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新高考物理一轮复习讲义 第8章 第2讲 电场能的性质
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这是一份新高考物理一轮复习讲义 第8章 第2讲 电场能的性质，共20页。
考点一 描述电场能的性质的物理量
基础回扣
1．静电力做功的特点
静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝eq \f(Ep,q).
(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
技巧点拨
1．求电场力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据电场力做功：电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq \f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
电场力做功与电势能的关系
例1 (多选)如图1所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知eq \x\t(MQ)图1
A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少
B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能增加
C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少
D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服电场力做的功等于电场力对该电荷所做的正功，电势能不变
答案 AD
解析 由正点电荷形成的电场可知，把一正的点电荷从M点移到N点，电场力对该电荷做正功，电势能减少，A选项正确，B选项错误；若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，电场力对该电荷做负功，电势能增加，C选项错误；电场力做功的特点是只与电荷所处的始、末位置有关，而与其通过的路径无关，两过程电荷克服电场力做功等于电场力对该电荷所做的正功，D选项正确．
电势能与电势的关系
例2 (多选)(2020·全国卷Ⅲ·21)如图2，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点．下列说法正确的是( )
图2
A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
答案 BC
解析 该点电荷形成的电场过M、N两点的等势面如图所示．距P越近，电场强度越大，沿MN边，从M点到N点，与P点的距离先变小后变大，电场强度先增大后减小，故A错误；沿电场线方向电势降低，沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小，故B正确；由图可知，M点电势高于N点电势，根据Ep＝qφ知，正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能，故C正确；将正电荷从M点移动到N点，即从高电势移动到低电势，电场力所做的总功为正，故D错误．
标量求和法比较电势的高低
例3 (多选)(2020·湖北随州市3月调研)如图3所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场中运动，下列说法正确的是( )
图3
A．试探电荷在D点的电势小于在A点的电势
B．试探电荷在D点的电势小于在C点的电势
C．试探电荷仅在电场力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大
D．直线BD所在的水平面一定为一等势面
答案 AD
解析 取无穷远处为零电势点，A点在两个正电荷电场中电势为2φ1，在两个负电荷电场中电势为－2φ2，因φ1>φ2，故A点的电势为(2φ1－2φ2)>0；同理C点的电势为(－2φ1＋2φ2)<0.D点在左上正电荷、左下负电荷的电场中电势为0，同理，在右上正电荷、右下负电荷的电场中电势也为0，故D点电势为零，φA>φD，φD>φC，A正确，B错误．由场强叠加原理可知，A、C两点的场强相同，故试探电荷在这两点的加速度也相同，所以试探电荷仅在电场力作用下从A点沿AC运动到C点，加速度并不是一直增大，故C错误；B、D所在的水平面上任意一点的场强方向均竖直向下，故在这个水平面内移动电荷时，电场力不做功，所以此面一定为等势面，故D正确．
1．(点电荷电场中的功能关系)如图4所示为某一带正电的点电荷产生的电场中的一条电场线．A、B、C、D为该电场线上的点，相邻两点间距相等，电场线方向由
A指向D.一个带正电的粒子从A点由静止释放，运动到B点时的动能为Ek，仅考虑电场力的作用，则( )
图4
A．从A点到D点，电势先升高后降低
B．粒子一直做匀加速运动
C．粒子在BC段电势能的减少量大于在CD段电势能的减少量
D．粒子运动到D点时动能等于3Ek
答案 C
解析 因为该电场线为一带正电的点电荷产生的，根据电场线的特点可知该正电荷在A点的左侧，沿着电场线方向电势降低，即从A点到D点电势降低，选项A错误；由正点电荷的电场线特点可知，从A到D电场强度越来越小，粒子加速度越来越小，可知粒子做加速度减小的加速运动，选项B错误；由题图可知BC段靠近场源电荷，而电场线密集的地方，电势降低较快，故BC段的电势差大于CD段的电势差，根据电场力做功W＝qU，故BC段电场力做的正功更多，则粒子在BC段电势能的减少量大于在CD段电势能的减少量，选项C正确；若该电场是匀强电场，从A到B，根据动能定理有qU＝Ek，从A到D，根据动能定理有3qU＝EkD，联立得EkD＝3Ek，而该电场是非匀强电场，从A到D距离相等的两点间的电势差越来越小，故粒子运动到D点时动能小于3Ek，选项D错误．
2．(两点电荷电场中的电势能、电势)(多选)(2020·山东卷·10)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图5所示．以下说法正确的是( )
图5
A．a点电势低于O点
B．b点电势低于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
答案 BD
解析 作出两个固定点电荷分别在O点附近的电场线，由题意知，O点的场强EO＝0，则两点电荷分别在O点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O点左侧的电场方向向右，O点右侧的电场方向向左．可以判定：a点电势高于O点，b点电势低于c点，故A错误，B正确；由Ep＝φq可知，a点的电势高于b点，试探电荷(带负电)在a点的电势能比b点小，故C错误；c点电势高于d点，试探电荷(带负电)在c点的电势能小于d点，故D正确．
考点二 电场线、等势面及运动轨迹问题
基础回扣
1．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
2．几种常见等势面的比较
技巧点拨
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
2．判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向．
若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或切线)共线；
若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
已知电场线和轨迹
