人教版八年级数学下册举一反三21.4期中真题重组卷(考查范围：第16~18章)(学生版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册举一反三21.4期中真题重组卷(考查范围：第16~18章)(学生版+解析)，共33页。
【人教版】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分）（广东省广州市荔湾区四中聚贤中学2022-2023学年八年级下学期数学期中考试卷）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．12B．x2+1C．15D．a2
2．(3分）（云南省昆明市五华区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．−2bB．−2aC．2b−2aD．0
3．(3分）（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AF∥CEC．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE
4．(3分）（河北省邯郸市复兴区2022－2023学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．(3分）（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
6．(3分）（浙江省杭州市杭州江南实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图，在等腰直角中△ABC，∠BAC=90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2=2BD2+DG2，若△ABD与△AEF的面积和为7.5，BG=4，则CG的长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
7．(3分）（浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD=AE，已知BC=6，AB=8，则BD+CE的最小值是（ ）
A．136B．10C．9.6D．5+45
8．(3分）（河南省驻马店市驿城区实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A32,0，B0,2．则点B2019的坐标是（ ）
A．6052,0B．6054,2C．6058,0D．6060,2
9．(3分）（2022秋·贵州·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A．33B．43C．4D．6
10．(3分）（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于N，M为垂足，交正方形的两边于E、F，连接PN，则下列结论：①∠APN=45°；②PC=2BN；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分）（上海市中国中学2022-2023学年八年级第一学期第一次月考数学试卷）将(a−3)a23−a(ab)．
例如：化简7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m=7,n=12，
由于4+3=7,4×3=12，即(4)2+(3)2=7,4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空：5−26=__________．
(2)化简：21−123（请写出计算过程）．
21．(8分）（四川省凉山彝族自治州西昌市西昌阳光学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图1，直角三角形ABC和直角三角形DCE的直角顶点C重合，点D在斜边AB上，AC=BC，CD=CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD．
(2)若BD=1,AD=3，求DE的长．
(3)如图2，点F也在AB边上，且在点A，D之间，若∠DCF=45∘，求证：AF2+BD2=DF2．
22．(8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）图1、图2分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，A、B两点在格点上，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10；
(2)在图2中画一个平行四边形ABEF，使其周长为10+213
(3)在图2中连接BF，并直接写出BF的长，BF=_________．
23．(8分）（2022春·四川成都·八年级校考期中）已知，菱形ABCD中，∠B=60°，E、P分别是边BC和CD上的点，且∠EAP=60°．
(1)求证：BC=EC+CP．
(2)如图2，F在CA延长线上，且FE=FB，求证：AF=EC．
(3)如图3，在（2）的条件下AF=4，BE=6，点O是FB的中点，求OA的长．
2022-2023学年八年级数学下册期中真题重组卷
（考查范围：第16~18章）
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分）（广东省广州市荔湾区四中聚贤中学2022-2023学年八年级下学期数学期中考试卷）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．12B．x2+1C．15D．a2
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【详解】解：A、12=23不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、x2+1是最简二次根式，故B符合题意；
C、15=55不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、a2=a不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：根号下不含有可开方是因数，根号下不含有分母．
2．(3分）（云南省昆明市五华区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．−2bB．−2aC．2b−2aD．0
【答案】A
