新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题12函数与方程(原卷版+解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题12函数与方程(原卷版+解析)，共73页。

命题方向一：求函数的零点或零点所在区间
命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围
命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
命题方向四：嵌套函数的零点问题
命题方向五：函数的对称问题
命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型
命题方向七：唯一零点求值问题
命题方向八：分段函数的零点问题
命题方向九：零点嵌套问题
命题方向十：等高线问题
命题方向十一：二分法
【2024年高考预测】
2024年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的问题、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想．
【知识点总结】
1、函数的零点与方程的解
（1）函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与x轴有公共点．
（3）函数零点存在定理
如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．
2、二分法
（1）对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
①确定区间，验证，给定精确度；
②求区间的中点；
③计算；
a．若，则就是函数的零点；
b．若，则令（此时零点）；
c．若，则令（此时零点）．
④判断是否达到精确度，即：若，则得到零点近似值（或）；否则重复②③④．
【方法技巧与总结】
1、若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点．
2、连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．
3、连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号．
4、连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出．
【典例例题】
命题方向一：求函数的零点或零点所在区间
例1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
例2．（2023·北京·高三统考学业考试）函数的零点是（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式1．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
变式2．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·全国·校联考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2023·陕西汉中·统考一模）若函数的两个零点是，则（ ）
A．B．
C．D．无法判断
【通性通解总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
例7．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足.当时，，则在上的零点个数为___________.
例8．（2023·浙江·二模）已知函数，则至多有______个实数解.
例9．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数，当时的零点个数是___．
变式10．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．
变式11．（2023·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数零点的个数是__________．
【通性通解总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
命题方向四：嵌套函数的零点问题
例10．（2023·江苏·高三专题练习）设定义在R上的函数，若关于的方程有3个不同的实数解，则_____________.
例11．（2023·江西赣州·高三校联考）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为___________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m=______
变式13．（2023·四川成都·高三石室中学校考）已知函数,若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为___________.（其中e是自然对数的底数）
变式14．（2023·江苏扬州·高三扬州中学校考）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．
变式15．（2023·山东枣庄·高三阶段练习）设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是_________.
变式16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为__________.
【通性通解总结】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
命题方向五：函数的对称问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）．已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）若函数图象上存在不同的两点，关于轴对称，则称点对是函数的一对“黄金点对”（注：点对与可看作同一对“黄金点对”）．已知函数则此函数的“黄金点对”有（ ）
A．0对B．1对C．2对D．3对
例15．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）若函数图象上不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“姊妹点对”（点对与看作同一对“姊妹点对”），已知函数，则此函数的“姊妹点对”有（ ）
A．0对B．1对C．2对D．3对
变式17．（2023·全国·高三专题练习）若M，N为函数图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对（M，N）为函数的一个“配合点对”（点对（M，N）与点对（N，M）为同一“配合点对”）．现给定函数（e为自然对数的底数），若函数的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式18．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数（，e为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
转化为零点问题
命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型
例16．（2023·全国·模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为______．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是__________．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）设函数 记若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是________________________.
命题方向七：唯一零点求值问题
例19．（2023·江西·校联考二模）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．D．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
变式21．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1B．C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．1或C．或2D．或1
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
【通性通解总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
命题方向八：分段函数的零点问题
例22．（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
变式26．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【通性通解总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
命题方向九：零点嵌套问题
例25．（2023·河北沧州·高三统考阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为________．
例26．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为______．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.
变式27．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考开学考试）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______．
变式28．（2023·江苏苏州·高二江苏省震泽中学校考阶段练习）已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为_______．
变式29．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为__________.
【通性通解总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
命题方向十：等高线问题
例28．（2023·湖北武汉·高一期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
