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人教版（2024）七年级上册1.2.1 有理数当堂检测题
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这是一份人教版（2024）七年级上册1.2.1 有理数当堂检测题，共56页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17422" 【题型1 数轴中的新定义问题】 PAGEREF _Tc17422 \h 1
\l "_Tc14655" 【题型2 数轴中的动点问题】 PAGEREF _Tc14655 \h 2
\l "_Tc16068" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc16068 \h 4
\l "_Tc14939" 【题型4 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc14939 \h 5
\l "_Tc12496" 【题型5 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Tc12496 \h 6
\l "_Tc10422" 【题型6 有理数中的对折问题】 PAGEREF _Tc10422 \h 9
\l "_Tc10853" 【题型7 幻方的应用】 PAGEREF _Tc10853 \h 10
\l "_Tc14244" 【题型8 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc14244 \h 12
【题型1 数轴中的新定义问题】
【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为−6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点．
(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）
(2)若点M、P表示的数分别为−4、−2，且P是M,N的美好点，则点N为 ．
(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为−10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？
【变式1-1】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
【变式1-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；
(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：
①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．
【变式1-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点．若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，点B在原点的右边，且到点A的距离为4．
(1)直接写出A、B两点表示的数；
(2)若点C是A，B的三倍点，求点C表示的数；
(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由．
【题型2 数轴中的动点问题】
【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数−18，8大于−18，用8−−18．用式子表示为：AC=8−−18=26．根据阅读完成下列问题：
(1)填空：AB=______，BC=______．
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．
【变式2-1】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20+b−402=0.
（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；
（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒.
① 若点P和点Q相遇于点C, 求点C在数轴上表示的数；
② 当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；
(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、D表示的数分别是a、b、c、d，且满足a+1002+c−15002+d−1700=0.
(1)b=______，BC间的距离是______米，AC间的距离是______米；
(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？
(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？
(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值.
【题型3 绝对值中的最值问题】
【例3】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数−5的点与原点的距离可记作|−5−0|=|−5|=5；表示数−5的点与表示数−2的点的距离可记作|−5−(−2)|=|−3|=3．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作|a−b|．
回答下列问题：
(1)数轴上表示−3和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示−2和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与−2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得|x+1|+|x−2|=3的整数x；
②求|x+3|+|x−1|的最小值．
【变式3-1】（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1．
（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的数．
（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数．
（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F表示的数．
（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．
【变式3-2】（2023春·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则m−2+m+5=______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a−d=12， b−d=7， a−c=9 ，则b−c 等于 ______．
(4)若b=a，c=12a， d=13a，e=14a， f=15a ，则式子b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5的最小值为 _______．
【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5−0，即5−0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5−−3表示5、−3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为a−b．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么x= ．
（3）x+2可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）x−2+x−3可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．x+2+x−1可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）x−2+x−3最小值是 ，x+2+x−1的最小值是 ．
【题型4 分类讨论多绝对值问题】
【例4】（2023春·浙江金华·七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bb的值不可能是（ ）
A．2B．–2C．1D．0
【变式4-1】（2023春·广东惠州·七年级校考期中）若ab<0，则aa−bb−abab= ．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若ab≠0，a+b≠0，则|a|a+|b|b+|ab|ab+|a+b|a+b= ．
【变式4-3】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）满足x−1+x+3=4的整数x共有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型5 有理数中的规律探究】
【例5】（2023春·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算19+192+193+⋯+19n(其中n是正整数，且n≥2，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+12；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分制图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n，
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算19+192+193+⋯+19n．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，19+192+193+⋯+19n=___________．
(3)拓广应用：计算9−19+92−192+93−193+⋯+9n−19n=___________．
【变式5-1】（2023·广东东莞·七年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A．2001B．4039C．8124D．16304
【变式5-2】（2023春·全国·七年级期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3 1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5 1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7=______________． 1+16×8=____________．
1+12n×(2n+2)=_________________．（n为正整数）
（2）根据规律计算：
(1+11×3)×(1+12×4)×(1+13×5)×(1+14×6)×⋯×(1+198×100)×(1+199×101)．
【变式5-3】（2023春·江苏泰州·七年级泰兴市洋思中学校联考期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②如果欲求1+2+3+4+⋯+n的值，可令
S=1+2+3+4+...+n ……………①
将①式右边顺序倒置，得S=n+...+4+3+2+1 ……………②
由②加上①式，得2S= ；
∴ S=_________________；
由结论求1+2+3+4+⋯+55=___________；
（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②为了求1+3+32+33+……+32018的值，可令M=1+3+32+33+……+32018，则3M=3+32+33+……+32019，因此3M−M=32019−1，所以M=32019−12，
即1+3+32+33+……+32018=32019−12.
仿照以上推理，计算1+5+52+53+……+551
【题型6 有理数中的对折问题】
【例6】（2023春·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．
(1)折叠纸条使数轴上表示−1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 _________ ；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 _________ ；
(2)如图2，点A、B表示的数分别是−2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B 距离的2倍，那么点C表示的数是 _________ ；
(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．
【变式6-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是
【变式6-2】（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴左右对折纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”．
（1）操作一：左右对折纸面，使1对应的点与-1对应的点重合，则-3对应的点与_____对应的点重合；
（2）操作二：左右对折纸面，使-1对应的点与3对应的点重合，回答以下问题：
①对折中心点对应的数为__________，对折后5对应的点与数_________对应的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，通过计算求A、B两点对应的数分别是多少？
（3）操作三：已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，对折中心点C对应的数是c，此时点A与点B对折重合，那么a，b，c三数满足的关系式为__________．
【变式6-3】（2023春·江西吉安·七年级统考期中）小聪在复习过程中，发现数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例：
如图1，线段AB=4−2=2，线段CB=4−(−2)=6，
线段AC=2−(−2)=4，线段CD=−2−(−4)=2
结论：数轴上任意两点表示的数分别为：a，b（b>a），则这两点间的距离为：b−a（即：较大的数减去较小的数）.
尝试应用：
（1）若数轴上点E，点F代表的数分别是－3，－1，则EF=______.
（2）把一条数轴在数m处对折，表示－9和3两数的点恰好互相重合，此时m=______.
（3）数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，另一个点表示的数为n，则n=______.
问题解决：
（4）如图2，点A表示数x，点B表示－2，点C表示2x+8且BC=4AB，问点A和点C分别表示什么数？为什么？
（5）上述（4）的条件下，图2所示的数轴上，是否存在满足条件的点D，使用DA+DC=3DB？
若存在，请直接写出D所表示的数，若不存在，请说明理由？（点D不与点A，点B，点C重合）
【题型7 幻方的应用】
【例7】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务．
幻方
相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；
(2)请将−7，−5，−3，−1，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方．
【变式7-1】（2023春·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求x，y的值，并将空格补充完整．
【变式7-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列各组中的九个数不满足三阶幻方要求的（ ）
A．－2，－1，0，1，2，3，4，5，6B．2，3，4，5，6，7，8，9 ，10
C．3，6，9，12，15，18，21，24，27D．4，6，7，10，12，14，16，18，20
【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【题型8 有理数的实际应用】
【例8】（2023·上海·六年级假期作业）小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？
【变式8-1】（2023春·江苏泰州·七年级周测）传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的．据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”．退休的张大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了．
(1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少?
回报率=回报金额−投资额投资额×10000
(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱?
【变式8-2】（2023·浙江·七年级假期作业）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元/吨）：
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 吨到B2；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
专题1.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17422" 【题型1 数轴中的新定义问题】 PAGEREF _Tc17422 \h 1
\l "_Tc14655" 【题型2 数轴中的动点问题】 PAGEREF _Tc14655 \h 8
\l "_Tc16068" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc16068 \h 14
\l "_Tc14939" 【题型4 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc14939 \h 19
\l "_Tc12496" 【题型5 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Tc12496 \h 22
\l "_Tc10422" 【题型6 有理数中的对折问题】 PAGEREF _Tc10422 \h 29
\l "_Tc10853" 【题型7 幻方的应用】 PAGEREF _Tc10853 \h 34
\l "_Tc14244" 【题型8 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc14244 \h 38
【题型1 数轴中的新定义问题】
【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为−6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点．
(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）
(2)若点M、P表示的数分别为−4、−2，且P是M,N的美好点，则点N为 ．
(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为−10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？