【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴a2−b2−a−b2
=a−b−a−b
=-a－b＋a－b
=−2b
故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．
3．(3分）（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AF∥CEC．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE
【答案】C
【分析】连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【详解】如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．(3分）（河北省邯郸市复兴区2022－2023学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据6n+4是整数，n>0，推出6n+4是完全平方数，设6n+4=m2，得到6n=m2−4=m+2m−2，根据m+2与m−2同奇同偶，m+2=6，m−2=n，或m−2=6，m+2=n，得到n=2，或n=10，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵6n+4是整数，且n>0，
∴6n+4是完全平方数，
设6n+4=m2（m是正整数），
则6n=m2−4=m+2m−2，
∵m+2与m−2同奇同偶，
∴m+2=6m−2=n，或m−2=6m+2=n，
∴m=4n=2，或m=8n=10，
∴n=2，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．
5．(3分）（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【答案】A
【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：
由折叠得，∠4=∠5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠3+∠4=48°，
∴∠5=∠4=∠3=12×48°=24°，
在△ABC中，∠B=180°−∠5−∠2=180°−24°−32°=124°，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
6．(3分）（浙江省杭州市杭州江南实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图，在等腰直角中△ABC，∠BAC=90°，AD是△ABC的高线，E是边AC上一点，分别作EF⊥AD于点F，EG⊥BC于点G，几何原本中曾用该图证明了BG2+CG2=2BD2+DG2，若△ABD与△AEF的面积和为7.5，BG=4，则CG的长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】由S△AEF+S△ABD=7.5，得BD2+DG2=15，从而有BG2+CG2=30，即可得出答案．
【详解】由题意知：△ABD与△AEF都是等腰直三角形，
S△AEF=12EF2=12DG2，S△ABD=12BD2,
∵S△AEF+S△ABD=7.5，
∴BD2+DG2=15，
∵BG2+CG2=2BD2+DG2，
∴BG2+CG2=30，
∵BG=4，
∴CG=30−16=14，
故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题是关键是根据三角形的面积求出BD2+DG2=15．
7．(3分）（浙江省宁波市镇海区中兴中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD=AE，已知BC=6，AB=8，则BD+CE的最小值是（ ）
A．136B．10C．9.6D．5+45
【答案】A
【分析】过点A作AF⊥AC，并使得AF=BC，连接EF，构造△BCD≌△FAE，然后得到EF=BD，进而得知BD+CE=EF+CE，连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，最后利用勾股定理求得CF的值即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥AC，并使得AF=BC，连接EF，则∠FAC=90°，
∴∠FAE+∠EAC=90°，
∵在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCD=90°，
∴∠FAE=∠BCD，
∵AF=CB，AE=CD，
∴△BCD≌△FAESAS，
∴EF=BD，
∴BD+CE=EF+CE，
连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，
∵BC=6，AB=8，∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵AF=BC=6，
∴CF=AC2+AF2=102+62=136，
∴BD+CE的最小值是136，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形．
8．(3分）（河南省驻马店市驿城区实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A32,0，B0,2．则点B2019的坐标是（ ）
A．6052,0B．6054,2C．6058,0D．6060,2
【答案】C
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B1、B3、B5…，由图象可知点B2019在x轴上，B1B3=6，根据这个规律可以求得B2019的坐标．
【详解】解：由图象可知点B2019在x轴上，
∵ OA=32,OB=2,∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=322+22=52，
∴ B1B3=OB+OA+AB=6，B14,0
∵2019÷2=1009⋯1，
∴1009×6=6054，6054+4=6058，
∴ B20196058,0．
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
9．(3分）（2022秋·贵州·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A．33B．43C．4D．6
【答案】D
