人教版七年级数学上册举一反三2.3整式的加减【十二大题型】(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学上册举一反三2.3整式的加减【十二大题型】(学生版+解析)，共41页。
专题2.3 整式的加减【十二大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23170" 【题型1 去括号与添括号】  PAGEREF _Toc23170 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13441" 【题型2 利用去括号法则化简】  PAGEREF _Toc13441 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3722" 【题型3 利用添括号与去括号求值】  PAGEREF _Toc3722 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc19983" 【题型4 整式的加减运算】  PAGEREF _Toc19983 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21906" 【题型5 整式加减的化简求值】  PAGEREF _Toc21906 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8193" 【题型6 利用整式加减比较大小】  PAGEREF _Toc8193 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17472" 【题型7 整式加减中的错看问题】  PAGEREF _Toc17472 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc6544" 【题型8 整式加减中的不含某项问题】  PAGEREF _Toc6544 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc11623" 【题型9 整式加减中的和某项无关问题】  PAGEREF _Toc11623 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc26813" 【题型10 整式的加减中的遮挡问题】  PAGEREF _Toc26813 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc31642" 【题型11 整式加减中的项与系数问题】  PAGEREF _Toc31642 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc14363" 【题型12 整式的加减中的应用】  PAGEREF _Toc14363 \h 8【知识点1 去括号法则与添括号法则】去括号法则：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．【题型1 去括号与添括号】【例1】（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　）①a−b−c=a−b−c②x2+y−2x−y2=x2+y−2x+y2③−a+b−−x+y=−a−b+x−y④−3x−y+a−b=−3x−3y+a−b．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2023春·七年级课时练习）按下列要求，给多项式3x3﹣5x2﹣3x＋4添括号：（1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；（2）把多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号；（3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号；（4）把多项式中间的两项括起来．括号前面“﹣”号．【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）按下列要求给多项式−x3+2x2−x+1添括号．（1）使次数最高项的系数变为正数；（2）把奇次项放在前面是“-”的括号里，其余的项放在前面是“+”的括号里．【变式1-3】（2023春·山东德州·七年级校考期中）若m、n取正整数，p、q取负数，则以下式子中其值最大的是（    ）．A．m−(n+p−q) B．m+(n−p−q)C．m−(n−p+q) D．m+(n−p+q)【题型2 利用去括号法则化简】【例2】（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校联考期中）去括号，合并同类项得：3b−2c−[−4a+(c+3b)]+c= ．【变式2-1】（2023春·七年级课时练习）去括号，合并同类项：(1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）；(2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；(3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；(4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）以下是马小虎同学化简代数式a2b+4ab−3ab−a2b的过程．