例4 (2020·黑龙江哈尔滨三中上学期第三次调研)如图6所示，实线表示某电场的电场线，虚线表示一带正电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设A和B点的电势分别为φA和φB，粒子在A、B两点加速度大小分别为aA和aB，速度大小为vA和vB，电势能分别为EpA和EpB，下列判断正确的是( )
图6
A．vAB．aAC．φA<φB
D．EpA>EpB
答案 C
解析 带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，粒子从A到B过程，电场力方向与速度方向成钝角，电场力做负功，动能减小，速度减小，电势能增加，故带电粒子通过A点时的速度比通过B点时的速度大，即vA>vB，EpAEB，根据F＝Eq和牛顿第二定律可知，aA>aB，选项B错误；根据沿着电场线方向，电势逐渐降低，故φA<φB，选项C正确．
已知等势线和轨迹
例5 (2020·黑龙江省实验中学高三下学期开学考试)如图7所示，虚线是某静电场的一簇等势线，边上标有电势的值，一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C，下列判断正确的是( )
图7
A．粒子一定带负电
B．A处场强大于C处场强
C．粒子在A处电势能大于在C处电势能
D．粒子从A到B电场力所做的功大于从B到C电场力所做的功
答案 B
解析 根据电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向左，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带正电，A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，A处场强大于C处场强，B正确；粒子从A点运动到C点，电场力方向与速度方向的夹角为钝角，电场力做负功，电势能增大，C错误；由于电势差相同，根据W＝Uq知，电场力做功相同，D错误．
3．(未标明电场线方向)(2019·广东揭阳市下学期第二次模拟)如图8所示，实线MN是某匀强电场中的一条电场线．一带正电粒子射入电场后，仅在电场力作用下沿虚线ABC运动．下列说法中正确的是( )
图8
A．粒子在A点的加速度比在C点的加速度大
B．粒子在A点的电势能比在C点的电势能小
C．M、N两点的电势：φM>φN
D．电场线的方向水平向右
答案 B
解析 由于电场为匀强电场，可得到粒子在A点的加速度与C点的加速度大小相等，故A错误；由题图可知，粒子在B点所受电场力方向向左，又因为粒子带正电，故电场线方向向左，由沿着电场线方向电势降低，则φN>φM，故带正电粒子从A点到C点电场力做负功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能比在C点的电势能小，故B正确，C、D错误．
4．(已知等势线和轨迹)(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图9中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若粒子只受电场力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是( )
图9
A．带正电
B．速度先增大后减小
C．电势能先增大后减小
D．经过b点和d点时的速度大小相同
答案 CD
解析 根据粒子的运动轨迹及等势面分布可知，粒子带负电，选项A错误；粒子从a到c再到e的过程中电场力先做负功后做正功，速度先减小后增大，电势能先增大后减小，选项B错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，所以粒子在b、d两点的电势能相同，所以粒子经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确．
考点三 电势差与电场强度的关系
基础回扣
1．电势差
(1)定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差．
(2)定义式：UAB＝eq \f(WAB,q).
2．电势差与电势的关系
UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
3．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离．
(2)沿电场方向电势降落得最快．
技巧点拨
1．由E＝eq \f(U,d)可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图10甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
图10
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路
匀强电场中电场强度和电势差的关系
例6 (2019·河北唐山市一模)如图11所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面．将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV.电场强度大小为( )
图11
A．200 V/m B．300 V/m
C．200eq \r(3) V/m D．400 V/m
答案 D
解析 电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV，则UAB＝eq \f(WAB,－e)＝eq \f(4 eV,－e)＝－4 V；电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV，UAC＝eq \f(WAC,－e)＝eq \f(2 eV,－e)＝－2 V；设AB的中点为D，则C、D两点电势相等，CD为等势线，电场方向沿BA方向，则E＝eq \f(UBA,BA)＝eq \f(4,0.01) V/m＝400 V/m，选项D正确．
非匀强电场中电场强度和电势差的关系
例7 图12为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是( )
图12
A．a是直流高压电源的正极
B．电场中P点的场强小于M点的场强
C．电场中M点的电势低于N点的电势
D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN
答案 C
解析 带负电的尘埃向集尘极迁移，说明集尘极接直流高压电源的正极，a是直流高压电源的负极，选项A错误；从放电极到集尘极的电场，因P点离放电极较近，P点的电场线比M点的电场线密，所以电场中P点的场强大于M点的场强，选项B错误；由于集尘极带正电，电势高，而沿着电场线方向电势逐渐降低，所以电场中M点的电势低于N点的电势，选项C正确；放电极与集尘极之间的电场是非匀强电场，故P、M间的电势差UPM不等于M、N间的电势差UMN，选项D错误．
5．(匀强电场中电场强度和电势差的关系)如图13所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离为2 cm，A点和P点间距离为1.5 cm，则该电场的电场强度E和电势φP分别为( )
图13
A．500 V/m，－2.5 V
B.eq \f(1 000\r(3),3) V/m，－2.5 V
C．500 V/m,2.5 V
D.eq \f(1 000\r(3),3) V/m,2.5 V
答案 B
解析 根据E＝eq \f(U,d)得E＝eq \f(UBA,dBA)＝eq \f(10,2×10－2×sin 60°) V/m＝eq \f(1 000\r(3),3) V/m.UAB＝－UBA＝－10 V，eq \f(UAP,UAB)＝eq \f(AP,AB)＝eq \f(3,4)，得UAP＝－7.5 V，φP＝φA－UAP＝－10 V－(－7.5 V)＝－2.5 V，故B正确．
