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人教版（2024）九年级下册26.1.1 反比例函数课后复习题
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这是一份人教版（2024）九年级下册26.1.1 反比例函数课后复习题，共62页。
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数的应用的六大类型的理解！
【类型1 工程问题】
1．（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）之间的关系如图所示；
(1)求y与x间的函数表达式；
(2)若冉冉将原有录入速度提高20%，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度．
2．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．
（1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？
3．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________m3；
(2)如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间th满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为4×104立方米，设运输公司每天运送的土石方为V(立方米/天)，完成任务所需要的时间为t（天)．
（1）V与t之间有怎样的函数关系？
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，如果需要提前4天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？
5．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
6．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【类型2 行程问题】
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度vkmh与行驶时间th是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（ ）
A．0.1hB．0.35hC．0.45hD．0.5h
3．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系S=ka（k是常数，k≠0）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米0.08升时，该轿车可以行驶 千米．
4．（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v(m/s)从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y=−ax2+2x+20(a≠0)．某运动员7次试跳的轨迹如图2，在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)求线段CE的函数表达式；
(2)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于y的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，平均速度是80km/h，用时6h．
(1)当他按原路匀速返回时，汽车速度vkm/h与时间th之间的函数关系式是______；
(2)返回时，规定最高车速不得超过每小时100km，问返程最少需要几小时？
6．（2023·江苏·九年级假期作业）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围．
7．（2023春·浙江·九年级专题练习）台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？
【类型3 销售问题】
1．（2023春·九年级课时练习）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是 亿元．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．
（1）写出y关于x的函数表达式．
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价．
②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．
3．（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=km(其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额)可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小.经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m(200≤m＜400)元时，优惠率分别为P甲=k甲m与P乙=k乙m，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值.
(1)求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙.
(2)当购买总金额m(元)在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么.
(3)品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m(200≤m＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由.
4．（2023春·全国·九年级校考期末）李先生参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款．
(1)写出y与x的函数关系式．
(2)如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？
5．（2023春·山东滨州·九年级校考期末）为寻求合适的销售价格，商场对新进的一种商品进行了一周的试销，发现这种商品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间成反比例关系．已知第一天以220元/千克的价格销售了80千克.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)试销期间共销售了700千克这种新进商品，在试销后，商场决定将这种新进商品的销售价格定为160元/千克，这样按所发现的反比例关系预测剩余这种商品再用10天可以全部售完.问商场共新进多少千克的这种商品？
6．（2023春·广西桂林·九年级校联考期中）某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价 0．7 万元，首次付款后每个月应还的钱数 y （元）与还钱月数 t 的关系如图所示．
（1）根据图像写出 y 与 t 的函数关系式；
（2）求出首次付款的钱数；
（3）如果要求每月支付的钱数不多于 400 元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？
7．（2023春·全国·九年级专题练习）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
【类型4 物理问题】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系
2．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离xcm，观察活动托盘B中砝码的质量yg的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)把上表中x,y的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？
(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．
3．（2023·河北保定·统考二模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
(1)根据表中数据，求出桌画所受压强PPa关于受力面积Sm2的函数表达式及a的值．
(2)将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
4．（2023春·浙江温州·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
5．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ．
6．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识P=UI，（U表示电压为定值6V，I表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
第四步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想P大于30W，R的取值范围．
7．（2023·山西太原·统考二模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______；
(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
【类型5 几何图形问题】
1．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝ ．
2．（2023春·九年级课时练习）设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y=3x．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
3．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度ym是面条横截面面积xmm2的反比例函数，其图象经过A4,32，Ba,80两点（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线y=kx(x>0)的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
5．（2023春·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边AD靠墙，面积为15m2的矩形ABCD花园，其中墙长为8m，现在可用的篱笆总长为12m．
(1)若设AB=xm，BC=ym．请写出y关于x的函数表达式；
(2)若要使12m的篱笆全部用完，能否围成面积为18m2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；
(3)假设围成矩形花园ABCD的三边材料总长不超过12m，材料BC和DC的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案．
6．（2023·山东德州·统考一模）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口C点到BE的距离CF为11米，求：
(1)BC段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)C点到x轴的距离CD长是多少？
(3)若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？
【类型6 表格问题】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；
(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
2．（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为
①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，则长方体容器中剩余液体原料多少升？
3．（2023春·九年级课时练习）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均时间y（单位：分钟）与调试次数x（单位：次）的函数关系是（k为非0常数），调试次数x，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y及相应的k的数据如下表：
(1)如果要使表中有尽可能多的数据满足函数关系，则函数解析式为______；
(2)如果要使k与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式；
(3)要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表：
（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；
（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？
6．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某厂从2011年起开始投入技改资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表所示：
（1）请认真分析表中的数据，从你学过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的表达式；
（2）按照这种变化规律，2015年已投入技改资金5万元．
①预计产品成本每件比2014年降低多少万元？
②如果打算在2015年把每件产品的成本降低到3.2万元，那么还需投入技改资金多少万元？（精确到0.01万元）
7．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数（度）是镜片焦距（厘米）（）的反比例函数，调查数据如下表：
（1）求与的函数表达式；
（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．
专题26.3 反比例函数的应用的六大类型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数的应用的六大类型的理解！
【类型1 工程问题】
1．（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）之间的关系如图所示；
(1)求y与x间的函数表达式；
(2)若冉冉将原有录入速度提高20%，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度．
【答案】(1)y=1500x
(2)125字/分钟
【分析】（1）根据录入的时间=录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；
（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时t+2分钟，由题意得关于t的分式方程，解方程即可求出t的值．
【详解】（1）解：设 y=kx
把150，10代入 y=kx 得， 10=k150，
∴k=1500，
∴y与x的函数表达式为 y=1500x；
（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时t+2分钟，原来的录入速度为x字/分钟
由题意得， t+2=1500x，
整理得： x=1500t+2，
∵录入速度提高了20%，则实际录入速度为1+20%x字/分，
则 1+20%x=1500t，即 1+20%×1500t+2=1500t，
解得：t=10，
经检验t=10是原方程的解，
∴冉冉原录入速度为：150010+2=125（字/分钟），
答：冉冉原来的录入速度为125字/分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、解分式方程，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键．
2．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．
（1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？
【答案】（1）m=9000t；（2）180台，30台
【分析】（1）首先根据题意，因总工作量为9000台空调，故每天组装的台数m与生产时间t之间成反比例关系，即m·t=9000；
（2）计算出当t=50时，m=180；当t=60时，m=150；比较即可得答案．
【详解】解：（1）每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间的函数关系：m=9000t；
（2）当t=50时，m=900050=180．
所以，这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装180台空调，
原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，则每天组装150台，
即比原计划多：180−150=30台．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式、性质与运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．
3．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________m3；
(2)如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间th满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
【答案】(1)18000
(2)t≥9
(3)1800
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V=ktk＞0，再把点（6，3000）代入即可求出答案；
（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；
（3）设原计划每小时的排水量是xm3，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设V=ktk＞0，
∵点（6，3000）在此函数图象上，
∴蓄水量为6×3000＝18000m3．
故答案为：18000．
（2）蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系式为：V=18000t，
∵每小时排水量不超过2000m3，
∴根据反比例函数的增减性可知，t≥9时，每小时排水量不超过2000m3．
故答案为：t≥9．
（3）设原计划每小时的排水量是xm3，根据题意得：
18000x−180001+25%x=2，
解得：x=1800，
经检验：x=1800是所列方程的解，
答：原计划每小时的排水量是1800m3．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为4×104立方米，设运输公司每天运送的土石方为V(立方米/天)，完成任务所需要的时间为t（天)．
（1）V与t之间有怎样的函数关系？
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，如果需要提前4天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？
【答案】（1）V=40000t；（2）至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务．
【分析】（1）根据工作量×时间=土石方总量可得Vt=104，进而可得函数解析式；
（2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，根据题意列方程即可．
【详解】解：（1）∵V⋅t=40000，
∴V=40000t，
∴V是t的反比例函数；
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，
需要40000÷(20×100)=20天才能完成任务，
工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，
40000−20×100×8=(20−8−4)×(20+x)×100，
解得：x=10，
答：公司至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式．
5．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
【答案】（1）y=9000x；（2）装配车间每天至少要组装180台空调．
【分析】（1）直接利用每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天），总数为9000，进而得出答案；
（2）利用反比例函数的增减性进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：xy=9000，即y=9000x，
∴y与x之间的函数关系式为y=9000x；
（2）由题意，得0 < x≤60−10，即0对于函数y=9000x，
∵k=9000>0，
∴当0∴y≥900050=180，
答：装配车间每天至少要组装180台空调．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数增减性进行分析是解题关键．
6．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【答案】(1)y＝1200x；(2)2台挖掘机需要20天；(3)每天至少要完成120m．
【分析】(1)根据图像找到反比例图象上点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出答案；
(2)由第一问可计算出工程的总工作量，再根据题目中的工作效率，可计算出所需的工作时间；
(3)第一问中可计算出工作的总量，再由条件中的工作时间，可计算出工程所需的工作效率.