a2b+4ab−3ab−a2b=a2b+4ab−3ab−3a2b…………第一步，=a2b−3a2b+4ab−3ab…………第二步，=ab−2a2b…………第三步，(1)马小虎同学解答过程在第___________步开始出错，出错原因是___________．(2)马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是___________．(3)请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．【变式2-3】（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）先去括号，再合并同类项．（1）3a−4b−2a+1（2）25a−3b−3a2−2b【题型3 利用添括号与去括号求值】【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）当x=1时，ax2+bx−1的值为6，当x=−1时，这个多项式ax3+bx−1的值是 ．【变式3-1】（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）已知x+y=34，−xy=2，则2xy−3x−3y值为（　　）A．−74 B．74 C．254 D．−254【变式3-2】（2023春·全国·七年级专题练习）若a−b=2,a−c=1，求(2a−b−c)2+(c−b)2的值．【变式3-3】（2023春·安徽宿州·七年级统考期中）阅读材料：我们知道，4x−2x+x=4−2+1x=3x，类似地，我们把a+b看成一个整体，则4a+b−2a+b+a+b=4−2+1a+b=3a+b．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：(1)把a−b2看成一个整体，合并3a−b2−6a−b2+2a−b2．(2)已知x2−2y=5，求3x2−6y−20的值；(3)已知a−2b=5，2b−c=−7，c−d=9，求a−c+2b−d−2b−c的值．【知识点2 整式的加减】几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．整式的加减步骤及注意问题：（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．【题型4 整式的加减运算】【例4】（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级校考期中）计算：(1)5x2−7x−4x−3−2x2(2)22a2+4b−3−a2+4b【变式4-1】（2023春·江苏常州·七年级统考期中）计算：(1)2a−b−5a+3b(2)(x2−2x)−2(x2−3x+1)+2(3)3(m2n−2mn2)−4(−mn2+2m2n)【变式4-2】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）计算：①2m−−m+1               ②2a3−a2b+3ab2+2a2b−3ab2−a3③5m−2n−3m−2n−2m−2n−m−2n   ④5x2−8x−3x2−2−x2+5x−3【变式4-3】（2023春·山西朔州·七年级统考期中）计算：(1)4x2y−5xy2−3x2y−4xy2(2)3a2b+2ab2−2−a2b+4ab2−5ab2．【题型5 整式加减的化简求值】【例5】（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）已知：A=4a2b−3ab2+3abc,B=2ab2−3a2b+abc．(1)计算A−3B；(2)若单项式−2xay与5x2yb的差是一个单项式，求（1）中A−3B的值．【变式5-1】（2023春·安徽马鞍山·七年级校考期中）先化简再求值：3a2b−2ab2−2ab−32a2b+ab+3ab2，其中a=−4，b=12．【变式5-2】（2023春·云南昆明·七年级统考期中）（1）先化简，再求值：−a2b+3ab2−a2b−22ab2−a2b，其中a=1,b=−2；（2）先化简，再求值：x+23y2−2x−42x−y2，其中x−2+y+12=0．【变式5-3】（2023春·甘肃天水·七年级校考期末）先化简再求值：5ab2−2a2b−3ab2−22ab2+a2b，其中a,b满足a+1+(b−2)2=0．19．（2023春·辽宁大连·七年级统考期末）先化简，再求值：12x+2−x+13y2−32x−13y2，其中x=−2，y=23．【题型6 利用整式加减比较大小】【例6】（2023春·河北保定·七年级统考期中）已知多项式M=2a2−4a+1，N=2a2−2a+3，则下列判断正确的是（    ）A．M>N B．M0，则a>b，若a−b=0，则a=b，若a−bn【分析】（1）根据新定义列出算式计算即可；（2）由新定义用含x的式子表示m，n，再比较m−n与0的大小即可．【详解】（1）解：−3★4 =−3×42+2×−3×4+−3 =−3×16−24−3 =−48−24−3 =−75；（2）2★x=m，x★−3=n ∴m=2x2+2×2x+2=2x2+4x+2，n=9x+2x×−3+x=4x，∴m−n=2x2+4x+2−4x=2x2+2，∵x2≥0，∴m−n>0，∴m>n．【点睛】本题考查有理数混合运算及整式的加减运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出算式．