人教版九年级数学下册举一反三27.7相似三角形的八大经典模型练习(学生版+解析)

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专题27.7 相似三角形的八大经典模型【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9888" 【题型1 A字型】  PAGEREF _Toc9888 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3275" 【题型2 “8”字形】  PAGEREF _Toc3275 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31175" 【题型3 AX字型】  PAGEREF _Toc31175 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc12815" 【题型4 子母型】  PAGEREF _Toc12815 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12912" 【题型5 双垂直型】  PAGEREF _Toc12912 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc210" 【题型6 一线三等角型】  PAGEREF _Toc210 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1422" 【题型7 手拉手型】  PAGEREF _Toc1422 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc19558" 【题型8 三角形内接矩形型】  PAGEREF _Toc19558 \h 16【基本模型1-A字型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【题型1 A字型】【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM−EF值为（    ）  A．75 B．125 C．35 D．25【变式1-1】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG=GC．已知△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为 ．  【变式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=2，连接FE，S△DEFS△ABC= ；【变式1-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AF交BC边于点H，则CH长为 ．  【基本模型2-“8”字形】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【题型2 “8”字形】【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（　　）A．23 B．12 C．13 D．34 【变式2-1】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC=6，则AE= ．  【变式2-2】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG∥BC，交CD于点G．求FG的长．  【变式2-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，E，F为矩形ABCD内两点，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，EF=4，则BD=（    ）A．103 B．5 C．53 D．6【基本模型3-AX字型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3 AX字型】【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线AC上的一点，射线BM与AD交于点F，与CD的延长线交于点H．  (1)图中相似三角形有______对；(2)若AD2=AC⋅CM,∠BMA=72°，求∠BCD的度数．【变式3-1】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE:S△CDE=2:3，则S△DOE:S△AOC= ．  【变式3-2】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，过C作CE⊥BD于E点，交AB于F点，连接AE.若F是AB中点，且BC=8，则AE的长为 ．  【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．  (1)求FG:AE的值．(2)若AB:AC=3:2，①求证：∠AEF=∠ACB．②求证：DF2=DG⋅DA．【基本模型4-子母型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【题型4 子母型】【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求CEAC的值．【变式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．【变式4-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．（1）求证：△ADE∽△CDB；（2）求证：AE=2EF；（3）若FH=3，求BC的长．【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求证：AC∥FB；(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）【基本模型5-双垂直型】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【题型5 双垂直型】【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE的最小值为 ．【变式5-1】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若BE=10，求OF的长．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．  (2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．  (3)拓展应用如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）  【基本模型6一线三等角型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　补充：其他常见的一线三等角图形 【题型6 一线三等角型】【例6】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求两矩形的相似比的是（    ）  A．