【详解】解：(1)设y＝kx．
∵点(24，50)在其图象上，
∴所求函数表达式为y＝1200x；
(2)由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200(m)；
2台挖掘机需要1200÷(2×30)＝20天；
(3)1200÷10＝120(m)．
故每天至少要完成120m．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
【类型2 行程问题】
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可．
【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
∴设这个反比例函数表达式为y=kx，
若甲x1,y1，乙x2,y2，丙x3,y3，丁x4,y4，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点x2,y'2，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点x4,y'4，如图所示，
∵x1,y1、x2,y'2、x3,y3、x4,y'4在反比例函数图象上，
∴x1y1=x2y'2=x3y3=x4y'4=k，
由图可知，y'2>y2，y4>y'4，
∴x2y2k，
由题意可知，训练中跑的路程为：xy，
∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程，
∴丁训练跑的路程最多，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用，理解题意，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度vkmh与行驶时间th是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（ ）
A．0.1hB．0.35hC．0.45hD．0.5h
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速120km/h时的时间以及最低车速60km/h的时间，即可求出答案．
【详解】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3=24km，
∵最高车速为120km/h，
∴在最高车速120km/h下的行驶时间t=sv=24120=0.2h，
同理可得，在最低车速60km/h下的行驶时间为t=sv=2460=0.4h，
∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在0.2−0.4h之间．
∵ 0.2h<0.35h<0.4h，
∴B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式．
3．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系S=ka（k是常数，k≠0）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米0.08升时，该轿车可以行驶 千米．
【答案】500
【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米”再利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值，再代入a=0.08求出S即可得出结论．
【详解】解：∵以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米，
∴400=k0.1，
解得：k=40，
∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶的路程S=400.08=500(千米)．
故答案为：500．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的相关知识是解答本题的关键．
4．（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v(m/s)从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y=−ax2+2x+20(a≠0)．某运动员7次试跳的轨迹如图2，在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)求线段CE的函数表达式；
(2)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于y的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
【答案】(1)y=−12x+20(8≤x≤40)
(2)①猜想a与v2成反比例函数关系，表达式为a=25v2，验证见解析；②当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意中平面直角坐标系横轴与纵轴的大小关系猜想，并代值计算即可求解；②根据点K（与DO相距32m）作为标准点，点K在线段y=−12x+20上，可求出点K的坐标，根据点K在抛物线上，在反比例函数图像上，由此即可求解．
【详解】（1）解：由图2可知：C(8，16)，E(40，0)，设CE：y=kx+b(k≠0)，
将C(8，16)，E(40，0)，代入得：16=8k+b0=40k+b，
解得，k=−12b=20，
∴线段CE的函数表达式为y=−12x+20(8≤x≤40)．
（2）解：①根据图3中x轴表示v2，纵轴表示a，随着v2值的增大，a的值在减小，
∴猜想a与v2成反比例函数关系，设a=mv2，
将(100，0．250)代入得0.25=m100，解得m=25，
∴a与v2的函数解析式为a=25v2，
将(150，0．167)代入a=25v2，验证：25150=0.167，
∴所求的函数表达式为a=25v2；
②由K在线段y=−12x+20上，且点K（与DO相距32m）作为标准点，
∴−12×32+20=4，即K(32，4)，
∴把点K(32，4)代入y=−ax2+2x+20得，−322a+2×32+20=4，解得，a=564，
∴把a=564代入a=25v2，解得，v2=320，
又∵v>0，
∴y=85=8×2.24≈18，
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点睛】本题主要考查函数与实际问题的综合，运用待定系数法求函数解析式，根据函数图像确定自变量与函数值的关系，对一次函数，反比例函数，二次函数图像性质的理解和掌握是解题的关键．
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，平均速度是80km/h，用时6h．
(1)当他按原路匀速返回时，汽车速度vkm/h与时间th之间的函数关系式是______；
(2)返回时，规定最高车速不得超过每小时100km，问返程最少需要几小时？
【答案】(1)ν=480t
(2)4.8h
【分析】（1）根据速度×时间=路程，可以求出甲地去乙地的路程；再根据行驶速速度=路程÷时间，得到v与t的函数解析式；
（2）计算v≤100时t的值即可求得范围．
【详解】（1）根据“速度=路程÷时间”，可设汽车速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数关系式为：
v=st，
当v=80，t=6时，有80=s6，
因此s=480，
故v与t之间的函数关系式为：ν=480t
故答案为：ν=480t
（2）根据题意得v≤100，
即480÷t≤100，
解得t≥4.8，
故返程时间最少是4.8h．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围．
【答案】（1）v与t的函数表达式为v＝600t（5≤t≤10）；（2）客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当t＝203（8点到下午14点40分）时，v＝600t＝600÷203＝90（千米/小时），当t＝152时，v＝600t＝600÷152＝80（千米/小时），即可求解．
【详解】解：（1）设v与t的函数关系式为v=kt，将（5，120）代入v=kt，
得：120＝k5，
解得：k＝600，
∴v与t的函数表达式为v＝600t（5≤t≤10）；
（2）当t＝203（8点到下午14点40分）时，
v＝600t＝600÷203＝90（千米/小时），
当t＝152时，v＝600t＝600÷152＝80（千米/小时），
∴客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键正确理解题意，利用待定系数法求出反比例函数关系式．
7．（2023春·浙江·九年级专题练习）台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？
【答案】（1）v＝38t，1930≤t≤1950（2）张老师可能迟到，应至少提前685分钟出发
【分析】（1）根据路程问题中的速度、时间、路程的关系以及不等式的性质即可解答；
（2）根据路程问题中的速度、时间、路程的关系即可解答．
【详解】（1）由题意得：v＝38t，
∵60≤v≤100，
∴1930≤t≤1950，
∴v＝38t，1930≤t≤1950；
（2）可能迟到．
∵张老师从家到进口站和从出口站到学校的总时间为：660+(38+4+6)÷50=5350，
∵5060<5350，且5350−5060=68300小时＝685分钟，
∴张老师可能迟到，应至少提前685分钟出发．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义、自变量的取值范围及应用函数解析式解决实际问题．
【类型3 销售问题】
1．（2023春·九年级课时练习）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是 亿元．
【答案】0.6
【分析】根据“y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例”可得到y与x之间的函数关系式y＝kx−0.4（k≠0），利用待定系数法求解即可；再把x＝0.6代入y＝15x−2中可求得本年度的用电量，进一步求得本年度电力部门的纯收入．
【详解】设y＝kx−0.4（k≠0），
因为当x＝0.65时，y＝0.8，
所以有0.8＝k0.65−0.4，
∴k＝0.2，
∴y＝0.2x−0.4＝15x−2（x＞0且x≠0.4），
即y与x之间的函数关系式为y＝15x−2；
把x＝0.6代入y＝15x−2中，得y＝15×0.6−2＝1，
所以本年度的用电量为1+1＝2（亿度），
（0.6﹣0.3）×2＝0.6（亿元）．
答：本年度电力部门的纯收入是0.6亿元．
故答案为0.6．
【点睛】主要考查了反比例函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．
（1）写出y关于x的函数表达式．
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价．
②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．
【答案】（1）y=480x（2）①6.4元；②4.8≤y≤8
【分析】（1）由学生人乘以奖品均价等于奖品总价列出方程，从而求出y关于x的函数表达式；
（2）①由未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人列方程，求出x，再求y；
②由获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，列不等式，求出奖品均价得取值范围．
【详解】解：（1）由题意得：x•y=480，
∴y=480x；
（2）①设获奖人数为x人，则未获奖人数为(4x+25)人
x+4x+25=400
∴x=75
当x=75时，y=48075=6.4；
②由题意可得：
400×15%≤x≤400×25%
∴60≤x≤100
∴4.8≤y≤8；
【点睛】此题考查反比例函数的应用，由题意得反比例函数解析式是解题关键．
3．（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=km(其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额)可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小.经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m(200≤m＜400)元时，优惠率分别为P甲=k甲m与P乙=k乙m，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值.
(1)求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙.
(2)当购买总金额m(元)在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么.
(3)品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m(200≤m＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由.
【答案】（1）k甲＝100，k乙＝0.4m；（2）甲家商场采取的促销方案是：优惠100元，乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；（3）当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多；当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠，理由见解析．
【分析】（1）把m＝200，p甲＝0.5代入P甲=k甲m中即可求得k甲，然后根据p乙始终为0.4可得k乙与m的关系；
（2）根据（1）的结论和图象即可得出结果；
（3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的m的值，再结合图象分类求解即可．
【详解】解：（1）把m＝200，p甲＝0.5代入P甲=k甲m中，得k甲＝100，
由于p乙始终为0.4，即k乙m=0.4，∴k乙＝0.4m；
（2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，
甲家商场采取的促销方案是：优惠100元，
乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；
（3）由（2）题可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．
当m﹣100＝0.6m时，解得m＝250．即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多，
再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型.
4．（2023春·全国·九年级校考期末）李先生参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款．
(1)写出y与x的函数关系式．
(2)如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？
【答案】(1)y=8000x；(2)16个月
【详解】【分析】（1）设y=kx，从反比例图象可知k=4000×2=8000，即可求出解析式．
（2）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出函数的范围．
【详解】（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y=kx，
把A（2，4000）代入关系式得4000=k2，
∴k=8000，
∴y=8000x，
（2）当y=500时，500=8000x，
∴x=16，
∴李先生至少16个月才能结清余款．
故答案为(1)y=8000x；(2)16个月
【点睛】本题考核知识点：反比例函数.解题关键点：用待定系数法求函数的解析式.
5．（2023春·山东滨州·九年级校考期末）为寻求合适的销售价格，商场对新进的一种商品进行了一周的试销，发现这种商品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间成反比例关系．已知第一天以220元/千克的价格销售了80千克.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)试销期间共销售了700千克这种新进商品，在试销后，商场决定将这种新进商品的销售价格定为160元/千克，这样按所发现的反比例关系预测剩余这种商品再用10天可以全部售完.问商场共新进多少千克的这种商品？
【答案】(1)y=17600x
(2)商场共新进这种商品1800千克
【分析】（1）根据第一天以220元/千克的价格销售了80千克，利用待定系数法确定反比例函数的解析式即可；
（2）将x=160代入求得每天的销售量即可求得总销售量，从而求得购进的商品的数量.