【题型7 整式加减中的错看问题】【例7】（2023·全国·七年级假期作业）一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简     m2+3m−4−3m+4m2−2，其中m=−1．系数“     ”看不清楚了．(1)如果嘉嘉把“     ”中的数值看成2，求上述代数式的值；(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是−2，请通过计算帮助嘉嘉确定“     ”中的数值．【答案】(1)−2m2−2，−4(2)4【分析】（1）化简式子，再代入数值计算即可；（2）设     中的数值为x，则原式=xm2+3m−4−3m−4m2+2=(x−4)m2−2．根据题意可得方程，求解即可得到答案．【详解】（1）原式=2m2+3m−4−3m−4m2+2=−2m2−2．当m=−1时，原式=−2×(−1)2−2=−2−2=−4；（2）设     中的数值为x，则原式=xm2+3m−4−3m−4m2+2=(x−4)m2−2．∵无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是−2，∴x−4=0．∴x=4．答：“     ”中的数是4．【点睛】此题考查的是整式的加减，掌握运算法则是解决此题关键．【变式7-1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=12x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（　　）A．x2﹣2x B．x2+2x C．﹣2 D．﹣2x【答案】C【详解】由题意可得：A-B=A-（C-A）=A-C+A=2A-C=2（12 x2+x-1）-（x2+2x）=x2+2x-2-x2-2x=-2，故选C.【变式7-2】（2023春·全国·七年级期末）某同学在计算时−234+N，错算成−234−N，从而算得结果是514，请你帮助算出正确结果．【答案】−1034【分析】将错就错算出N的值，再代入原代数式进行计算即可．【详解】解：由题意得，−234−N=514∴N=−234−514=−8∴−234+N=−234−8=−1034答：正确结果为−1034．【点睛】本题考查整式加减的应用：看错问题．对于看错问题，采用将错就错算出整式的值，再进行正确的计算即可．【变式7-3】（2023春·七年级课时练习）马虎的李明在计算多项式M加上x2−3x+7时，因错看成加上x2+3x+7，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为5x2+2x−4．（1）求多项式M；（2）求出本题的正确答案．【答案】（1）M=4x2−x−11；（2）5x2−4x−4．【分析】（1）根据错误的结果减去x2+3x+7，去括号合并表示出多项式M即可；（2）由表示出的M加上x2−3x+7，去括号合并即可得到正确的答案．【详解】解：（1）根据题意列得：M=5x2+2x−4−(x2+3x+7)=5x2+2x−4−x2−3x−7=4x2−x−11，即M=4x2−x−11；（2）正确答案为：4x2−x−11+(x2−3x+7)=4x2−x−11+x2−3x+7=5x2−4x−4，即正确答案为5x2−4x−4．【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．【题型8 整式加减中的不含某项问题】【例8】（2023春·七年级课时练习）关于x，y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n的值．【答案】4【分析】已知多项式合并后，根据结果不含二次项求出m与n的值，原式合并得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值．【详解】6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4=(6m－1)x2＋(4n＋2)xy＋2x＋y＋4，∵该多项式不含二次项，∴6m－1＝0，4n＋2＝0，解得：m＝16，n＝−12，∴2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n＝6m－2n＋2＝6×16－2×(－12)＋2＝4.【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值以及多项式的知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-1】（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知两个关于m、n的多项式A=mn－3m2、B=－6m2+5mn+2，且B+kA化简后不含m2项.（1）求k的值;（2）若m、n互为倒数，求B+kA的值.【答案】（1）k=-2（2）5【详解】试题分析：（1）根据题意直接代入化简，然后根据不含有的项，即为其系数为0，可求解k的值；（2）根据倒数的意义得到mn=1，然后化简B+kA可求值.