6．(等势面未知求电场强度)(多选)(2017·全国卷Ⅲ·21)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图14所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是( )
图14
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，
设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则eq \f(ad,dc)＝eq \f(10－17,17－26)＝eq \f(7,9)，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝eq \f(U,d)＝eq \f(26－17 V,3.6 cm)＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确．
课时精练
1.(多选)(2019·吉林长春市模拟)在正点电荷Q形成的电场中，有M、N两点，如图1所示．以下说法正确的是( )
图1
A．M点的场强大于N点的场强
B．M点的电势大于N点的电势
C．将一正点电荷分别放在M点和N点，则该电荷在M点电势能大
D．将一负点电荷分别放在M点和N点，则该电荷在M点电势能大
答案 ABC
解析 根据点电荷产生的电场强度E＝keq \f(Q,r2)，M点距离点电荷较近，所以M点的场强大于N点的场强，故A正确；正电荷产生的电场中电场线向外辐射，沿电场线方向电势降低，所以M点的电势大于N点的电势，故B正确；正电荷在高电势处电势能大，负电荷在高电势处电势能小，故C正确，D错误．
2.(多选)(2020·吉林长春高三一模)如图2所示，一细圆环上均匀分布着负电荷，x轴垂直于环面且过环心O，下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是( )
图2
A．O点的电场强度最大，电势最低
B．O点的电场强度为零，电势最低
C．从O点沿x轴正方向，电场强度一直减小，电势升高
D．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小，电势升高
答案 BD
解析 将圆环等分成若干微小段，每一小段和与它关于O点对称的一小段在O点产生的电场的电场强度总是大小相等、方向相反，矢量和为零，即圆环最终在O点产生电场强度的总矢量和为零；因为圆环带负电，因此每一小段和与它关于O点对称的一小段在O点的左右两侧，产生大小相等、方向分别指向各小段与x轴成相等角度的电场，电场强度的矢量和沿着x轴指向O点，各段叠加后总矢量和仍然沿着x轴，指向O点，根据沿着电场线方向电势逐渐降低的规律可知，O点的电势最低，故A错误，B正确；当从O点沿x轴正方向，趋于无穷远时，电场强度也为零，因此从O点沿x轴正方向，电场强度先变大，后变小，电势升高，故C错误，D正确．
3.(八省联考·广东·4)如图3所示，在某静电除尘器产生的电场中，带等量负电荷的两颗微粒只受电场力作用，分别从p点沿虚线pm、pn运动，被吸附到金属圆筒上．下列说法正确的是( )
图3
A．p点的电势高于n点的电势
B．微粒在p点的电势能小于在m点的电势能
C．微粒从p到n的动能变化量大于从p到m的动能变化量
D．微粒从p到n的电势能变化量等于从p到m的电势能变化量
答案 D
解析 沿着电场线，电势逐渐降低，则有φn>φp，故A错误；负电荷从p运动到m的过程中，电场力做正功，电势能减小，有Epp>Epm，故B错误；两微粒从p到n和从p到m的过程中，均只受电场力而做正功，由动能定理有qU＝ΔEk，因Upn＝Upm，电荷量q相等，所以两微粒的动能变化量相等，C错误；由于W＝ΔEp，电场力做正功相等，所以微粒从p到n和从p到m电势能的变化量相等，D正确．
4.(2019·山西模拟)如图4中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一个带正电的点电荷．一个带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点，则该粒子( )
图4
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化等于由b点到c点的动能变化
答案 C
5.如图5所示，A、B两点是粒子在匀强电场中运动时经过的两个点，平行直线表示电场线，但方向未知，整个过程中只有电场力做功．已知粒子在A点的动能比B点大，则下列说法中正确的是( )
图5
A．无论粒子是从A点到B点，还是从B点到A点，电场力均做负功
B．电场线方向从右向左
C．粒子的运动轨迹若为1，则粒子一定带负电
D．无论粒子是带正电还是负电，均不可能沿轨迹2运动
答案 D
解析 由于粒子在A点的动能比B点大，结合电场线与轨迹形状(质点做曲线运动时合力必指向凹侧)进行分析，若粒子沿轨迹1运动时，则在任意位置时粒子所受到的电场力一定水平向左，若粒子从A点到B点，则电场力做负功，从B点到A点，则电场力做正功，由此可知，A错误；此时若粒子带正电，电场方向一定向左，且由A点向B点运动，若粒子带负电，电场方向一定向右，且由B点向A点运动，均满足粒子在A点的动能比B点大．若粒子沿轨迹2运动，则在任意位置时粒子所受到的电场力一定水平向右，同理可判断此情况下粒子在A点的动能一定比B点的小，不符合题意，即符合题意的粒子一定沿轨迹1运动，由此可知B、C错误，D正确．
6．(2020·浙江7月选考·8)空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图6所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则( )
图6
A．e点的电势大于0
B．a点和b点的电场强度相同
C．b点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加
答案 D
解析 由题图可知，P、Q处固定等量异种电荷，则两电荷连线中垂线为等势线且电势为0，e在该等势线上，故e点电势为0，故A错误；a、b两点电场强度大小相等，但方向不同，故B错误；Q处固定正电荷，则P处固定负电荷，所以φb>0，φd<0，故b点电势高于d点电势，故C错误；负电荷从a到c，电势降低，由Ep＝qφ知，电势能增加，故D正确．
7.(多选)(2021·吉林高三月考)如图7所示，等量异种点电荷固定放置，O是两电荷连线的中点，以O为圆心，在垂直于两电荷连线的平面内作圆，A、B是圆上两点，且AB连线不过圆心O，则下列说法正确的是( )
图7
A．A、B两点的电场强度不同
B．A点的电势比B点的电势高
C．将一个电荷沿圆弧从A点移到B点，电场力不做功
D．将一个电荷沿直线从A点移到B点，电荷受到的电场力先增大后减小
答案 CD
解析 根据等量异种点电荷的场强分布可知，A、B两点的电场强度大小和方向均相同，选项A错误；因A、B所在的圆面电势均为零，则A点的电势等于B点的电势，若将一个电荷沿圆弧从A点移到B点，电势能的变化为零，则电场力不做功，选项B错误，C正确；因在此圆面上离O点越近的位置场强越大，则将一个电荷沿直线从A点移到B点，电荷与O点的距离先减小后增加，则受到的电场力先增大后减小，选项D正确．
8．(八省联考·湖南·3)如图8，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的A、B两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线的中点．细管与A、B连线及中垂线交点分别为C、E、D、F.一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做完整的圆周运动．不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