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kxk≠0，根据题意，得
80=k200，
解得k=17600，
∴ y与x的函数关系式为y=17600x；
（2）解：当x=160时，y =17600160=110，
110×10+700=1800（千克），
因此，商场共新进这种商品1800千克
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型．
6．（2023春·广西桂林·九年级校联考期中）某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价 0．7 万元，首次付款后每个月应还的钱数 y （元）与还钱月数 t 的关系如图所示．
（1）根据图像写出 y 与 t 的函数关系式；
（2）求出首次付款的钱数；
（3）如果要求每月支付的钱数不多于 400 元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？
【答案】（1）y=6000t；（2）1000元．（3）15．
【详解】试题分析：（1）函数图象经过点（10，600），根据待定系数法即可求得函数解析式；
（2）首付的钱数就是电脑的价值与剩余钱数的差；
（3）求出钱数是400元时的月份，根据函数图象的性质，即可求解．
试题解析：（1）设函数的解析式是y=kt；
把（10，600）代入得到：600=k10，
解得k=6000，
则函数的解析式是y=6000t；
（2）7000-6000=1000（元）；
首付的钱数为1000元．
（3）400=6000t，
解得t=15．
则至少15个月才能将所有的钱全部还清．
考点：反比例函数的应用．
7．（2023春·全国·九年级专题练习）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
【答案】（1）P=10+480x （2）12元 （3）680元
【分析】（1）设P=a+bx，将（8，70）、（10，58）代入求解可得；
（2）求出P=50时x的值即可得；
（3）根据月销售额W=x（10+480x）=10x+480且x≤20可得．
【详解】解：（1）设P=a+bx，
∵x=8时，P=70，x=10时，P=58，
∴70=a+b858=a+b10，
解之得，a=10，b=480，
∴P=10+480x；
（2）由题意得，10+480x=50，
解之得，x=12
经检验，x=12是原方程的根．
∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．
（3）W=x10+480x=10x+480
当x=20，W最大，最大值为680（元）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．
【类型4 物理问题】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断．
【详解】解：由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴力F与力臂L的乘积是定值，即力F与力臂L满足反比例函数关系
故选：B．
【点睛】此题属于跨学科综合题目，考查杠杆平衡条件及反比例函数xy=k（k≠0），理解相关概念是解题关键．
2．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离xcm，观察活动托盘B中砝码的质量yg的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)把上表中x,y的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？
(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．
【答案】(1)画图见解析
(2)y=300xx>0
(3)活动托盘B与点O的距离是12.5厘米．
(4)活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．
【分析】（1）先描点，再利用平滑的曲线连接即可；
（2）由给定的点的横纵坐标的积为常数，可得y是x的反比例函数，再求解解析式即可；
（3）把y=24代入y=300x，求解x的值即可得到答案；
（4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．．
【详解】（1）解：如图，画图如下：
（2）由横纵坐标的积为：10×30=15×20=20×10=25×12=30×10=300，
∴设y=kx，
则k=xy=300，
∴函数解析式为：y=300xx>0；
（3）当y=24时，则x=30024=12.5，
即活动托盘B与点O的距离是12.5厘米．
（4）∵y=300x，
当x>0时，y随x的减小而增大，
∴活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
3．（2023·河北保定·统考二模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
(1)根据表中数据，求出桌画所受压强PPa关于受力面积Sm2的函数表达式及a的值．
(2)将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】(1)P=150S；a=0.3
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令P=500，求出a的值即可；
（2）算出S的值，即可求出P的值，比较就可得出答案．
【详解】（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P=kS，
将300,0.5代入得：k=300×0.5=150，
∴P=150S，
当P=500时，S=150P=0.3，
∴a=0.3；
（2）这种摆放方式不安全，
理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02m2，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P=1500.02=7500Pa，
∵7500>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
4．（2023春·浙江温州·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：ρ=19.8ℎ；任务2：见解析；
【分析】（1）设ρ=kℎ，把ρ=1.0，ℎ=19.8代入求解即可得到答案；
（2）根据关系式代入求解即可得到答案；
【详解】任务1：
解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设ρ=kℎ，把ρ=1.0，ℎ=19.8代入，得1.0=k19.8，
∴k=19.8，
∴ρ=19.8ℎ．
任务2：
解：由题意可得，
ρ75%酒精=−0.002×75+1=0.85，
∴ℎ=≈23.3，标注如图，
；
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出解析式，找到相关数据代入求解．
5．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ．
【答案】(1)λ=300f；
(2)4m
【分析】（1）设解析式为λ=kf k≠0，用待定系数法求解即可；
（2）把f=75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．
【详解】（1）解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=kf k≠0，
把点10,30代入上式中得：k10=30，
解得：k=300，
∴λ=300f；
（2）解：当f=75MHz时，λ=30075=4，
答：当f=75MHz时，此电磁波的波长λ为4m．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
6．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识P=UI，（U表示电压为定值6V，I表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
第四步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想P大于30W，R的取值范围．
【答案】(1)A
(2)P=36R，第五组数据是错误的
(3)详见解析
(4)0Ω【分析】（1）根据上面日记中，数据分析过程即可得到答案；
（2）由P=UI和I=UR可得P关于R的函数表达式为P=UI=U2R，在代入数据即可判断第几组数据是错误的；
（3）先描点，在用平滑的曲线连起来即可；
（4）若想P大于30W，则P=36R>30W，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：上面日记中，数据分析过程，利用函数图象来观察功率P与电阻R的关系，主要运用的数学思想是数形结合；
故答案为：A；
（2）解：由P=UI和I=UR可得P关于R的函数表达式为P=UI=U2R，
∵ U=6V，
∴P=36R，
当R=25Ω时，P=1.6不在函数表达式上，
∴ R=25Ω时，P=1.6是明显错误的；P关于R的函数表达式是：P=36R；
（3）解：在该坐标系中描出表中前4组数据对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点，作出此函数的图象如图所示：
（4）解：若想P大于30W，即P=36R>30W，
则R<36P=3630=1.2Ω，且R>0，
则R的取值范围0Ω【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意求出反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质，采用数形结合的思想，是解题的关键．
7．（2023·山西太原·统考二模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______；
(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
【答案】(1)0.7，P=9RR>0
(2)见解析
(3)当P大于6W，R的取值范围为0【分析】（1）根据P与R是反比例函数求解即可；
（2）利用描点法画出图象即可；
（3）观察图象，直接写出答案即可．
【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数，
其中15×0.7=10.5，0.7数据错误；
设P与R的函数解析式为P=kR，
把P=3，R=3代入得，3=k3，
解得，k=9，
P与R的函数解析式为P=9R，
故答案为：0.7，P=9R．
（2）解：P关于R的函数图象如图：
（3）解：当P=6，R=1.5，结合图象，P大于6W时R的取值范围是0【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式.
【类型5 几何图形问题】
1．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝ ．
【答案】40x
【分析】根据菱形面积=12×对角线的积可列出关系式．
【详解】解：由题意得：12xy=20，可得y=40x，
故答案为40x．
【点睛】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．
2．（2023春·九年级课时练习）设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y=3x．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
【答案】10
【分析】由题意可得y=3x，则有x=1,y=3，然后问题根据勾股定理可求解．
【详解】解：∵矩形能被分割成3个全等的正方形，
∴y=3x，
∵y=3x，
∴3x=3x，解得：x=±1，
∴x=1，则y=3，
∴矩形的对角线长为x2+y2=12+32=10；
故答案为10．
【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质，熟练掌握勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质是解题的关键．
3．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度ym是面条横截面面积xmm2的反比例函数，其图象经过A4,32，Ba,80两点（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
【答案】(1)y=128xx>0
(2)a=1.6，实际意义：当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条长度为80 m
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将a,80代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可.