试题解析：（1）B+kA=（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2）=-6 m2+5mn+2+kmn-3k m2=（-6-3k）m2+（5+k）mn+2由不含m2项，可知-6-3k=0，解得k=-2（2）因为m、n互为倒数，所以mn=1所以B+kA=（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2）=（-6-3k）m2+（5+k）mn+2=（5+k）mn+2=3+2=5【变式8-2】（2023春·广东江门·七年级江门市第一中学校考期中）若多项式mx3−2x2+3x−2x3+5x2−nx+1不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出−nm+m−n2022的值．【答案】m=2，n=3；−8【分析】根据mx3−2x2+3x−2x3+5x2−nx+1不含三次项及一次项可得m−2=0，3−n=0，可求出m、n的值，代入所求代数式即可得答案．【详解】解：mx3−2x2+3x−2x3+5x2−nx+1=m−2x3+3x2+3−nx+1，∵多项式mx3−2x2+3x−2x3+5x2−nx+1不含三次项及一次项，∴m−2=0，3−n=0，解得m=2，n=3，∴−nm+m−n2022=−32+2−32022=−9+−12022=−9+1=−8．【点睛】本题考查多项式的应用，利用合并同类项法则，根据不含三次项及一次项得出m、n的值是解题关键．【变式8-3】（2023春·河南郑州·七年级统考期中）已知A、B分别是关于x，y的多项式，一同学在计算多项式12A+B结果的时候，不小心把表示A的多项式弄脏了，无法认出，现在只知道B=2y2+3ay+2y−3，12A+B=y2+4ay+2y−4．(1)请根据仅有的信息试求出A表示的多项式；(2)若多项式A+2B中不含y项，求a的值．【答案】(1)A=−2y2+2ay−2(2)a=−12【分析】（1）根据题意可知12A=y2+4ay+2y−4−B，然后根据整式的运算法则计算即可求出答案．（2）根据整式的运算法则计算A+2B，然后令含y的项的系数为0，即可求出a的值．【详解】（1）解：∵B=2y2+3ay+2y−3，12A+B=y2+4ay+2y−4，∴12A+2y2+3ay+2y−3=y2+4ay+2y−4，∴12A=y2+4ay+2y−4−2y2+3ay+2y−3∴12A=y2+4ay+2y−4−2y2−3ay−2y+3∴12A=−y2+ay−1，∴A=−2y2+2ay−2；（2）解：A+2B=−2y2+2ay−2+22y2+3ay+2y−3=−2y2+2ay−2+4y2+6ay+4y−6=2y2+8a+4y−8．∵多项式A+2B中不含y项，∴8a+4=0．解得：a=−12．【点睛】本题考查整式的加减运算，整式加减中的无关型问题．熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．【题型9 整式加减中的和某项无关问题】【例9】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）已知多项式A=4ba−5+b2，B=2b2−ab，C=2mb2+4ba+3．求A−2B；老师展示了一位同学的作业如下：解：A−2B=（4ba−5+b2）−2(2b2−ab) …第一步=4ba−5+b2−4b2−2ab …第二步=−3b2+2ab−5 …第三步回答问题：(1)这位同学第　 　步开始出现错误，请写出正确的解答过程．(2)若A−C的结果与字母b的取值无关，求m的值．【答案】(1)二，见详解；(2)m=12【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接求出A−C的值，结合结果与字母b的取值无关，得出m的值．【详解】（1）解：A−2B=（4ba−5+b2）−2(2b2−ab) …第一步=4ba−5+b2−4b2+2ab …第二步=−3b2+6ab−5 …第三步∴这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是负号，括号里面没有全部改变符号；故答案为：二；（2）解：∵A=4ba−5+b2， C=2mb2+4ba+3，∴A−C=4ba−5+b2−(2mb2+4ba+3） =4ba−5+b2−2mb2−4ba−3=−8+(1−2m)b2∵A−C的结果与字母b的取值无关，∴1−2m=0，解得：m=12．【点睛】本题考查整式加减混合运算及去括号的法则，解题的关键是去括号合并同类项，第2问中与b无关即b的系数为0．【变式9-1】（2023春·江西上饶·七年级校联考期末）已知：A=2x2+3xy−2x−1，B=−x2+xy−1(1)求3A+6B的值；(2)若3A+6B的值与x的值无关，求y的值．【答案】(1)15xy−6x−9(2)y=25【分析】（1）将A=2x2+3xy−2x−1，B=−x2+xy−1代入，去括号、合并同类项即可；（2）将y看成常数合并含x的项，然后根据与x无关，令关于x的项的系数为0即可求得y．【详解】（1）解：3A+6B=32x2+3xy−2x−1+6−x2+xy−1=6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy−6=15xy−6x−9；（2）解：15xy−6x−9=15y−6x−9；∵3A+6B的值与x的值无关，∴15y−6=0，解得：y=25．【点睛】本题考查整式的加减．（1）整式的加减就是去括号和合并同类项，能根据去括号法则和合并同类项法则正确计算是解题关键；（2）与x无关，即令含x的项的系数为0．【变式9-2】（2023春·七年级课时练习）（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017，求整式x3−6x2−7x+8−−x2−3x+2x3−3+x3+5x2+4x−1的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释.