人教版八年级数学上册举一反三15.8分式章末八大题型总结(培优篇)(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册举一反三15.8分式章末八大题型总结(培优篇)(学生版+解析)，共30页。
专题15.8 分式章末八大题型总结（培优篇）【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29934" 【题型1 分式有意义的条件】  PAGEREF _Toc29934 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15720" 【题型2 利用分式的基本性质解决问题】  PAGEREF _Toc15720 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc14956" 【题型3 分式的化简求值】  PAGEREF _Toc14956 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18805" 【题型4 比较分式的大小】  PAGEREF _Toc18805 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc11724" 【题型5 解分式方程的一般方法】  PAGEREF _Toc11724 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8548" 【题型6 裂项相消法解分式方程】  PAGEREF _Toc8548 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9713" 【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】  PAGEREF _Toc9713 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc30396" 【题型8 利用倒数法求分式的值】  PAGEREF _Toc30396 \h 5【题型1 分式有意义的条件】【例1】（2023下·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（    ）A．1x2+5 B．53x+2 C．3x+1x2 D．x2x−1【变式1-1】（2023下·山西太原·八年级统考期末）下列x的值中，使分式x−2x−3无意义的是（　　）A．x=3 B．x=−3 C．x=2 D．x=−2【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）当x=2时，分式x+3x+m没有意义，则m的值等于（    ）A．−2 B．−3 C．2 D．3【变式1-3】（2023上·上海浦东新·八年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）已知y=1x2+2x−c，无论x取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围 .【题型2 利用分式的基本性质解决问题】【例2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）下列代数式变形正确的是（    ）A．2a+1b+1=2ab B．−x−yx+y=−x+yx+y C．0.2x0.1x+2y=2xx+2y D．ab=a2b2【变式2-1】（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期中）把分式2x+3yx2−y2的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（    ）A．为原分式值的110 B．为原分式值的1100C．为原分式值的10倍 D．不变【变式2-2】（2023上·重庆北碚·八年级统考期末）将x0.2−0.5+0.01x0.03=1的分母化为整数，得（　　　）A．x2−0.5+0.01x3=1 B．5x−50+x3=100C．x20−0.5+0.01x3=100 D．5x−50+x3=1【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）若分式2x2x−y的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ．【题型3 分式的化简求值】【例3】（2023下·江苏盐城·八年级景山中学校考期中）先化简，再求值：x2x−3+93−x÷x−1x2−2x+1，其中x满足x2+2x−2026=0【变式3-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）先化简，再求值：x+1x2−1+xx−1÷x+1x2−2x+1，其中−1≤x1的负整数解．【变式3-3】（2023上·广西柳州·八年级校考期中）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求y2x−y2⋅x2+y2−2xyy3÷x2−y2x+y的值．【题型4 比较分式的大小】【例4】（2023·河北石家庄·统考二模）要比较A=2xx+1与B=x+12中的大小（x是正数），知道A−B的正负就可以判断，则下列说法正确的是（　　）A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B【变式4-1】（2023下·江苏扬州·八年级南海中学阶段练习）已知：A=a+1a+2,B=a+3a+4（1）若A=1−ma+2，求m的值；（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．【变式4-2】（2023上·河北唐山·八年级统考期末）由1+c3+c−13值的正负可以比较A=1+c3+c与13的大小，下列正确的是（    ）A．当c=−3时，A=13 B．当c=0时，A≠13C．当c13 D．当c2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．【题型5 解分式方程的一般方法】【例5】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：(1)2x−3=3x；(2)xx−1−1=3x−1x+2．【变式5-1】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的x的值是 ．  【变式5-2】（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）解下列分式方程(1)40x+5=20；(2)xx−2+1x2−4=1．【变式5-3】（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题：解方程：1−x+32x−2=2x1−x解：1−x+32x−1=−2xx−1①1−x+3=−4x②1−x−3=−4x③−x+4x=−1+3④3x=2⑤x=23⑥(1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错；(2)请完整地解答此分式方程；(3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条）【题型6 裂项相消法解分式方程】【例6】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，利用上面这个运算规律解决以下问题：(1)求15×6+16×7+17×8的值；(2)证明：11×2+12×3+13×4+⋯+1(n−1)n+1n(n+1)1得x>−2，负整数解为x=−1将x=−1代入原式=−1−2−1=3【变式3-3】（2023上·广西柳州·八年级校考期中）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求y2x−y2⋅x2+y2−2xyy3÷x2−y2x+y的值．