ABAC B．BDCD C．CDCH D．CEEH【变式6-1】（2023春·山东日照·九年级校考期中）已知等边三角形ABC的边长为4．(1)如图，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD=60°，求证：△ABP∽△PCD；  (2)如图，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD=120°，当PC=2时，求AD的长；  (3)在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D'，求△D'AP的面积．【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．  (1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF0)，则CD=2a，AC=AD+CD=3a，∵FH⊥AC,AF=CF，∴AH=CH=12AC=32a（等腰三角形的三线合一），∴DH=AH−AD=12a，又∵BD∥FH，∴AEEF=ADDH=a12a=2，即AE=2EF；（3）由（2）已证：AE=2EF，∴AE=23AF，∵BD∥FH，∴△ADE∼△AHF，∴DEFH=AEAF，即DE3=23，解得DE=233，∴BD=2DE=433，∵∠ABC=90°,BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，在△ABD和△BCD中，∠ADB=∠BDC=90°∠ABD=∠C，∴△ABD∼△BCD，∴ADBD=BDCD，由（2）可知，设AD=b(b>0)，则CD=2b，∴b433=4332b，解得b=263或b=−263（不符题意，舍去），∴CD=2b=463，则在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=4332+4632=4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，AB=AC=2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求证：AC∥FB；(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到CE=CD，根据AC=2CD，就能得到AE=CD，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上AB=AC，就可以通过边角边证明两个三角形全等．（2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到BE=FE，然后用等角对等边即可得到∠EFB=∠EBF，又可以从前面的两个全等中得到∠EFC=∠EBA，∠OAC=∠OCA从而得到∠OFB=∠OBF，那么△ACO和△BOF就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即∠CAO=∠FOB，那么内错角相等，两直线平行即可证结论．（3）根据D，E，F在同一条直线上，可以证明△AEG和△CED全等，即可得到AG=12AB，那么EG就是中位线，则EG∥CB，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF是平行四边形，那么BC=AD，然后通过三角形外角的性质，可以证得∠ADE=∠ACD，就能证△ACD和△ADE是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】（1）解：∵将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE， ∴△FCE≌△ACD，∴CE=CD，∵AC=2CD，∴AC=2CE，∴AE=AC−CE=2CE−CE=CE=CD，∵DC∥AB∴∠DCA=∠EAB，在△ABE和△CAD中，∵AE=CD∠EAB=∠DCAAB=CA，∴△ABE≌△CADSAS．（2）解：由（1）得BE=AD，∠ABE=∠CAD，∵△CEF≌△CDA，∴FE=AD，∠EFC=∠DAC，∴BE=FE，∠EFC=∠EBA，∴∠EFB=∠EBF，∵∠OFB=∠EFB−∠EFC，∠OBF=∠EBF−∠EBA，∴∠OFB=∠OBF，∵∠ECF=∠DCA，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OBF+∠OFB+∠BOF=180°，又∠AOC=∠BOF，∴∠OCA+∠OAC=∠OBF+∠OFB，即2∠CAO=2∠FOB，∴∠CAO=∠FOB，∴AC∥FB（3）解：在△AEG和△CED中，∵∠GAE=∠DCEAE=CE∠AEG=∠CED，∴△AEG≌△CEDASA∴AG=CD=12AB，∵AE=CE，∴EG∥CB，∵AC∥FB，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC=FE=AD，∵∠AEG=∠ACD+∠CAD=∠DAE+∠ADE，∴∠ADE=∠ACD，∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴EADA=DACA，即DA2=EA⋅CA=2EA2，∴DA=2EA，∵AB=AC=2EA，∴ABBC=ABDA=2EA2EA=22=2．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键．【基本模型5-双垂直型】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【题型5 双垂直型】【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，CE=2，若点P、Q分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE的最小值为 ．【答案】55【分析】过点Q作QH⊥CD于点H．利用相似三角形的性质求出PH=3，设BQ=x，则CH=x，PD=5−x，AP+QE=62+(5−x)2+x2+42，求AP+QE的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,0)，使得点M到J(0,4)，K(5,6)的距离和最小，作点J关于x轴的对称点J'，连接KJ'，则KJ'=52+102=55，由MJ+MK=MJ'+MK≥KJ'=55，可得结论．【详解】解：如图，过点Q作QH⊥CD于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，AD=BC=6，∠B=∠C=∠D=90°，∵CE=2，∴BE=BC−CE=6−2=4，∵QH⊥CD，∴∠B=∠QHP=∠QHC=90°，∴四边形BCHQ是矩形，∴BQ=CH，BC=QH=6，QH∥BC，∴∠AQH=∠B=90°，∵AE⊥QP，∴∠QAF+∠AQP=90°，∠AQP+∠HQP=90°，∴∠BAE=∠HQP，∴△ABE∽△QHP，∴ ABQH=BEPH，∴ 86=4PH，∴PH=3，设BQ=x，则CH=x，DP=5−x，∴AP+QE=62+(5−x)2+x2+42，欲求AP+QE的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,0)，使得点M到J(0,4)，K(5,6)的距离和最小，如图1中，作点J关于x轴的对称点J'，连接KJ'，∵K(5,6)，J'(0,−4)，∴KJ'=52+102=55，∵MJ+MK=MJ'+MK≥KJ'=55，∴JM+MK的最小值为55，∴AP+QE的最小值为55．