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kxx>0，
将4,32代入得k=128，
∴y与x之间的函数关系式为y=128xx>0；
（2）解：将a,80代入y=128x，可得：a=1.6，
实际意义：当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条长度为80 m．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质进行求解，是解题的关键．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线y=kx(x>0)的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
【答案】10.2米．
【分析】用待定系数法解得双曲线y=kx(x>0)的解析式，继而解得点D的坐标，得到OE的长，最后根据矩形的性质解题即可．
【详解】解：∵OC=5，BC=1.8，
∴点B的坐标是（1.8，5），代入y=kx(x>0)，得，
5=k1.8
k=9，
∴双曲线的解析式为y=9x(x>0)，
∵DE=0.75，
∴设点D的坐标为（m，0.75），并代入y=9x(x>0)，得
9m=0.75，
解得m=12，
即OE=12，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=1.8
∴AE=OE-OA=12−1.8=10.2（米）
答：B、D之间的水平距离为10.2米．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，涉及矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2023春·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边AD靠墙，面积为15m2的矩形ABCD花园，其中墙长为8m，现在可用的篱笆总长为12m．
(1)若设AB=xm，BC=ym．请写出y关于x的函数表达式；
(2)若要使12m的篱笆全部用完，能否围成面积为18m2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；
(3)假设围成矩形花园ABCD的三边材料总长不超过12m，材料BC和DC的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案．
【答案】(1)y=15x
(2)能，长为6m，宽为3m
(3)AB=3m，BC=5m
【分析】（1）由矩形的面积得xy=15，即可求解；
（2）设AB=xm，则BC=(12−2x)m，由题意围成的面积为18cm2的花园，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）由（1）可知y=15x， x的取值1，3，5，15，再由2x+y≤12，0x=3时，y=5，即可得出结论．
【详解】（1）解：依题意，xy=15，即y=15x，
y关于x的函数表达式为y=15x．
（2）能
理由：设AB=xm，则BC=(12−2x)m
依题意，x12−2x=18，解得x1=x2=3，即长为6m，宽为3m．
（3）由y=15x，且x，y都为正整数，∴可取1，3，5，15．
∵2x+y≤12，0∴符合条件的有：x=3时，y=5．
∴满足条件的所有围建方案：AB=3m，BC=5m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2023·山东德州·统考一模）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口C点到BE的距离CF为11米，求：
(1)BC段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)C点到x轴的距离CD长是多少？
(3)若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？
【答案】(1)y=6x
(2)12米；
(3)1米
【分析】（1）根据矩形的性质得到BE=OA=6，AB=1，求得B(1,6)，设双曲线BC的解析式为y=kx，得到k=6，于是得到结论；
（2）根据题意写出点C的横坐标，然后代入1中解析式求出y即可；
（3）令y≤3，解出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵四边形AOEB是矩形，
∴BE=OA=6，AB=1，
∴B(1,6)，
设双曲线BC的解析式为y=kx，
∴k=6，
∴BC段所在的反比例函数关系式是y=6x；
（2）∵CF=11，
∴点C的横坐标为12，
∴当x=12时，y=612=12，
∴CD长为12米；
（3）∵Q的高度不高于3米，即y≤3，
∴6x≤3，
解得x≥2，
∴x−1≥1，
∴Q到BE的距离至少1米，
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
【类型6 表格问题】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；
(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
【答案】(1)300
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据即可得s的值；
（2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可；
（3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断．
【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵
∴s = 300，
∴该公司到杭州市场的路程为300千米；
故答案为：300；
（2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设，
∵v=75时，t= 4，
∴k=75×4=300，
∴；
（3）解：不能．
理由如下：∵10-7.5=2.5（小时），
∴t=2.5时，，
∵120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键．
2．（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为
①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，则长方体容器中剩余液体原料多少升？
【答案】(1)
(2)①；②500升
【分析】（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是600，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）①用两种方式表示日销售量即可列方程求解；
②根据题意先求出日销售利润，再求出最大销售量，进一步可得出结论．
【详解】（1）反比例函数能表示其变化规律．
设y关于x的函数关系式为（0）
将，代入得，
∴；
（2）①液体原料的日销售量为升，
∴，
∴，
②设此液体原料的日销售利润为W（元），由题意可得
，
∵，
∴当时，W有最大值，此时最大日销售量为，
∵该液体原料按最大日销售利润销售20天，
∴长方体容器中剩余液体原料为（升）
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
3．（2023春·九年级课时练习）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
【答案】(1)反比例函数，理由见解析，
(2)①3.6万元/件；②6万元以上
【分析】（1）设利用待定系数法求出解析式，再代入一组对应值验证，得到不是一次函数关系；再设（k为常数，），求出解析式代入对应值验证即可；
（2）①将x=5代入计算可得；②将y=3代入计算可得．
【详解】（1）设（k，b为常数，），
∴，解这个方程组得，
∴．
当时，．
∴一次函数不能表示其变化规律．
设（k为常数，），
∴，
∴，
∴．
当时，；当时，；当时；
∴所求函数为反比例函数．
（2）①当时，，
∴甲生产线生产出的产品成本为3.6万元/件．
②当时，，
∵，
∴x，
∴需要投入维护资金6万元以上．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的实际问题，正确掌握一次函数及反比例函数的性质并求出解析式是解题的关键．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均时间y（单位：分钟）与调试次数x（单位：次）的函数关系是（k为非0常数），调试次数x，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y及相应的k的数据如下表：
(1)如果要使表中有尽可能多的数据满足函数关系，则函数解析式为______；
(2)如果要使k与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式；
(3)要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？
【答案】(1)y=+1
(2)此时函数关系式为y=+1；
(3)调式5次比较合适．
【分析】（1）由表中的数据看出，12出现次数最多，k取12，据此可求得函数解析式；
（2）根据题意得到k与其表中相应具体数据的差的平方和为w=4(x-14)2+24，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，根据题意列分式方程，求解得到a=，再代入两个解析式，进一步求解即可．
【详解】（1）解：要尽可能多的数据满足函数关系，由表中的数据看出，12出现次数最多，
∴k取12，
∴函数关系式为y=+1，
故答案为：y=+1；
（2）解：依题意知：k与其表中相应具体数据的差的平方和为w= (k-12)2+(k-14)2+(k-18)2+(k-12)2
=4k2-112k+808
=4(x-14)2+24，
∴当k=14时，原式w取最小值，
∴此时函数关系式为y=+1；
（3）解：设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，
则=60%，
解得：a=，经检验是原方程的解，
将y=代入 y=+1，得：=+1，
解得：x=，经检验是原方程的解，
将y=代入 y=+1，得：=+1，
解得：x=，经检验是原方程的解，
综合考虑，调式5次比较合适．
【点睛】本题考查了反比例的应用，二次函数的性质，分式方程的应用，解决问题的关键是掌握图象和解析式的关系，读懂表格中的数据．
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表：
（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；
（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？
【答案】（1）y＝；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【分析】（1）根据表中的数据可以判断x与y的函数关系，本题即可解决；
（2）根据题意列出方程进行求解即可得到答案.
【详解】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，
∴y＝，
∴y是x的反比例函数，
y与x之间的函数关系式为y＝；
（2）由题意得，（x﹣120）•＝3000，
∴
解得，x＝240；
经检验，x＝240是原方程的根，
∴单价应定为240元.
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.
6．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某厂从2011年起开始投入技改资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表所示：
（1）请认真分析表中的数据，从你学过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的表达式；
（2）按照这种变化规律，2015年已投入技改资金5万元．
①预计产品成本每件比2014年降低多少万元？
②如果打算在2015年把每件产品的成本降低到3.2万元，那么还需投入技改资金多少万元？（精确到0.01万元）
【答案】（1）反比例函数能表示其变化规律，表达式为：y=；（2）①0.4万元；②0.63万元
【分析】（1）从题很容易看出x与y的乘积为定值，应为反比例关系，由此即可解决问题；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解．
【详解】（1）设y=kx+b，（k、b为常数，k≠0），
∴，
解这个方程组得，
∴y=−1.5x+10.5，
当x=2.5时，可得y=6.75≠7.2，
∴一次函数不能表示其变化规律，
设y=，（k为常数，k≠0），
∴7.2=，
∴k=18，
∴y=，
当x=3时，y=6；当x=4时，y=4.5；当x=4.5时，y=4；
∴所求函数为反比例函数y=；
（2）①当x=5时，y=3.6，
4−3.6=0.4（万元），
∴比2014年降低0.4万元；
②当y=3.2时，x=5.625，
5.625−5=0.625≈0.63（万元），
∴还需要投入技改资金约0.63万元，
答：要把每件产品的成本降低到3.2万元，还需投入技改资金约0.63万元．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值，要注意用排除法确定函数的类型．
7．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数（度）是镜片焦距（厘米）（）的反比例函数，调查数据如下表：
（1）求与的函数表达式；
（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．
【答案】（1），；（2）该镜片的焦距为．
【分析】（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；
（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．
【详解】（1）根据题意，设与的函数表达式为
把，代入中，得
∴与的函数表达式为．
（2）当时，
答：该镜片的焦距为．
【点睛】考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的乘积是常数，是解决本题的关键．售价x
8
10
销售数量P
70
58
xcm
10
15
20
25
30
yg
30
20
15
12
10
桌面所受压强P（Pa）
300
400
500
750
1500
受力面积S（m2）
0.5
0.375
a
0.2
0.1
制作检测75%酒精的漂浮吸管
素材1
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数ℎ（cm）与液体密度ρ（gcm3）之间的几组数据如下表：
h（cm）
…
19.8
18
16.5
13.2
…
ρ（gcm3）
…
1.0
1.1
1.2
1.5
…
素材3
浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8 gcm3，1.0 gcm3）：
ρa%酒精=mV=a%V⋅ρ酒精+1−a%V⋅ρ酒精V=a%×0.8+1−a%×1.0=−0.002a+1
问题解决
任务1
求ρ关于h的函数表达式．
任务2
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm）
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6
RΩ
...
5
10
15
20
25
...
PW
...
7.2
3.6
2.4
1.8
1.6
...
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．
RΩ
…
3
6
9
12
15
…
PW
…
3
1.5
1
0.75
0.7
…
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
（千米/小时）
50
60
75
80
（小时）
6
5
4
3.75
x（元/升）
3
4
5
6
y（升）
200
150
120
100
投入维护资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
x
1
2
3
4
…
y
13
8
7
4
…
k
12
14
18
12
…
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
年度
2011
2012
2013
2014
投入技改资金/万元
2.5
3
4
4.5
产品成本/（万元/件）
7.2
6
4.5
4
眼镜片度数（度）
…
镜片焦距（厘米）
…
售价x
8
10
销售数量P
70
58
xcm
10
15
20
25
30
yg
30
20
15
12
10
桌面所受压强P（Pa）
300
400
500
750
1500
受力面积S（m2）
0.5
0.375
a
0.2
0.1
制作检测75%酒精的漂浮吸管
素材1
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数ℎ（cm）与液体密度ρ（gcm3）之间的几组数据如下表：
h（cm）
…
19.8
18
16.5
13.2
…
ρ（gcm3）
…
1.0
1.1
1.2
1.5
…
素材3
浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8 gcm3，1.0 gcm3）：
ρa%酒精=mV=a%V⋅ρ酒精+1−a%V⋅ρ酒精V=a%×0.8+1−a%×1.0=−0.002a+1
问题解决
任务1
求ρ关于h的函数表达式．
任务2
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm）
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6
RΩ
...
5
10
15
20
25
...
PW
...
7.2
3.6
2.4
1.8
1.6
...