图8
A．小球从C运动到D的过程中，速度先减小后增大
B．在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低
C．小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能
D．小球在D、F两点所受的电场力相同
答案 C
解析 由两正点电荷电场线的分布特点知(如图所示)，φC＝φE>φD＝φF，B错误；因φC＝φE，故小球在C、E两点的电势能相等，动能相等，速度大小相等，C正确；小球从C点运动到D点的过程中，电势能增加，动能减小，A错误；小球在D、F两点所受的电场力方向相反，D错误．
9．(八省联考·湖北·4)如图9所示，在电场强度大小为E的匀强电场中，某电场线上有两点M和N，距离为2d.在M和N处分别固定电荷量为＋q和－q的两个点电荷．下列说法正确的是( )
图9
A．点电荷＋q和－q受到的静电力大小均为qE，方向相反
B．将点电荷＋q沿MN连线向N点移动距离d，静电力对点电荷＋q做功为qEd
C．交换两个点电荷的位置，静电力对两个点电荷做功之和为零
D．将两点电荷沿MN连线移动距离d，保持两个点电荷的距离不变，静电力对两个点电荷做功之和为零
答案 D
解析 静电力指匀强电场对电荷的作用力和电荷间的库仑力的合力，静电力做功即为合力做功，A错误；将点电荷＋q沿MN连线向N点移动距离d，静电力对点电荷做功大于qEd，故B错误；交换两点电荷位置，静电力均对电荷做正功，故静电力对两点电荷做功之和不为零，C错误；将两点电荷沿MN连线移动距离d，且保持两个点电荷的距离不变，位移大小相等，方向相同，两点电荷受到的静电力保持等大反向，则静电力对两个点电荷做功之和为零，D正确．
10．(多选)(2020·全国卷Ⅱ·20)如图10，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷．a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等．则( )
图10
A．a、b两点的场强相等
B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等
D．c、d两点的电势相等
答案 ABC
解析 在绝缘细圆环的上半圆P处，任取一小段，可看成点电荷，其在a点产生的场强为E1，在P关于细圆环水平直径对称的下半圆Q处再取一小段，其在a点产生的场强为E2，由对称性可知，E1、E2的合场强竖直向下，如图所示，即上半圆和下半圆在a点产生的合场强一定竖直向下．同理可得，b点场强方向也竖直向下，由于a、b两点关于圆心对称，则b点处场强大小与a点处相等，故A正确；同理可分析a、b所在的直径上各点场强均竖直向下，故a、b两点在同一条等势线上，电势相等，故B正确；由微元法和对称性可知，c、d两点场强相等，方向竖直向下，故C正确；在c、d点所在直径上，电场方向由c到d，c点电势高于d点电势，故D错误．
11.(多选)(2019·山东济宁市第二次摸底)电子在电场中仅在电场力作用下运动时，由a点运动到b点的轨迹如图11中虚线所示．图中一组平行等距实线可能是电场线，也可能是等势线．下列说法正确的是( )
图11
A．若a点的电势比b点低，图中实线一定是等势线
B．不论图中实线是电场线还是等势线，电子在a点的电势能都比b点小
C．若电子在a点动能较小，则图中实线是电场线
D．如果图中实线是等势线，则电子在b点电势能较大
答案 CD
解析 若题图中实线是电场线，根据粒子运动轨迹可以判断，电子所受电场力方向水平向右，则电场线方向向左，a点电势比b点低，所以若a点的电势比b点低，图中实线可能是电场线，A错误．若图中实线是电场线，根据A选项的分析，a点的电势比b点的电势低，根据电势能Ep＝φ(－e)，电子在电势低的位置电势能大，所以电子在a点的电势能大于b点电势能，B错误．若电子在a点动能小，说明由a到b做加速运动，如果图中实线是电场线，结合A选项的分析，电场线方向向左，电子受电场力方向向右，由a到b电场力做正功，电子在a点动能小，C正确．如果图中实线是等势线，则电场线与等势线垂直，根据电子运动轨迹可以判断电子受电场力竖直向下，所以由a到b电场力做负功，电子在b点动能小，电势能大，D正确．
12．(2021·湖南益阳市调研)如图12，在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为( )
图12
A．120 V/m，沿AB方向
B．200 V/m，沿AC方向
C．160 V/m，沿AD方向
D．300 V/m，沿BD方向
答案 B
解析 连接AC，过B点作BB′⊥AC，
由几何关系知，AB′＝0.18 m，B′C＝0.32 m，AC＝0.5 m，据题知UAC＝100 V，因为AC线上电势均匀降落，由比例关系可知φB′＝19 V，所以B′与B电势相等，BB′为等势线；利用等势线与场强垂直确定场强方向，可知匀强电场的电场强度方向沿AC方向，UAB′＝φA－φB′＝36 V，匀强电场的电场强度大小E＝eq \f(UAB′,AB′)＝eq \f(36,0.18) V/m＝200 V/m，故B正确．
13．(多选)(2019·江苏卷·9)如图13所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点．先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W.再将Q1从C点沿CB移到B点并固定．最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点．下列说法正确的有( )
图13
A．Q1移入之前，C点的电势为eq \f(W,q)
B．Q1从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
C．Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
D．Q2在移到C点后的电势能为－4W
答案 ABD
解析 根据电场力做功可知－W＝q(0－φC1)，解得φC1＝eq \f(W,q)，选项A正确；B、C两点到A点的距离相等，这两点电势相等，Q1从C点移到B点的过程中，电场力做功为0，选项B正确；根据对称和电势叠加可知，A、B两点固定电荷量均为＋q的电荷后，C点电势为φC2＝2φC1＝2eq \f(W,q)，带电荷量为－2q的点电荷Q2在C点的电势能为EpC＝(－2q)×φC2＝－4W，选项D正确；Q2从无穷远处移到C点的过程中，电场力做的功为0－EpC＝4W，选项C错误．
14.(多选)(2019·全国卷Ⅲ·21)如图14，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点．则( )
图14
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 a、b两点到两点电荷连线的距离相等，且关于两点电荷连线中点对称，可知a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，选项B、C正确；电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷(等量异种点电荷)固定在正方体的两个顶点上，正方体的另外两个顶点a、b在两点电荷q和－q连线的垂直平分面两侧，故a点和b点电势不相等，且φb>φa，将负电荷从a点移到b点，电场力做正功，电势能减少，选项A、D错误．
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
考点一 描述电场能的性质的物理量
基础回扣
1．静电力做功的特点
静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．
(2)定义式：φ＝eq \f(Ep,q).