故答案为：55．【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【变式5-1】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若BE=10，求OF的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②355【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；（2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=10，利用△BOF∽△BED，即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，而∠A=∠A，∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC² = AB·AD；（2）①证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2=BF•BE，∴BO•BD=BF•BE，即BOBE=BFBD，而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=10，∴CE=BE2−BC2=1，∴DE=BC-CE=2；在Rt△OBC中，OB=22BC=322，∵△BOF∽△BED，∴OFDE=BOBE，即OF2=32210，∴OF=355.【点睛】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq \f(EF,CF)＝eq \f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq \r(15).故选A.【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中线段AE与线段BF的关系．  (2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出线段AE与BF的关系，并说明理由．  (3)拓展应用如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）  【答案】(1)AE=BF(2)AEBF=mn，理由见解析(3)5−1；π2【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，进一步可得∠BAE=∠FBC，所以△ABE≅△BCF，结论得证AE=BF．（2）由四边形ABCD是矩形，得∠ABC=∠BCF=90°，AD=BC，进一步可证∠BAE=∠FBC，所以△ABE∼△BCF，于是AEBF=ABBC，证得AEBF=mn.　（3）取AB的中点M，连接DM，GM，AE=DF，由（1）可得Rt△ABE≅Rt△DAF，可证∠AGB=90°，AM=MB=MG=1； Rt△ADM中，勾股定理求得MD=5；由GD≥MD−MG得GD的最小值是5−1；由∠AGB=90°，知A、G、B三点共圆，所以点G在以点M为圆心，在以半径为1的14圆上运动，进而求得运动轨迹的长为2π÷4=π2．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC又AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴∠BAE+∠ABG=∠ABG+∠FBC=90°，∴∠BAE=∠FBC，在△ABE和△BCF中，∵AB=BC，∠BAE=∠FBC，∠ABE=∠BCF∴△ABE≅△BCF，∴AE=BF．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCF=90°，AD=BC，又AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴∠BAE+∠ABG=∠ABG+∠FBC=90°，∴∠BAE=∠FBC，∴△ABE∼△BCF，∴AEBF=ABBC，∵ABAD=ABBC=mn，∴AEBF=mn．（3）如图，取AB的中点M，连接DM，GM，  由题意知，AE=DF，由（1）可得Rt△ABE≅Rt△DAF，∴∠ABE=∠DAF∵∠DAF+∠BAG=90°∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AGB=180°−(∠ABE+∠BAG)=90°，∵M是AB的中点，AB=2，∴AM=MB=MG=1，在Rt△ADM中，MD=22+12=5；在△MGD中，∵GD≥MD−MG=5−1，∴GD的最小值是5−1，∵∠AGB=90°，∴A、G、B三点共圆，∴点G在以点M为圆心，在以半径为1的14圆上运动，∴点G的运动轨迹的长为：2π÷4=π2，故答案为：5−1；π2【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，两点之间线段最短；合理添设辅助线，借助图中合适的定点运用两点之间线段最短是解题的关键．【基本模型6一线三等角型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　补充：其他常见的一线三等角图形 【题型6 一线三等角型】【例6】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图， Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，矩形MNHD、矩形GDEF的顶点分别在△BCD，△ACD的三边上，且矩形MNHD∽矩形GDEF．可求两矩形的相似比的是（    ）  A．ABAC B．BDCD C．CDCH D．CEEH【答案】B【分析】由条件可以证明△CFD∽△BND，由相似三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：连接FD，DN，  ∵矩形MNHD∽矩形GDEF，∴∠FDE=∠BDN，∵∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°，∴∠FCD=∠B，∴△CFD∽△BND，∴DN:DF=BD:CD，故选：B．【点睛】本题考查相似多边形，关键是连接FD，DN，证明△CFD∽△BND，即可解决问题．【变式6-1】（2023春·山东日照·九年级校考期中）已知等边三角形ABC的边长为4．(1)如图，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD=60°，求证：△ABP∽△PCD；  (2)如图，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD=120°，当PC=2时，求AD的长；  (3)在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D'，求△D'AP的面积．