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．
RΩ
…
3
6
9
12
15
…
PW
…
3
1.5
1
0.75
0.7
…
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
（千米/小时）
50
60
75
80
（小时）
6
5
4
3.75
x（元/升）
3
4
5
6
y（升）
200
150
120
100
投入维护资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
x
1
2
3
4
…
y
13
8
7
4
…
k
12
14
18
12
…
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
年度
2011
2012
2013
2014
投入技改资金/万元
2.5
3
4
4.5
产品成本/（万元/件）
7.2
6
4.5
4
眼镜片度数（度）
…
镜片焦距（厘米）
…
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数的应用的六大类型的理解！
【类型1 工程问题】
1．（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）之间的关系如图所示；
(1)求y与x间的函数表达式；
(2)若冉冉将原有录入速度提高20%，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度．
2．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．
（1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？
3．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________m3；
(2)如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间th满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为4×104立方米，设运输公司每天运送的土石方为V(立方米/天)，完成任务所需要的时间为t（天)．
（1）V与t之间有怎样的函数关系？
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，如果需要提前4天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？
5．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
6．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【类型2 行程问题】
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度vkmh与行驶时间th是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（ ）
A．0.1hB．0.35hC．0.45hD．0.5h
3．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系S=ka（k是常数，k≠0）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米0.08升时，该轿车可以行驶 千米．
4．（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v(m/s)从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y=−ax2+2x+20(a≠0)．某运动员7次试跳的轨迹如图2，在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)求线段CE的函数表达式；
(2)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于y的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，平均速度是80km/h，用时6h．
(1)当他按原路匀速返回时，汽车速度vkm/h与时间th之间的函数关系式是______；
(2)返回时，规定最高车速不得超过每小时100km，问返程最少需要几小时？
6．（2023·江苏·九年级假期作业）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围．
7．（2023春·浙江·九年级专题练习）台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？
【类型3 销售问题】
1．（2023春·九年级课时练习）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是 亿元．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．
（1）写出y关于x的函数表达式．
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价．
②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．
3．（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=km(其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额)可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小.经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m(200≤m＜400)元时，优惠率分别为P甲=k甲m与P乙=k乙m，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值.
(1)求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙.
(2)当购买总金额m(元)在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么.
(3)品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m(200≤m＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由.
4．（2023春·全国·九年级校考期末）李先生参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款．
(1)写出y与x的函数关系式．
(2)如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？
5．（2023春·山东滨州·九年级校考期末）为寻求合适的销售价格，商场对新进的一种商品进行了一周的试销，发现这种商品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间成反比例关系．已知第一天以220元/千克的价格销售了80千克.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)试销期间共销售了700千克这种新进商品，在试销后，商场决定将这种新进商品的销售价格定为160元/千克，这样按所发现的反比例关系预测剩余这种商品再用10天可以全部售完.问商场共新进多少千克的这种商品？
6．（2023春·广西桂林·九年级校联考期中）某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价 0．7 万元，首次付款后每个月应还的钱数 y （元）与还钱月数 t 的关系如图所示．
（1）根据图像写出 y 与 t 的函数关系式；
（2）求出首次付款的钱数；
（3）如果要求每月支付的钱数不多于 400 元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？
7．（2023春·全国·九年级专题练习）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
【类型4 物理问题】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系
2．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离xcm，观察活动托盘B中砝码的质量yg的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)把上表中x,y的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？
(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．
3．（2023·河北保定·统考二模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
(1)根据表中数据，求出桌画所受压强PPa关于受力面积Sm2的函数表达式及a的值．
(2)将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
4．（2023春·浙江温州·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
5．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ．
6．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识P=UI，（U表示电压为定值6V，I表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
第四步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想P大于30W，R的取值范围．
7．（2023·山西太原·统考二模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______；
(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
【类型5 几何图形问题】
1．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝ ．
2．（2023春·九年级课时练习）设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y=3x．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
3．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度ym是面条横截面面积xmm2的反比例函数，其图象经过A4,32，Ba,80两点（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线y=kx(x>0)的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
5．（2023春·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边AD靠墙，面积为15m2的矩形ABCD花园，其中墙长为8m，现在可用的篱笆总长为12m．
(1)若设AB=xm，BC=ym．请写出y关于x的函数表达式；
(2)若要使12m的篱笆全部用完，能否围成面积为18m2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；
(3)假设围成矩形花园ABCD的三边材料总长不超过12m，材料BC和DC的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案．
6．（2023·山东德州·统考一模）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口C点到BE的距离CF为11米，求：
(1)BC段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)C点到x轴的距离CD长是多少？
(3)若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？
【类型6 表格问题】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；
(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
2．（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为
①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，则长方体容器中剩余液体原料多少升？
3．（2023春·九年级课时练习）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均时间y（单位：分钟）与调试次数x（单位：次）的函数关系是（k为非0常数），调试次数x，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y及相应的k的数据如下表：
(1)如果要使表中有尽可能多的数据满足函数关系，则函数解析式为______；
(2)如果要使k与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式；
(3)要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表：
（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；
（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？
6．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某厂从2011年起开始投入技改资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表所示：
（1）请认真分析表中的数据，从你学过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的表达式；
（2）按照这种变化规律，2015年已投入技改资金5万元．
①预计产品成本每件比2014年降低多少万元？
②如果打算在2015年把每件产品的成本降低到3.2万元，那么还需投入技改资金多少万元？（精确到0.01万元）
7．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数（度）是镜片焦距（厘米）（）的反比例函数，调查数据如下表：
（1）求与的函数表达式；
（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．
专题26.3 反比例函数的应用的六大类型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数的应用的六大类型的理解！
【类型1 工程问题】
1．（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）之间的关系如图所示；
(1)求y与x间的函数表达式；
(2)若冉冉将原有录入速度提高20%，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度．
【答案】(1)y=1500x
(2)125字/分钟
【分析】（1）根据录入的时间=录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；
（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时t+2分钟，由题意得关于t的分式方程，解方程即可求出t的值．
【详解】（1）解：设 y=kx
把150，10代入 y=kx 得， 10=k150，
∴k=1500，
∴y与x的函数表达式为 y=1500x；
（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时t+2分钟，原来的录入速度为x字/分钟
由题意得， t+2=1500x，
整理得： x=1500t+2，
∵录入速度提高了20%，则实际录入速度为1+20%x字/分，
则 1+20%x=1500t，即 1+20%×1500t+2=1500t，
解得：t=10，
经检验t=10是原方程的解，
∴冉冉原录入速度为：150010+2=125（字/分钟），
答：冉冉原来的录入速度为125字/分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、解分式方程，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键．
2．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．
（1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？
【答案】（1）m=9000t；（2）180台，30台
【分析】（1）首先根据题意，因总工作量为9000台空调，故每天组装的台数m与生产时间t之间成反比例关系，即m·t=9000；
（2）计算出当t=50时，m=180；当t=60时，m=150；比较即可得答案．
【详解】解：（1）每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间的函数关系：m=9000t；
（2）当t=50时，m=900050=180．
所以，这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装180台空调，
原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，则每天组装150台，
即比原计划多：180−150=30台．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式、性质与运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．
3．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系如图所示．
(1)该蓄水池的蓄水量为_________m3；
(2)如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间th满足的条件是_________；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
【答案】(1)18000
(2)t≥9
(3)1800
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V=ktk＞0，再把点（6，3000）代入即可求出答案；
（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；
（3）设原计划每小时的排水量是xm3，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设V=ktk＞0，
∵点（6，3000）在此函数图象上，
∴蓄水量为6×3000＝18000m3．
故答案为：18000．
（2）蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间th之间的函数关系式为：V=18000t，
∵每小时排水量不超过2000m3，
∴根据反比例函数的增减性可知，t≥9时，每小时排水量不超过2000m3．
故答案为：t≥9．
（3）设原计划每小时的排水量是xm3，根据题意得：
18000x−180001+25%x=2，
解得：x=1800，
经检验：x=1800是所列方程的解，
答：原计划每小时的排水量是1800m3．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为4×104立方米，设运输公司每天运送的土石方为V(立方米/天)，完成任务所需要的时间为t（天)．
（1）V与t之间有怎样的函数关系？
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，如果需要提前4天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？
【答案】（1）V=40000t；（2）至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务．
【分析】（1）根据工作量×时间=土石方总量可得Vt=104，进而可得函数解析式；
（2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，根据题意列方程即可．
【详解】解：（1）∵V⋅t=40000，
∴V=40000t，
∴V是t的反比例函数；
（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，
需要40000÷(20×100)=20天才能完成任务，
工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，
40000−20×100×8=(20−8−4)×(20+x)×100，
解得：x=10，
答：公司至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式．
5．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
【答案】（1）y=9000x；（2）装配车间每天至少要组装180台空调．
【分析】（1）直接利用每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天），总数为9000，进而得出答案；
（2）利用反比例函数的增减性进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：xy=9000，即y=9000x，
∴y与x之间的函数关系式为y=9000x；
（2）由题意，得0 < x≤60−10，即0
∵k=9000>0，
∴当0
答：装配车间每天至少要组装180台空调．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数增减性进行分析是解题关键．
6．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？
【答案】(1)y＝1200x；(2)2台挖掘机需要20天；(3)每天至少要完成120m．
【分析】(1)根据图像找到反比例图象上点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出答案；
(2)由第一问可计算出工程的总工作量，再根据题目中的工作效率，可计算出所需的工作时间；
(3)第一问中可计算出工作的总量，再由条件中的工作时间，可计算出工程所需的工作效率.
