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人教版七年级数学上册举一反三4.1认识立体图形、展开与折叠【八大题型】(举一反三)(学生版+解析)
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这是一份人教版七年级数学上册举一反三4.1认识立体图形、展开与折叠【八大题型】(举一反三)(学生版+解析)，共32页。
专题4.1 认识立体图形、展开与折叠【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc25634" 【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】 PAGEREF _Toc25634 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29901" 【题型2 动态认识点、线、面、体】 PAGEREF _Toc29901 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12085" 【题型3 立体图形的计算】 PAGEREF _Toc12085 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7218" 【题型4 几何体展开图的认识】 PAGEREF _Toc7218 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7248" 【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】 PAGEREF _Toc7248 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13219" 【题型6 正方体几种展开图的识别】 PAGEREF _Toc13219 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc8150" 【题型7 正方体相对两面上的字】 PAGEREF _Toc8150 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6445" 【题型8 含图案的正方体的展开图】 PAGEREF _Toc6445 \h 9【知识点1 立体图形的认识】1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.2.棱柱的有关概念及其特征:①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】【例1】（2023春·七年级单元测试）下列几何体中，与其他几个不同类的是（ ）A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·七年级单元测试）下列说法:①棱柱的侧面是长方形;②棱柱的侧面可能是三角形;③正方体的所有棱长都相等;④棱柱的所有侧棱长都相等.其中正确的有_____.(填序号)【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）用线把实物图与相应的几何图形连接起来． 【变式1-3】（2023春·山西晋城·七年级校考期末）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），填写下表中空缺的部分：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【知识点2 点、线、面、体的关系】①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体．③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．【题型2 动态认识点、线、面、体】【例2】（2023春·七年级单元测试）哥哥花瓶的表面可以看作由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到？用线连一连．【变式2-1】（2023·全国·七年级假期作业）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（ ）A．打开折扇 B．流星划过夜空 C．旋转门旋转 D．汽车雨刷转动【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）“笔尖在纸上快速滑动写出数字9”运用数学知识解释这一现象为（ ）A．点动成线 B．线动成面C．面动成体 D．面与面相交得线【变式2-3】（2023春·江苏·七年级专题练习）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象：(1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______；(2)自行车的辐条运动可解释为_____；(3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____；(4)打开折扇得到扇面可解释为_____；(5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____.【题型3 立体图形的计算】【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）直角三角形的两直角边分别为8cm、6cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（结果保留π）【变式3-1】（2023春·七年级单元测试）从棱长为2的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图的零件，求：(1)这个零件的表面积（包括底面）； (2)这个零件的体积．【变式3-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积为__cm3．（结果保留π）【变式3-3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是 （选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积．（V圆柱=πr2ℎ，V圆锥=13πr2ℎ，r为圆柱和圆锥底面半径，h为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【题型4 几何体展开图的认识】【例4】（2023•南开区七年级期末）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·江苏泰州·统考二模）下列图形中，为棱锥侧面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是某几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体【变式4-3】（2023春·七年级单元测试）如图，六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来（不考虑尺寸）． 【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】【例5】（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【变式5-1】（2023春·广东茂名·七年级信宜市第二中学校考期中）如图，是某几何体的表面展开图(1)指出这个几何体的名称；(2)求这个几何体的体积．(结果保留π)【变式5-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥（2）求该几何体的体积．【变式5-3】（2023·湖北黄冈·七年级专题练习）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的长方形，则其底面圆的面积为( )A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π【知识点3 正方体的平面展开图】正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种.正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知.【题型6 正方体几种展开图的识别】【例6】（2023·吉林长春·东北师大附中七年级期末）下列图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【变式6-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【题型7 正方体相对两面上的字】【例7】（2023春·广东茂名·七年级统考期末）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______． 【变式7-1】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“孝”字一面相对面上的字是（ ） A．