【分析】先证明△AOE≅△COF，Rt△BFO≅Rt△BFC，再证明△OBC、△BEF是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
∠AOE=∠FOC∠FCO=∠EAOAE=CF，
∴△AOE≅△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
BF=BFFO=FC，
∴Rt△BFO≅Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，
∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质就问题．
10．(3分）（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于N，M为垂足，交正方形的两边于E、F，连接PN，则下列结论：①∠APN=45°；②PC=2BN；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①过N作ST∥BC，则ST⊥AB，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出SA=TN，再由AN=PN,，证明Rt△ASN≌Rt△NTP，得出∠SAN=∠TNP，证出∠ANP=90°，即可得出∠APN=45°；
②PC=PT+TC=SN+SB，△BSN是等腰直角三角形，SB=SN，即可得出PC=2BN；
③假设∠DNF=∠DAP成立，证明△NDP≌△NDF，得出DP=DF，可判断③不一定成立；
④过P作AD的平行线交MN于K，证出MF=MK，NE=NK，即可得出结论．
【详解】解：①正确；过N作ST∥BC分别交AB、DC于S、T，则ST⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=ST,∠BAD=90°,∠ABD=45°，
∴△BSN是等腰直角三角形，
∴SB=SN,∠BNS=45°，
∴SA=TN，
∵线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，
∴AN=PN，
在Rt△ASN和Rt△NTP中，
AN=PNSA=TN，
∴Rt△ASN≌Rt△NTPHL，
∴∠SAN=∠TNP，
∵∠SAN+∠ANS=90°，
∴∠TNP+∠ANS=90°，
∴∠ANP=90°，
∴∠APN=45°，故①正确；
由①得：PC=PT+TC=SN+SB，△BSN是等腰直角三角形，SB=SN，
∴PC=SN+SB=2BN，故②正确；
∵∠APN=∠ADN=45°，∠PON=∠AOD，
∴∠DNP=∠DAP，
若∠DNF=∠DAP，
则∠DNF=∠DNP．
∵ND=ND,∠NDP=∠NDF，
∴△NDP≌△NDF，
∴DP=DF，显然不一定成立，故③错误；
过P作AD的平行线交MN于K，
∴∠MAF=∠MPK．
∵MN垂直平AP，
∴AM=PM，
∵∠AMF=∠PMK，
∴△AMF≌△PMKASA，
∴MF=MK，
作KG⊥ST于点G，作NH⊥BC于点H，
则KG=PT,NH=CT，
由①得：PT=SN=SB=CT，
∴KG=MH．
∵ST∥BC，
∴∠KNG=∠NEH，
∵∠KGN=∠NHE=90°，
∴△KGN≌△NHEAAS，
∴NE=NK，
∴MN=MF+NE，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分）（上海市中国中学2022-2023学年八年级第一学期第一次月考数学试卷）将(a−3)a23−a(ab)．
例如：化简7+43．
解：首先把7+43化为7+212，这里m=7,n=12，
由于4+3=7,4×3=12，即(4)2+(3)2=7,4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空：5−26=__________．
(2)化简：21−123（请写出计算过程）．
【答案】(1)3−2
(2)23−3；过程见解析
【分析】（1）根据题意，将5−26转化为完全平方式的形式，即可求解；
（2）21−123=21−2108，根据题意求解即可．
【详解】（1）解：5−26=32−2×3×2+22=3−22=3−2，
故答案为：3−2；
（2）解：由21−123可得21−2108，这里m=21,n=108,
∵9+12=21,9×12=108，即(9)2+(12)2=21,9×12=108，
∴21−123=21−2108=(9−12)2=12−9=23−3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
21．(8分）（四川省凉山彝族自治州西昌市西昌阳光学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图1，直角三角形ABC和直角三角形DCE的直角顶点C重合，点D在斜边AB上，AC=BC，CD=CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD．
(2)若BD=1,AD=3，求DE的长．
(3)如图2，点F也在AB边上，且在点A，D之间，若∠DCF=45∘，求证：AF2+BD2=DF2．
【答案】(1)证明见详解；
(2)DE=10；
(3)证明见详解；
【分析】（1）根据△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，可知∠ECD=∠ACB=90°，则∠1+∠ACD=90°，∠2+∠ACD=90°，结合已有条件可证△ACE≌△BCD（SAS），则AE=BD；
（2）由（1）得△ACE≌△BCD，则∠CAE=∠B=45°，AE=BD，由此可推出∠EAD=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°，进而可得AE2+AD2=BD2+AD2=DE2，根据BD=1，AD=3，结合勾股定理可知DE2=12+32=10，则DE=10；
（3）连接E，F，如图所示：根据∠DCF=45°，∠ECD=90°，可得∠ECF=∠ECD−∠DCF=45°，则∠DCF=∠ECF，结合条件可证，则△CEF≌△CDF，进而可知DF=EF，由（1）得BD=AE，由（2）得∠EAF=90°，由此根据勾股定理可证．
【详解】（1）解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠1+∠ACD=90°，∠2+∠ACD=90°，
∴CD=CE∠1=∠2CB=CA，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD，