(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．
4．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．
技巧点拨
1．求电场力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种方法
(1)根据电场力做功：电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加．
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
3．电势高低的四种判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq \f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．
电场力做功与电势能的关系
例1 (多选)如图1所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知eq \x\t(MQ)
A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少
B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能增加
C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少
D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服电场力做的功等于电场力对该电荷所做的正功，电势能不变
答案 AD
解析 由正点电荷形成的电场可知，把一正的点电荷从M点移到N点，电场力对该电荷做正功，电势能减少，A选项正确，B选项错误；若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，电场力对该电荷做负功，电势能增加，C选项错误；电场力做功的特点是只与电荷所处的始、末位置有关，而与其通过的路径无关，两过程电荷克服电场力做功等于电场力对该电荷所做的正功，D选项正确．
电势能与电势的关系
例2 (多选)(2020·全国卷Ⅲ·21)如图2，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点．下列说法正确的是( )
图2
A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
答案 BC
解析 该点电荷形成的电场过M、N两点的等势面如图所示．距P越近，电场强度越大，沿MN边，从M点到N点，与P点的距离先变小后变大，电场强度先增大后减小，故A错误；沿电场线方向电势降低，沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小，故B正确；由图可知，M点电势高于N点电势，根据Ep＝qφ知，正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能，故C正确；将正电荷从M点移动到N点，即从高电势移动到低电势，电场力所做的总功为正，故D错误．
标量求和法比较电势的高低
例3 (多选)(2020·湖北随州市3月调研)如图3所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场中运动，下列说法正确的是( )
图3
A．试探电荷在D点的电势小于在A点的电势
B．试探电荷在D点的电势小于在C点的电势
C．试探电荷仅在电场力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大
D．直线BD所在的水平面一定为一等势面
答案 AD
解析 取无穷远处为零电势点，A点在两个正电荷电场中电势为2φ1，在两个负电荷电场中电势为－2φ2，因φ1>φ2，故A点的电势为(2φ1－2φ2)>0；同理C点的电势为(－2φ1＋2φ2)<0.D点在左上正电荷、左下负电荷的电场中电势为0，同理，在右上正电荷、右下负电荷的电场中电势也为0，故D点电势为零，φA>φD，φD>φC，A正确，B错误．由场强叠加原理可知，A、C两点的场强相同，故试探电荷在这两点的加速度也相同，所以试探电荷仅在电场力作用下从A点沿AC运动到C点，加速度并不是一直增大，故C错误；B、D所在的水平面上任意一点的场强方向均竖直向下，故在这个水平面内移动电荷时，电场力不做功，所以此面一定为等势面，故D正确．
1．(点电荷电场中的功能关系)如图4所示为某一带正电的点电荷产生的电场中的一条电场线．A、B、C、D为该电场线上的点，相邻两点间距相等，电场线方向由
A指向D.一个带正电的粒子从A点由静止释放，运动到B点时的动能为Ek，仅考虑电场力的作用，则( )
图4
A．从A点到D点，电势先升高后降低
B．粒子一直做匀加速运动
C．粒子在BC段电势能的减少量大于在CD段电势能的减少量
D．粒子运动到D点时动能等于3Ek
答案 C
解析 因为该电场线为一带正电的点电荷产生的，根据电场线的特点可知该正电荷在A点的左侧，沿着电场线方向电势降低，即从A点到D点电势降低，选项A错误；由正点电荷的电场线特点可知，从A到D电场强度越来越小，粒子加速度越来越小，可知粒子做加速度减小的加速运动，选项B错误；由题图可知BC段靠近场源电荷，而电场线密集的地方，电势降低较快，故BC段的电势差大于CD段的电势差，根据电场力做功W＝qU，故BC段电场力做的正功更多，则粒子在BC段电势能的减少量大于在CD段电势能的减少量，选项C正确；若该电场是匀强电场，从A到B，根据动能定理有qU＝Ek，从A到D，根据动能定理有3qU＝EkD，联立得EkD＝3Ek，而该电场是非匀强电场，从A到D距离相等的两点间的电势差越来越小，故粒子运动到D点时动能小于3Ek，选项D错误．
2．(两点电荷电场中的电势能、电势)(多选)(2020·山东卷·10)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图5所示．以下说法正确的是( )
图5
A．a点电势低于O点
B．b点电势低于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
答案 BD
解析 作出两个固定点电荷分别在O点附近的电场线，由题意知，O点的场强EO＝0，则两点电荷分别在O点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O点左侧的电场方向向右，O点右侧的电场方向向左．可以判定：a点电势高于O点，b点电势低于c点，故A错误，B正确；由Ep＝φq可知，a点的电势高于b点，试探电荷(带负电)在a点的电势能比b点小，故C错误；c点电势高于d点，试探电荷(带负电)在c点的电势能小于d点，故D正确．
考点二 电场线、等势面及运动轨迹问题
基础回扣
1．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．
(2)四个特点：
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
④任意两个等势面都不相交．
2．几种常见等势面的比较
技巧点拨
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．
2．判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向．
若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或切线)共线；
若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直．
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．