和 B．谐 C．美 D．丽【变式7-2】（2023春·七年级单元测试）如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的正整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是20，23和24，求这六个正整数的和．【变式7-3】（2023春·七年级单元测试）请根据图中（1）（2）两图所示的数字，在图（3）的空格中应如何填数字． 【题型8 含图案的正方体的展开图】【例8】（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图所示，正方体的展开图为( ) B． C． D． 【变式8-1】（2023春·七年级单元测试）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（ ）A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC【变式8-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同_____． 专题4.1 认识立体图形、展开与折叠【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc22302" 【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】 PAGEREF _Toc22302 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12904" 【题型2 动态认识点、线、面、体】 PAGEREF _Toc12904 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc27993" 【题型3 立体图形的计算】 PAGEREF _Toc27993 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc19715" 【题型4 几何体展开图的认识】 PAGEREF _Toc19715 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc22462" 【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】 PAGEREF _Toc22462 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc26835" 【题型6 正方体几种展开图的识别】 PAGEREF _Toc26835 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc22132" 【题型7 正方体相对两面上的字】 PAGEREF _Toc22132 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc19682" 【题型8 含图案的正方体的展开图】 PAGEREF _Toc19682 \h 18【知识点1 立体图形的认识】1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.2.棱柱的有关概念及其特征:①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】【例1】（2023春·七年级单元测试）下列几何体中，与其他几个不同类的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据棱柱和圆柱的概念进行区分即可．【详解】A、B、D属于棱柱，C属于圆柱．故选：C．【点睛】本题考查几何体的概念，柱体分为棱柱和圆柱，棱柱所有的侧棱都相等，圆柱没有侧棱，解题的关键是弄清概念．【变式1-1】（2023春·七年级单元测试）下列说法:①棱柱的侧面是长方形;②棱柱的侧面可能是三角形;③正方体的所有棱长都相等;④棱柱的所有侧棱长都相等.其中正确的有_____.(填序号)【答案】③④【分析】要根据各种几何体的特点进行判断．【详解】①当棱柱是侧棱柱时,侧面是平行四边形,不一定是长方形,因是错误的;②棱柱的侧面是平行四边形,棱锥的侧面是三角形,所以是错误的;③正方体的所有棱长都相等,故是正确的;④无论是正棱柱与侧棱柱,侧棱长都相等,所以是正确的;故正确的序号是:③④.故答案为③④.【点睛】本题考查的知识点是认识立体图形，解题关键是准确掌握各种棱柱的特点．【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）用线把实物图与相应的几何图形连接起来． 【答案】见解析【分析】根据立体图形的相关概念连线即可．【详解】解：连线如图所示：． 【点睛】本题考查了立体图形的识别，解题关键是准确识别立体图形．【变式1-3】（2023春·山西晋城·七年级校考期末）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），填写下表中空缺的部分：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)表见解析，V+F−E=2(2)五(3)6【分析】（1）通过观察，发现棱数=顶点数+面数−2；（2）根据棱柱的定义进行解答即可；（3）由（1）得出的规律进行解答即可．【详解】（1）解：填表如下：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是V+F−E=2，故答案为：V+F−E=2；（2）解：∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面，∴有7−2=5个侧面，∴这个棱柱是五棱柱，故答案为：五；（3）解：由题意得：棱的总条数为8×32=12（条），由V+F−E=2可得8+F−12=2,解得：F=6，故该多面体的面数为6．【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．【知识点2 点、线、面、体的关系】①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体．③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．【题型2 动态认识点、线、面、体】【例2】（2023春·七年级单元测试）哥哥花瓶的表面可以看作由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到？用线连一连．【答案】见解析【分析】根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形即可．【详解】解：如图所示：【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体、认识几何体，根据平面图形的特点，判断出旋转后的结合体的形状是解题的关键．【变式2-1】（2023·全国·七年级假期作业）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（ ）A．打开折扇 B．流星划过夜空 C．旋转门旋转 D．汽车雨刷转动【答案】C【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；B、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；C、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项符合题意；D、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）“笔尖在纸上快速滑动写出数字9”运用数学知识解释这一现象为（ ）A．点动成线 B．线动成面C．面动成体 D．面与面相交得线【答案】A【分析】这一现象为：点动成线．【详解】解：笔尖在纸上快速滑动写出数字9，用数学知识解释为点动成线．故选A．【点睛】本题考查点，线，面，体之间的关系．熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体，是解题的关键．【变式2-3】（2023春·江苏·七年级专题练习）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象：(1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______；(2)自行车的辐条运动可解释为_____；(3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____；(4)打开折扇得到扇面可解释为_____；(5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____.【答案】(1)点动成线；(2)线动成面；(3)点动成线；(4)线动成面；(5)面动成体．【分析】根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可．