【答案】(1)M，P，N
(2)−6或2
(3)119或97或359或337秒
【分析】（1）先求出点M到点P和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；
（2）设点N表示的数为n，得到点P到点M和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当0【详解】（1）解：点M、N、P表示的数分别为3、6、7，
∴点M到点P的距离是4，到点N的距离是3，
∵4+3×2=10，
∴点M是P,N的美好点，
故答案为：M，P，N;
（2）解：设点N表示的数为n，
∵点M、P表示的数分别为−4、−2，
∴点P到点M的距离是2，到点N的距离是n−−2=n+2
∵点P是M,N的美好点，
∴2+2n+2=10，
∴n=−6或2；
（3）解：①当0根据题意得：点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为12−8t，
∵点C表示的数为2，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=12−8t−2=10−8t，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+210−8t=10，
当0解得：t=119；
当54≤t<114时，12−2t+210−8t=12−2t+28t−10=14t−8=10，
解得：t=97；
②当114≤t<112时，此时点Q第一次到达A点这番折返出发向右匀速运动，
根据题意得：点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为−10+8t−228=8t−32，
∵点C表示的数为2，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=8t−32−2=8t−34，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+28t−34=10，
当114解得：t=359；
当174≤t<112时，12−2t+28t−34=12−2t+28t−34=14t−56=10，
解得：t=337；
③当112≤t≤6时，此时点Q第二次从B点出发向左匀速运动，
点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为12−8t−448=56−8t，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=56−8t−2=54−8t，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+254−8t=10，
解得：t=559（舍），
综上可知，当t值为119或97或359或337秒时，点C恰好为P,Q的美好点．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，动点问题，正确理解美好点的定义，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【变式1-1】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
【答案】(1)−20072，−64
(2)2023
(3)−20532
【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出−ππ的值；
（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；
（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n的值，即可得出m⊗m+n的值．
【详解】（1）解：∵a⊗b=a+b−20232，
∴2⊗6=2+6−20232=−20072，
∵−π=−4，π=3，
∴−ππ =−43=−64，
故答案为：−20072，−64；
（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023
=1+2+3+……+2023+2022×−20232
=1+20232×2023−2022×20232
=2023；
（3）∵n+1=n+1，2n=3n+1，
∴2n=3n+3，
∴n=−3，
∴m=2×−3 =−6，
∴m+n =−6+n=−9，
∴m⊗m+n =−9⊗−6=−9−6−20232=−20532．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；
(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：
①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．
【答案】(1)C1，C3
(2)①−25；②20或35或12.5
【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解；
（2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设C点表示的数为x，且C点是点A，B的“联盟点”，
∴根据−1，0，1三个数在数A、B之间，可得CA=2CB或CB=2CA，
∴x+3=2|x−3|或|x−3|=2x+3，
当x+3=2|x−3|时，解得x=1或x=9（舍），
当|x−3|=2x+3时，解得x=−1或x=−9（舍），
∴C1，C3是点A，B的“联盟点”，
故答案为：C1，C3；
（2）①设P点表示的数是a，点P在点A的左侧，
∴PA＜PB，PA=−10−a，PB=5−a，
∵点P是点A，B的“联盟点”，
∴PB=2PA，
∴2−10−a=5−a，
解得a=−25，
即P点表示的数是−25；
②设P点表示的数是b，点P在点B的右侧，
当P是点A，B的“联盟点”时，PA=2PB，
∴b+10=2b−5，
解得b=20；
当A是点P，B的“联盟点”时，PA=2AB，
∴b+10=2×15，
解得b=20；
当B是点P，A的“联盟点”时，PB=2AB或AB=2PB，
∴b−5=2×15或15=2b−5，
解得b=35或b=12.5；
综上所述：P点表示的数为20或35或12.5．
【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点．若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，点B在原点的右边，且到点A的距离为4．
(1)直接写出A、B两点表示的数；
(2)若点C是A，B的三倍点，求点C表示的数；
(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A表示的数为−1，点B表示的数为3
(2)点C表示的数为2或5
(3)存在，−13或−73或−9或−3
【分析】（1）根据数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1可得出点A表示的数，根据点B在原点的右边，且到点A的距离为4可得出点B表示的数；
（2）设点C表示的数为a，根据题意可得a−−1=33−a，求解即可得到答案；
（3）分四种情况：①若点A是C，B的三倍点；②若点A是B，C的三倍点；③若点B是C，A的三倍点；④若点B是A，C的三倍点；⑤若C是B，A的三倍点，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，
∴点A表示的数为−1，
∵点B在原点的右边，且到点A的距离为4，
∴点B表示的数为3；
（2）解：设点C表示的数为a，
由题意可得a−−1=33−a，
a+1=±33−a，
解得a=2或a=5，
点C表示的数为2或5；
（3）解：存在．
假设存在点C为b，满足题意，
①若点A是C，B的三倍点，
由题意可得，−1−b=33−−1，
解得：b=−13，
点C为−13；
②若点A是B，C的三倍点，
由题意可得，3−1−b=3−−1，
解得：b=−73，
点C为−73；
③若点B是C，A的三倍点，
由题意可得，3−b=33−−1，
解得b=−9，
点C为−9；
④若点B是A，C的三倍点，
由题意可得，3−−1=33−b，
解得b=53，
点C在点A的左边，即b<−1，
因为53>−1，
所以不符合题意；
⑤若C是B，A的三倍点，
由题意可得，3−b=3−1−b，
解得b=−3，
故点C表示的数为−13或−73或−9或−3时使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确理解“三倍点”的定义，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
【题型2 数轴中的动点问题】
【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数−18，8大于−18，用8−−18．用式子表示为：AC=8−−18=26．根据阅读完成下列问题：
(1)填空：AB=______，BC=______．
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)10，16
(2)不会改变，见解析
(3)t或−t+12或t−12
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边．
【详解】（1）解： AB=−8−−18=10，BC=8−−8=16，
（2）解：不变，
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是−18−t，−8+4t，8+9t，
所以：BC=8+9t−−8+4t=16+5t， AB=−8+4t−−18−t=10+5t，
所以：BC−AB=16+5t−10+5t=6，
所以BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是−18+t，−18+2t−6，
当点Q追上点P时，−18+t−[−18+2t−6]=0，
解得：t=12，
①当0所以：PQ=t，
②当6所以：PQ=−18+t−−18+2t−6=−t+12，
③当12所以：PQ=−18+2t−6−−18+t=t−12，
综上所述，P、Q两点间的距离为t或−t+12或t−12．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【变式2-1】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20+b−402=0.
（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；
（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒.
① 若点P和点Q相遇于点C, 求点C在数轴上表示的数；
② 当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.
【答案】（1）a=−20，b=40；（2）①20； ②t=7.5或12.5秒
【分析】(1)由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值；
(2)①t秒后P点表示的数为：−20+4t，t秒后Q点表示的数为：40−2t，根据t秒后P点和Q点表示的是同一个数列式子即可得出t的值；
②分当P和Q未相遇时相距15个单位及当P和Q相遇后相距15个单位列式子即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意中绝对值和偶次方的非负性知，
a+20=0且 b−40=0.
解得a=−20，b=40.
故答案为：a=−20，b=40.
（2）① P点向右运动，其运动的路程为4t，
t秒后其表示的数为：−20+4t，
Q点向左运动，其运动的路程为2t，
t秒后其表示的数为：40−2t，
由于P和Q在t秒后相遇，故t秒后其表示的是同一个数，
∴−20+4t=40−2t解得 t=10.
∴此时C在数轴上表示的数为：−20+4×10=20.
故答案为：20.
② 情况一：当P和Q未相遇时相距15个单位，设所用的时间为t1
故此时有：4t1+2t1+15=40−(−20)
解得t1=7.5秒
情况二：当P和Q相遇后相距15个单位，设所用的时间为t2
故此时有：4t2+2t2−15=40−(−20)
解得t2=12.5秒.
故答案为：t=7.5或12.5秒
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；
(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?
【答案】（1）A、B位置见解析，A、B之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P与A重合；点P与点B不重合．
【分析】（1）点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B表示的数，再根据平移的过程得到点A表示的数，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；
（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PC时，得到方程，求解即可；
（3）根据第一次点P表示-1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，
∴点B表示的数为-10，
∵将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，
∴点A表示的数为20，
∴数轴上表示如下：
AB之间的距离为：20-（-10）=30；
（2）∵线段OB上有点C且BC=6，
∴点C表示的数为-4，
∵PB=2PC，
设点P表示的数为x，
则x+10=2x+4，
解得：x=2或-6，
∴点P表示的数为2或-6；
（3）由题意可知：
点P第一次移动后表示的数为：-1，
点P第二次移动后表示的数为：-1+3=2，
点P第三次移动后表示的数为：-1+3-5=-3，
…，
∴点P第n次移动后表示的数为（-1）n•n，
∵点A表示20，点B表示-10，
当n=20时，（-1）n•n=20；
当n=10时，（-1）n•n=10≠-10，
∴第20次P与A重合；点P与点B不重合．
【点睛】本题考查的是数轴，绝对值，数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、D表示的数分别是a、b、c、d，且满足a+1002+c−15002+d−1700=0.
(1)b=______，BC间的距离是______米，AC间的距离是______米；
(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？
(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？
(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值.
【答案】(1)100 ；1400；1600
(2)754秒或854秒
(3)58秒或1758秒
(4)2675164
【分析】（1）先求出a、c、d的值，然后根据甲、乙两动车长度相等求解；
（2）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；
（3）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；
（4）确定M、N同时在五峰山长江大桥上的开始时刻与结束时刻，计算即可．
【详解】（1）解：∵a+1002+c−15002+d−1700=0
∴a+100=0， c−1500=0，d−1700=0
∴a=−100 ，c=1500，d=1700
∵甲、乙两动车长度相等
∴b=−100+(1700−1500)=100
BC=1500−100=1400（米）
AC=1500−(−100)=1600（米）
故答案为：100，1400，1600；
（2）解：1600−100=1500（米），1600+100=1700（米）
1500÷80=754（秒）
1700÷80=854（秒）
答：甲动车行驶754秒或854秒时，，点M到点C的距离等于100米．
（3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时；
1700−1400=300（米）
300÷2=150（米）
200−150=50（米）
50÷80=58（秒）
当点M在点C右侧时；
1700−1400=300（米）
300÷2=150（米）
1600+150=1750（米）
1750÷80=1758（秒）
答：甲动车行驶58秒或1758秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米．
（4）解：存在；
乘客M到达点B的时间为：200÷(80+2)=10041 （秒）
乘客M到达点C的时间为：1600÷(80+2)=80041（秒）
乘客N到达点C的时间为：(1600−1500)÷80=54（秒）
乘客N到达点B的时间为：(1600−100)÷80=754（秒）
10041>54 ，754<80041
754−10041=2675164（秒）
故t的值为：2675164；
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键．
【题型3 绝对值中的最值问题】
【例3】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数−5的点与原点的距离可记作|−5−0|=|−5|=5；表示数−5的点与表示数−2的点的距离可记作|−5−(−2)|=|−3|=3．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作|a−b|．
回答下列问题：
(1)数轴上表示−3和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示−2和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与−2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得|x+1|+|x−2|=3的整数x；
②求|x+3|+|x−1|的最小值．
【答案】(1)5，5
(2)3，−7
(3)①−1，0，1，2． ②4
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得A，B之间的距离为x+2；当AB=5时，即x+2=5时，可求得x的值；
（3）①从数轴上可以看出只要x取−1和2之间的数（包括−1，2）就有|x+1|+|x−2|=3，可得这样的整数是﹣1，0，1，2；
②对x进行讨论，可得|x+3|+|x−1|的最小值．
【详解】（1）表示−3和2的两点之间的距离是|−3−2|=5，
表示−2和3的两点之间的距离是|−2−3|=5；
故答案为：5，5；
（2）由题意可得，x+2=5，
∴x+2=5或x+2=−5，
∴x=3或x=−7；
故答案为：3，−7．
（3）①从数轴上可以看出只要x取−1和2之间的数（包括−1，2），
就有|x+1|+|x−2|=3，因此这样的整数是−1，0，1，2；
②对x进行讨论：
当−3当x≤−3时，|x+3|+|x−1|=−x−3+1−x=−2x−2≥4；
当x≥1时，|x+3|+|x−1|=x+3+x−1=2x+2≥4；
综上，|x+3|+|x−1|的最小值为4．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键．
【变式3-1】（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1．
（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的数．
（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数．
（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F表示的数．