已知电场线和轨迹
例4 (2020·黑龙江哈尔滨三中上学期第三次调研)如图6所示，实线表示某电场的电场线，虚线表示一带正电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设A和B点的电势分别为φA和φB，粒子在A、B两点加速度大小分别为aA和aB，速度大小为vA和vB，电势能分别为EpA和EpB，下列判断正确的是( )
图6
A．vA
D．EpA>EpB
答案 C
解析 带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，粒子从A到B过程，电场力方向与速度方向成钝角，电场力做负功，动能减小，速度减小，电势能增加，故带电粒子通过A点时的速度比通过B点时的速度大，即vA>vB，EpA
已知等势线和轨迹
例5 (2020·黑龙江省实验中学高三下学期开学考试)如图7所示，虚线是某静电场的一簇等势线，边上标有电势的值，一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C，下列判断正确的是( )
图7
A．粒子一定带负电
B．A处场强大于C处场强
C．粒子在A处电势能大于在C处电势能
D．粒子从A到B电场力所做的功大于从B到C电场力所做的功
答案 B
解析 根据电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向左，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带正电，A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，A处场强大于C处场强，B正确；粒子从A点运动到C点，电场力方向与速度方向的夹角为钝角，电场力做负功，电势能增大，C错误；由于电势差相同，根据W＝Uq知，电场力做功相同，D错误．
3．(未标明电场线方向)(2019·广东揭阳市下学期第二次模拟)如图8所示，实线MN是某匀强电场中的一条电场线．一带正电粒子射入电场后，仅在电场力作用下沿虚线ABC运动．下列说法中正确的是( )
图8
A．粒子在A点的加速度比在C点的加速度大
B．粒子在A点的电势能比在C点的电势能小
C．M、N两点的电势：φM>φN
D．电场线的方向水平向右
答案 B
解析 由于电场为匀强电场，可得到粒子在A点的加速度与C点的加速度大小相等，故A错误；由题图可知，粒子在B点所受电场力方向向左，又因为粒子带正电，故电场线方向向左，由沿着电场线方向电势降低，则φN>φM，故带正电粒子从A点到C点电场力做负功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能比在C点的电势能小，故B正确，C、D错误．
4．(已知等势线和轨迹)(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图9中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若粒子只受电场力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是( )
图9
A．带正电
B．速度先增大后减小
C．电势能先增大后减小
D．经过b点和d点时的速度大小相同
答案 CD
解析 根据粒子的运动轨迹及等势面分布可知，粒子带负电，选项A错误；粒子从a到c再到e的过程中电场力先做负功后做正功，速度先减小后增大，电势能先增大后减小，选项B错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，所以粒子在b、d两点的电势能相同，所以粒子经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确．
考点三 电势差与电场强度的关系
基础回扣
1．电势差
(1)定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差．
(2)定义式：UAB＝eq \f(WAB,q).
2．电势差与电势的关系
UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA.
3．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离．
(2)沿电场方向电势降落得最快．
技巧点拨
1．由E＝eq \f(U,d)可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图10甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
图10
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．
(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．
3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路
匀强电场中电场强度和电势差的关系
例6 (2019·河北唐山市一模)如图11所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面．将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV.电场强度大小为( )
图11
A．200 V/m B．300 V/m
C．200eq \r(3) V/m D．400 V/m
答案 D
解析 电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV，则UAB＝eq \f(WAB,－e)＝eq \f(4 eV,－e)＝－4 V；电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV，UAC＝eq \f(WAC,－e)＝eq \f(2 eV,－e)＝－2 V；设AB的中点为D，则C、D两点电势相等，CD为等势线，电场方向沿BA方向，则E＝eq \f(UBA,BA)＝eq \f(4,0.01) V/m＝400 V/m，选项D正确．
非匀强电场中电场强度和电势差的关系
例7 图12为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是( )
图12
A．a是直流高压电源的正极
B．电场中P点的场强小于M点的场强
C．电场中M点的电势低于N点的电势
D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN
答案 C
解析 带负电的尘埃向集尘极迁移，说明集尘极接直流高压电源的正极，a是直流高压电源的负极，选项A错误；从放电极到集尘极的电场，因P点离放电极较近，P点的电场线比M点的电场线密，所以电场中P点的场强大于M点的场强，选项B错误；由于集尘极带正电，电势高，而沿着电场线方向电势逐渐降低，所以电场中M点的电势低于N点的电势，选项C正确；放电极与集尘极之间的电场是非匀强电场，故P、M间的电势差UPM不等于M、N间的电势差UMN，选项D错误．
5．(匀强电场中电场强度和电势差的关系)如图13所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离为2 cm，A点和P点间距离为1.5 cm，则该电场的电场强度E和电势φP分别为( )
图13
A．500 V/m，－2.5 V
B.eq \f(1 000\r(3),3) V/m，－2.5 V
C．500 V/m,2.5 V
D.eq \f(1 000\r(3),3) V/m,2.5 V
答案 B