【详解】（1）解：流行是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线；（2）解：自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面；（3）解：蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线；（4）解：折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面；（5）解：一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体.【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系．【题型3 立体图形的计算】【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）直角三角形的两直角边分别为8cm、6cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（结果保留π）【答案】96πcm3或128πcm3．【分析】分两种情况讨论：①以8cm的直角边为轴旋转；②以6cm的直角边为轴旋转，得到的几何体为圆锥，再利用圆锥的体积公式即可得到答案．【详解】解：①以8cm的直角边为轴旋转，得到的是一个底面半径为6cm，高为8cm的圆锥，体积是：13π×62×8=96πcm3，②以6cm的直角边为轴旋转，得到的是一个底面半径为8cm，高为6cm的圆锥，体积是：13π×82×6=128πcm3，答：绕它的一条直角边旋转一周，得到的几何体的体积是96πcm3或128πcm3．【点睛】本题考查了点、线、面、体，圆锥的体积公式，解题关键是理解点、线、面、体，熟记圆锥体积公式．【变式3-1】（2023春·七年级单元测试）从棱长为2的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图的零件，求：(1)这个零件的表面积（包括底面）； (2)这个零件的体积．【答案】（1）24；（2）7.【详解】试题分析：本题考查整体的思想及简单几何体表面积的计算能力．从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积等于原正方体表面积；这个零件的体积为原正方体的体积减去挖去的小正方体的体积．试题解析：解：（1）挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24，答：这个零件的表面积为24；（2）23﹣13=8﹣1=7．答：这个零件的体积为7．点睛：本题考查了几何体的表面积与体积，（1）可以有多种解决方法，一种是把每个面的面积计算出来然后相加，这样比较麻烦，另一种算法就是解答中的这种，这种方法的关键是能想象出得到的图形与原图形表面积相等．【变式3-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积为__cm3．（结果保留π）【答案】27π【详解】正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为底面半径为3，高为3的圆柱体，该圆柱体的体积为：π×32×3=27πcm3．故答案为：27π．【变式3-3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是 （选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积．（V圆柱=πr2ℎ，V圆锥=13πr2ℎ，r为圆柱和圆锥底面半径，h为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【答案】(1)③(2)39π【分析】（1）由四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形可知是面动成体；（2）分别求出圆柱体和圆锥体的体积，作差即可【详解】（1）∵四边形是平面图形，绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形∴是面动成体故选③（2）∵V圆柱=πr2ℎ=π×32×5=45πV圆锥=13πr2ℎ=13×π×32×2=6π∴V=V圆柱−V圆锥=45π−6π=39π【点睛】本题考查面动成体，圆柱和圆锥的体积公式，记忆理解公式是解题的关键【题型4 几何体展开图的认识】【例4】（2023•南开区七年级期末）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据长方体有六个面，以及Z字型进行判断即可．【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；C正确，故符合要求；D中展开图有5个面，不符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开图．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式4-1】（2023·江苏泰州·统考二模）下列图形中，为棱锥侧面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B【分析】由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．【详解】棱锥的侧面是三角形．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键．【变式4-2】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是某几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体【答案】C【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．【详解】解：由侧面是3个矩形，上下为2个三角形，可得该几何体为三棱柱．故选：C．【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．【变式4-3】（2023春·七年级单元测试）如图，六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来（不考虑尺寸）． 【答案】见解析【分析】根据立体图形的平面展开图求解即可．【详解】解：如图， 【点睛】本题考查立体图形的平面展开图，培养空间想象力是解题关键．【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】【例5】（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【答案】(1)长方体(2)22平方米(3)6立方米【分析】（1）根据几何体的展开图可知，该几何体为长方体；（2）求出各个面的面积，然后相加即可；（3）根据长方体体积公式求出体积即可．【详解】（1）解：该几何体展开图中六个面均为长方形，因此该几何体为长方体．（2）解：3×1×2+3×2×2+2×1×2=22（平方米），答：该几何体的表面积为22平方米．（3）解：3×2×1=6（平方米），答：该几何体的体积为6立方米．【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积和体积，解题的关键是熟记长方体的展开图．【变式5-1】（2023春·广东茂名·七年级信宜市第二中学校考期中）如图，是某几何体的表面展开图(1)指出这个几何体的名称；(2)求这个几何体的体积．(结果保留π)【答案】(1)圆柱体(2)4000πcm3【分析】（1）根据圆柱体的展开图解答；（2）求出圆柱的底面半径，然后利用圆柱的体积公式列式计算即可得解．【详解】（1）解：根据题意得∶这个几何体是圆柱体；（2）解：由图可知，圆柱的底面圆的半径是20÷2=10cm，体积=π×102×40=4000πcm3．【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是主要利用了圆柱体的展开图和体积公式．【变式5-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥（2）求该几何体的体积．【答案】（1）C；（2）4【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案．（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积=12×2×2=2；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积×高=2×2=4．【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．【变式5-3】（2023·湖北黄冈·七年级专题练习）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的长方形，则其底面圆的面积为( )A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π【答案】C【分析】分底面周长为4π和2π两种情况讨论，先求得底面半径，再根据圆的面积公式即可求解：【详解】解:①底面周长为4π时，半径为4π÷π÷2=2，底面圆的面积为π×22=4π；②底面周长为2π时，半径为2π÷π÷2=1，底面圆的面积为π×12=π．