【详解】解：(1)设y＝kx．
∵点(24，50)在其图象上，
∴所求函数表达式为y＝1200x；
(2)由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200(m)；
2台挖掘机需要1200÷(2×30)＝20天；
(3)1200÷10＝120(m)．
故每天至少要完成120m．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
【类型2 行程问题】
1．（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可．
【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
∴设这个反比例函数表达式为y=kx，
若甲x1,y1，乙x2,y2，丙x3,y3，丁x4,y4，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点x2,y'2，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点x4,y'4，如图所示，
∵x1,y1、x2,y'2、x3,y3、x4,y'4在反比例函数图象上，
∴x1y1=x2y'2=x3y3=x4y'4=k，
由图可知，y'2>y2，y4>y'4，
∴x2y2
由题意可知，训练中跑的路程为：xy，
∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程，
∴丁训练跑的路程最多，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用，理解题意，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度vkmh与行驶时间th是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于60km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（ ）
A．0.1hB．0.35hC．0.45hD．0.5h
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速120km/h时的时间以及最低车速60km/h的时间，即可求出答案．
【详解】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3=24km，
∵最高车速为120km/h，
∴在最高车速120km/h下的行驶时间t=sv=24120=0.2h，
同理可得，在最低车速60km/h下的行驶时间为t=sv=2460=0.4h，
∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在0.2−0.4h之间．
∵ 0.2h<0.35h<0.4h，
∴B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式．
3．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系S=ka（k是常数，k≠0）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米0.08升时，该轿车可以行驶 千米．
【答案】500
【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米”再利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值，再代入a=0.08求出S即可得出结论．
【详解】解：∵以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶400千米，
∴400=k0.1，
解得：k=40，
∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶的路程S=400.08=500(千米)．
故答案为：500．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的相关知识是解答本题的关键．
4．（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v(m/s)从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y=−ax2+2x+20(a≠0)．某运动员7次试跳的轨迹如图2，在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)求线段CE的函数表达式；
(2)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于y的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：3≈1.73，5≈2.24）
【答案】(1)y=−12x+20(8≤x≤40)
(2)①猜想a与v2成反比例函数关系，表达式为a=25v2，验证见解析；②当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意中平面直角坐标系横轴与纵轴的大小关系猜想，并代值计算即可求解；②根据点K（与DO相距32m）作为标准点，点K在线段y=−12x+20上，可求出点K的坐标，根据点K在抛物线上，在反比例函数图像上，由此即可求解．
【详解】（1）解：由图2可知：C(8，16)，E(40，0)，设CE：y=kx+b(k≠0)，
将C(8，16)，E(40，0)，代入得：16=8k+b0=40k+b，
解得，k=−12b=20，
∴线段CE的函数表达式为y=−12x+20(8≤x≤40)．
（2）解：①根据图3中x轴表示v2，纵轴表示a，随着v2值的增大，a的值在减小，
∴猜想a与v2成反比例函数关系，设a=mv2，
将(100，0．250)代入得0.25=m100，解得m=25，
∴a与v2的函数解析式为a=25v2，
将(150，0．167)代入a=25v2，验证：25150=0.167，
∴所求的函数表达式为a=25v2；
②由K在线段y=−12x+20上，且点K（与DO相距32m）作为标准点，
∴−12×32+20=4，即K(32，4)，
∴把点K(32，4)代入y=−ax2+2x+20得，−322a+2×32+20=4，解得，a=564，
∴把a=564代入a=25v2，解得，v2=320，
又∵v>0，
∴y=85=8×2.24≈18，
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点睛】本题主要考查函数与实际问题的综合，运用待定系数法求函数解析式，根据函数图像确定自变量与函数值的关系，对一次函数，反比例函数，二次函数图像性质的理解和掌握是解题的关键．
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，平均速度是80km/h，用时6h．
(1)当他按原路匀速返回时，汽车速度vkm/h与时间th之间的函数关系式是______；
(2)返回时，规定最高车速不得超过每小时100km，问返程最少需要几小时？
【答案】(1)ν=480t
(2)4.8h
【分析】（1）根据速度×时间=路程，可以求出甲地去乙地的路程；再根据行驶速速度=路程÷时间，得到v与t的函数解析式；
（2）计算v≤100时t的值即可求得范围．
【详解】（1）根据“速度=路程÷时间”，可设汽车速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数关系式为：
v=st，
当v=80，t=6时，有80=s6，
因此s=480，
故v与t之间的函数关系式为：ν=480t
故答案为：ν=480t
（2）根据题意得v≤100，
即480÷t≤100，
解得t≥4.8，
故返程时间最少是4.8h．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围．
【答案】（1）v与t的函数表达式为v＝600t（5≤t≤10）；（2）客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当t＝203（8点到下午14点40分）时，v＝600t＝600÷203＝90（千米/小时），当t＝152时，v＝600t＝600÷152＝80（千米/小时），即可求解．
【详解】解：（1）设v与t的函数关系式为v=kt，将（5，120）代入v=kt，
得：120＝k5，
解得：k＝600，
∴v与t的函数表达式为v＝600t（5≤t≤10）；
（2）当t＝203（8点到下午14点40分）时，
v＝600t＝600÷203＝90（千米/小时），
当t＝152时，v＝600t＝600÷152＝80（千米/小时），
∴客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键正确理解题意，利用待定系数法求出反比例函数关系式．
7．（2023春·浙江·九年级专题练习）台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
（2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？
【答案】（1）v＝38t，1930≤t≤1950（2）张老师可能迟到，应至少提前685分钟出发
【分析】（1）根据路程问题中的速度、时间、路程的关系以及不等式的性质即可解答；
（2）根据路程问题中的速度、时间、路程的关系即可解答．
【详解】（1）由题意得：v＝38t，
∵60≤v≤100，
∴1930≤t≤1950，
∴v＝38t，1930≤t≤1950；
（2）可能迟到．
∵张老师从家到进口站和从出口站到学校的总时间为：660+(38+4+6)÷50=5350，
∵5060<5350，且5350−5060=68300小时＝685分钟，
∴张老师可能迟到，应至少提前685分钟出发．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义、自变量的取值范围及应用函数解析式解决实际问题．
【类型3 销售问题】
1．（2023春·九年级课时练习）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是 亿元．
【答案】0.6
【分析】根据“y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例”可得到y与x之间的函数关系式y＝kx−0.4（k≠0），利用待定系数法求解即可；再把x＝0.6代入y＝15x−2中可求得本年度的用电量，进一步求得本年度电力部门的纯收入．
【详解】设y＝kx−0.4（k≠0），
因为当x＝0.65时，y＝0.8，
所以有0.8＝k0.65−0.4，
∴k＝0.2，
∴y＝0.2x−0.4＝15x−2（x＞0且x≠0.4），
即y与x之间的函数关系式为y＝15x−2；
把x＝0.6代入y＝15x−2中，得y＝15×0.6−2＝1，
所以本年度的用电量为1+1＝2（亿度），
（0.6﹣0.3）×2＝0.6（亿元）．
答：本年度电力部门的纯收入是0.6亿元．
故答案为0.6．
【点睛】主要考查了反比例函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．
（1）写出y关于x的函数表达式．
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价．
②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．
【答案】（1）y=480x（2）①6.4元；②4.8≤y≤8
【分析】（1）由学生人乘以奖品均价等于奖品总价列出方程，从而求出y关于x的函数表达式；
（2）①由未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人列方程，求出x，再求y；
②由获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，列不等式，求出奖品均价得取值范围．
【详解】解：（1）由题意得：x•y=480，
∴y=480x；
（2）①设获奖人数为x人，则未获奖人数为(4x+25)人
x+4x+25=400
∴x=75
当x=75时，y=48075=6.4；
②由题意可得：
400×15%≤x≤400×25%
∴60≤x≤100
∴4.8≤y≤8；
【点睛】此题考查反比例函数的应用，由题意得反比例函数解析式是解题关键．
3．（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=km(其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额)可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小.经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m(200≤m＜400)元时，优惠率分别为P甲=k甲m与P乙=k乙m，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值.
(1)求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙.
(2)当购买总金额m(元)在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么.
(3)品牌、质量、规格等都相同的基本种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m(200≤m＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由.
【答案】（1）k甲＝100，k乙＝0.4m；（2）甲家商场采取的促销方案是：优惠100元，乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；（3）当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多；当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠，理由见解析．
【分析】（1）把m＝200，p甲＝0.5代入P甲=k甲m中即可求得k甲，然后根据p乙始终为0.4可得k乙与m的关系；
（2）根据（1）的结论和图象即可得出结果；
（3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的m的值，再结合图象分类求解即可．
【详解】解：（1）把m＝200，p甲＝0.5代入P甲=k甲m中，得k甲＝100，
由于p乙始终为0.4，即k乙m=0.4，∴k乙＝0.4m；
（2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，
甲家商场采取的促销方案是：优惠100元，
乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；
（3）由（2）题可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．
当m﹣100＝0.6m时，解得m＝250．即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多，
再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型.
4．（2023春·全国·九年级校考期末）李先生参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款．
(1)写出y与x的函数关系式．
(2)如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？
【答案】(1)y=8000x；(2)16个月
【详解】【分析】（1）设y=kx，从反比例图象可知k=4000×2=8000，即可求出解析式．
（2）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出函数的范围．
【详解】（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y=kx，
把A（2，4000）代入关系式得4000=k2，
∴k=8000，
∴y=8000x，
（2）当y=500时，500=8000x，
∴x=16，
∴李先生至少16个月才能结清余款．
故答案为(1)y=8000x；(2)16个月
【点睛】本题考核知识点：反比例函数.解题关键点：用待定系数法求函数的解析式.
5．（2023春·山东滨州·九年级校考期末）为寻求合适的销售价格，商场对新进的一种商品进行了一周的试销，发现这种商品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间成反比例关系．已知第一天以220元/千克的价格销售了80千克.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)试销期间共销售了700千克这种新进商品，在试销后，商场决定将这种新进商品的销售价格定为160元/千克，这样按所发现的反比例关系预测剩余这种商品再用10天可以全部售完.问商场共新进多少千克的这种商品？
【答案】(1)y=17600x
(2)商场共新进这种商品1800千克
【分析】（1）根据第一天以220元/千克的价格销售了80千克，利用待定系数法确定反比例函数的解析式即可；
（2）将x=160代入求得每天的销售量即可求得总销售量，从而求得购进的商品的数量.