解析 根据E＝eq \f(U,d)得E＝eq \f(UBA,dBA)＝eq \f(10,2×10－2×sin 60°) V/m＝eq \f(1 000\r(3),3) V/m.UAB＝－UBA＝－10 V，eq \f(UAP,UAB)＝eq \f(AP,AB)＝eq \f(3,4)，得UAP＝－7.5 V，φP＝φA－UAP＝－10 V－(－7.5 V)＝－2.5 V，故B正确．
6．(等势面未知求电场强度)(多选)(2017·全国卷Ⅲ·21)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图14所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是( )
图14
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析 如图所示，
设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则eq \f(ad,dc)＝eq \f(10－17,17－26)＝eq \f(7,9)，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝eq \f(U,d)＝eq \f(26－17 V,3.6 cm)＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确．
课时精练
1.(多选)(2019·吉林长春市模拟)在正点电荷Q形成的电场中，有M、N两点，如图1所示．以下说法正确的是( )
图1
A．M点的场强大于N点的场强
B．M点的电势大于N点的电势
C．将一正点电荷分别放在M点和N点，则该电荷在M点电势能大
D．将一负点电荷分别放在M点和N点，则该电荷在M点电势能大
答案 ABC
解析 根据点电荷产生的电场强度E＝keq \f(Q,r2)，M点距离点电荷较近，所以M点的场强大于N点的场强，故A正确；正电荷产生的电场中电场线向外辐射，沿电场线方向电势降低，所以M点的电势大于N点的电势，故B正确；正电荷在高电势处电势能大，负电荷在高电势处电势能小，故C正确，D错误．
2.(多选)(2020·吉林长春高三一模)如图2所示，一细圆环上均匀分布着负电荷，x轴垂直于环面且过环心O，下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是( )
图2
A．O点的电场强度最大，电势最低
B．O点的电场强度为零，电势最低
C．从O点沿x轴正方向，电场强度一直减小，电势升高
D．从O点沿x轴正方向，电场强度先增大后减小，电势升高
答案 BD
解析 将圆环等分成若干微小段，每一小段和与它关于O点对称的一小段在O点产生的电场的电场强度总是大小相等、方向相反，矢量和为零，即圆环最终在O点产生电场强度的总矢量和为零；因为圆环带负电，因此每一小段和与它关于O点对称的一小段在O点的左右两侧，产生大小相等、方向分别指向各小段与x轴成相等角度的电场，电场强度的矢量和沿着x轴指向O点，各段叠加后总矢量和仍然沿着x轴，指向O点，根据沿着电场线方向电势逐渐降低的规律可知，O点的电势最低，故A错误，B正确；当从O点沿x轴正方向，趋于无穷远时，电场强度也为零，因此从O点沿x轴正方向，电场强度先变大，后变小，电势升高，故C错误，D正确．
3.(八省联考·广东·4)如图3所示，在某静电除尘器产生的电场中，带等量负电荷的两颗微粒只受电场力作用，分别从p点沿虚线pm、pn运动，被吸附到金属圆筒上．下列说法正确的是( )
图3
A．p点的电势高于n点的电势
B．微粒在p点的电势能小于在m点的电势能
C．微粒从p到n的动能变化量大于从p到m的动能变化量
D．微粒从p到n的电势能变化量等于从p到m的电势能变化量
答案 D
解析 沿着电场线，电势逐渐降低，则有φn>φp，故A错误；负电荷从p运动到m的过程中，电场力做正功，电势能减小，有Epp>Epm，故B错误；两微粒从p到n和从p到m的过程中，均只受电场力而做正功，由动能定理有qU＝ΔEk，因Upn＝Upm，电荷量q相等，所以两微粒的动能变化量相等，C错误；由于W＝ΔEp，电场力做正功相等，所以微粒从p到n和从p到m电势能的变化量相等，D正确．
4.(2019·山西模拟)如图4中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一个带正电的点电荷．一个带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点，则该粒子( )
图4
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化等于由b点到c点的动能变化
答案 C
5.如图5所示，A、B两点是粒子在匀强电场中运动时经过的两个点，平行直线表示电场线，但方向未知，整个过程中只有电场力做功．已知粒子在A点的动能比B点大，则下列说法中正确的是( )
图5
A．无论粒子是从A点到B点，还是从B点到A点，电场力均做负功
B．电场线方向从右向左
C．粒子的运动轨迹若为1，则粒子一定带负电
D．无论粒子是带正电还是负电，均不可能沿轨迹2运动
答案 D
解析 由于粒子在A点的动能比B点大，结合电场线与轨迹形状(质点做曲线运动时合力必指向凹侧)进行分析，若粒子沿轨迹1运动时，则在任意位置时粒子所受到的电场力一定水平向左，若粒子从A点到B点，则电场力做负功，从B点到A点，则电场力做正功，由此可知，A错误；此时若粒子带正电，电场方向一定向左，且由A点向B点运动，若粒子带负电，电场方向一定向右，且由B点向A点运动，均满足粒子在A点的动能比B点大．若粒子沿轨迹2运动，则在任意位置时粒子所受到的电场力一定水平向右，同理可判断此情况下粒子在A点的动能一定比B点的小，不符合题意，即符合题意的粒子一定沿轨迹1运动，由此可知B、C错误，D正确．
6．(2020·浙江7月选考·8)空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图6所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则( )
图6
A．e点的电势大于0
B．a点和b点的电场强度相同
C．b点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加
答案 D
解析 由题图可知，P、Q处固定等量异种电荷，则两电荷连线中垂线为等势线且电势为0，e在该等势线上，故e点电势为0，故A错误；a、b两点电场强度大小相等，但方向不同，故B错误；Q处固定正电荷，则P处固定负电荷，所以φb>0，φd<0，故b点电势高于d点电势，故C错误；负电荷从a到c，电势降低，由Ep＝qφ知，电势能增加，故D正确．
7.(多选)(2021·吉林高三月考)如图7所示，等量异种点电荷固定放置，O是两电荷连线的中点，以O为圆心，在垂直于两电荷连线的平面内作圆，A、B是圆上两点，且AB连线不过圆心O，则下列说法正确的是( )
图7
A．A、B两点的电场强度不同
B．A点的电势比B点的电势高
C．将一个电荷沿圆弧从A点移到B点，电场力不做功
D．将一个电荷沿直线从A点移到B点，电荷受到的电场力先增大后减小
答案 CD
解析 根据等量异种点电荷的场强分布可知，A、B两点的电场强度大小和方向均相同，选项A错误；因A、B所在的圆面电势均为零，则A点的电势等于B点的电势，若将一个电荷沿圆弧从A点移到B点，电势能的变化为零，则电场力不做功，选项B错误，C正确；因在此圆面上离O点越近的位置场强越大，则将一个电荷沿直线从A点移到B点，电荷与O点的距离先减小后增加，则受到的电场力先增大后减小，选项D正确．
8．(八省联考·湖南·3)如图8，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的A、B两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线的中点．细管与A、B连线及中垂线交点分别为C、E、D、F.一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做完整的圆周运动．不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
