD=BD，∴△CBD≌△A'BD，∴CD=A'D，∴AD+CD=A'D+CD，∴当A、D、A'三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A'B+AB=4，故答案为：4．．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=30°∵AB边的垂直平分线交AB于点D，∴BE=AE=3，∴∠BAE=∠B=30°∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=120°−30°=90°在Rt△CAE中，∠C=30°∴CE=2AE=6∴BC=BE+CE=3+6=9（2）解：如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点P(E)，∵ PA=PB∴ PA+PC=PB+PC根据两点之间线段最短则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．【题型5 三点共线（两定一动最大值）】【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .【答案】8cm【分析】根据垂直平分线的性质得到MA=MC，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可．【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA=MC，又∵C△BMC=BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，∴BC=20−12=8cm，在MN上取点P，连接PA、PB、PC，∵MN垂直平分AC，∴PA=PC，∴PA−PB=PC−PB，在△PBC中PC−PB