（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．
【答案】（1）5；（2）0.5；（3）-1或5；（4）13
【分析】（1）先确定原点，再求点C表示的数；
（2）先确定原点，再求点A表示的数；
（3）根据题意得到点B表示的数，再分点F在点B左侧和右侧分别得出结果；
（4）理解题意，将各个点作为原点分别求解，再比较即可．
【详解】解：（1）∵A、B表示的数的绝对值相等，且AB之间距离2个单位，
∴点A表示的数为-1，点B表示的数为1，
∴点C表示的数为5；
（2）∵点B，D表示的数是互为相反数，且BD之间距离5个单位，
∴点B表示的数为2.5，点D表示的数为-2.5，
∴点A表示的数为0.5；
（3）∵点A表示原点，
∴点B表示的数为2，
∵BF=3，
∴点F表示的数为-1或5；
（4）由题意可得：
在数轴上找一点作为原点，使得该点到A、B、C、D、E的距离之和最小，
当点A为原点时，
a=0，b=2，c=6，d=-3，e=-2，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=13，
当点B为原点时，
a=-2，b=0，c=4，d=-5，e=-4，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=15，
当点C为原点时，
a=-6，b=-4，c=0，d=-9，e=-8，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=27，
当点D为原点时，
a=3，b=5，c=9，d=0，e=1，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=18，
当点E为原点时，
a=2，b=4，c=8，d=-1，e=0，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=15，
综上：s的最小值为13．
【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟记数轴的特点，理解数轴上两点之间的距离．
【变式3-2】（2023春·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则m−2+m+5=______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a−d=12， b−d=7， a−c=9 ，则b−c 等于 ______．
(4)若b=a，c=12a， d=13a，e=14a， f=15a ，则式子b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5的最小值为 _______．
【答案】(1)1或﹣5
(2)7
(3)4
(4)54
【分析】（1）由题意可知，a−−2=3，再接方程即可；
（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到m−2+m+5表示点P到2和﹣5的距离和，由−5−2=7，即可得到答案；
（3）由题意得到 a−c=AC，a−d=AD ， b−d=BD， a−c=AC，则 b−c=BC=BD+AC−AD=b−d+a−c−a−d=9+7−12=4，即可得到答案；
（4）由题意可得b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5 =a−1+a+4+a−9+a+16+a−25，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴a−−2=3，
∴a+2=3或a+2=−3，
解得a=1或a=−5，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，
∴m−2+m+5表示点P到2和﹣5的距离和，
∵−5−2=7，
∴m−2+m+5=7，
故答案为：7；
（3）∵ a−c=AC，a−d=AD ， b−d=BD， a−c=AC，
∴ b−c=BC=BD+AC−AD=b−d+a−c−a−d=9+7−12=4，
故答案为：4
（4）∵b=a ,c=12a,d=13a,e=14a,f=15a ，
∴b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5
=a−1+212a+2+313a−3+414a+4+515a−5
=a−1+a+4+a−9+a+16+a−25，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取a=1，
当a=1时，a−1+a+4+a−9+a+16+a−25有最小值，
此时原式＝1−1+1+4+1−9+1+16+1−25
＝54，
故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5−0，即5−0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5−−3表示5、−3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为a−b．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么x= ．
（3）x+2可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）x−2+x−3可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．x+2+x−1可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）x−2+x−3最小值是 ，x+2+x−1的最小值是 ．
【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；
（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出x−2+x−3和x+2+x−1的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，
∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，
|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：
当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解．
【题型4 分类讨论多绝对值问题】
【例4】（2023春·浙江金华·七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bb的值不可能是（ ）
A．2B．–2C．1D．0
【答案】C
【详解】∵当a>0时，aa=aa=1；当a<0时，aa=−aa=−1；
当b>0时，bb=bb=1；当b<0时，bb=−bb=−1；
∴①当a>0，b>0时，aa+bb=1+1=2；
②当a<0，b<0时，aa+bb=−1+−1=−2；
③当a>0，b<0时，aa+bb=1+−1=0；
④当a<,b>0时，aa+bb=−1+1=0；
∴综上所述，aa+bb的值可能为2，-2，0，不可能为1．
故选：C．
【点睛】本题考查化简绝对值，（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种．
【变式4-1】（2023春·广东惠州·七年级校考期中）若ab<0，则aa−bb−abab= ．
【答案】3或−1/−1或3
【分析】根据ab<0分a>0、b<0和a<0、b>0两种情况解答即可．
【详解】解：∵ab<0，
∴a<0，b>0或a>0，b<0，
若a>0、b<0，则aa−bb−abab=1−−1−−1=3；
若a<0、b>0，则aa−bb−abab=−1−1−−1=−1；
综上所述，aa−bb−abab的值为3或−1．
故答案为：3或−1．
【点睛】本题考查绝对值的性质，掌握分情况讨论思想是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若ab≠0，a+b≠0，则|a|a+|b|b+|ab|ab+|a+b|a+b= ．
【答案】-2或0或4
【分析】对a和b，以及a+b的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．
【详解】解：①当a>0，b>0时，ab>0，a+b>0，
原式=aa+bb+abab+a+ba+b=1+1+1+1=4；
②当a<0，b<0时，ab>0，a+b<0，
原式=−aa+−bb+abab+−a+ba+b=−1−1+1−1=−2；
③当a>0，b<0，且a+b>0时，ab<0，
原式=aa+−bb+−abab+a+ba+b=1−1−1+1=0；
④当a>0，b<0，且a+b<0时，ab<0，
原式=aa+−bb+−abab+−a+ba+b=1−1−1−1=−2；
⑤当a<0，b>0，且a+b>0时，ab<0，
原式=−aa+bb+−abab+a+ba+b=−1+1−1+1=0；
⑥当a<0，b>0，且a+b<0时，ab<0，
原式=−aa+bb+−abab+−a+ba+b=−1+1−1−1=−2．
故答案是：-2或0或4．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．
【变式4-3】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）满足x−1+x+3=4的整数x共有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质化简即可求出答案．
【详解】当x≥1时，x−1+x+3=x−1+x+3=2x+2，
令2x+2=4，解得：x=1；
当−3此时整数x=−2或−1或0；
当x≤−3时，x−1+x+3=1−x−x−3=−2x−2，
令−2x−2=4，解得：x=−3
综上，整数x可能为−3、−2、−1、0、1，共有5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键．
【题型5 有理数中的规律探究】
【例5】（2023春·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算19+192+193+⋯+19n(其中n是正整数，且n≥2，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+12；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分制图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n，
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算19+192+193+⋯+19n．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，19+192+193+⋯+19n=___________．
(3)拓广应用：计算9−19+92−192+93−193+⋯+9n−19n=___________．
【答案】探究三：14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）18−18×9n；（2）18−18×9n；（3）n−18+18×9n
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式89+892+893+⋯+89n=1−19n
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以(m−1)即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为34；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为34+342；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：34+342+343+⋯+34n，
最后的空白部分的面积是14n，
根据第n次分割图可得等式：34+342+343+⋯+34n =1﹣ 14n，
两边同除以3，得14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n；
解决问题：
（1）89+892+893+⋯+89n=1−19n =18−18×9n
故答案为：89+892+893+⋯+89n=18−18×9n
（2）19+192+193+⋯+19n= 18−18×9n，
故答案为：18−18×9n；
（3）拓广应用：9−19+92−192+93−193+⋯+9n−19n
=1−19+1−192+1−193+⋅⋅⋅+1−19n
=n−19+192+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+19n
=n−18−18×9n
=n−18+18×9n．
故答案为：n−18+18×9n．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
【变式5-1】（2023·广东东莞·七年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A．2001B．4039C．8124D．16304
【答案】B
【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数．
【详解】解：根据题意知：
早晨6时30分有2人进公园，则a1=2=2−0，
第一个30min内有4人进去并出来1人，则a2=4−1=22−1，
第二个30min内进去8人并出来2人，则a3=8−2=23−2，
第三个30min内进去16人并出来3人，则a4=16−3=24−3，
第四个30min内进去32人并出来4人，则a5=32−4=25−4，
……
∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为a11=211−10，
∴到上午11时30分公园内的人数为：
2−0+22−1+23−2+24−3+⋯+211−10
=2+22+23+24+⋯+211−1+2+3+⋯+10
设a=2+22+23+24+⋯+211，b=1+2+3+⋯+10
∴2a=22+23+24+⋯+211+212，b=10+9+8+⋯+1，
∴2a−a=22+23+24+⋯+211+212−2+22+23+24+⋯+211=212−2，
b+b=10+9+8+⋯+1+1+2+3+⋯+10=10×11
∴a=212−2，b=55，
∴2−0+22−1+23−2+24−3+⋯+211−10
=212−2−55
=212−57
=4096−57
=4039．
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律．
【变式5-2】（2023春·全国·七年级期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3 1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5 1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7=______________． 1+16×8=____________．
1+12n×(2n+2)=_________________．（n为正整数）
（2）根据规律计算：
(1+11×3)×(1+12×4)×(1+13×5)×(1+14×6)×⋯×(1+198×100)×(1+199×101)．
【答案】（1）625×7，726×8，(2n+1)22n×(2n+2)；（2）200101．
【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；
（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．
【详解】（1）1+15×7=5×7+15×7=365×7=625×7，
1+16×8=6×8+16×8=496×8=726×8，
1+12n×(2n+2)=2n×(2n+2)+12n×(2n+2)=(2n+1)22n×(2n+2)，
故答案为：625×7，726×8，(2n+1)22n×(2n+2)；
（2）原式=221×3×322×4×423×5×524×6×⋯×99298×100×100299×101，
=22×32×42×52×⋯×992×1002(1×2×3×4×⋯×98×99)×(3×4×5×6×⋯×100×101)，
=22×32×42×52×⋯×992×10021×2×100×101×32×42×⋯×982×992，
=22×10021×2×100×101，
=200101．
【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．
【变式5-3】（2023春·江苏泰州·七年级泰兴市洋思中学校联考期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②如果欲求1+2+3+4+⋯+n的值，可令
S=1+2+3+4+...+n ……………①
将①式右边顺序倒置，得S=n+...+4+3+2+1 ……………②
由②加上①式，得2S= ；
∴ S=_________________；
由结论求1+2+3+4+⋯+55=___________；
（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②为了求1+3+32+33+……+32018的值，可令M=1+3+32+33+……+32018，则3M=3+32+33+……+32019，因此3M−M=32019−1，所以M=32019−12，
即1+3+32+33+……+32018=32019−12.
仿照以上推理，计算1+5+52+53+……+551
【答案】（1）①1，18，n；②n1+n，n1+n2，1540；（2）①2，218，2n；②1+5+52+53+……+551=552−14.
【分析】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差都为1，从而可得常数为1；根据此规律，如果an(n为正整数)=n，据此即可求得答案；
②观察可得2S=n(n+1)，从而求得 S；根据上面得到的式子进行计算即可求得1+2+3+4+⋯+55的值；
(2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得an(n为正整数)=2n，据此即可得答案；
②根据推理进行计算即可求得1+5+52+53+……+551的值.
【详解】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是1；根据此规律，如果an(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a18=18，an=n，
故答案为1，18，n；
②令S=1+2+3+4+...+n ，①
将①式右边顺序倒置，得S=n+...+4+3+2+1，②
②+①，得2S= 1+n+1+n+⋯+1+nn个（1+n)=n(1+n)，
∴ S=n1+n2；
1+2+3+4+⋯+55=55×55+12=1540，
故答案为n1+n，n1+n2，1540；
(2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果an(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a18=218，an=2n，
故答案为2，218，2n；
②令M=1+5+52+53+……+551，
则5M=5+52+53+……+552，
∴5M−M=552−1，
∴4M=552−1，
∴M=552−14 ，
即1+5+52+53+……+551=552−14.
【点睛】本题考查了阅读理解题，根据题目的内容以及问题的求解方法进行求解，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键.