【答案】(1)见详解(2)7(3)532【分析】（1）先利用三角形的内角和得出∠BAP+∠APB=120°，再用平角得出∠APB+∠CPD=120°，进而得出∠BAP=∠CPD，即可得出结论；（2）过点P作PE⊥AC于E，构造出含30°角的直角三角形，求出CE的长度，再用勾股定理求出PE，进而求出AP的值，再判断出△ACP∽∠APD，得出比例式即可得出结论；（3）先求出CD的值，进而得出CD'的值，再构造出直角三角形求出D'H的长度，进而得出D'G的值，再求出AM的长度，最后用面积差即可得出结论．【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴在△ABP中，∠B+∠APB+∠BAP=180°，∴∠BAP+∠APB=120°，∵∠APB+∠CPD=180°−∠APD=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）如下图，过点P作PE⊥AC于E，  ∴∠AEP=90°，∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠ACB=60°，∴∠PCE=∠ACB=60°，在Rt△CPE中，PC=2，∠CPE=90°−∠PCE=30°，∴CE=12PC=1，根据勾股定理得，PE=PC2−CE2=22−12=3，在Rt△APE中，AE=AC+CE=4+1=5，根据勾股定理得，AP2=AE2+PE2=52+(3)2=28，∵∠ACB=60°，∴∠ACP=120°=∠APD，又∵∠CAP=∠PAD，∴△ACP∽△APD，∴ACAP=APAD，∴AD=AP2AC=284=7；（3）如下图，  由（2）知，AD=7，∵AC=4，∴CD=AD−AC=7−4=3，由旋转知，∠DCD'=120°，CD'=CD=3，∵∠DCP=60°，∴∠D'CP=∠DCD'−∠DCP=60°，∠ACD'=180°−∠DCD'=60°，过点D'作D'H⊥CP于H，在Rt△CHD'中，CH=12CD'=32，根据勾股定理得，D'H=3CH=332，过点D'作D'G⊥AC于G，∵∠ACD'=∠PCD'=60°，∴D'G=D'H=332，∴S四边形ACPD'=S△ACD'+S△PCD'=12AC⋅D'G+12CP⋅D'H=12×4×332+12×2×332=923，过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，∴BM=12BC=2，在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AM=3BM=23，∴S△ACP=12CP⋅AM=12×2×23=23，∴S△D'AP=S四边形ACPD'−S△ACP=932−23=532．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．  (1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB＝1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②等联线AB=3k，线段PE=52k【分析】（1）根据新定义，画出等联角即可；（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N，由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≅Rt△CNE，得出∠PCF＝45°，即可求解；②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R＝∠A＝90°．证明△APC≅△RFP，得出AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k，进而证明四边形BRFQ为正方形，则BQ=QF=k，由FQ∥CN，得出△AEF~△NEC，根据相似三角形的性质得出NE=32k，根据PE=PM+ME即可．【详解】（1）解：作图如下：（方法不唯一）  （2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．  由折叠得AC＝CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2，∵AC=AB，∠A=∠PBD=∠N=90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN=AC=CM，又∵CE=CE，∴Rt△CME≅Rt△CNE（HL），∴∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∠CPF=90°，∴∠PCF=∠2+∠3=∠CFP=45°，∴△PCF是等腰直角三角形．②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R=∠A=90°，  ∵∠1+∠5=∠5+∠6=90°，∴∠1=∠6，由△PCF是等腰直角三角形知：PC=PF，∴△APC≅△RFP（AAS），∴AP=FR，AC=PR，而AC=AB，∴AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k，∴AP=BR=FR=k，∴PB=2AP=2k，∴AB=AP+PB=BN=3k，∵BR=FR，∠QBR=∠R=∠FQB=90°，∴四边形BRFQ为正方形，BQ=OF=k，∵FQ⊥BN，CN⊥BN，∴FQ∥CN，∴QENE=QFCN，而QE=BN﹣NE﹣BQ=3k﹣NE−k=2k﹣NE，∴2k−NENE=k3k=13，解得：NE=32k，由①知：PM=AP=k，ME=NE=32k，∴PE=PM+ME=k+32k=52k，答：等联线AB=3k，线段PE=52k．【点睛】点评本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF0，则DG=GF=DE=5a，然后证出△AED∽△GDB，根据相似三角形的性质可得AEDG=DEBD，从而可得a=67，则ADAB=27，GF=675，最后证出△ADM∽△ABG，△AMN∽△AGF，根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6，∴AB=3,BC=AB2+AC2=35，∴四边形DEFG是正方形，∴DE=DG=GF,DE∥GF,∠EDG=∠DGF=90°，∴△ADE∽△ABC，∴ADDE=ABBC=55，设AD=aa>0，则DG=GF=DE=5a，∴AE=DE2−AD2=2a，BD=AB−AD=3−a，∵∠BAC=90°,∠EDG=90°，∴∠ADE+∠AED=90°=∠ADE+∠GDB，∴∠AED=∠GDB，在△AED和△GDB中，∠AED=∠GDB∠DAE=∠BGD=90°，∴△AED∽△GDB，∴AEDG=DEBD，即2a5a=5a3−a，解得a=67，∴ADAB=673=27，GF=675，∵DE∥GF，∴△ADM∽△ABG，∴AMAG=ADAB=27，又∵DE∥GF，∴△AMN∽△AGF，∴MNGF=AMAG，即MN675=27，解得MN=12549，故答案为：12549．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．