图8
A．小球从C运动到D的过程中，速度先减小后增大
B．在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低
C．小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能
D．小球在D、F两点所受的电场力相同
答案 C
解析 由两正点电荷电场线的分布特点知(如图所示)，φC＝φE>φD＝φF，B错误；因φC＝φE，故小球在C、E两点的电势能相等，动能相等，速度大小相等，C正确；小球从C点运动到D点的过程中，电势能增加，动能减小，A错误；小球在D、F两点所受的电场力方向相反，D错误．
9．(八省联考·湖北·4)如图9所示，在电场强度大小为E的匀强电场中，某电场线上有两点M和N，距离为2d.在M和N处分别固定电荷量为＋q和－q的两个点电荷．下列说法正确的是( )
图9
A．点电荷＋q和－q受到的静电力大小均为qE，方向相反
B．将点电荷＋q沿MN连线向N点移动距离d，静电力对点电荷＋q做功为qEd
C．交换两个点电荷的位置，静电力对两个点电荷做功之和为零
D．将两点电荷沿MN连线移动距离d，保持两个点电荷的距离不变，静电力对两个点电荷做功之和为零
答案 D
解析 静电力指匀强电场对电荷的作用力和电荷间的库仑力的合力，静电力做功即为合力做功，A错误；将点电荷＋q沿MN连线向N点移动距离d，静电力对点电荷做功大于qEd，故B错误；交换两点电荷位置，静电力均对电荷做正功，故静电力对两点电荷做功之和不为零，C错误；将两点电荷沿MN连线移动距离d，且保持两个点电荷的距离不变，位移大小相等，方向相同，两点电荷受到的静电力保持等大反向，则静电力对两个点电荷做功之和为零，D正确．
10．(多选)(2020·全国卷Ⅱ·20)如图10，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷．a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等．则( )
图10
A．a、b两点的场强相等
B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等
D．c、d两点的电势相等
答案 ABC
解析 在绝缘细圆环的上半圆P处，任取一小段，可看成点电荷，其在a点产生的场强为E1，在P关于细圆环水平直径对称的下半圆Q处再取一小段，其在a点产生的场强为E2，由对称性可知，E1、E2的合场强竖直向下，如图所示，即上半圆和下半圆在a点产生的合场强一定竖直向下．同理可得，b点场强方向也竖直向下，由于a、b两点关于圆心对称，则b点处场强大小与a点处相等，故A正确；同理可分析a、b所在的直径上各点场强均竖直向下，故a、b两点在同一条等势线上，电势相等，故B正确；由微元法和对称性可知，c、d两点场强相等，方向竖直向下，故C正确；在c、d点所在直径上，电场方向由c到d，c点电势高于d点电势，故D错误．
11.(多选)(2019·山东济宁市第二次摸底)电子在电场中仅在电场力作用下运动时，由a点运动到b点的轨迹如图11中虚线所示．图中一组平行等距实线可能是电场线，也可能是等势线．下列说法正确的是( )
图11
A．若a点的电势比b点低，图中实线一定是等势线
B．不论图中实线是电场线还是等势线，电子在a点的电势能都比b点小
C．若电子在a点动能较小，则图中实线是电场线
D．如果图中实线是等势线，则电子在b点电势能较大
答案 CD
解析 若题图中实线是电场线，根据粒子运动轨迹可以判断，电子所受电场力方向水平向右，则电场线方向向左，a点电势比b点低，所以若a点的电势比b点低，图中实线可能是电场线，A错误．若图中实线是电场线，根据A选项的分析，a点的电势比b点的电势低，根据电势能Ep＝φ(－e)，电子在电势低的位置电势能大，所以电子在a点的电势能大于b点电势能，B错误．若电子在a点动能小，说明由a到b做加速运动，如果图中实线是电场线，结合A选项的分析，电场线方向向左，电子受电场力方向向右，由a到b电场力做正功，电子在a点动能小，C正确．如果图中实线是等势线，则电场线与等势线垂直，根据电子运动轨迹可以判断电子受电场力竖直向下，所以由a到b电场力做负功，电子在b点动能小，电势能大，D正确．
12．(2021·湖南益阳市调研)如图12，在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为( )
图12
A．120 V/m，沿AB方向
B．200 V/m，沿AC方向
C．160 V/m，沿AD方向
D．300 V/m，沿BD方向
答案 B
解析 连接AC，过B点作BB′⊥AC，
由几何关系知，AB′＝0.18 m，B′C＝0.32 m，AC＝0.5 m，据题知UAC＝100 V，因为AC线上电势均匀降落，由比例关系可知φB′＝19 V，所以B′与B电势相等，BB′为等势线；利用等势线与场强垂直确定场强方向，可知匀强电场的电场强度方向沿AC方向，UAB′＝φA－φB′＝36 V，匀强电场的电场强度大小E＝eq \f(UAB′,AB′)＝eq \f(36,0.18) V/m＝200 V/m，故B正确．
13．(多选)(2019·江苏卷·9)如图13所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点．先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W.再将Q1从C点沿CB移到B点并固定．最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点．下列说法正确的有( )
图13
A．Q1移入之前，C点的电势为eq \f(W,q)
B．Q1从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
C．Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
D．Q2在移到C点后的电势能为－4W
答案 ABD
解析 根据电场力做功可知－W＝q(0－φC1)，解得φC1＝eq \f(W,q)，选项A正确；B、C两点到A点的距离相等，这两点电势相等，Q1从C点移到B点的过程中，电场力做功为0，选项B正确；根据对称和电势叠加可知，A、B两点固定电荷量均为＋q的电荷后，C点电势为φC2＝2φC1＝2eq \f(W,q)，带电荷量为－2q的点电荷Q2在C点的电势能为EpC＝(－2q)×φC2＝－4W，选项D正确；Q2从无穷远处移到C点的过程中，电场力做的功为0－EpC＝4W，选项C错误．
14.(多选)(2019·全国卷Ⅲ·21)如图14，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点．则( )
图14
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 a、b两点到两点电荷连线的距离相等，且关于两点电荷连线中点对称，可知a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，选项B、C正确；电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷(等量异种点电荷)固定在正方体的两个顶点上，正方体的另外两个顶点a、b在两点电荷q和－q连线的垂直平分面两侧，故a点和b点电势不相等，且φb>φa，将负电荷从a点移到b点，电场力做正功，电势能减少，选项A、D错误．
电场
等势面(虚线)图样
特点
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
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