【题型6 有理数中的对折问题】
【例6】（2023春·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．
(1)折叠纸条使数轴上表示−1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 _________ ；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 _________ ；
(2)如图2，点A、B表示的数分别是−2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B 距离的2倍，那么点C表示的数是 _________ ；
(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．
【答案】(1)2，−3.5
(2)2或10
(3)−2916
【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为x，根据折痕与数轴的交点是−1与5对应点的中点可得方程x−−1=5−x，解方程即可求得答案；按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为11，则左边数到中点的距离为5.5个单位，据此即可求得答案；
（2）分点C在A、B之间和B点右侧两种情况利用数轴上两点距离公式建立方程求解即可；
（3）A、B两点之间距离为4−−2=6，连续对折5次后，共有25段，每两条相邻折痕间的距离为316，则最左端的折痕与数轴的交点为−2+316，即可解得答案．
【详解】（1）解：设折痕与数轴的交点表示的数为x，
由题意得，x−−1=5−x，
解得x=2，
∴折痕与数轴的交点表示的数是2，
设左边点表示的数为m，则2−m=11×12，解得m=−3.5，
∴左边这个点表示的数是−3.5；
故答案为：2，−3.5；
（2）解：设点C表示的数为y，
∵AC=2BC，
∴点C离点B较近，只有两种情况：
①点C在线段AB上时，y−−2=24−y，解得：y=2；
②当点C在点B的右边数轴上时，y−−2=2y−4，解得：y=10．
综上所述，点C表示的数为2或10，
故答案为：2或10；
（3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离为4−−225=316，
∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为−2+316=−2916．
【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离公式，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质．
【变式6-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是
【答案】4或5或6
【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可．
【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为1:1:2，
∴8÷1+1+2=2，
∴这三条线段的长度分别为2，2，4，
若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2，
则折痕表示的数为：1+2+1=4；
若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4，
则折痕表示的数为：1+2+2=5；
若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2，
则折痕表示的数为：1+4+1=6；
∴折痕表示的数为4或5或6，
故答案为：4或5或6．
【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴左右对折纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”．
（1）操作一：左右对折纸面，使1对应的点与-1对应的点重合，则-3对应的点与_____对应的点重合；
（2）操作二：左右对折纸面，使-1对应的点与3对应的点重合，回答以下问题：
①对折中心点对应的数为__________，对折后5对应的点与数_________对应的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，通过计算求A、B两点对应的数分别是多少？
（3）操作三：已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，对折中心点C对应的数是c，此时点A与点B对折重合，那么a，b，c三数满足的关系式为__________．
【答案】（1）3；（2）①1，-3，②-4.5，6.5；（3）a+b=2c
【分析】（1）1与-1重合，可以发现1与-1互为相反数，因此-3表示的点与3表示的点重合；
（2）①-1表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数-3表示的点重合；
②由①知折痕点为1，且A、B两点之间距离为11，则A表示1-5.5=-4.5，B点表示1+5.5=6.5．
（3）根据题意得a+b2=c，从而可得结论．
【详解】解：（1）∵1与-1重合，
∴折痕点为原点，
∴-3表示的点与3表示的点重合．
故答案为：3．
（2）①∵由表示-1的点与表示3的点重合，
∴可确定折痕点是表示1的点，
∴5表示的点与数-3表示的点重合．
故答案为：1，-3．
②由题意可得，A、B两点距离折痕点的距离为11÷2=5.5，
∵折痕点是表示1的点，
∴A、B两点表示的数分别是-4.5，6.5．
（3）根据题意得a+b2=c，
∴a+b=2c．
【点睛】题目考查了数轴上点的对称，通过点的对称，发现对称点的规律，题目设计新颖，难易程度适中，适合课后训练．
【变式6-3】（2023春·江西吉安·七年级统考期中）小聪在复习过程中，发现数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例：
如图1，线段AB=4−2=2，线段CB=4−(−2)=6，
线段AC=2−(−2)=4，线段CD=−2−(−4)=2
结论：数轴上任意两点表示的数分别为：a，b（b>a），则这两点间的距离为：b−a（即：较大的数减去较小的数）.
尝试应用：
（1）若数轴上点E，点F代表的数分别是－3，－1，则EF=______.
（2）把一条数轴在数m处对折，表示－9和3两数的点恰好互相重合，此时m=______.
（3）数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，另一个点表示的数为n，则n=______.
问题解决：
（4）如图2，点A表示数x，点B表示－2，点C表示2x+8且BC=4AB，问点A和点C分别表示什么数？为什么？
（5）上述（4）的条件下，图2所示的数轴上，是否存在满足条件的点D，使用DA+DC=3DB？
若存在，请直接写出D所表示的数，若不存在，请说明理由？（点D不与点A，点B，点C重合）
【答案】（1）2；（2）－3；（3）－3或9；（4）点A表示－3，点C表示2；（5）−13或－5.
【分析】（1）根据点F、E代表的数分别为-1和-3，可得线段EF=-1-（-3）=2；
（2）由题意可知m是－9和3的中点，据此可解；
（3）分两种情况讨论，3-n=6或n-3=6，解方程即可；
（4）先表示出BC和AB，再根据BC=4AB列出方程，解之即可；
（5）分四种情况分析：①当点D在点C右侧时；②当点D在点B与C之间时;③当点D在点A与B之间时；④当点D在点A左侧时.
【详解】解：尝试应用（1）EF=-1-（-3）=2；
（2）由题意可知3-m=m-(-9)
∴m=－3;
（3）由题意可知3-n=6或n-3=6，
∴n=－3或n=9;
问题解决：
（4）∵BC=2x+8−(−2)=2x+10，AB=−2−x
又∵BC=4AB
∴2x+10=4(−2−x)
∴x=−3,
∴点A表示－3，点C表示2;
（5）设点D表示的数是m，
①当点D在点C右侧时，(m+3)+(m−2)=3(m+2)
∴m=−5（不符合题意）;
②当点D在点B与C之间时，(m+3)+(2−m)=3(m+2)
∴m=−13;
③当点D在点A与B之间时，(m+3)+(2−m)=3(−2−m)
∴m=−113（不符合题意）
④当点D在点A左侧时，(−3−m)+(2−m)=3(−2−m)
∴m=−5;
故存在点D表示的数是−13或－5.
【点睛】此题考查了有理数的减法及数轴上两点间的距离，分类讨论是解本题的关键．
【题型7 幻方的应用】
【例7】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务．
幻方
相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；
(2)请将−7，−5，−3，−1，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三个数的和为2+3+4=9，依次列式计算即可求解；
（2）先将已知的9个数求和，再除以3即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可．
【详解】（1）解：如图：
；
（2）解：−7−5−3−1+1+3+5+7+9÷3=3，
即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于6，
根据幻方的特点可知：从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，
即三阶幻方如下：
．
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
【变式7-1】（2023春·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求x，y的值，并将空格补充完整．
【答案】(1)见解析；
(2)x=5，y=8，空格补充见解析．
【分析】（1）根据三个数的和为2+3+4=9，依次列式计算即可求解；
（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值．
【详解】（1）解：2+3+4=9，
9−6−4=−1，
9−6−2=1，
9−2−7=0，
9−4−0=5，
如图1所示：
（2）解：y=4+1−−3=8，
x=y+1−4=8+1−4=5．
如图2所示：
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列各组中的九个数不满足三阶幻方要求的（ ）
A．－2，－1，0，1，2，3，4，5，6B．2，3，4，5，6，7，8，9 ，10
C．3，6，9，12，15，18，21，24，27D．4，6，7，10，12，14，16，18，20
【答案】D
【分析】根据三阶幻方的性质判断即可；
【详解】－2，－1，0，1，2，3，4，5，6中，2位中间数，
则−2+6=−1+5=0+4=1+3=2×2，
∴A项可以构成三阶幻方；
2，3，4，5，6，7，8，9 ，10中，6为中间数，
2+10=3+9=4+8=5+7=12=2×6，
∴B项可以构成三阶幻方；
3，6，9，12，15，18，21，24，27中，15为中间数，
3+27=6+24=9+21=12+18=30=2×15，
∴C项可以构成三阶幻方；
4，6，7，10，12，14，16，18，20中，12是中间数，
10+14=4+20=6+18≠7+16，
∴D项不可以构成三阶幻方；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了三阶幻方的性质，准确计算是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【答案】B
【分析】共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12
个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．
【详解】解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，
所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，
则a所在的横着的一行最后一个圈为3，
−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，
目前数字就剩下−4,−3,0,6，
1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，
−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，
这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，
所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，
则a所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a为−3
故选：B
【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键．
【题型8 有理数的实际应用】
【例8】（2023·上海·六年级假期作业）小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？
【答案】小塘是7：25从家里出发的
【分析】先求出小钱追上一直匀速步行的小塘需要的时间，根据速度提高到原来的2倍可推出时间变为原来的一半，即可求得返回家路上用的的时间，求出小钱在路上用的时间，减去返回家需要的时间，减去找笔的时间，减去小钱追上一直匀速步行的小塘需要的时间，即求得到拿到笔后从家到学校的时间，求得第一次遇见小塘的地方到学校的时间，求得从第一次遇见小塘到小塘抵达学校的时间，就可以得到同样的路程小塘的时间是小钱的几倍，进而求出小塘从家到学校的时间．
【详解】原来小钱的速度∶现在小钱的速度=1:2
原来用的时间：现在用的时间=2:1
7时46分-7时40分=6（分钟）
取马克笔路上用的时间：6÷2=3（分钟）
小钱在路上的时间：8时-7时40分-6分=14（分钟）
拿好笔回学校的时间：14−6−3=5（分钟）
第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5−3=2（分钟）
从第一次遇见小塘到学校的时间：8时-7时46分=14（分钟）
14÷2=7（分钟）
5×7=35（分钟）
8时-35分=25（分钟）
小塘从家里出发的时间：7：25
答：小塘是7：25从家里出发的．
【点睛】本题考查了路程=速度×时间，读懂题意，缕清思路，逐步分析是解决本题的关键．
【变式8-1】（2023春·江苏泰州·七年级周测）传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的．据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”．退休的张大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了．
(1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少?
回报率=回报金额−投资额投资额×10000
(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱?
【答案】(1)20％(2)5690元
【详解】试题分析：（1）根据当张大爷某一期追加的投资数为16股后时，被告知该公司破产了，则张大爷在破产前一共投了1+2+4+8=15股，进而求出总支出和总收入，再利用公式来解答即可；
（2）用每股的价格乘以期数，然后减去收益即可.
试题解析：(1)张大爷在破产前一天一共投了1+2+4+8=15股，
此时回报率为（530+10−450)×15450×15×100％=20％，
所以他的投资回报率为20％；
(2)450×16-（530-450+10）×15-16×10=5690元.
