人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法课后复习题

这是一份人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法课后复习题，共38页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19909" 【题型1 幂的基本运算】 PAGEREF _Tc19909 \h 1
\l "_Tc17174" 【题型2 利用幂的运算进行比较大小】 PAGEREF _Tc17174 \h 1
\l "_Tc7269" 【题型3 利用幂的运算进行简便计算】 PAGEREF _Tc7269 \h 2
\l "_Tc24483" 【题型4 幂的运算中的新定义问题】 PAGEREF _Tc24483 \h 3
\l "_Tc30619" 【题型5 整式乘除的计算与化简】 PAGEREF _Tc30619 \h 4
\l "_Tc23819" 【题型6 整式混合运算的应用】 PAGEREF _Tc23819 \h 4
\l "_Tc27996" 【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】 PAGEREF _Tc27996 \h 6
\l "_Tc24695" 【题型8 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc24695 \h 6
\l "_Tc10543" 【题型9 因式分解（分组分解法）】 PAGEREF _Tc10543 \h 7
\l "_Tc32355" 【题型10 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc32355 \h 8
【题型1 幂的基本运算】
【例1】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道下面的结论：若am=an（a>0，且a≠1），则m=n．利用这个结论解决下列问题：设3m=2，3n=6，3p=18．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n，②3m+n=4p−6，③p2−n2−2m=3．其中正确的序号有
【变式1-1】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）若n为正整数．且a2n=4，则2a3n2−4a22n的值为（ ）
A．4B．16C．64D．192
【变式1-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，则a，b，c之间满足的等量关系是 ．
【变式1-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若x2=2，求3x2−4x32的值；
(2)若m−n=1，求3m×9n÷27m的值；
(3)若xm⋅x2n+1=x11，ym−1÷yn=y6，求2m+n的值．
【题型2 利用幂的运算进行比较大小】
【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）比较大小：8131 2741．（填>、27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“”）．
【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较2a，2b的大小：当a>b时，2a>2b，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较340和260的大小：因为340=3220=920，260=2320=820，9>8所以340>260．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：320__________915（填“>”或“c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作：x=lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
(1)∵21=2,∴lg22=1；
∵22=4,∴lg24=2；
∵23=8,∴lg28=3；
∵24=16,∴lg216=__________；
计算：lg232=__________；
(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，
例如：lg24+lg28=__________；（用对数表示结果）
(3)于是他猜想：lgaM+lgaN=__________（a>0且a≠1，M>0，N>0）．请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．
(4)根据之前的探究，直接写出lgaM−lgaN=__________．
【题型5 整式乘除的计算与化简】
【例5】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b=32，ab=1，化简a−2b−2的结果是 ．
【变式5-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992−1002×998+1
（2）先化简，再求值：2x+y2x−y−3x+yx−2y−x2÷−12y，其中x=−1，y=2．
【变式5-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a−4，N=a+22a−5，其中a为有理数，
(1)求M−N，要求化简为关于a的多项式；
(2)比较M，N的大小．
【题型6 整式混合运算的应用】
【例6】（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：
材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+42=25，所以3254是一个平方和数．显然，152，4253这两个数也肯定是平方和数．
材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．
请根据上述定义完成下面问题：
(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）
(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a2−b2的值．
【变式6-1】（2023秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若a=2,b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?
