数学八年级下册16.1 二次根式巩固练习

这是一份数学八年级下册16.1 二次根式巩固练习，共42页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16785" 【题型1 二次根式双重非负性的运用】 PAGEREF _Tc16785 \h 1
\l "_Tc9218" 【题型2 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc9218 \h 1
\l "_Tc13208" 【题型3 二次根式的运算与求值技巧】 PAGEREF _Tc13208 \h 3
\l "_Tc8074" 【题型4 二次根式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8074 \h 3
\l "_Tc3396" 【题型5 利用分母有理化求值】 PAGEREF _Tc3396 \h 4
\l "_Tc27218" 【题型6 二次根式中的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc27218 \h 6
\l "_Tc28585" 【题型7 二次根式的规律探究】 PAGEREF _Tc28585 \h 8
\l "_Tc7309" 【题型8 二次根式的实际应用】 PAGEREF _Tc7309 \h 9
【题型1 二次根式双重非负性的运用】
【例1】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=2a+b−c+b−6，则c＝ ．
【变式1-1】（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足3x−y−7+x−2y−4=a+b−2022×2022−a−b．求a+b的值及7x−y2023的值．
【变式1-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：x3(y−x)3+x3(z−x)3=y−x−x−z，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（ ）
A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算
【变式1-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx−m+my−m=x−m−m−y，则3x2+xy−y2x2−xy+5y2的值为 ．
【题型2 复合二次根式的化简】
【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．
再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2 =(3+2)2= 3 +2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：12+235；
(2)化简：17−415；
(3)若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式2-1】（2023秋·上海·八年级期中）当x=4时，x−23x2−43x+12−x+23x2+43x+12的值为（ ）
A．1B．3C．2D．3
【变式2-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b=m+2n2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b=m2+22mn+2n2，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若a+43=m+3n2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7−21+80．
【变式2-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），
则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=________，b=________；
(2)若7−43=e−f32，且e、f均为正整数，试化简：7−43；
(3)化简：7+21−80．
【题型3 二次根式的运算与求值技巧】
【例3】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.
【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( ).
A．1B．−1C．22002D．−22001
【题型4 二次根式中的新定义问题】
【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=m−n(m≥n)m+n(m2−3，
2−3>5−2，
5−2>6−5，
…
根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1，
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，
14+3=4−3(4+3)(4−3)＝4−3，
…
根据观察，请写出式子1n+n−1（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：|12+1−13+2|+|13+2−14+3|+|14+3−15+4|+•••+|1100+99−1101+100|．
【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−60，b>0)当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2 ≥x·1x，∴x+1x≥2，当且仅当x＝1x时，即x=1时，有x+1x有最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当x>0时，设y=x+4x，则当且仅当x=____时，y有最____值为_______；
（2）若x＞0，函数y=2x+1x，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．
【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a,b都是正数时，①若ab>1，则a>b；②若ab=1，则a=b；③abx>z，
∴y−x>0，z−x0，
∴a2+a4+a+1=241−a+24a+3=2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.
【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．
【答案】（1）x=y；（2）-1.
【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣x2−2016＝y+y2−2016，同理得②式：x+x2−2016＝y﹣y2−2016，将两式相加可得结论；
（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．
【详解】解：（1）∵（x﹣x2−2016）（y﹣y2−2016）＝2016，
∴x﹣x2−2016＝2016y−y2−2016＝2016(y+y2−2016)y2−y2−2016＝y+y2−2016①，
同理得：x+x2−2016＝y﹣y2−2016②，
①+②得：2x＝2y，
∴x＝y，
（2）把x＝y代入①得：x－x2−2016＝x+x2−2016，
∴x2＝2016，
则3x2－2y2+3x－3y－2017，
＝3x2－2x2+3x－3x－2017，
＝x2－2017，
＝2016－2017，
＝－1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简, 掌握分母有理化的方法是解题的关键.
【变式3-2】（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【答案】18﹣123．
【分析】首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x＝14，
∴y＝13，
∴23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
＝2xx+2xy﹣xx﹣5xy
＝xx﹣3xy
＝1414﹣314×13
＝18−32．
【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( ).
A．1B．−1C．22002D．−22001
【答案】B
【分析】由原式得2x−12=1994，得4x2−4x+1=1994，原式变形后再将4x2−4x+1=1994代和可得出答案.
【详解】∵x=1+19942，
∴2x−12=1994，即4x2−4x−1993=0，
∴4x3−1997x−1994=x4x2−4x−1993+4x2−4x−1993−1=−1．
∴原式=−12019=−1．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
【题型4 二次根式中的新定义问题】
【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数m、n，若定义新运算：m∯n=m−n(m≥n)m+n(m12，
∴27∯12 =27−12 =33−23 =3，
∴①的说法正确；
②等式的左边=11+2+12+3+...+12022+2023
=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+...+2023−2022(2023+2022)(2023−2022)
=2−1+3−2+...+2023−2022
=2023−1．
等式的右边=2023−1 =2023−1．
∴等式成立，
∴②的说法正确；
③当x≥y时，
左边=(x−y)(y+x)
=(x−y)(x+y)
=(x)2−(y)2
=x−y
=|x−y|
=右边，
当xn−12，
综合（1）、（2）可得：n−122−3，
2−3>5−2，
5−2>6−5，
…
根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1，
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，
14+3=4−3(4+3)(4−3)＝4−3，
…
根据观察，请写出式子1n+n−1（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：|12+1−13+2|+|13+2−14+3|+|14+3−15+4|+•••+|1100+99−1101+100|．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）2−101+9
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以n−n−1，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得12+1=2−1，13+2=3−2，…，1101+100=101−100分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵2−1>3−2，
3−2>4−3，
4−3>5−4，
5−4>6−5，
…，
∴n+1−n>n+2−n+1，
∴2021−2020>2022−2021，
故答案为：＞；
（2）1n+n−1
=n−n−1n+n−1n−n−1
=n−n−1；
（3）原式=|(2−1)−(3−2)|+|(3−2)−(4−3)|++…+|(100−99)−(101−100)|
=(2−1)−(3−2)+(3−2)−(4−3)+…+(100−99)−(101−100)
=(2−1)−(101−100)
=2−1−101+10
=2−101+9．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−610，
∴32+4>23+10，
∴32−40，b>0)当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0，1x＞0，∴x+1x2 ≥x·1x，∴x+1x≥2，当且仅当x＝1x时，即x=1时，有x+1x有最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）填空：当x>0时，设y=x+4x，则当且仅当x=____时，y有最____值为_______；
（2）若x＞0，函数y=2x+1x，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．
【答案】（1）2，小，4 ；（2）22，y有最小值22
【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；
（2）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值．
【详解】（1）∵x>0
∴y=x+4x2≥x×4x
∴y=x+4x≥4
当且仅当x=4x即x=2时，y有最小值4．
故答案为：2，小，4
（2）∵x＞0
∴2x+1x2≥2x×1x
∴y=2x+1x≥22
当且仅当2x=1x即x=22时，y有最小值22．
【点睛】本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题．
【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a,b都是正数时，①若ab>1，则a>b；②若ab=1，则a=b；③ab