【变式8-2】（2023·浙江·七年级假期作业）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有3×2×2=12种乘坐方式；
②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，
对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有3×2×2=12种乘坐方式；
则共有12+12=24种乘坐方式；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况．
【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元/吨）：
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 吨到B2；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
【答案】 2 40
【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据表格数据，寻求最优解即可求解．
【详解】解：（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运10−1+7=2吨到B2，
故答案为：2；
（2）解：运费如下：
运输方案一：
运费为：14+4+3+40=61
运输方案二：
运费为：7+8+20+9+8=52
运输方案三：
运费为：7+18+10+5=40
故答案为：40．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键．B1
B2
B3
A1（7t）
1
2
6
A2（12t）
0
4
2
A3（11t）
3
1
5
B1
B2
B3
A1（7t）
1
2
6
A2（12t）
0
4
2
A3（11t）
3
1
5
B1
B2
B3
A1（7t）
1
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6
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A1（7t）
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3
8
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B2
B3
A1（7t）
7
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3
0
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A3（11t）
0
10
1
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17422" 【题型1 数轴中的新定义问题】 PAGEREF _Tc17422 \h 1
\l "_Tc14655" 【题型2 数轴中的动点问题】 PAGEREF _Tc14655 \h 2
\l "_Tc16068" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc16068 \h 4
\l "_Tc14939" 【题型4 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc14939 \h 5
\l "_Tc12496" 【题型5 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Tc12496 \h 6
\l "_Tc10422" 【题型6 有理数中的对折问题】 PAGEREF _Tc10422 \h 9
\l "_Tc10853" 【题型7 幻方的应用】 PAGEREF _Tc10853 \h 10
\l "_Tc14244" 【题型8 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc14244 \h 12
【题型1 数轴中的新定义问题】
【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为−6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点．
(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）
(2)若点M、P表示的数分别为−4、−2，且P是M,N的美好点，则点N为 ．
(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为−10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？
【变式1-1】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
【变式1-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；
(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：
①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．
【变式1-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点．若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，点B在原点的右边，且到点A的距离为4．
(1)直接写出A、B两点表示的数；
(2)若点C是A，B的三倍点，求点C表示的数；
(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由．
【题型2 数轴中的动点问题】
【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数−18，8大于−18，用8−−18．用式子表示为：AC=8−−18=26．根据阅读完成下列问题：
(1)填空：AB=______，BC=______．
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．
【变式2-1】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20+b−402=0.
（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；
（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒.
① 若点P和点Q相遇于点C, 求点C在数轴上表示的数；
② 当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；
(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、D表示的数分别是a、b、c、d，且满足a+1002+c−15002+d−1700=0.
(1)b=______，BC间的距离是______米，AC间的距离是______米；
(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？
(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？
(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值.
【题型3 绝对值中的最值问题】
【例3】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数−5的点与原点的距离可记作|−5−0|=|−5|=5；表示数−5的点与表示数−2的点的距离可记作|−5−(−2)|=|−3|=3．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作|a−b|．
回答下列问题：
(1)数轴上表示−3和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示−2和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与−2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得|x+1|+|x−2|=3的整数x；
②求|x+3|+|x−1|的最小值．
【变式3-1】（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1．
（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的数．
（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数．
（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F表示的数．
（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．
【变式3-2】（2023春·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则m−2+m+5=______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a−d=12， b−d=7， a−c=9 ，则b−c 等于 ______．
(4)若b=a，c=12a， d=13a，e=14a， f=15a ，则式子b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5的最小值为 _______．
【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5−0，即5−0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5−−3表示5、−3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为a−b．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么x= ．
（3）x+2可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）x−2+x−3可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．x+2+x−1可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）x−2+x−3最小值是 ，x+2+x−1的最小值是 ．
【题型4 分类讨论多绝对值问题】
【例4】（2023春·浙江金华·七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bb的值不可能是（ ）
A．2B．–2C．1D．0
【变式4-1】（2023春·广东惠州·七年级校考期中）若ab<0，则aa−bb−abab= ．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若ab≠0，a+b≠0，则|a|a+|b|b+|ab|ab+|a+b|a+b= ．
【变式4-3】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）满足x−1+x+3=4的整数x共有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型5 有理数中的规律探究】
【例5】（2023春·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算19+192+193+⋯+19n(其中n是正整数，且n≥2，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+12；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分制图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n，
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算19+192+193+⋯+19n．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，19+192+193+⋯+19n=___________．
(3)拓广应用：计算9−19+92−192+93−193+⋯+9n−19n=___________．
【变式5-1】（2023·广东东莞·七年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A．2001B．4039C．8124D．16304
【变式5-2】（2023春·全国·七年级期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3 1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5 1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7=______________． 1+16×8=____________．
1+12n×(2n+2)=_________________．（n为正整数）
（2）根据规律计算：
(1+11×3)×(1+12×4)×(1+13×5)×(1+14×6)×⋯×(1+198×100)×(1+199×101)．
【变式5-3】（2023春·江苏泰州·七年级泰兴市洋思中学校联考期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②如果欲求1+2+3+4+⋯+n的值，可令
S=1+2+3+4+...+n ……………①
将①式右边顺序倒置，得S=n+...+4+3+2+1 ……………②
由②加上①式，得2S= ；
∴ S=_________________；
由结论求1+2+3+4+⋯+55=___________；
（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②为了求1+3+32+33+……+32018的值，可令M=1+3+32+33+……+32018，则3M=3+32+33+……+32019，因此3M−M=32019−1，所以M=32019−12，
即1+3+32+33+……+32018=32019−12.
仿照以上推理，计算1+5+52+53+……+551
【题型6 有理数中的对折问题】
【例6】（2023春·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．
(1)折叠纸条使数轴上表示−1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 _________ ；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 _________ ；
(2)如图2，点A、B表示的数分别是−2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B 距离的2倍，那么点C表示的数是 _________ ；
(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．
【变式6-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是
【变式6-2】（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴左右对折纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”．
（1）操作一：左右对折纸面，使1对应的点与-1对应的点重合，则-3对应的点与_____对应的点重合；
（2）操作二：左右对折纸面，使-1对应的点与3对应的点重合，回答以下问题：
①对折中心点对应的数为__________，对折后5对应的点与数_________对应的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，通过计算求A、B两点对应的数分别是多少？
（3）操作三：已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，对折中心点C对应的数是c，此时点A与点B对折重合，那么a，b，c三数满足的关系式为__________．
【变式6-3】（2023春·江西吉安·七年级统考期中）小聪在复习过程中，发现数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例：
如图1，线段AB=4−2=2，线段CB=4−(−2)=6，
线段AC=2−(−2)=4，线段CD=−2−(−4)=2
结论：数轴上任意两点表示的数分别为：a，b（b>a），则这两点间的距离为：b−a（即：较大的数减去较小的数）.
尝试应用：
（1）若数轴上点E，点F代表的数分别是－3，－1，则EF=______.
（2）把一条数轴在数m处对折，表示－9和3两数的点恰好互相重合，此时m=______.
（3）数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，另一个点表示的数为n，则n=______.
问题解决：
（4）如图2，点A表示数x，点B表示－2，点C表示2x+8且BC=4AB，问点A和点C分别表示什么数？为什么？
（5）上述（4）的条件下，图2所示的数轴上，是否存在满足条件的点D，使用DA+DC=3DB？
若存在，请直接写出D所表示的数，若不存在，请说明理由？（点D不与点A，点B，点C重合）
【题型7 幻方的应用】
【例7】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务．
幻方
相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；
(2)请将−7，−5，−3，−1，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方．
【变式7-1】（2023春·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求x，y的值，并将空格补充完整．
【变式7-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列各组中的九个数不满足三阶幻方要求的（ ）
A．－2，－1，0，1，2，3，4，5，6B．2，3，4，5，6，7，8，9 ，10
C．3，6，9，12，15，18，21，24，27D．4，6，7，10，12，14，16，18，20
【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【题型8 有理数的实际应用】
【例8】（2023·上海·六年级假期作业）小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？
【变式8-1】（2023春·江苏泰州·七年级周测）传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的．据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”．退休的张大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了．
(1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少?
回报率=回报金额−投资额投资额×10000
(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱?
【变式8-2】（2023·浙江·七年级假期作业）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元/吨）：
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 吨到B2；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
专题1.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17422" 【题型1 数轴中的新定义问题】 PAGEREF _Tc17422 \h 1