【变式6-2】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a>b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD−AB=2时，S1−S2的值是（ ）
A．2aB．2bC．−2b+b2 D．2a−2b
【变式6-3】（2023秋·浙江·八年级期中）正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a>b）．
(1)求图1中阴影部分的面积S1（用含a，b的代数式表示）；
(2)当a=5，b=3时，求图1中阴影部分的面积S1的值；
(3)当a=5，b=3时，请直接写出图2中阴影部分的面积S2的值．
【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例7】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）分解因式
（1）20a3-30a2
（2）25（x+y）2-9（x-y）2
【变式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：3a2m−n+12n−m= ．
【变式7-2】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）多项式−2a3−4a2−2a因式分解的结果是 ．
【变式7-3】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）请把下列各式分解因式
(1)a2a−b+b−a
(2)(a2+b2)2−4a2b2
【题型8 因式分解（十字相乘法）】
【例8】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+n，由题意，得
x2−4x+m=x+3x+n，
x2−4x+m=x2+n+3x+3n，
所以n+3=−4m=3n，解得m=−21n=−7．
所以另一个因式为x−7，m的值为−21．
提出问题：
(1)已知二次三项式x2−5x−p有一个因式是x−1，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式3x2+2x−k有一个因式是x−5，求另一个因式及k的值．
【变式8-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）多项式x2+x−6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+b2023的值为（ ）
A．−1B．1C．−2023D．2023
【变式8-2】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：2x2+4x2−42x2+4x−12．
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左地使用，即可对形如x2+a+bx+ab的多项式进行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多项式x2+a+bx+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原得：原式=(x+y+1)2．
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+4x+3因式分解；
(2)根据材料2将(x−y)2−10x−y+25因式分解；
(3)结合材料1和材料2，将m2−2mm2−2m+4+3因式分解．
【题型9 因式分解（分组分解法）】
【例9】（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知a+b=3,ab=1，则多项式a2b+ab2−a−b的值为 ．
【变式9-1】（2023春·江苏·八年级期中）分解因式：a4−4a3+4a2−9= ．
【变式9-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：a2+2ab+b2−9=a2+2ab+b2−9=a+b2−9=a+b+3a+b−3
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)ab−a−b+1；
(2)a2−9b2−2a+6b；
(3)n2+(n+1)(n+2)(n+3)(n+6)．
【变式9-3】（2023秋·上海·八年级校考期中）因式分解：x2+9xy+18y2−3x−9y．
【题型10 利用因式分解求值】
【例10】（2023春·四川达州·八年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式10-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若x2+x−3=0，则x3+2x2−2x+5的值为 ．
【变式10-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市文晖中学校考期中）（1）当mn=−4，m+n=3，求m−n的值．
（2）已知x+y=2,xy=34，求x3y+xy3+2x2y2的值．
【变式10-3】（2023春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）阅读材料：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0，
∴(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知x2+2y2−2xy−8y+16=0，则x=______，y=______；
(2)若A=2a2−3a−1，B=a2−a−4，试比较A与B的大小：A______B（填“>”或“0，且a≠1），则m=n．利用这个结论解决下列问题：设3m=2，3n=6，3p=18．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n，②3m+n=4p−6，③p2−n2−2m=3．其中正确的序号有
【答案】①③/③①
【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则进行变形可得3n=6=3×2=3×3m=3m+1，3p=18=3×6=3×3n=31+n，进而可得m=n−1，p=1+n=2+m，再逐项判断即可作答．
【详解】∵3m=2，3n=6=3×2=3×3m=3m+1，
∴n=1+m，即m=n−1，
∵3p=18=3×6=3×3n=31+n，
∴p=1+n=2+m，
①m+p=n−1+1+n=2n，故正确；
②3m+n=3(p−2)+p−1=4p−7，故错误；
③p2−n2−2m=(p+n)(p−n)−2m=(2+m+1+m)(2+m−1−m)−2m=3，故正确；故选：①③．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．
【变式1-1】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）若n为正整数．且a2n=4，则2a3n2−4a22n的值为（ ）
A．4B．16C．64D．192
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．
【详解】解析：2a3n2−4a22n=4a6n−4a4n
=4a2n3−4a2n2=4×43−4×42
=4×43−42=4×48=192，
故选D．
【点睛】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．
【变式1-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，则a，b，c之间满足的等量关系是 ．
【答案】a+c=2b
【分析】根据4×9=62，把各数代入即可求解．
【详解】∵4×9=62，5a=4，5b=6，5c=9
∴5a×5c=5b2=52b
故5a+c=52b
∴a+c=2b
故答案为：a+c=2b．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则．
【变式1-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若x2=2，求3x2−4x32的值；
(2)若m−n=1，求3m×9n÷27m的值；
(3)若xm⋅x2n+1=x11，ym−1÷yn=y6，求2m+n的值．
【答案】(1)−14
(2)19
(3)17
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则将代数式转换为含x2的式子，再将x2=2代入计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，再将m−n=1代入计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，根据等式的性质建立两个等式，将两个等式相加即可得到答案．
【详解】（1）解：3x2−4x32
=9x2−4x23
∵x2=2，
∴3x2−4x32
=9×2−4×23
=18−32
=−14；
（2）解：3m×9n÷27m
=3m×32n÷33m
=3m+2n−3m
=3−2m−n
=3−2
=19；
（3）解：∵xm⋅x2n+1=x11，ym−1÷yn=y6
∴xm+2n+1=x11，ym−1−n=y6
∴m+2n+1=11①m−1−n=6②，
将①+②得2m+n=17．
【点睛】本题考查的代数式求值，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算、同底数幂的乘法和除法运算，以及掌握等式的性质．
【题型2 利用幂的运算进行比较大小】
【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）比较大小：8131 2741．（填>、
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可．
【详解】解：8131=3431=3124，
2741=3341=3123，
∵124>123，
∴8131>2741．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，熟记性质并转换成以3为底数的幂是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·江苏·八年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“”）．
【答案】128，
∴x358所以340>260．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：320__________915（填“>”或“