（2）已知整式M=x2+5ax−3x−1，整式M与整式N之差是3x2+4ax−x.①求出整式N.②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值.【答案】（1）小明说的有道理，理由见解析.(2) ①N=-2x2+ax-2x-1 ② a=811．【分析】（1）原式去括号合并同类项后得到最简结果，根据化简结果中不含x，得到x的值是多余的．（2）①根据题意，可得N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x），去括号合并即可；②把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．【详解】（1）小明说的有道理，理由如下： 原式=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-1 =（1-2+1）x3+（-6+1+5）x2+（-7+3+4）x+（8+3-1） =10， 由此可知该整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理．（2）①N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x）=x2+5ax-3x-1-3x2-4ax+x=-2x2+ax-2x-1；②∵M=x2+5ax-3x-1，N=-2x2+ax-2x-1，∴2M+N=2（x2+5ax-3x-1）+（-2x2+ax-2x-1）=2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-1=（11a-8）x-3，由结果与x值无关，得到11a-8=0，解得：a=811．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．【变式9-3】（2023春·江苏盐城·七年级校联考期中）已知代数式A=x2+xy+2y−1，马虎同学在计算“A﹣B”时，不小心错看成“A+B”，得到的计算结果为2x2−xy−4y+1（1）求A﹣B的计算结果；（2）若A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．【答案】（1）3xy+8y−3；（2）0【详解】试题分析：（1）根据题意可先求出多项式B，然后再计算A-B；（2）分析A－B的结果，令含x的项的其它因式的积为0即可求y的值.试题解析：（1）∵A+B=2x2-xy-4y+1，∴B=（2x2-xy-4y+1）-（x2+xy+2y-1）=2x2-xy-4y+1-x2-xy-2y+1=x2-2xy-6y+2，∴A-B=（x2+xy+2y-1）-（x2-2xy-6y+2）=x2+xy+2y-1-x2+2xy+6y-2=3xy+8y-3；（2）由题意可知：A-B=3xy+8y-3；∵A-B与x的值无关，即3xy=0∴3y=0，∴y=0【题型10 整式的加减中的遮挡问题】【例10】（2023春·河北保定·七年级校考期中）某天数学课上老师讲了整式的加减运算,小颖回家后拿出自己的课堂笔记,认真地复习老师在课堂上所讲的内容,她突然发现一道题目:5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）=5a2■-6b2+3被墨水弄脏了,请问被墨水遮盖住的一项是（）A．+14ab B．+3ab C．+16ab D．+2ab【答案】A【分析】此题涉及整式加减运算，解答时只要把求出5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）的值，再减去5a2-6b2+3即可知道横线上的数．【详解】设横线上这一项为M，则M=5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）-（5a2-6b2+3）=14ab．故选A．【点睛】解决此类题目的关键是熟练运用去括号、合并同类项，括号前是负号，括号里的各项要变号．合并同类项的时候，字母应平移下来，只对系数相加减．【变式10-1】（2023春·全国·七年级专题练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，小明不小心擦掉了一块，小亮说他记得小明擦掉的部分是一个二次三项式，黑板上剩下的过程为：3x−2−=x2+9x−7(1)求所挡住的二次三项式；(2)若x=−23，求所挡住的二次三项式的值．【答案】(1)−x2−6x+1(2)419【分析】（1）根据整式的加减计算法则只需要计算出x2−5x+1+3x的结果即可；（2）把x=2代入（1）所求式子中进行求解即可．【详解】（1）解：由已知得所挡住的式子为：3x−2−x2+9x−7=3x−6−x2−9x+7=−x2−6x+1，即所捂的二次三项式是−x2−6x+1；（2）解：当x=−23时，−x2−6x+1=−−232−6×−23+1=419．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，正确求出所捂的式子是解题的关键．【变式10-2】（2023春·四川遂宁·七年级射洪中学校考阶段练习）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■x2y−[5xy2−2(−23xy+32x2y)−43xy]+5xy2.(1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？