初中数学人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程测试题，共40页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31502" 【题型1 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc31502 \h 1
\l "_Tc8884" 【题型2 分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc8884 \h 2
\l "_Tc22711" 【题型3 换元法解分式方程】 PAGEREF _Tc22711 \h 3
\l "_Tc9341" 【题型4 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Tc9341 \h 3
\l "_Tc22956" 【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】 PAGEREF _Tc22956 \h 4
\l "_Tc2763" 【题型6 由分式方程有增根求字母的值】 PAGEREF _Tc2763 \h 4
\l "_Tc30423" 【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】 PAGEREF _Tc30423 \h 4
\l "_Tc8238" 【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】 PAGEREF _Tc8238 \h 5
\l "_Tc22697" 【题型9 分式方程的规律问题】 PAGEREF _Tc22697 \h 5
\l "_Tc23270" 【题型10 分式方程的新定义问题】 PAGEREF _Tc23270 \h 6
【知识点1 分式方程】
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程的定义】
【例1】（2023·山东聊城·八年级期末）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
①ax+b2=5；②14(x+b)+2=x+53；③m+xa+2=m−xa；④2x2x−1=2x；⑤1+1x=2−3x；⑥a+bx=a+ba；⑦1a−1x=1b−bx；⑧x−ba=2+x+ba；⑨x−nx+m+x+mx−n=2．
【变式1-1】（2023下·河南郑州·八年级校考期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有意义 ．
【变式1-2】（2023·广西贵港·八年级期中）下列关于x的方程是分式方程的是( )
A．x+25−3=3+x6;B．x−17+a=3−x;C．xa−ab=ba−xb;D．(x−1)2x−1=1
【变式1-3】（2023上·八年级课时练习）有下列方程：
①23x2=1；②2π−x2=1；③23x=x；④1x−2+3=x−1x−2；⑤1x=2；⑥2x−3y=0；⑦x+12−3=2x7；⑧x+1x−2+3；⑨3x−2=5x，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
【知识点1 解分式方程】
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型2 分式方程的一般方法】
【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：
①xx−3+x+8x(x−3)=1
②1x−2=1−x2−x−4
【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x；
(2)xx−1−1=3x−1x+2．
【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：
题目：解分式方程：3x−2−2x+2=8x2−4
解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)⋯⋯A
得：3（x+2)−2(x−2)=8⋯⋯B
去括号得：3x+6−2x+4=8⋯⋯C
解得：x=−2⋯⋯D
所以原分式方程的解是：x=−2⋯⋯E
(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号： ；
(2)错误的原因是 ；
(3)订正错误．
【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：a※b=a+b÷b．
(1)计算：1m−1※−2m+1；
(2)若1m−1※−2m+1+1=16，求m的值．(要求写出解方程过程)
【题型3 换元法解分式方程】
【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程化为y−4y=0，方程两边同时乘y，得y2−4=0，
解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y−4y=0的解．
当y=2时，x−1x=2，解得x=−1；当y=−2时，x−1x=−2，解得x=13．
经检验：x=−1和x=13都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x=−1或x=13．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
用换元法解：x+12x−1−2x−1x+1=0．
【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程x2−13x+5=6x+10x2−1+1，用y=x2−13x+5换元整理后得到的关于y的整式方程是 ．
【答案】y2-y-2=0
【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程：x−1x+2－3x−1－1＝0.
【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程：x−1x+2−27x−1−9=0．
【题型4 裂项法解分式方程】
【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：
11×2=1−12；12×3=12−13 13×4=13−14；…．
请利用你所得的结论，解答下列问题：
(1)计算：11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+1nn+1．
(2)解方程1x+10+1x+1x+2+1x+2x+3+⋅⋅⋅+1x+9x+10=2．
(3)若11×4+14×7+17×10+⋅⋅⋅+13n+13n+4=619，求n的值．
【变式4-1】解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1
【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程：
1(x−10)(x−9)+1(x−9)(x−8)+1(x−7)(x−6)+⋯+1x(x+1)=1x+1
【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程：13x+115x+135x+163x=1x+1．
【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】
【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于x的方程m(x+1)−52x+1=m−3无解，则m的值为（ ）
A．3B．6或10C．10D．6
【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程3x+6x−1−x+kxx−1=0有解，则k满足 ．
【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程2x−1+x1−x=■有解，其中“■”表示一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．
【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※y=yx2−y，例如：1※2=212−2=−2，则分式方程−1※x=mxx−1−1无解时，m的值是 ．
【题型6 由分式方程有增根求字母的值】
【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且a≠0．
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
【变式6-1】（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若关于x的方程ax+1x−1−1=0有增根，则a的值为 ．
【变式6-2】（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式方程1x−2+3=b−xa+x有增根，则a的值是（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
【变式6-3】（2023上·山东淄博·八年级山东省淄博第四中学校考期末）分式方程x+kx−1−1=4x2−1若有增根，则k的值是 ．
【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】
【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程1−axx−2+3=12−x有正整数解，则整数a= ．
【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是 ．
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组x−66+2x+13≤724(x+a)+1b2bb−a,a1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【答案】B
【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数可知10−a是4的倍数分析即可．
【详解】解：由题意可知：x+a−2ax−2=5，
x−a=5x−2，
x=10−a4，
∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，
∴10−a4≥0a+2＞1，解得：−1＜a≤10．
∵x=10−a4是非负整数，则：
当10−a=0时，a=10，此时x=0，经检验，x=0是分式方程的解；
当10−a=4时，a=6，此时x=1，经检验，x=1是分式方程的解；
当10−a=8时，a=2，此时x=2，经检验，x=2不是分式方程的解；
∴满足条件的整数a的值之和是16．
故选：B
【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数，求出a的值即可．
【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程1−axx−2+3=12−x有正整数解，则整数a= ．
【答案】2或−1
【分析】先去分母解整式方程得x=43−a，根据分式方程有正整数解，得到3−a的值为1或2或4，且43−a≠2，由此求出答案．
【详解】解：去分母得，1−ax+3x−2=−1，
整理得，3−ax=4，
解得x=43−a，
∵分式方程有正整数解，
∴3−a的值为1或2或4，且43−a≠2，
解得a=2或−1，
故答案为：2或−1．
【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．
【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是 ．
【答案】3或4.
【分析】先解分式方程，当m≠2时，可得x=1+2m−2,再根据x为正整数，且x≠1,x≠0, m为整数，逐一分析可得答案.
【详解】解：∵ 2x−1=mx，
∴2x=m(x−1),
∴(2−m)x=−m,
当m≠2时，x=−m2−m=mm−2=m−2+2m−2=1+2m−2,
∵x为正整数，且x≠1,x≠0, m为整数，
∴m−2是2的因数，
∴m−2=±1,m−2=±2,
∴m=3,m=1,m=4,m=0,
当m=3时，x=3,
当m=1时，x=1+(−2)=−1，舍去，
当m=4时，x=2,
当m=0时，x=0，舍去，
所以m的值为：m=3或m=4，
故答案为：3或4.
【点睛】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.
【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组x−66+2x+13≤724(x+a)+1