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kxk≠0，根据题意，得
80=k200，
解得k=17600，
∴ y与x的函数关系式为y=17600x；
（2）解：当x=160时，y =17600160=110，
110×10+700=1800（千克），
因此，商场共新进这种商品1800千克
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型．
6．（2023春·广西桂林·九年级校联考期中）某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价 0．7 万元，首次付款后每个月应还的钱数 y （元）与还钱月数 t 的关系如图所示．
（1）根据图像写出 y 与 t 的函数关系式；
（2）求出首次付款的钱数；
（3）如果要求每月支付的钱数不多于 400 元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？
【答案】（1）y=6000t；（2）1000元．（3）15．
【详解】试题分析：（1）函数图象经过点（10，600），根据待定系数法即可求得函数解析式；
（2）首付的钱数就是电脑的价值与剩余钱数的差；
（3）求出钱数是400元时的月份，根据函数图象的性质，即可求解．
试题解析：（1）设函数的解析式是y=kt；
把（10，600）代入得到：600=k10，
解得k=6000，
则函数的解析式是y=6000t；
（2）7000-6000=1000（元）；
首付的钱数为1000元．
（3）400=6000t，
解得t=15．
则至少15个月才能将所有的钱全部还清．
考点：反比例函数的应用．
7．（2023春·全国·九年级专题练习）某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量P（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件，x≤20）成反比例，销售过程中得到的部分数据如下：
（1）求P与x之间的函数关系式；
（2）当该商品销售数量为50件时，求每件商品的售价；
（3）设销售总额为W，求W的最大值．
【答案】（1）P=10+480x （2）12元 （3）680元
【分析】（1）设P=a+bx，将（8，70）、（10，58）代入求解可得；
（2）求出P=50时x的值即可得；
（3）根据月销售额W=x（10+480x）=10x+480且x≤20可得．
【详解】解：（1）设P=a+bx，
∵x=8时，P=70，x=10时，P=58，
∴70=a+b858=a+b10，
解之得，a=10，b=480，
∴P=10+480x；
（2）由题意得，10+480x=50，
解之得，x=12
经检验，x=12是原方程的根．
∴该商品销售数量为50件时，每件商品的售价为12元．
（3）W=x10+480x=10x+480
当x=20，W最大，最大值为680（元）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．
【类型4 物理问题】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断．
【详解】解：由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴力F与力臂L的乘积是定值，即力F与力臂L满足反比例函数关系
故选：B．
【点睛】此题属于跨学科综合题目，考查杠杆平衡条件及反比例函数xy=k（k≠0），理解相关概念是解题关键．
2．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离xcm，观察活动托盘B中砝码的质量yg的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)把上表中x,y的各组对应值作为点的坐标在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？
(4)当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？直接写出答案．
【答案】(1)画图见解析
(2)y=300xx>0
(3)活动托盘B与点O的距离是12.5厘米．
(4)活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．
【分析】（1）先描点，再利用平滑的曲线连接即可；
（2）由给定的点的横纵坐标的积为常数，可得y是x的反比例函数，再求解解析式即可；
（3）把y=24代入y=300x，求解x的值即可得到答案；
（4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大．．
【详解】（1）解：如图，画图如下：
（2）由横纵坐标的积为：10×30=15×20=20×10=25×12=30×10=300，
∴设y=kx，
则k=xy=300，
∴函数解析式为：y=300xx>0；
（3）当y=24时，则x=30024=12.5，
即活动托盘B与点O的距离是12.5厘米．
（4）∵y=300x，
当x>0时，y随x的减小而增大，
∴活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加砝码．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
3．（2023·河北保定·统考二模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
(1)根据表中数据，求出桌画所受压强PPa关于受力面积Sm2的函数表达式及a的值．
(2)将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】(1)P=150S；a=0.3
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令P=500，求出a的值即可；
（2）算出S的值，即可求出P的值，比较就可得出答案．
【详解】（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P=kS，
将300,0.5代入得：k=300×0.5=150，
∴P=150S，
当P=500时，S=150P=0.3，
∴a=0.3；
（2）这种摆放方式不安全，
理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02m2，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P=1500.02=7500Pa，
∵7500>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
4．（2023春·浙江温州·九年级统考期末）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：ρ=19.8ℎ；任务2：见解析；
【分析】（1）设ρ=kℎ，把ρ=1.0，ℎ=19.8代入求解即可得到答案；
（2）根据关系式代入求解即可得到答案；
【详解】任务1：
解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设ρ=kℎ，把ρ=1.0，ℎ=19.8代入，得1.0=k19.8，
∴k=19.8，
∴ρ=19.8ℎ．
任务2：
解：由题意可得，
ρ75%酒精=−0.002×75+1=0.85，
∴ℎ=≈23.3，标注如图，
；
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出解析式，找到相关数据代入求解．
5．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ．
【答案】(1)λ=300f；
(2)4m
【分析】（1）设解析式为λ=kf k≠0，用待定系数法求解即可；
（2）把f=75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．
【详解】（1）解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=kf k≠0，
把点10,30代入上式中得：k10=30，
解得：k=300，
∴λ=300f；
（2）解：当f=75MHz时，λ=30075=4，
答：当f=75MHz时，此电磁波的波长λ为4m．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
6．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识P=UI，（U表示电压为定值6V，I表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
第四步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想P大于30W，R的取值范围．
【答案】(1)A
(2)P=36R，第五组数据是错误的
(3)详见解析
(4)0Ω
（2）由P=UI和I=UR可得P关于R的函数表达式为P=UI=U2R，在代入数据即可判断第几组数据是错误的；
（3）先描点，在用平滑的曲线连起来即可；
（4）若想P大于30W，则P=36R>30W，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：上面日记中，数据分析过程，利用函数图象来观察功率P与电阻R的关系，主要运用的数学思想是数形结合；
故答案为：A；
（2）解：由P=UI和I=UR可得P关于R的函数表达式为P=UI=U2R，
∵ U=6V，
∴P=36R，
当R=25Ω时，P=1.6不在函数表达式上，
∴ R=25Ω时，P=1.6是明显错误的；P关于R的函数表达式是：P=36R；
（3）解：在该坐标系中描出表中前4组数据对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点，作出此函数的图象如图所示：
（4）解：若想P大于30W，即P=36R>30W，
则R<36P=3630=1.2Ω，且R>0，
则R的取值范围0Ω
7．（2023·山西太原·统考二模）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______；
(2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；
(3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．
【答案】(1)0.7，P=9RR>0
(2)见解析
(3)当P大于6W，R的取值范围为0
（2）利用描点法画出图象即可；
（3）观察图象，直接写出答案即可．
【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数，
其中15×0.7=10.5，0.7数据错误；
设P与R的函数解析式为P=kR，
把P=3，R=3代入得，3=k3，
解得，k=9，
P与R的函数解析式为P=9R，
故答案为：0.7，P=9R．
（2）解：P关于R的函数图象如图：
（3）解：当P=6，R=1.5，结合图象，P大于6W时R的取值范围是0
【类型5 几何图形问题】
1．（2023春·广东佛山·九年级统考期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝ ．
【答案】40x
【分析】根据菱形面积=12×对角线的积可列出关系式．
【详解】解：由题意得：12xy=20，可得y=40x，
故答案为40x．
【点睛】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．
2．（2023春·九年级课时练习）设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y=3x．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
【答案】10
【分析】由题意可得y=3x，则有x=1,y=3，然后问题根据勾股定理可求解．
【详解】解：∵矩形能被分割成3个全等的正方形，
∴y=3x，
∵y=3x，
∴3x=3x，解得：x=±1，
∴x=1，则y=3，
∴矩形的对角线长为x2+y2=12+32=10；
故答案为10．
【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质，熟练掌握勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质是解题的关键．
3．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度ym是面条横截面面积xmm2的反比例函数，其图象经过A4,32，Ba,80两点（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
【答案】(1)y=128xx>0
(2)a=1.6，实际意义：当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条长度为80 m
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将a,80代入解析式，进行求解即可，根据题意，进行解释即可.