∴∠EAD=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°，
∴AE2+AD2=BD2+AD2=DE2，
又∵BD=1，AD=3，
∴DE2=12+32=10，
∴DE=10；
（3）解：连接E，F，如图所示：
∵∠DCF=45°，∠ECD=90°，
∴∠ECF=∠ECD−∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠ECF，
∵CD=CE∠DCF=∠ECFCF=CF，
∴△CEF≌△CDF SAS，
∴DF=EF，
由（1）得BD=AE，
由（2）得∠EAF=90°，
∴在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即BD2+AF2=FD2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
22．(8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）图1、图2分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，A、B两点在格点上，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10；
(2)在图2中画一个平行四边形ABEF，使其周长为10+213
(3)在图2中连接BF，并直接写出BF的长，BF=_________．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)32
【分析】（1）先根据面积，求出AB边上的高，再画出符合要求的图形即可；
（2）平行四边形ABEF的周长为10+213，AB=5即可求出BE=13，依据勾股定理构造斜边为13的直角三角形，即可画出图形；
（3）依据勾股定理求解即可
【详解】（1）解：∵ △ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10，AB=5
∴ AB边上的高=2S△ABCAB=205=4，利用勾股定理构造图如下：
如图所示（答案不唯一）
BC=32+42=25=5=AB
故△ABC为钝角等腰三角形符合题意．
（2）解：∵平行四边形ABEF的周长为10+213，AB=5
∴ BE=AF=13
利用勾股定理构造图如下：
如图所示，BE=22+32=13符合题意．
故四边形ABEF是平行四边形，其周长为10+213（答案不唯一）．
（3）解：如下图：
如图BF=32+32=32．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质以及勾股定理及作图，属于基础题，熟练掌握等腰三角形的性质是关键．
23．(8分）（2022春·四川成都·八年级校考期中）已知，菱形ABCD中，∠B=60°，E、P分别是边BC和CD上的点，且∠EAP=60°．
(1)求证：BC=EC+CP．
(2)如图2，F在CA延长线上，且FE=FB，求证：AF=EC．
(3)如图3，在（2）的条件下AF=4，BE=6，点O是FB的中点，求OA的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)19
【分析】（1）连接AC，如图1，根据菱形的性质得AB=BC，即可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，然后利用ASA可证明△AEB≌△APC，即可解答；
（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H，利用平行线的性质求得△FHC是等边三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，从而问题得解；
（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF是平行四边形，从而求得OA=12AK，FK=10，A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求得MF=12AF=2，AM=AF2−MF2=23，即有KM=FK−MF=10−2=8，在Rt△AKM中，利用勾股定理可得AK=219，问题随之得解．
【详解】（1）连接AC，如图1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴∠BAE+∠EAC=60°，
∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，
∴∠BAE=∠CAP，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACP=60°，即∠ACP=60°=∠B，
在△AEB和△APC中，∠BAE=∠CAPAB=AC∠B=∠ACP，
∴△AEB≌△APC，
∴BE=CP，
∴BC=EC+BE=EC+CP；
（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H，如图2，
在（1）中已证△ABC为等边三角形，
∵FH∥AB，
∴∠H=∠ABC=60°=∠C，
∴△FHC是等边三角形，
∴CF=CH=FH，
又∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，
∴AF=BH，
又∵FB=FE，
∴∠FEB=∠FBE，即∠FBH=∠FEC，
在△HBF和△CEF中∠FBH=∠FEC∠FHB=∠FCEFH=FC，
∴△HBF≌△CEF，
∴BH=EC，
∴AF=EC；
（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，如图3，
∵BK∥FC，FH∥AB，AF=4，BE=6，
∴四边形KBAF是平行四边形，
∴KB=AF=EC=4，
∵点O是FB的中点，
∴OA=12AK，
∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=10，
过点A作AM⊥FH，
由（2）可知，∠CFH=60°，
∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°，
∴MF=12AF=2，AM=AF2−MF2=23，
∴KM=FK−MF=10−2=8，
在Rt△AKM中，AK=AM2+MK2=(23)2+82=219，
∴OA=12AK=19．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．