故选C．【点睛】本题考查了求圆柱展图的底面半径，分类讨论是解题的关键．【知识点3 正方体的平面展开图】正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种.正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知.【题型6 正方体几种展开图的识别】【例6】（2023·吉林长春·东北师大附中七年级期末）下列图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据正方体的展开图对本题进行判断即可．【详解】解：根据正方体的十一种展开图可知，B选项不能折成正方体，故选：B． 【点睛】本题主要考查的是正方体的展开图，熟记十一种模型规律，以及不能折叠的“凹”，“田”两种特殊形态是解题的关键．【变式6-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据正方体展开图直接判断即可得到答案；【详解】解：由图像可得，P，Q在相对的两面，且与相邻正方形顶点重合，故P，Q在同一条棱上，故选C；【点睛】本题考查正方体展开图，解题的关键是熟练掌握展开图的相对相邻面及相邻棱之间的关系．【变式6-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据正方体展开图的特征，由条件结合图形验证是否能拼成正方体，逐项判断即可得出结论．【详解】解：根据正方体的展开图的特征可知：A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，所以A选项正确；B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，所以B选项正确；C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，所以C选项不正确；D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，所以D选项正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的各种形式，是解题的关键．【变式6-3】（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】根据无盖正方体的棱的条数及展开图之间的棱计算即可得到答案．【详解】解：由题意可得，无盖正方体连接相邻面的棱：8条，展开图连接相邻面的棱：4条，8−4=4，∴要剪开4条棱，故选B．【点睛】本题考查正方体的棱及展开图棱的关系，解题的关键是根据图形得到两个棱的数量．【题型7 正方体相对两面上的字】【例7】（2023春·广东茂名·七年级统考期末）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______． 【答案】51【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值．【详解】解：根据题意得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，故答案为：51．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力．【变式7-1】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“孝”字一面相对面上的字是（ ） A．和 B．谐 C．美 D．丽【答案】D【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中有“和”字的一面相对面上的字是“义”，“孝”字的一面相对面上的字是“丽”，“谐”字的一面相对面上的字是“美”．故选：D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【变式7-2】（2023春·七年级单元测试）如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的正整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是20，23和24，求这六个正整数的和．【答案】135【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有两个是21，22，再根据已知数有23，24可知另一个数不可能是19，只能是25，然后求解即可．【详解】解：∵六个面上分别写着六个连续的整数，∴看不见的三个面上的数必定有21，22，若另一个面上数是19，则23与20是相对面，所以，另一面上的数是25，此时20与25相对，21与24相对，22与23相对，所以，这六个正整数的和为3×(20+25)=135．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，难点在于确定出看不见的三个面中有一个是25．【变式7-3】（2023春·七年级单元测试）请根据图中（1）（2）两图所示的数字，在图（3）的空格中应如何填数字． 【答案】见解析【分析】根据图（3）判断出4与9是相对面，根据（1）（2）判断出5、6是相对面，再根据图（2）8在前面时，6在上面，4在左面判断出7在4的左边，8在4的右边，然后填写即可．【详解】解：如图所示． 【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，难点在于判断出7、8的位置．【题型8 含图案的正方体的展开图】【例8】（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图所示，正方体的展开图为( ) B． C． D． 【答案】A【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【详解】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，“＜”与“等号”不是相对的面，故选项B不合题意；“当“圆圈”在前面时，“等号”在右面时，上面的“不等号”的方向与题意不一致，故选项C不合题意；“等号”方向与“圆圈”与题意不一致，故选项D不合题意；通过折叠可得，选项A符合题意．故选：A．【点睛】题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．【变式8-1】（2023春·七年级单元测试）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（ ）A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC【答案】C【分析】将原图复原找出对应边．【详解】解：在正方体中，阴影三角形面的对面为面ABCD，边a对应的边为边AD．故选：C．【点睛】本题考查几何体的展开图，解题关键是具备一定的空间想象力．【变式8-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）【答案】②③④【分析】根据正方体展开图的特点找出下底面和上底面，再根据涂有黑色漆的部分作出选择即可．【详解】解：正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，将它展开得到的表面展开图如下：则不是由正方体纸盒展开得到的表面展开图的是②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题关键．【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同_____．【答案】（2）（4）．【分析】首先确定每个图形的对面是谁，然后再找同一个基准图形，将其周围四个图案按照顺时针或逆时针的顺序排列，就会发现其不同，从而找到答案．【详解】解：∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是○；（2）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；（3）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；（4）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．∴两个完全相同的是（2）（4）．故答案为：（2）（4）．【点睛】本题考查立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列． 多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体4六面体86八面体812十二面体2030多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体4六面体86八面体812十二面体2030多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446六面体8612八面体6812十二面体201230