\l "_Tc14655" 【题型2 数轴中的动点问题】 PAGEREF _Tc14655 \h 8
\l "_Tc16068" 【题型3 绝对值中的最值问题】 PAGEREF _Tc16068 \h 14
\l "_Tc14939" 【题型4 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc14939 \h 19
\l "_Tc12496" 【题型5 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Tc12496 \h 22
\l "_Tc10422" 【题型6 有理数中的对折问题】 PAGEREF _Tc10422 \h 29
\l "_Tc10853" 【题型7 幻方的应用】 PAGEREF _Tc10853 \h 34
\l "_Tc14244" 【题型8 有理数的实际应用】 PAGEREF _Tc14244 \h 38
【题型1 数轴中的新定义问题】
【例1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为−6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点．
(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）
(2)若点M、P表示的数分别为−4、−2，且P是M,N的美好点，则点N为 ．
(3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为−10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？
【答案】(1)M，P，N
(2)−6或2
(3)119或97或359或337秒
【分析】（1）先求出点M到点P和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；
（2）设点N表示的数为n，得到点P到点M和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当0
∴点M到点P的距离是4，到点N的距离是3，
∵4+3×2=10，
∴点M是P,N的美好点，
故答案为：M，P，N;
（2）解：设点N表示的数为n，
∵点M、P表示的数分别为−4、−2，
∴点P到点M的距离是2，到点N的距离是n−−2=n+2
∵点P是M,N的美好点，
∴2+2n+2=10，
∴n=−6或2；
（3）解：①当0
∵点C表示的数为2，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=12−8t−2=10−8t，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+210−8t=10，
当0
当54≤t<114时，12−2t+210−8t=12−2t+28t−10=14t−8=10，
解得：t=97；
②当114≤t<112时，此时点Q第一次到达A点这番折返出发向右匀速运动，
根据题意得：点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为−10+8t−228=8t−32，
∵点C表示的数为2，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=8t−32−2=8t−34，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+28t−34=10，
当114
当174≤t<112时，12−2t+28t−34=12−2t+28t−34=14t−56=10，
解得：t=337；
③当112≤t≤6时，此时点Q第二次从B点出发向左匀速运动，
点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为12−8t−448=56−8t，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=56−8t−2=54−8t，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+254−8t=10，
解得：t=559（舍），
综上可知，当t值为119或97或359或337秒时，点C恰好为P,Q的美好点．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，动点问题，正确理解美好点的定义，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【变式1-1】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
【答案】(1)−20072，−64
(2)2023
(3)−20532
【分析】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出−ππ的值；
（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；
（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n的值，即可得出m⊗m+n的值．
【详解】（1）解：∵a⊗b=a+b−20232，
∴2⊗6=2+6−20232=−20072，
∵−π=−4，π=3，
∴−ππ =−43=−64，
故答案为：−20072，−64；
（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023
=1+2+3+……+2023+2022×−20232
=1+20232×2023−2022×20232
=2023；
（3）∵n+1=n+1，2n=3n+1，
∴2n=3n+3，
∴n=−3，
∴m=2×−3 =−6，
∴m+n =−6+n=−9，
∴m⊗m+n =−9⊗−6=−9−6−20232=−20532．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；
(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：
①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．
【答案】(1)C1，C3
(2)①−25；②20或35或12.5
【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解；
（2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设C点表示的数为x，且C点是点A，B的“联盟点”，
∴根据−1，0，1三个数在数A、B之间，可得CA=2CB或CB=2CA，
∴x+3=2|x−3|或|x−3|=2x+3，
当x+3=2|x−3|时，解得x=1或x=9（舍），
当|x−3|=2x+3时，解得x=−1或x=−9（舍），
∴C1，C3是点A，B的“联盟点”，
故答案为：C1，C3；
（2）①设P点表示的数是a，点P在点A的左侧，
∴PA＜PB，PA=−10−a，PB=5−a，
∵点P是点A，B的“联盟点”，
∴PB=2PA，
∴2−10−a=5−a，
解得a=−25，
即P点表示的数是−25；
②设P点表示的数是b，点P在点B的右侧，
当P是点A，B的“联盟点”时，PA=2PB，
∴b+10=2b−5，
解得b=20；
当A是点P，B的“联盟点”时，PA=2AB，
∴b+10=2×15，
解得b=20；
当B是点P，A的“联盟点”时，PB=2AB或AB=2PB，
∴b−5=2×15或15=2b−5，
解得b=35或b=12.5；
综上所述：P点表示的数为20或35或12.5．
【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点．若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，点B在原点的右边，且到点A的距离为4．
(1)直接写出A、B两点表示的数；
(2)若点C是A，B的三倍点，求点C表示的数；
(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A表示的数为−1，点B表示的数为3
(2)点C表示的数为2或5
(3)存在，−13或−73或−9或−3
【分析】（1）根据数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1可得出点A表示的数，根据点B在原点的右边，且到点A的距离为4可得出点B表示的数；
（2）设点C表示的数为a，根据题意可得a−−1=33−a，求解即可得到答案；
（3）分四种情况：①若点A是C，B的三倍点；②若点A是B，C的三倍点；③若点B是C，A的三倍点；④若点B是A，C的三倍点；⑤若C是B，A的三倍点，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，
∴点A表示的数为−1，
∵点B在原点的右边，且到点A的距离为4，
∴点B表示的数为3；
（2）解：设点C表示的数为a，
由题意可得a−−1=33−a，
a+1=±33−a，
解得a=2或a=5，
点C表示的数为2或5；
（3）解：存在．
假设存在点C为b，满足题意，
①若点A是C，B的三倍点，
由题意可得，−1−b=33−−1，
解得：b=−13，
点C为−13；
②若点A是B，C的三倍点，
由题意可得，3−1−b=3−−1，
解得：b=−73，
点C为−73；
③若点B是C，A的三倍点，
由题意可得，3−b=33−−1，
解得b=−9，
点C为−9；
④若点B是A，C的三倍点，
由题意可得，3−−1=33−b，
解得b=53，
点C在点A的左边，即b<−1，
因为53>−1，
所以不符合题意；
⑤若C是B，A的三倍点，
由题意可得，3−b=3−1−b，
解得b=−3，
故点C表示的数为−13或−73或−9或−3时使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确理解“三倍点”的定义，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
【题型2 数轴中的动点问题】
【例2】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数−18，8大于−18，用8−−18．用式子表示为：AC=8−−18=26．根据阅读完成下列问题：
(1)填空：AB=______，BC=______．
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．
【答案】(1)10，16
(2)不会改变，见解析
(3)t或−t+12或t−12
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边．
【详解】（1）解： AB=−8−−18=10，BC=8−−8=16，
（2）解：不变，
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是−18−t，−8+4t，8+9t，
所以：BC=8+9t−−8+4t=16+5t， AB=−8+4t−−18−t=10+5t，
所以：BC−AB=16+5t−10+5t=6，
所以BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是−18+t，−18+2t−6，
当点Q追上点P时，−18+t−[−18+2t−6]=0，
解得：t=12，
①当0
②当6
③当12
综上所述，P、Q两点间的距离为t或−t+12或t−12．
【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【变式2-1】（2023春·吉林·七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20+b−402=0.
（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；
（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒.
① 若点P和点Q相遇于点C, 求点C在数轴上表示的数；
② 当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.
【答案】（1）a=−20，b=40；（2）①20； ②t=7.5或12.5秒
【分析】(1)由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值；
(2)①t秒后P点表示的数为：−20+4t，t秒后Q点表示的数为：40−2t，根据t秒后P点和Q点表示的是同一个数列式子即可得出t的值；
②分当P和Q未相遇时相距15个单位及当P和Q相遇后相距15个单位列式子即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意中绝对值和偶次方的非负性知，
a+20=0且 b−40=0.
解得a=−20，b=40.
故答案为：a=−20，b=40.
（2）① P点向右运动，其运动的路程为4t，
t秒后其表示的数为：−20+4t，
Q点向左运动，其运动的路程为2t，
t秒后其表示的数为：40−2t，
由于P和Q在t秒后相遇，故t秒后其表示的是同一个数，
∴−20+4t=40−2t解得 t=10.
∴此时C在数轴上表示的数为：−20+4×10=20.
故答案为：20.
② 情况一：当P和Q未相遇时相距15个单位，设所用的时间为t1
故此时有：4t1+2t1+15=40−(−20)
解得t1=7.5秒
情况二：当P和Q相遇后相距15个单位，设所用的时间为t2
故此时有：4t2+2t2−15=40−(−20)
解得t2=12.5秒.
故答案为：t=7.5或12.5秒
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；
(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?
【答案】（1）A、B位置见解析，A、B之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P与A重合；点P与点B不重合．
【分析】（1）点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B表示的数，再根据平移的过程得到点A表示的数，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；
（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PC时，得到方程，求解即可；
（3）根据第一次点P表示-1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，
∴点B表示的数为-10，
∵将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，
∴点A表示的数为20，
∴数轴上表示如下：
AB之间的距离为：20-（-10）=30；
（2）∵线段OB上有点C且BC=6，
∴点C表示的数为-4，
∵PB=2PC，
设点P表示的数为x，
则x+10=2x+4，
解得：x=2或-6，
∴点P表示的数为2或-6；
（3）由题意可知：
点P第一次移动后表示的数为：-1，
点P第二次移动后表示的数为：-1+3=2，
点P第三次移动后表示的数为：-1+3-5=-3，
…，
∴点P第n次移动后表示的数为（-1）n•n，
∵点A表示20，点B表示-10，
当n=20时，（-1）n•n=20；
当n=10时，（-1）n•n=10≠-10，
∴第20次P与A重合；点P与点B不重合．
【点睛】本题考查的是数轴，绝对值，数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥——五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、D表示的数分别是a、b、c、d，且满足a+1002+c−15002+d−1700=0.
(1)b=______，BC间的距离是______米，AC间的距离是______米；
(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？
(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？
(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值.
【答案】(1)100 ；1400；1600
(2)754秒或854秒
(3)58秒或1758秒
(4)2675164
【分析】（1）先求出a、c、d的值，然后根据甲、乙两动车长度相等求解；
（2）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；
（3）根据速度、路程、时间的关系，分两种情况计算即可；
（4）确定M、N同时在五峰山长江大桥上的开始时刻与结束时刻，计算即可．
【详解】（1）解：∵a+1002+c−15002+d−1700=0
∴a+100=0， c−1500=0，d−1700=0
∴a=−100 ，c=1500，d=1700
∵甲、乙两动车长度相等
∴b=−100+(1700−1500)=100
BC=1500−100=1400（米）
AC=1500−(−100)=1600（米）
故答案为：100，1400，1600；
（2）解：1600−100=1500（米），1600+100=1700（米）
1500÷80=754（秒）
1700÷80=854（秒）
答：甲动车行驶754秒或854秒时，，点M到点C的距离等于100米．
（3）解：分两种情况，当点M在点B左侧时；
1700−1400=300（米）
300÷2=150（米）
200−150=50（米）
50÷80=58（秒）
当点M在点C右侧时；
1700−1400=300（米）
300÷2=150（米）
1600+150=1750（米）
1750÷80=1758（秒）
答：甲动车行驶58秒或1758秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米．
（4）解：存在；
乘客M到达点B的时间为：200÷(80+2)=10041 （秒）
乘客M到达点C的时间为：1600÷(80+2)=80041（秒）
乘客N到达点C的时间为：(1600−1500)÷80=54（秒）
乘客N到达点B的时间为：(1600−100)÷80=754（秒）
10041>54 ，754<80041
754−10041=2675164（秒）
故t的值为：2675164；
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键．
【题型3 绝对值中的最值问题】
【例3】（2023春·山东临沂·七年级统考期中）数轴上表示数−5的点与原点的距离可记作|−5−0|=|−5|=5；表示数−5的点与表示数−2的点的距离可记作|−5−(−2)|=|−3|=3．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作|a−b|．
回答下列问题：
(1)数轴上表示−3和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示−2和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与−2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得|x+1|+|x−2|=3的整数x；
②求|x+3|+|x−1|的最小值．
【答案】(1)5，5
(2)3，−7
(3)①−1，0，1，2． ②4
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得A，B之间的距离为x+2；当AB=5时，即x+2=5时，可求得x的值；
（3）①从数轴上可以看出只要x取−1和2之间的数（包括−1，2）就有|x+1|+|x−2|=3，可得这样的整数是﹣1，0，1，2；
②对x进行讨论，可得|x+3|+|x−1|的最小值．
【详解】（1）表示−3和2的两点之间的距离是|−3−2|=5，
表示−2和3的两点之间的距离是|−2−3|=5；
故答案为：5，5；
（2）由题意可得，x+2=5，
∴x+2=5或x+2=−5，
∴x=3或x=−7；
故答案为：3，−7．
（3）①从数轴上可以看出只要x取−1和2之间的数（包括−1，2），
就有|x+1|+|x−2|=3，因此这样的整数是−1，0，1，2；
②对x进行讨论：
当−3
当x≥1时，|x+3|+|x−1|=x+3+x−1=2x+2≥4；