【答案】32【分析】先化简分式，再由x2−10x+25与y−3互为相反数得x、y的值，代入即可求解；【详解】解：原式=y4x−y2⋅x−y2y3⋅x+yx+yx−y=yx−y∵x2−10x+25与y−3互为相反数，∴x2−10x+25+y−3=0，∴x−52+y−3=0，∴x=5，y=3，∴原式=35−3=32．【点睛】本题主要考查分式的化简求值、相反数的应用，掌握相关运算法则是解本题的关键．【题型4 比较分式的大小】【例4】（2023·河北石家庄·统考二模）要比较A=2xx+1与B=x+12中的大小（x是正数），知道A−B的正负就可以判断，则下列说法正确的是（　　）A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B【答案】C【分析】将A−B进行化简得到A−B=−x−122x+1，利用x是正数，可得出A−B≤0，即可判断A和B的大小，进而可得答案．【详解】解：由题意可知：A−B=4x−x+122x+1=−x−122x+1∵x＞0，∴x+1＞0，x−12≥0，∴A−B≤0，即A≤B，故选：C．【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简．【变式4-1】（2023下·江苏扬州·八年级南海中学阶段练习）已知：A=a+1a+2,B=a+3a+4（1）若A=1−ma+2，求m的值；（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．【答案】（1）m=1;（2）—3或—5;（3）A＜B.【详解】试题分析: （1）根据分式的值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据拆项法，可得1-1a+4，根据1a+4是整数，可得a的值；（3）根据作差法，可得答案．试题解析:(1)由A=a+1a+2，得a+1a+2=1−ma+2=a+2−ma+2 ，2−m=1，解得m=1；(2)B=a+4−1a+4=1−1a+4，∴当a+4=±1时B为整数a=−3，a=−5.(3)当a>0时,A−B=-2(a+2)(a+4)x1>2，∴x2−2>x1−2>0，∴b>a>0，∵p=4(x1−2)+(x2−2)，q=1x1−2+1x2−2，∴p=4a+b，q=1a+1b，即q=a+bab，则有：p−q=4a+b−a+bab，即p−q=4a+b−a+bab=4ab−(a+b)2(a+b)ab=4ab−a2−2ab−b2(a+b)ab=−a2+2ab−b2(a+b)ab=−(a−b)2(a+b)ab，∵b>a>0，∴(a+b)ab＞0，(a−b)2＞0∴−(a−b)2(a+b)ab＜0，∴p−q＜0，∴p＜q，结论得证．【点睛】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换元的思想．【题型5 解分式方程的一般方法】【例5】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：(1)2x−3=3x；(2)xx−1−1=3x−1x+2．【答案】(1)x=9(2)原方程无解【分析】（1）先去分母，解方程，再进行检验即可解答；（2）先去分母，解方程，再进行检验即可解答．【详解】（1）解：原方程得：2x=3x−9，解得x=9，经检验x=9是原方程的解；（2）解：由原方程得：xx+2−x−1x+2=3，整理得x2+2x−x2−x+2=3，解得x=1，经检验，当x=1时，x−1x+2=0，∴原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，记得检验计算的结果对分式是否有意义是解题的关键．【变式5-1】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的x的值是 ．  【答案】4【分析】先根据分式的加法运算法则化简分式，再根据计算结果确定x值即可．【详解】解：x−45−x+1=x−45−x+5−x5−x=15−x，由题意，15−x=1，∴5−x=1，解得x=4，经检验，x=4是所列方程的根，且符合题意，故答案为：4．【点睛】本题考查分式的加法、解分式方程，熟练掌握分式的加法运算法则，正确得到化简结果是解答的关键．【变式5-2】（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）解下列分式方程(1)40x+5=20；(2)xx−2+1x2−4=1．【答案】(1)x=−3；(2)x=−52．【分析】（1）方程两边同时乘以x+5化为一元一次方程，求解检验即可；（2）方程两边同时乘以x+2x−2化为一元一次方程，求解检验即可．【详解】（1）解：左右两边同时乘以(x+5)得：40=20(x+5)，40=20x+100，−20x=60，x=−3，检验：把x=−3代入最简公分母得x+5≠0，∴x=−3是原分式方程的解；（2）原方程可化为：xx−2+1(x+2)(x−2)=1，左右两边同时乘以(x+2)(x−2)得：x(x+2)+1=(x+2)(x−2)，x2+2x+1=x2−4，2x=−5，∴x=−52，经检验，x=−52是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【变式5-3】（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题：解方程：1−x+32x−2=2x1−x解：1−x+32x−1=−2xx−1①1−x+3=−4x②1−x−3=−4x③−x+4x=−1+3④3x=2⑤x=23⑥(1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错；(2)请完整地解答此分式方程；(3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条）【答案】(1)②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据去分母，两边同时乘2x−1，即可确定；（2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验；（3）从求解的每一步分析，得出需要注意的地方．【详解】（1）解：这道题从第②步开始出错；（2）1−x+32x−2=2x1−x，去分母得：2x−1−x+3=−4x，2x−2−x−3=−4x，2x−x+4x=2+3，5x=5，解得：x=1，检验：当x=1时，x−1=0，∴x=1是原方程的增根，故无解．（3）解分式方程去分母时，每一项都要乘以最简公分母；解分式方程要检验．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【题型6 裂项相消法解分式方程】【例6】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，利用上面这个运算规律解决以下问题：(1)求15×6+16×7+17×8的值；(2)证明：11×2+12×3+13×4+⋯+1(n−1)n+1n(n+1)