专题4.1 认识立体图形、展开与折叠【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc25634" 【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】 PAGEREF _Toc25634 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29901" 【题型2 动态认识点、线、面、体】 PAGEREF _Toc29901 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12085" 【题型3 立体图形的计算】 PAGEREF _Toc12085 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7218" 【题型4 几何体展开图的认识】 PAGEREF _Toc7218 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7248" 【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】 PAGEREF _Toc7248 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13219" 【题型6 正方体几种展开图的识别】 PAGEREF _Toc13219 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc8150" 【题型7 正方体相对两面上的字】 PAGEREF _Toc8150 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6445" 【题型8 含图案的正方体的展开图】 PAGEREF _Toc6445 \h 9【知识点1 立体图形的认识】1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.2.棱柱的有关概念及其特征:①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】【例1】（2023春·七年级单元测试）下列几何体中，与其他几个不同类的是（ ）A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·七年级单元测试）下列说法:①棱柱的侧面是长方形;②棱柱的侧面可能是三角形;③正方体的所有棱长都相等;④棱柱的所有侧棱长都相等.其中正确的有_____.(填序号)【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）用线把实物图与相应的几何图形连接起来． 【变式1-3】（2023春·山西晋城·七年级校考期末）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），填写下表中空缺的部分：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【知识点2 点、线、面、体的关系】①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体．③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．【题型2 动态认识点、线、面、体】【例2】（2023春·七年级单元测试）哥哥花瓶的表面可以看作由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到？用线连一连．【变式2-1】（2023·全国·七年级假期作业）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（ ）A．打开折扇 B．流星划过夜空 C．旋转门旋转 D．汽车雨刷转动【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）“笔尖在纸上快速滑动写出数字9”运用数学知识解释这一现象为（ ）A．点动成线 B．线动成面C．面动成体 D．面与面相交得线【变式2-3】（2023春·江苏·七年级专题练习）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象：(1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______；(2)自行车的辐条运动可解释为_____；(3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____；(4)打开折扇得到扇面可解释为_____；(5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____.【题型3 立体图形的计算】【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）直角三角形的两直角边分别为8cm、6cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（结果保留π）【变式3-1】（2023春·七年级单元测试）从棱长为2的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图的零件，求：(1)这个零件的表面积（包括底面）； (2)这个零件的体积．【变式3-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积为__cm3．（结果保留π）【变式3-3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是 （选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积．（V圆柱=πr2ℎ，V圆锥=13πr2ℎ，r为圆柱和圆锥底面半径，h为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【题型4 几何体展开图的认识】【例4】（2023•南开区七年级期末）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·江苏泰州·统考二模）下列图形中，为棱锥侧面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是某几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体【变式4-3】（2023春·七年级单元测试）如图，六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来（不考虑尺寸）． 【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】【例5】（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【变式5-1】（2023春·广东茂名·七年级信宜市第二中学校考期中）如图，是某几何体的表面展开图(1)指出这个几何体的名称；(2)求这个几何体的体积．(结果保留π)【变式5-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥（2）求该几何体的体积．【变式5-3】（2023·湖北黄冈·七年级专题练习）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的长方形，则其底面圆的面积为( )A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π【知识点3 正方体的平面展开图】正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种.正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知.【题型6 正方体几种展开图的识别】【例6】（2023·吉林长春·东北师大附中七年级期末）下列图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【变式6-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【题型7 正方体相对两面上的字】【例7】（2023春·广东茂名·七年级统考期末）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______． 【变式7-1】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“孝”字一面相对面上的字是（ ） A．和 B．谐 C．美 D．丽【变式7-2】（2023春·七年级单元测试）如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的正整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是20，23和24，求这六个正整数的和．