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kxx>0，
将4,32代入得k=128，
∴y与x之间的函数关系式为y=128xx>0；
（2）解：将a,80代入y=128x，可得：a=1.6，
实际意义：当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条长度为80 m．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质进行求解，是解题的关键．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线y=kx(x>0)的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
【答案】10.2米．
【分析】用待定系数法解得双曲线y=kx(x>0)的解析式，继而解得点D的坐标，得到OE的长，最后根据矩形的性质解题即可．
【详解】解：∵OC=5，BC=1.8，
∴点B的坐标是（1.8，5），代入y=kx(x>0)，得，
5=k1.8
k=9，
∴双曲线的解析式为y=9x(x>0)，
∵DE=0.75，
∴设点D的坐标为（m，0.75），并代入y=9x(x>0)，得
9m=0.75，
解得m=12，
即OE=12，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=1.8
∴AE=OE-OA=12−1.8=10.2（米）
答：B、D之间的水平距离为10.2米．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，涉及矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2023春·河北保定·九年级校联考阶段练习）如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆圈成一个一边AD靠墙，面积为15m2的矩形ABCD花园，其中墙长为8m，现在可用的篱笆总长为12m．
(1)若设AB=xm，BC=ym．请写出y关于x的函数表达式；
(2)若要使12m的篱笆全部用完，能否围成面积为18m2的花园？若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由；
(3)假设围成矩形花园ABCD的三边材料总长不超过12m，材料BC和DC的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案．
【答案】(1)y=15x
(2)能，长为6m，宽为3m
(3)AB=3m，BC=5m
【分析】（1）由矩形的面积得xy=15，即可求解；
（2）设AB=xm，则BC=(12−2x)m，由题意围成的面积为18cm2的花园，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）由（1）可知y=15x， x的取值1，3，5，15，再由2x+y≤12，0
【详解】（1）解：依题意，xy=15，即y=15x，
y关于x的函数表达式为y=15x．
（2）能
理由：设AB=xm，则BC=(12−2x)m
依题意，x12−2x=18，解得x1=x2=3，即长为6m，宽为3m．
（3）由y=15x，且x，y都为正整数，∴可取1，3，5，15．
∵2x+y≤12，0
∴满足条件的所有围建方案：AB=3m，BC=5m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2023·山东德州·统考一模）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高6米，宽1米，出口C点到BE的距离CF为11米，求：
(1)BC段所在的反比例函数关系式是什么？
(2)C点到x轴的距离CD长是多少？
(3)若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？
【答案】(1)y=6x
(2)12米；
(3)1米
【分析】（1）根据矩形的性质得到BE=OA=6，AB=1，求得B(1,6)，设双曲线BC的解析式为y=kx，得到k=6，于是得到结论；
（2）根据题意写出点C的横坐标，然后代入1中解析式求出y即可；
（3）令y≤3，解出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵四边形AOEB是矩形，
∴BE=OA=6，AB=1，
∴B(1,6)，
设双曲线BC的解析式为y=kx，
∴k=6，
∴BC段所在的反比例函数关系式是y=6x；
（2）∵CF=11，
∴点C的横坐标为12，
∴当x=12时，y=612=12，
∴CD长为12米；
（3）∵Q的高度不高于3米，即y≤3，
∴6x≤3，
解得x≥2，
∴x−1≥1，
∴Q到BE的距离至少1米，
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
【类型6 表格问题】
1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；
(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
【答案】(1)300
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据即可得s的值；
（2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可；
（3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断．
【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵
∴s = 300，
∴该公司到杭州市场的路程为300千米；
故答案为：300；
（2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设，
∵v=75时，t= 4，
∴k=75×4=300，
∴；
（3）解：不能．
理由如下：∵10-7.5=2.5（小时），
∴t=2.5时，，
∵120＞100，
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键．
2．（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为
①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，则长方体容器中剩余液体原料多少升？
【答案】(1)
(2)①；②500升
【分析】（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是600，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）①用两种方式表示日销售量即可列方程求解；
②根据题意先求出日销售利润，再求出最大销售量，进一步可得出结论．
【详解】（1）反比例函数能表示其变化规律．
设y关于x的函数关系式为（0）
将，代入得，
∴；
（2）①液体原料的日销售量为升，
∴，
∴，
②设此液体原料的日销售利润为W（元），由题意可得
，
∵，
∴当时，W有最大值，此时最大日销售量为，
∵该液体原料按最大日销售利润销售20天，
∴长方体容器中剩余液体原料为（升）
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
3．（2023春·九年级课时练习）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
【答案】(1)反比例函数，理由见解析，
(2)①3.6万元/件；②6万元以上
【分析】（1）设利用待定系数法求出解析式，再代入一组对应值验证，得到不是一次函数关系；再设（k为常数，），求出解析式代入对应值验证即可；
（2）①将x=5代入计算可得；②将y=3代入计算可得．
【详解】（1）设（k，b为常数，），
∴，解这个方程组得，
∴．
当时，．
∴一次函数不能表示其变化规律．
设（k为常数，），
∴，
∴，
∴．
当时，；当时，；当时；
∴所求函数为反比例函数．
（2）①当时，，
∴甲生产线生产出的产品成本为3.6万元/件．
②当时，，
∵，
∴x，
∴需要投入维护资金6万元以上．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的实际问题，正确掌握一次函数及反比例函数的性质并求出解析式是解题的关键．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均时间y（单位：分钟）与调试次数x（单位：次）的函数关系是（k为非0常数），调试次数x，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y及相应的k的数据如下表：
(1)如果要使表中有尽可能多的数据满足函数关系，则函数解析式为______；
(2)如果要使k与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式；
(3)要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？
【答案】(1)y=+1
(2)此时函数关系式为y=+1；
(3)调式5次比较合适．
【分析】（1）由表中的数据看出，12出现次数最多，k取12，据此可求得函数解析式；
（2）根据题意得到k与其表中相应具体数据的差的平方和为w=4(x-14)2+24，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，根据题意列分式方程，求解得到a=，再代入两个解析式，进一步求解即可．
【详解】（1）解：要尽可能多的数据满足函数关系，由表中的数据看出，12出现次数最多，
∴k取12，
∴函数关系式为y=+1，
故答案为：y=+1；
（2）解：依题意知：k与其表中相应具体数据的差的平方和为w= (k-12)2+(k-14)2+(k-18)2+(k-12)2
=4k2-112k+808
=4(x-14)2+24，
∴当k=14时，原式w取最小值，
∴此时函数关系式为y=+1；
（3）解：设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，
则=60%，
解得：a=，经检验是原方程的解，
将y=代入 y=+1，得：=+1，
解得：x=，经检验是原方程的解，
将y=代入 y=+1，得：=+1，
解得：x=，经检验是原方程的解，
综合考虑，调式5次比较合适．
【点睛】本题考查了反比例的应用，二次函数的性质，分式方程的应用，解决问题的关键是掌握图象和解析式的关系，读懂表格中的数据．
5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表：
（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；
（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？
【答案】（1）y＝；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【分析】（1）根据表中的数据可以判断x与y的函数关系，本题即可解决；
（2）根据题意列出方程进行求解即可得到答案.
【详解】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，
∴y＝，
∴y是x的反比例函数，
y与x之间的函数关系式为y＝；
（2）由题意得，（x﹣120）•＝3000，
∴
解得，x＝240；
经检验，x＝240是原方程的根，
∴单价应定为240元.
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.
6．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某厂从2011年起开始投入技改资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表所示：
（1）请认真分析表中的数据，从你学过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的表达式；
（2）按照这种变化规律，2015年已投入技改资金5万元．
①预计产品成本每件比2014年降低多少万元？
②如果打算在2015年把每件产品的成本降低到3.2万元，那么还需投入技改资金多少万元？（精确到0.01万元）
【答案】（1）反比例函数能表示其变化规律，表达式为：y=；（2）①0.4万元；②0.63万元
【分析】（1）从题很容易看出x与y的乘积为定值，应为反比例关系，由此即可解决问题；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解．
【详解】（1）设y=kx+b，（k、b为常数，k≠0），
∴，
解这个方程组得，
∴y=−1.5x+10.5，
当x=2.5时，可得y=6.75≠7.2，
∴一次函数不能表示其变化规律，
设y=，（k为常数，k≠0），
∴7.2=，
∴k=18，
∴y=，
当x=3时，y=6；当x=4时，y=4.5；当x=4.5时，y=4；
∴所求函数为反比例函数y=；
（2）①当x=5时，y=3.6，
4−3.6=0.4（万元），
∴比2014年降低0.4万元；
②当y=3.2时，x=5.625，
5.625−5=0.625≈0.63（万元），
∴还需要投入技改资金约0.63万元，
答：要把每件产品的成本降低到3.2万元，还需投入技改资金约0.63万元．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值，要注意用排除法确定函数的类型．
7．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数（度）是镜片焦距（厘米）（）的反比例函数，调查数据如下表：
（1）求与的函数表达式；
（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．
【答案】（1），；（2）该镜片的焦距为．
【分析】（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；
（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．
【详解】（1）根据题意，设与的函数表达式为
把，代入中，得
∴与的函数表达式为．
（2）当时，
答：该镜片的焦距为．
【点睛】考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的乘积是常数，是解决本题的关键．售价x
8
10
销售数量P
70
58
xcm
10
15
20
25
30
yg
30
20
15
12
10
桌面所受压强P（Pa）
300
400
500
750
1500
受力面积S（m2）
0.5
0.375
a
0.2
0.1
制作检测75%酒精的漂浮吸管
素材1
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数ℎ（cm）与液体密度ρ（gcm3）之间的几组数据如下表：
h（cm）
…
19.8
18
16.5
13.2
…
ρ（gcm3）
…
1.0
1.1
1.2
1.5
…
素材3
浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8 gcm3，1.0 gcm3）：
ρa%酒精=mV=a%V⋅ρ酒精+1−a%V⋅ρ酒精V=a%×0.8+1−a%×1.0=−0.002a+1
问题解决
任务1
求ρ关于h的函数表达式．
任务2
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm）
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6
RΩ
...
5
10
15
20
25
...
PW
...
7.2
3.6
2.4
1.8
1.6
...
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．
RΩ
…
3
6
9
12
15
…
PW
…
3
1.5
1
0.75
0.7
…
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
（千米/小时）
50
60
75
80
（小时）
6
5
4
3.75
x（元/升）
3
4
5
6
y（升）
200
150
120
100
投入维护资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
x
1
2
3
4
…
y
13
8
7
4
…
k
12
14
18
12
…
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
年度
2011
2012
2013
2014
投入技改资金/万元
2.5
3
4
4.5
产品成本/（万元/件）
7.2
6
4.5
4
眼镜片度数（度）
…
镜片焦距（厘米）
…
售价x
8
10
销售数量P
70
58
xcm
10
15
20
25
30
yg
30
20
15
12
10
桌面所受压强P（Pa）
300
400
500
750
1500
受力面积S（m2）
0.5
0.375
a
0.2
0.1
制作检测75%酒精的漂浮吸管
素材1
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数ℎ（cm）与液体密度ρ（gcm3）之间的几组数据如下表：
h（cm）
…
19.8
18
16.5
13.2
…
ρ（gcm3）
…
1.0
1.1
1.2
1.5
…
素材3
浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8 gcm3，1.0 gcm3）：
ρa%酒精=mV=a%V⋅ρ酒精+1−a%V⋅ρ酒精V=a%×0.8+1−a%×1.0=−0.002a+1
问题解决
任务1
求ρ关于h的函数表达式．
任务2
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm）
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6
RΩ
...
5
10
15
20
25
...
PW
...
7.2
3.6
2.4
1.8
1.6
...
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．
RΩ
…
3
6
9
12
15
…
PW
…
3
1.5
1
0.75
0.7
…
第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
（千米/小时）
50
60
75
80
（小时）
6
5
4
3.75
x（元/升）
3
4
5
6
y（升）
200
150
120
100
投入维护资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
x
1
2
3
4
…
y
13
8
7
4
…
k
12
14
18
12
…
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
年度
2011
2012
2013
2014
投入技改资金/万元
2.5
3
4
4.5
产品成本/（万元/件）
7.2
6
4.5
4
眼镜片度数（度）
…
镜片焦距（厘米）
…
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