综上，|x+3|+|x−1|的最小值为4．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键．
【变式3-1】（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1．
（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的数．
（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数．
（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F表示的数．
（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值．
【答案】（1）5；（2）0.5；（3）-1或5；（4）13
【分析】（1）先确定原点，再求点C表示的数；
（2）先确定原点，再求点A表示的数；
（3）根据题意得到点B表示的数，再分点F在点B左侧和右侧分别得出结果；
（4）理解题意，将各个点作为原点分别求解，再比较即可．
【详解】解：（1）∵A、B表示的数的绝对值相等，且AB之间距离2个单位，
∴点A表示的数为-1，点B表示的数为1，
∴点C表示的数为5；
（2）∵点B，D表示的数是互为相反数，且BD之间距离5个单位，
∴点B表示的数为2.5，点D表示的数为-2.5，
∴点A表示的数为0.5；
（3）∵点A表示原点，
∴点B表示的数为2，
∵BF=3，
∴点F表示的数为-1或5；
（4）由题意可得：
在数轴上找一点作为原点，使得该点到A、B、C、D、E的距离之和最小，
当点A为原点时，
a=0，b=2，c=6，d=-3，e=-2，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=13，
当点B为原点时，
a=-2，b=0，c=4，d=-5，e=-4，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=15，
当点C为原点时，
a=-6，b=-4，c=0，d=-9，e=-8，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=27，
当点D为原点时，
a=3，b=5，c=9，d=0，e=1，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=18，
当点E为原点时，
a=2，b=4，c=8，d=-1，e=0，
s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|=15，
综上：s的最小值为13．
【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟记数轴的特点，理解数轴上两点之间的距离．
【变式3-2】（2023春·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则m−2+m+5=______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a−d=12， b−d=7， a−c=9 ，则b−c 等于 ______．
(4)若b=a，c=12a， d=13a，e=14a， f=15a ，则式子b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5的最小值为 _______．
【答案】(1)1或﹣5
(2)7
(3)4
(4)54
【分析】（1）由题意可知，a−−2=3，再接方程即可；
（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到m−2+m+5表示点P到2和﹣5的距离和，由−5−2=7，即可得到答案；
（3）由题意得到 a−c=AC，a−d=AD ， b−d=BD， a−c=AC，则 b−c=BC=BD+AC−AD=b−d+a−c−a−d=9+7−12=4，即可得到答案；
（4）由题意可得b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5 =a−1+a+4+a−9+a+16+a−25，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴a−−2=3，
∴a+2=3或a+2=−3，
解得a=1或a=−5，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，
∴m−2+m+5表示点P到2和﹣5的距离和，
∵−5−2=7，
∴m−2+m+5=7，
故答案为：7；
（3）∵ a−c=AC，a−d=AD ， b−d=BD， a−c=AC，
∴ b−c=BC=BD+AC−AD=b−d+a−c−a−d=9+7−12=4，
故答案为：4
（4）∵b=a ,c=12a,d=13a,e=14a,f=15a ，
∴b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5
=a−1+212a+2+313a−3+414a+4+515a−5
=a−1+a+4+a−9+a+16+a−25，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取a=1，
当a=1时，a−1+a+4+a−9+a+16+a−25有最小值，
此时原式＝1−1+1+4+1−9+1+16+1−25
＝54，
故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5−0，即5−0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5−−3表示5、−3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为a−b．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么x= ．
（3）x+2可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）x−2+x−3可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．x+2+x−1可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）x−2+x−3最小值是 ，x+2+x−1的最小值是 ．
【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；
（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出x−2+x−3和x+2+x−1的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，
∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，
|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：
当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解．
【题型4 分类讨论多绝对值问题】
【例4】（2023春·浙江金华·七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bb的值不可能是（ ）
A．2B．–2C．1D．0
【答案】C
【详解】∵当a>0时，aa=aa=1；当a<0时，aa=−aa=−1；
当b>0时，bb=bb=1；当b<0时，bb=−bb=−1；
∴①当a>0，b>0时，aa+bb=1+1=2；
②当a<0，b<0时，aa+bb=−1+−1=−2；
③当a>0，b<0时，aa+bb=1+−1=0；
④当a<,b>0时，aa+bb=−1+1=0；
∴综上所述，aa+bb的值可能为2，-2，0，不可能为1．
故选：C．
【点睛】本题考查化简绝对值，（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种．
【变式4-1】（2023春·广东惠州·七年级校考期中）若ab<0，则aa−bb−abab= ．
【答案】3或−1/−1或3
【分析】根据ab<0分a>0、b<0和a<0、b>0两种情况解答即可．
【详解】解：∵ab<0，
∴a<0，b>0或a>0，b<0，
若a>0、b<0，则aa−bb−abab=1−−1−−1=3；
若a<0、b>0，则aa−bb−abab=−1−1−−1=−1；
综上所述，aa−bb−abab的值为3或−1．
故答案为：3或−1．
【点睛】本题考查绝对值的性质，掌握分情况讨论思想是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若ab≠0，a+b≠0，则|a|a+|b|b+|ab|ab+|a+b|a+b= ．
【答案】-2或0或4
【分析】对a和b，以及a+b的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．
【详解】解：①当a>0，b>0时，ab>0，a+b>0，
原式=aa+bb+abab+a+ba+b=1+1+1+1=4；
②当a<0，b<0时，ab>0，a+b<0，
原式=−aa+−bb+abab+−a+ba+b=−1−1+1−1=−2；
③当a>0，b<0，且a+b>0时，ab<0，
原式=aa+−bb+−abab+a+ba+b=1−1−1+1=0；
④当a>0，b<0，且a+b<0时，ab<0，
原式=aa+−bb+−abab+−a+ba+b=1−1−1−1=−2；
⑤当a<0，b>0，且a+b>0时，ab<0，
原式=−aa+bb+−abab+a+ba+b=−1+1−1+1=0；
⑥当a<0，b>0，且a+b<0时，ab<0，
原式=−aa+bb+−abab+−a+ba+b=−1+1−1−1=−2．
故答案是：-2或0或4．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．
【变式4-3】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）满足x−1+x+3=4的整数x共有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质化简即可求出答案．
【详解】当x≥1时，x−1+x+3=x−1+x+3=2x+2，
令2x+2=4，解得：x=1；
当−3
当x≤−3时，x−1+x+3=1−x−x−3=−2x−2，
令−2x−2=4，解得：x=−3
综上，整数x可能为−3、−2、−1、0、1，共有5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键．
【题型5 有理数中的规律探究】
【例5】（2023春·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算19+192+193+⋯+19n(其中n是正整数，且n≥2，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+12；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分制图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n，
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算19+192+193+⋯+19n．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，19+192+193+⋯+19n=___________．
(3)拓广应用：计算9−19+92−192+93−193+⋯+9n−19n=___________．
【答案】探究三：14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）18−18×9n；（2）18−18×9n；（3）n−18+18×9n
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式89+892+893+⋯+89n=1−19n
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以(m−1)即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为34；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为34+342；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：34+342+343+⋯+34n，
最后的空白部分的面积是14n，
根据第n次分割图可得等式：34+342+343+⋯+34n =1﹣ 14n，
两边同除以3，得14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n；
解决问题：
（1）89+892+893+⋯+89n=1−19n =18−18×9n
故答案为：89+892+893+⋯+89n=18−18×9n
（2）19+192+193+⋯+19n= 18−18×9n，
故答案为：18−18×9n；
（3）拓广应用：9−19+92−192+93−193+⋯+9n−19n
=1−19+1−192+1−193+⋅⋅⋅+1−19n
=n−19+192+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+19n
=n−18−18×9n
=n−18+18×9n．
故答案为：n−18+18×9n．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
【变式5-1】（2023·广东东莞·七年级东莞市东华初级中学校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A．2001B．4039C．8124D．16304
【答案】B
【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数．
【详解】解：根据题意知：
早晨6时30分有2人进公园，则a1=2=2−0，
第一个30min内有4人进去并出来1人，则a2=4−1=22−1，
第二个30min内进去8人并出来2人，则a3=8−2=23−2，
第三个30min内进去16人并出来3人，则a4=16−3=24−3，
第四个30min内进去32人并出来4人，则a5=32−4=25−4，
……
∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为a11=211−10，
∴到上午11时30分公园内的人数为：
2−0+22−1+23−2+24−3+⋯+211−10
=2+22+23+24+⋯+211−1+2+3+⋯+10
设a=2+22+23+24+⋯+211，b=1+2+3+⋯+10
∴2a=22+23+24+⋯+211+212，b=10+9+8+⋯+1，
∴2a−a=22+23+24+⋯+211+212−2+22+23+24+⋯+211=212−2，
b+b=10+9+8+⋯+1+1+2+3+⋯+10=10×11
∴a=212−2，b=55，
∴2−0+22−1+23−2+24−3+⋯+211−10
=212−2−55
=212−57
=4096−57
=4039．
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律．
【变式5-2】（2023春·全国·七年级期中）观察下面算式的演算过程：
1+11×3=1×3+11×3=41×3=221×3 1+12×4=2×4+12×4=92×4=322×4
1+13×5=3×5+13×5=163×5=423×5 1+14×6=4×6+14×6=254×6=524×6
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1+15×7=______________． 1+16×8=____________．
1+12n×(2n+2)=_________________．（n为正整数）
（2）根据规律计算：
(1+11×3)×(1+12×4)×(1+13×5)×(1+14×6)×⋯×(1+198×100)×(1+199×101)．
【答案】（1）625×7，726×8，(2n+1)22n×(2n+2)；（2）200101．
【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；
（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．
【详解】（1）1+15×7=5×7+15×7=365×7=625×7，
1+16×8=6×8+16×8=496×8=726×8，
1+12n×(2n+2)=2n×(2n+2)+12n×(2n+2)=(2n+1)22n×(2n+2)，
故答案为：625×7，726×8，(2n+1)22n×(2n+2)；
（2）原式=221×3×322×4×423×5×524×6×⋯×99298×100×100299×101，
=22×32×42×52×⋯×992×1002(1×2×3×4×⋯×98×99)×(3×4×5×6×⋯×100×101)，
=22×32×42×52×⋯×992×10021×2×100×101×32×42×⋯×982×992，
=22×10021×2×100×101，
=200101．
【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．
【变式5-3】（2023春·江苏泰州·七年级泰兴市洋思中学校联考期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②如果欲求1+2+3+4+⋯+n的值，可令
S=1+2+3+4+...+n ……………①
将①式右边顺序倒置，得S=n+...+4+3+2+1 ……………②
由②加上①式，得2S= ；
∴ S=_________________；
由结论求1+2+3+4+⋯+55=___________；
（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
②为了求1+3+32+33+……+32018的值，可令M=1+3+32+33+……+32018，则3M=3+32+33+……+32019，因此3M−M=32019−1，所以M=32019−12，
即1+3+32+33+……+32018=32019−12.
仿照以上推理，计算1+5+52+53+……+551
【答案】（1）①1，18，n；②n1+n，n1+n2，1540；（2）①2，218，2n；②1+5+52+53+……+551=552−14.
【分析】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差都为1，从而可得常数为1；根据此规律，如果an(n为正整数)=n，据此即可求得答案；
②观察可得2S=n(n+1)，从而求得 S；根据上面得到的式子进行计算即可求得1+2+3+4+⋯+55的值；
(2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得an(n为正整数)=2n，据此即可得答案；
②根据推理进行计算即可求得1+5+52+53+……+551的值.
【详解】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是1；根据此规律，如果an(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a18=18，an=n，
故答案为1，18，n；
②令S=1+2+3+4+...+n ，①
将①式右边顺序倒置，得S=n+...+4+3+2+1，②
②+①，得2S= 1+n+1+n+⋯+1+nn个（1+n)=n(1+n)，
∴ S=n1+n2；
1+2+3+4+⋯+55=55×55+12=1540，
故答案为n1+n，n1+n2，1540；
(2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果an(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a18=218，an=2n，
故答案为2，218，2n；
②令M=1+5+52+53+……+551，
则5M=5+52+53+……+552，
∴5M−M=552−1，
∴4M=552−1，
∴M=552−14 ，
即1+5+52+53+……+551=552−14.
【点睛】本题考查了阅读理解题，根据题目的内容以及问题的求解方法进行求解，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键.