【变式7-3】（2023春·七年级单元测试）请根据图中（1）（2）两图所示的数字，在图（3）的空格中应如何填数字． 【题型8 含图案的正方体的展开图】【例8】（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图所示，正方体的展开图为( ) B． C． D． 【变式8-1】（2023春·七年级单元测试）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（ ）A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC【变式8-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同_____． 专题4.1 认识立体图形、展开与折叠【八大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc22302" 【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】 PAGEREF _Toc22302 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12904" 【题型2 动态认识点、线、面、体】 PAGEREF _Toc12904 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc27993" 【题型3 立体图形的计算】 PAGEREF _Toc27993 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc19715" 【题型4 几何体展开图的认识】 PAGEREF _Toc19715 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc22462" 【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】 PAGEREF _Toc22462 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc26835" 【题型6 正方体几种展开图的识别】 PAGEREF _Toc26835 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc22132" 【题型7 正方体相对两面上的字】 PAGEREF _Toc22132 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc19682" 【题型8 含图案的正方体的展开图】 PAGEREF _Toc19682 \h 18【知识点1 立体图形的认识】1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.2.棱柱的有关概念及其特征:①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.【题型1 几何体的识别、立体图形的分类】【例1】（2023春·七年级单元测试）下列几何体中，与其他几个不同类的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据棱柱和圆柱的概念进行区分即可．【详解】A、B、D属于棱柱，C属于圆柱．故选：C．【点睛】本题考查几何体的概念，柱体分为棱柱和圆柱，棱柱所有的侧棱都相等，圆柱没有侧棱，解题的关键是弄清概念．【变式1-1】（2023春·七年级单元测试）下列说法:①棱柱的侧面是长方形;②棱柱的侧面可能是三角形;③正方体的所有棱长都相等;④棱柱的所有侧棱长都相等.其中正确的有_____.(填序号)【答案】③④【分析】要根据各种几何体的特点进行判断．【详解】①当棱柱是侧棱柱时,侧面是平行四边形,不一定是长方形,因是错误的;②棱柱的侧面是平行四边形,棱锥的侧面是三角形,所以是错误的;③正方体的所有棱长都相等,故是正确的;④无论是正棱柱与侧棱柱,侧棱长都相等,所以是正确的;故正确的序号是:③④.故答案为③④.【点睛】本题考查的知识点是认识立体图形，解题关键是准确掌握各种棱柱的特点．【变式1-2】（2023春·七年级单元测试）用线把实物图与相应的几何图形连接起来． 【答案】见解析【分析】根据立体图形的相关概念连线即可．【详解】解：连线如图所示：． 【点睛】本题考查了立体图形的识别，解题关键是准确识别立体图形．【变式1-3】（2023春·山西晋城·七年级校考期末）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），填写下表中空缺的部分：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)表见解析，V+F−E=2(2)五(3)6【分析】（1）通过观察，发现棱数=顶点数+面数−2；（2）根据棱柱的定义进行解答即可；（3）由（1）得出的规律进行解答即可．【详解】（1）解：填表如下：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是V+F−E=2，故答案为：V+F−E=2；（2）解：∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面，∴有7−2=5个侧面，∴这个棱柱是五棱柱，故答案为：五；（3）解：由题意得：棱的总条数为8×32=12（条），由V+F−E=2可得8+F−12=2,解得：F=6，故该多面体的面数为6．【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．【知识点2 点、线、面、体的关系】①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体．③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．【题型2 动态认识点、线、面、体】【例2】（2023春·七年级单元测试）哥哥花瓶的表面可以看作由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到？用线连一连．【答案】见解析【分析】根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形即可．【详解】解：如图所示：【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体、认识几何体，根据平面图形的特点，判断出旋转后的结合体的形状是解题的关键．【变式2-1】（2023·全国·七年级假期作业）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（ ）A．打开折扇 B．流星划过夜空 C．旋转门旋转 D．汽车雨刷转动【答案】C【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；B、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；C、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项符合题意；D、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）“笔尖在纸上快速滑动写出数字9”运用数学知识解释这一现象为（ ）A．点动成线 B．线动成面C．面动成体 D．面与面相交得线【答案】A【分析】这一现象为：点动成线．【详解】解：笔尖在纸上快速滑动写出数字9，用数学知识解释为点动成线．故选A．【点睛】本题考查点，线，面，体之间的关系．熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体，是解题的关键．【变式2-3】（2023春·江苏·七年级专题练习）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象：(1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______；(2)自行车的辐条运动可解释为_____；(3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____；(4)打开折扇得到扇面可解释为_____；(5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____.【答案】(1)点动成线；(2)线动成面；(3)点动成线；(4)线动成面；(5)面动成体．【分析】根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可．【详解】（1）解：流行是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线；（2）解：自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面；（3）解：蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线；（4）解：折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面；（5）解：一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体.