(2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式−4x2y3的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？(3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？【答案】(1)13x2y(2)−4(3)−3【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果；（2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；（3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可．【详解】（1）解：根据题意得：原式＝10x2y−[5xy2−2(−23xy+32x2y)−43xy]+5xy2＝10x2y−5xy2−43xy+3x2y+43xy+5xy2＝13x2y；（2）解：是单项式−4x2y3的系数和次数之积为：−43×3=−4，答：遮挡部分应是−4；（3）解：设遮挡部分为a，原式＝ax2y−[5xy2−2(−23xy+32x2y)−43xy]+5xy2＝ax2y−5xy2−43xy+3x2y+43xy+5xy2＝(a+3)x2y；因为结果为常数，所以a+3=0所以遮挡部分为−3．【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式10-3】（2023·河北张家口·统考一模）已知：A、B都是关于x的多项式，A=3x2−5x+6，B=□−6，其中多项式B有一项被“□”遮挡住了．（1）当x=1时，A=B，请求出多项式B被“□”遮挡的这一项的系数；（2）若A+B是单项式，请直接写出多项式B．【答案】（1）多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为10;（2）B=−3x2−6或B=5x−6．【分析】（1）设B=kx2−6，将x=1分别代入A及B，即可列出等式求解；（2）分两种情况：①设B=kx2−6，计算A+B=3x2−5x+6+kx2−6=(3+k)x2−5x，由A+B是单项式得到3+k=0，求解k即可得到B；②设B=kx−6，计算A+B=3x2−5x+6+kx−6=3x2+(k−5)x，，由A+B是单项式得到k-5=0，求解k即可得到B.【详解】（1）设B=kx2−6，当x=1时，A=4，B=k−6，∴k−6=4，∴k=10，∴多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为10；（2）①设B=kx2−6，∴A+B=3x2−5x+6+kx2−6=(3+k)x2−5x，∵A+B是单项式，∴3+k=0，解得k=-3,，∴B=−3x2−6；②设B=kx−6，∴A+B=3x2−5x+6+kx−6=3x2+(k−5)x,∵A+B是单项式，∴k-5=0，解得k=5，∴B=5x−6∴B=−3x2−6或B=5x−6.【点睛】此题考查多项式的定义，单项式的定义，整式的加法计算法则，正确理解题意是解题的关键.【题型11 整式加减中的项与系数问题】【例11】（2023春·全国·七年级专题练习）若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A＋B一定是（    ）A．三次多项式 B．四次多项式 C．七次多项式 D．四次七项式【答案】B【分析】利用合并同类项法则判断即可．【详解】多项式相加，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，B是一个四次多项式，因此A+B一定是四次多项式或单项式．故选B．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式11-1】（2023春·七年级课时练习）若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，则A−B一定是（    ）A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式【答案】B【分析】利用整式的加减法则判断即可．【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，则A-B一定是五次多项式或单项式．故选：B．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式11-2】（2023春·浙江杭州·七年级阶段练习）如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是(    )A．六次多项式 B．次数不高于3的多项式C．三次整式 D．次数不高于3的整式【答案】D【分析】根据合并同类项的法则，两个多项式相加后，多项式的次数一定不会升高，当多项式3M最高次数项的系数如果与多项式2N最高次数项的系数互为相反数时，相加后最高次数项就会消失，次数就低于3，据此解答即可．【详解】解：如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是次数不高于3的整式．故选：D．【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟知整式的相关概念、熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．