【题型6 有理数中的对折问题】
【例6】（2023春·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．
(1)折叠纸条使数轴上表示−1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 _________ ；如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 _________ ；
(2)如图2，点A、B表示的数分别是−2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B 距离的2倍，那么点C表示的数是 _________ ；
(3)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数．
【答案】(1)2，−3.5
(2)2或10
(3)−2916
【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为x，根据折痕与数轴的交点是−1与5对应点的中点可得方程x−−1=5−x，解方程即可求得答案；按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为11，则左边数到中点的距离为5.5个单位，据此即可求得答案；
（2）分点C在A、B之间和B点右侧两种情况利用数轴上两点距离公式建立方程求解即可；
（3）A、B两点之间距离为4−−2=6，连续对折5次后，共有25段，每两条相邻折痕间的距离为316，则最左端的折痕与数轴的交点为−2+316，即可解得答案．
【详解】（1）解：设折痕与数轴的交点表示的数为x，
由题意得，x−−1=5−x，
解得x=2，
∴折痕与数轴的交点表示的数是2，
设左边点表示的数为m，则2−m=11×12，解得m=−3.5，
∴左边这个点表示的数是−3.5；
故答案为：2，−3.5；
（2）解：设点C表示的数为y，
∵AC=2BC，
∴点C离点B较近，只有两种情况：
①点C在线段AB上时，y−−2=24−y，解得：y=2；
②当点C在点B的右边数轴上时，y−−2=2y−4，解得：y=10．
综上所述，点C表示的数为2或10，
故答案为：2或10；
（3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离为4−−225=316，
∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为−2+316=−2916．
【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离公式，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质．
【变式6-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是
【答案】4或5或6
【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可．
【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为1:1:2，
∴8÷1+1+2=2，
∴这三条线段的长度分别为2，2，4，
若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2，
则折痕表示的数为：1+2+1=4；
若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4，
则折痕表示的数为：1+2+2=5；
若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2，
则折痕表示的数为：1+4+1=6；
∴折痕表示的数为4或5或6，
故答案为：4或5或6．
【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴左右对折纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”．
（1）操作一：左右对折纸面，使1对应的点与-1对应的点重合，则-3对应的点与_____对应的点重合；
（2）操作二：左右对折纸面，使-1对应的点与3对应的点重合，回答以下问题：
①对折中心点对应的数为__________，对折后5对应的点与数_________对应的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，通过计算求A、B两点对应的数分别是多少？
（3）操作三：已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，对折中心点C对应的数是c，此时点A与点B对折重合，那么a，b，c三数满足的关系式为__________．
【答案】（1）3；（2）①1，-3，②-4.5，6.5；（3）a+b=2c
【分析】（1）1与-1重合，可以发现1与-1互为相反数，因此-3表示的点与3表示的点重合；
（2）①-1表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数-3表示的点重合；
②由①知折痕点为1，且A、B两点之间距离为11，则A表示1-5.5=-4.5，B点表示1+5.5=6.5．
（3）根据题意得a+b2=c，从而可得结论．
【详解】解：（1）∵1与-1重合，
∴折痕点为原点，
∴-3表示的点与3表示的点重合．
故答案为：3．
（2）①∵由表示-1的点与表示3的点重合，
∴可确定折痕点是表示1的点，
∴5表示的点与数-3表示的点重合．
故答案为：1，-3．
②由题意可得，A、B两点距离折痕点的距离为11÷2=5.5，
∵折痕点是表示1的点，
∴A、B两点表示的数分别是-4.5，6.5．
（3）根据题意得a+b2=c，
∴a+b=2c．
【点睛】题目考查了数轴上点的对称，通过点的对称，发现对称点的规律，题目设计新颖，难易程度适中，适合课后训练．
【变式6-3】（2023春·江西吉安·七年级统考期中）小聪在复习过程中，发现数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例：
如图1，线段AB=4−2=2，线段CB=4−(−2)=6，
线段AC=2−(−2)=4，线段CD=−2−(−4)=2
结论：数轴上任意两点表示的数分别为：a，b（b>a），则这两点间的距离为：b−a（即：较大的数减去较小的数）.
尝试应用：
（1）若数轴上点E，点F代表的数分别是－3，－1，则EF=______.
（2）把一条数轴在数m处对折，表示－9和3两数的点恰好互相重合，此时m=______.
（3）数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，另一个点表示的数为n，则n=______.
问题解决：
（4）如图2，点A表示数x，点B表示－2，点C表示2x+8且BC=4AB，问点A和点C分别表示什么数？为什么？
（5）上述（4）的条件下，图2所示的数轴上，是否存在满足条件的点D，使用DA+DC=3DB？
若存在，请直接写出D所表示的数，若不存在，请说明理由？（点D不与点A，点B，点C重合）
【答案】（1）2；（2）－3；（3）－3或9；（4）点A表示－3，点C表示2；（5）−13或－5.
【分析】（1）根据点F、E代表的数分别为-1和-3，可得线段EF=-1-（-3）=2；
（2）由题意可知m是－9和3的中点，据此可解；
（3）分两种情况讨论，3-n=6或n-3=6，解方程即可；
（4）先表示出BC和AB，再根据BC=4AB列出方程，解之即可；
（5）分四种情况分析：①当点D在点C右侧时；②当点D在点B与C之间时;③当点D在点A与B之间时；④当点D在点A左侧时.
【详解】解：尝试应用（1）EF=-1-（-3）=2；
（2）由题意可知3-m=m-(-9)
∴m=－3;
（3）由题意可知3-n=6或n-3=6，
∴n=－3或n=9;
问题解决：
（4）∵BC=2x+8−(−2)=2x+10，AB=−2−x
又∵BC=4AB
∴2x+10=4(−2−x)
∴x=−3,
∴点A表示－3，点C表示2;
（5）设点D表示的数是m，
①当点D在点C右侧时，(m+3)+(m−2)=3(m+2)
∴m=−5（不符合题意）;
②当点D在点B与C之间时，(m+3)+(2−m)=3(m+2)
∴m=−13;
③当点D在点A与B之间时，(m+3)+(2−m)=3(−2−m)
∴m=−113（不符合题意）
④当点D在点A左侧时，(−3−m)+(2−m)=3(−2−m)
∴m=−5;
故存在点D表示的数是−13或－5.
【点睛】此题考查了有理数的减法及数轴上两点间的距离，分类讨论是解本题的关键．
【题型7 幻方的应用】
【例7】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务．
幻方
相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；
(2)请将−7，−5，−3，−1，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三个数的和为2+3+4=9，依次列式计算即可求解；
（2）先将已知的9个数求和，再除以3即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可．
【详解】（1）解：如图：
；
（2）解：−7−5−3−1+1+3+5+7+9÷3=3，
即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于6，
根据幻方的特点可知：从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，
即三阶幻方如下：
．
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
【变式7-1】（2023春·河南濮阳·七年级统考阶段练习）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．
(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；
(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求x，y的值，并将空格补充完整．
【答案】(1)见解析；
(2)x=5，y=8，空格补充见解析．
【分析】（1）根据三个数的和为2+3+4=9，依次列式计算即可求解；
（2）先求出下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值．
【详解】（1）解：2+3+4=9，
9−6−4=−1，
9−6−2=1，
9−2−7=0，
9−4−0=5，
如图1所示：
（2）解：y=4+1−−3=8，
x=y+1−4=8+1−4=5．
如图2所示：
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）下列各组中的九个数不满足三阶幻方要求的（ ）
A．－2，－1，0，1，2，3，4，5，6B．2，3，4，5，6，7，8，9 ，10
C．3，6，9，12，15，18，21，24，27D．4，6，7，10，12，14，16，18，20
【答案】D
【分析】根据三阶幻方的性质判断即可；
【详解】－2，－1，0，1，2，3，4，5，6中，2位中间数，
则−2+6=−1+5=0+4=1+3=2×2，
∴A项可以构成三阶幻方；
2，3，4，5，6，7，8，9 ，10中，6为中间数，
2+10=3+9=4+8=5+7=12=2×6，
∴B项可以构成三阶幻方；
3，6，9，12，15，18，21，24，27中，15为中间数，
3+27=6+24=9+21=12+18=30=2×15，
∴C项可以构成三阶幻方；
4，6，7，10，12，14，16，18，20中，12是中间数，
10+14=4+20=6+18≠7+16，
∴D项不可以构成三阶幻方；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了三阶幻方的性质，准确计算是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【答案】B
【分析】共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12
个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．
【详解】解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，
所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，
则a所在的横着的一行最后一个圈为3，
−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，
目前数字就剩下−4,−3,0,6，
1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，
−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，
这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，
所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，
则a所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a为−3
故选：B
【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键．
【题型8 有理数的实际应用】
【例8】（2023·上海·六年级假期作业）小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？
【答案】小塘是7：25从家里出发的
【分析】先求出小钱追上一直匀速步行的小塘需要的时间，根据速度提高到原来的2倍可推出时间变为原来的一半，即可求得返回家路上用的的时间，求出小钱在路上用的时间，减去返回家需要的时间，减去找笔的时间，减去小钱追上一直匀速步行的小塘需要的时间，即求得到拿到笔后从家到学校的时间，求得第一次遇见小塘的地方到学校的时间，求得从第一次遇见小塘到小塘抵达学校的时间，就可以得到同样的路程小塘的时间是小钱的几倍，进而求出小塘从家到学校的时间．
【详解】原来小钱的速度∶现在小钱的速度=1:2
原来用的时间：现在用的时间=2:1
7时46分-7时40分=6（分钟）
取马克笔路上用的时间：6÷2=3（分钟）
小钱在路上的时间：8时-7时40分-6分=14（分钟）
拿好笔回学校的时间：14−6−3=5（分钟）
第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5−3=2（分钟）
从第一次遇见小塘到学校的时间：8时-7时46分=14（分钟）
14÷2=7（分钟）
5×7=35（分钟）
8时-35分=25（分钟）
小塘从家里出发的时间：7：25
答：小塘是7：25从家里出发的．
【点睛】本题考查了路程=速度×时间，读懂题意，缕清思路，逐步分析是解决本题的关键．
【变式8-1】（2023春·江苏泰州·七年级周测）传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的．据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”．退休的张大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了．
(1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少?
回报率=回报金额−投资额投资额×10000
(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱?
【答案】(1)20％(2)5690元
【详解】试题分析：（1）根据当张大爷某一期追加的投资数为16股后时，被告知该公司破产了，则张大爷在破产前一共投了1+2+4+8=15股，进而求出总支出和总收入，再利用公式来解答即可；
（2）用每股的价格乘以期数，然后减去收益即可.
试题解析：(1)张大爷在破产前一天一共投了1+2+4+8=15股，
此时回报率为（530+10−450)×15450×15×100％=20％，
所以他的投资回报率为20％；
(2)450×16-（530-450+10）×15-16×10=5690元.
【变式8-2】（2023·浙江·七年级假期作业）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有3×2×2=12种乘坐方式；
②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，
对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有3×2×2=12种乘坐方式；
则共有12+12=24种乘坐方式；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况．
【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元/吨）：
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 吨到B2；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
【答案】 2 40
【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据表格数据，寻求最优解即可求解．
【详解】解：（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运10−1+7=2吨到B2，
故答案为：2；
（2）解：运费如下：
运输方案一：
运费为：14+4+3+40=61
运输方案二：
运费为：7+8+20+9+8=52
运输方案三：
运费为：7+18+10+5=40
故答案为：40．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键．B1
B2
B3
A1（7t）
1
2
6
A2（12t）
0
4
2
A3（11t）
3
1
5
B1
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