【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系．【题型3 立体图形的计算】【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）直角三角形的两直角边分别为8cm、6cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（结果保留π）【答案】96πcm3或128πcm3．【分析】分两种情况讨论：①以8cm的直角边为轴旋转；②以6cm的直角边为轴旋转，得到的几何体为圆锥，再利用圆锥的体积公式即可得到答案．【详解】解：①以8cm的直角边为轴旋转，得到的是一个底面半径为6cm，高为8cm的圆锥，体积是：13π×62×8=96πcm3，②以6cm的直角边为轴旋转，得到的是一个底面半径为8cm，高为6cm的圆锥，体积是：13π×82×6=128πcm3，答：绕它的一条直角边旋转一周，得到的几何体的体积是96πcm3或128πcm3．【点睛】本题考查了点、线、面、体，圆锥的体积公式，解题关键是理解点、线、面、体，熟记圆锥体积公式．【变式3-1】（2023春·七年级单元测试）从棱长为2的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图的零件，求：(1)这个零件的表面积（包括底面）； (2)这个零件的体积．【答案】（1）24；（2）7.【详解】试题分析：本题考查整体的思想及简单几何体表面积的计算能力．从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积等于原正方体表面积；这个零件的体积为原正方体的体积减去挖去的小正方体的体积．试题解析：解：（1）挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24，答：这个零件的表面积为24；（2）23﹣13=8﹣1=7．答：这个零件的体积为7．点睛：本题考查了几何体的表面积与体积，（1）可以有多种解决方法，一种是把每个面的面积计算出来然后相加，这样比较麻烦，另一种算法就是解答中的这种，这种方法的关键是能想象出得到的图形与原图形表面积相等．【变式3-2】（2023·全国·七年级假期作业）如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积为__cm3．（结果保留π）【答案】27π【详解】正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为底面半径为3，高为3的圆柱体，该圆柱体的体积为：π×32×3=27πcm3．故答案为：27π．【变式3-3】（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是 （选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积．（V圆柱=πr2ℎ，V圆锥=13πr2ℎ，r为圆柱和圆锥底面半径，h为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【答案】(1)③(2)39π【分析】（1）由四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形可知是面动成体；（2）分别求出圆柱体和圆锥体的体积，作差即可【详解】（1）∵四边形是平面图形，绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形∴是面动成体故选③（2）∵V圆柱=πr2ℎ=π×32×5=45πV圆锥=13πr2ℎ=13×π×32×2=6π∴V=V圆柱−V圆锥=45π−6π=39π【点睛】本题考查面动成体，圆柱和圆锥的体积公式，记忆理解公式是解题的关键【题型4 几何体展开图的认识】【例4】（2023•南开区七年级期末）下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据长方体有六个面，以及Z字型进行判断即可．【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；C正确，故符合要求；D中展开图有5个面，不符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开图．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式4-1】（2023·江苏泰州·统考二模）下列图形中，为棱锥侧面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B【分析】由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．【详解】棱锥的侧面是三角形．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键．【变式4-2】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是某几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体【答案】C【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答．【详解】解：由侧面是3个矩形，上下为2个三角形，可得该几何体为三棱柱．故选：C．【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．【变式4-3】（2023春·七年级单元测试）如图，六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来（不考虑尺寸）． 【答案】见解析【分析】根据立体图形的平面展开图求解即可．【详解】解：如图， 【点睛】本题考查立体图形的平面展开图，培养空间想象力是解题关键．【题型5 由展开图计算几何体的面积或体积】【例5】（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【答案】(1)长方体(2)22平方米(3)6立方米【分析】（1）根据几何体的展开图可知，该几何体为长方体；（2）求出各个面的面积，然后相加即可；（3）根据长方体体积公式求出体积即可．【详解】（1）解：该几何体展开图中六个面均为长方形，因此该几何体为长方体．（2）解：3×1×2+3×2×2+2×1×2=22（平方米），答：该几何体的表面积为22平方米．（3）解：3×2×1=6（平方米），答：该几何体的体积为6立方米．【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积和体积，解题的关键是熟记长方体的展开图．【变式5-1】（2023春·广东茂名·七年级信宜市第二中学校考期中）如图，是某几何体的表面展开图(1)指出这个几何体的名称；(2)求这个几何体的体积．(结果保留π)【答案】(1)圆柱体(2)4000πcm3【分析】（1）根据圆柱体的展开图解答；（2）求出圆柱的底面半径，然后利用圆柱的体积公式列式计算即可得解．【详解】（1）解：根据题意得∶这个几何体是圆柱体；（2）解：由图可知，圆柱的底面圆的半径是20÷2=10cm，体积=π×102×40=4000πcm3．【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是主要利用了圆柱体的展开图和体积公式．【变式5-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥（2）求该几何体的体积．【答案】（1）C；（2）4【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案．（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积=12×2×2=2；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积×高=2×2=4．【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．【变式5-3】（2023·湖北黄冈·七年级专题练习）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的长方形，则其底面圆的面积为( )A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π【答案】C【分析】分底面周长为4π和2π两种情况讨论，先求得底面半径，再根据圆的面积公式即可求解：【详解】解:①底面周长为4π时，半径为4π÷π÷2=2，底面圆的面积为π×22=4π；②底面周长为2π时，半径为2π÷π÷2=1，底面圆的面积为π×12=π．故选C．【点睛】本题考查了求圆柱展图的底面半径，分类讨论是解题的关键．【知识点3 正方体的平面展开图】正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种.