【变式11-3】（2023春·上海闵行·七年级统考期中）如果A、B都是关于x的单项式,且A·B是一个九次单项式,A+B是一个五次多项式, 那么A-B的次数（    ）A．一定是四次； B．一定是五次； C．一定是九次； D．无法确定.【答案】B【分析】根据题意可判断A、B的次数，再根据多项式的定义即可解答．【详解】解：∵A、B都是关于x的单项式，且A•B是一个九次单项式，A+B是一个五次多项式，∴A、B中一个是5次单项式，另一个是4次单项式， ∴A-B的次数一定是5次，故选B．【点睛】本题主要考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．【题型12 整式的加减中的应用】【例12】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　）  A．18 B．26 C．34 D．46【答案】D【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，根据图1中长方形的周长为36，求得x+y=92，根据图2中长方形的周长为55，求得AB=552−3x−4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2AB+AD，计算即可得到答案．【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y−x，由图1中长方形的周长为36，可得，y+2x+y+2x+y=18，解得：x+y=92，如图，图2中长方形的周长为55，  ∴AB+2x+y+2x+y+y−x=552，∴AB=552−3x−4y，根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，∴2AB+AD=2552−3x−4y+x+y+2x+y+y−x=2552−x−y=55−2x+y=55−9=46．故选D．【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键．【变式12-1】（2023春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）东阳某中学七(1)班有51人，某次活动分为三组，第一组有(3a+4b+2)人，第二组比第一组的12多6人，第三组比前两组的和的13少3人．(1)第二组的人数为______人，第三组的人数为______人；(2)试判断a=3，b=2时是否符合题意．【答案】(1)32a+2b+7；32a+2b(2)不符合题意，理由见解析【分析】（1）由题意知，第二组的人数为(3a+4b+2)×12+6=32a+2b+7（人），第三组的人数为(3a+4b+2)+32a+2b+7×13−3=32a+2b（人），然后作答即可；（2）当a=3，b=2时，32a+2b=172，此时不为整数，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，第二组的人数为(3a+4b+2)×12+6=32a+2b+7（人），第三组的人数为(3a+4b+2)+32a+2b+7×13−3=32a+2b（人），故答案为：32a+2b+7；32a+2b；（2）解：当a=3，b=2时，32a+2b=172，此时不为整数，∴不符合题意．【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式12-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）某商店进100件某种商品，这种商品每件成本x元，原来按成本增加25%定价出售了35，现在由于库存积压减价，按原价的八折出售，商品最后全部卖出后的利润是 元．【答案】15x【分析】将每件成本乘25%可求每件的利润，再乘降价前销售数量可得降价前获得的利润；再求出降价后的利润，两者相加即可求出结果．【详解】解：依题意有：25%x×100×35+1+25%x×0.8−x×100×1−35=15x+0=15x故答案为：15x.【点睛】本题主要考查列代数式的能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．【变式12-3】（2023春·山东临沂·七年级校考期中）某船顺水航行了8小时，逆水航行了3小时，已知船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时．(1)轮船在顺水中比船在逆水中多航行了多少千米？(2)轮船共航行了多少千米？【答案】(1)2a+8b(2)8a+2b【分析】根据逆水速度=静水中的速度-水流速度，顺水速度=静水中的速度+水流速度，表示出逆水与顺水速度，（1）求出顺水路程与逆水路程之差即可；（2）求出顺水路程与逆水路程之和即可．【详解】（1）解：∵船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，∴轮船在顺水中速度为(a+b)千米/时，轮船在逆水中速度为(a−b)千米/时，又∵船顺水航行了8小时，逆水航行了3小时，∴5(a+b)−3(a−b)=5a+5b−3a+3b=2a+8b，答：轮船在顺水中比船在逆水中多航行了(2a+8b)千米；（2）解：∵船顺水航行了8小时，逆水航行了3小时，∴轮船共航行了5(a+b)+3(a−b)=5a+5b+3a−3b=8a+2b（千米），答：轮船共航行了(8a+2b)千米．【点睛】此题考查了整式加减的应用，弄清题意是解本题的关键．