正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知.【题型6 正方体几种展开图的识别】【例6】（2023·吉林长春·东北师大附中七年级期末）下列图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ）A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据正方体的展开图对本题进行判断即可．【详解】解：根据正方体的十一种展开图可知，B选项不能折成正方体，故选：B． 【点睛】本题主要考查的是正方体的展开图，熟记十一种模型规律，以及不能折叠的“凹”，“田”两种特殊形态是解题的关键．【变式6-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，点P，Q是一正方体展开图上的两个顶点，则顶点P，Q在正方体上的位置标记正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据正方体展开图直接判断即可得到答案；【详解】解：由图像可得，P，Q在相对的两面，且与相邻正方形顶点重合，故P，Q在同一条棱上，故选C；【点睛】本题考查正方体展开图，解题的关键是熟练掌握展开图的相对相邻面及相邻棱之间的关系．【变式6-2】（2023·江苏南京·统考二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据正方体展开图的特征，由条件结合图形验证是否能拼成正方体，逐项判断即可得出结论．【详解】解：根据正方体的展开图的特征可知：A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，所以A选项正确；B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，所以B选项正确；C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，所以C选项不正确；D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，所以D选项正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的各种形式，是解题的关键．【变式6-3】（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】根据无盖正方体的棱的条数及展开图之间的棱计算即可得到答案．【详解】解：由题意可得，无盖正方体连接相邻面的棱：8条，展开图连接相邻面的棱：4条，8−4=4，∴要剪开4条棱，故选B．【点睛】本题考查正方体的棱及展开图棱的关系，解题的关键是根据图形得到两个棱的数量．【题型7 正方体相对两面上的字】【例7】（2023春·广东茂名·七年级统考期末）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是_______． 【答案】51【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值．【详解】解：根据题意得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，故答案为：51．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力．【变式7-1】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“孝”字一面相对面上的字是（ ） A．和 B．谐 C．美 D．丽【答案】D【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中有“和”字的一面相对面上的字是“义”，“孝”字的一面相对面上的字是“丽”，“谐”字的一面相对面上的字是“美”．故选：D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【变式7-2】（2023春·七年级单元测试）如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的正整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是20，23和24，求这六个正整数的和．【答案】135【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有两个是21，22，再根据已知数有23，24可知另一个数不可能是19，只能是25，然后求解即可．【详解】解：∵六个面上分别写着六个连续的整数，∴看不见的三个面上的数必定有21，22，若另一个面上数是19，则23与20是相对面，所以，另一面上的数是25，此时20与25相对，21与24相对，22与23相对，所以，这六个正整数的和为3×(20+25)=135．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，难点在于确定出看不见的三个面中有一个是25．【变式7-3】（2023春·七年级单元测试）请根据图中（1）（2）两图所示的数字，在图（3）的空格中应如何填数字． 【答案】见解析【分析】根据图（3）判断出4与9是相对面，根据（1）（2）判断出5、6是相对面，再根据图（2）8在前面时，6在上面，4在左面判断出7在4的左边，8在4的右边，然后填写即可．【详解】解：如图所示． 【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，难点在于判断出7、8的位置．【题型8 含图案的正方体的展开图】【例8】（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图所示，正方体的展开图为( ) B． C． D． 【答案】A【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【详解】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，“＜”与“等号”不是相对的面，故选项B不合题意；“当“圆圈”在前面时，“等号”在右面时，上面的“不等号”的方向与题意不一致，故选项C不合题意；“等号”方向与“圆圈”与题意不一致，故选项D不合题意；通过折叠可得，选项A符合题意．故选：A．【点睛】题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．【变式8-1】（2023春·七年级单元测试）将一个小正方体按图中所示的方式展开，则在展开图中表示棱a的线段可以是（ ）A．线段CD B．线段EF C．线段AD D．线段BC【答案】C【分析】将原图复原找出对应边．【详解】解：在正方体中，阴影三角形面的对面为面ABCD，边a对应的边为边AD．故选：C．【点睛】本题考查几何体的展开图，解题关键是具备一定的空间想象力．【变式8-2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）【答案】②③④【分析】根据正方体展开图的特点找出下底面和上底面，再根据涂有黑色漆的部分作出选择即可．【详解】解：正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，将它展开得到的表面展开图如下：则不是由正方体纸盒展开得到的表面展开图的是②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题关键．【变式8-3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同_____．【答案】（2）（4）．【分析】首先确定每个图形的对面是谁，然后再找同一个基准图形，将其周围四个图案按照顺时针或逆时针的顺序排列，就会发现其不同，从而找到答案．【详解】解：∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是○；（2）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；（3）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；（4）菱形对面是×，○对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．∴两个完全相同的是（2）（4）．故答案为：（2）（4）．【点睛】本题考查立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列． 多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体4六面体86八面体812十二面体2030多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体4六面体86八面体812十二面体2030多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446六面体8612八面体6812十二面体201230
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