例29．（2023·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例30．（2023·江西上饶·高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式30．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
数形结合
命题方向十一：二分法
例31．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
例33．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
变式31．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
变式32．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3B．1.32C．1.4375D．1.25
变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分函数值如下表所示：
那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）
A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89
【通性通解总结】
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西萍乡·统考二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）函数的零点为（ ）
A．4B．4或5C．5D．或5
3．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数则在上的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．2023
4．（2023·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（2023·湖南·模拟预测）若函数在内有2个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·吉林长春·长春市实验中学校考二模）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·四川巴中·统考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·海南·校联考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增B． 的图象关于直线对称
C．若则D．有且仅有两个零点
11．（2023·福建福州·统考模拟预测）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上为减函数D．方程仅有6个实数解
12．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.
14．（2023·上海闵行·统考二模）已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；
15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
16．（2023·四川乐山·统考一模）函数 上所有零点之和为_____.
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f（x）
-1
0.875
-0.2969
0.2246
-0.05151
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
专题12 函数与方程
【命题方向目录】
命题方向一：求函数的零点或零点所在区间
命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围
命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
命题方向四：嵌套函数的零点问题
命题方向五：函数的对称问题
命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型
命题方向七：唯一零点求值问题
命题方向八：分段函数的零点问题
命题方向九：零点嵌套问题
命题方向十：等高线问题
命题方向十一：二分法
【2024年高考预测】
2024年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的问题、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想．
【知识点总结】
1、函数的零点与方程的解
（1）函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与x轴有公共点．
（3）函数零点存在定理
如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．
2、二分法
（1）对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
①确定区间，验证，给定精确度；
②求区间的中点；
③计算；
a．若，则就是函数的零点；
b．若，则令（此时零点）；
c．若，则令（此时零点）．
④判断是否达到精确度，即：若，则得到零点近似值（或）；否则重复②③④．
【方法技巧与总结】
1、若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点．
2、连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．
3、连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号．
4、连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出．
【典例例题】
命题方向一：求函数的零点或零点所在区间
例1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
【答案】D
【解析】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或，
当时，方程为：，解得，于是无解，
当时，方程为：，解得或，因此，
所以方程的解是或或.
故选：D
例2．（2023·北京·高三统考学业考试）函数的零点是（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】C
【解析】令 ，则 ；
故选：C.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
变式1．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
【答案】A
【解析】去绝对值可得.
时，，因此函数在单调递增；
时，.
（i）时，，因此在单调递增.
当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点；
当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误.
（ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增.
当时，.
（1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点.
（2）时，在区间没有零点.
当时，.
①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点.
②时，在区间没有零点.
综上所述，本题正确答案是A.
故选：A
变式2．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，
故函数在区间上单调递减，
又，
所以，
因为，，
由单调性知，即．
故选：B
变式3．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，解得；
当时，，其中，，
当时，解得，综上k的最大值是1.
故选：C.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在上单调递增，
，
所以的零点在区间.
故选：B
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，则1是的一个零点，
则有两个不同的零点有两种情形：
①1是方程的根，
则，即，此时方程有1，两个根，
故有1，两个不同的零点；
②1不是方程的根，则方程有两个相同的实数根，
则，得，此时，
故有1，两个不同的零点；
综上，函数有两个不同的零点，则或，
所以是有两个不同的零点的一个充分不必要条件，
故选：A.
例5．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当，，则，
因为，，
所以当时，单调递增，
若函数恰有4个零点,
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与，图象如下：


两图象只有两个交点，不符合题意，
当时，与轴相交与两点与图象如下：
当时，函数的函数值为，
当时，函数的函数值为，
所以两图象有四个交点，符合题意，

当时，与轴相交与两点与
图象如下：

在内两图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需要与在内还有两个根，
因为，所以，
所以有在内还有两个根，
即在内还有两个根，
所以在在内还有两个根，
因为（当且仅当时，取等号），
所以且，解得，
综上所述，k的取值范围为.
故选：D.
例6．（2023·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，单调递增且，此时至多有一个零点，
若有三个零点，则时，函数有两个零点；
当时，，故；
当时，要使有两个零点，
则，
所以，又，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
由于当时，，，且；
当时，，，且，
作出函数的图象如图所示，
则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，
的取值范围是．
故选：C．
变式6．（2023·全国·校联考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；
②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；
③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．
则在上有两个零点，此时必须满足，解得．
综上，得或．
故选：A
变式7．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，
可得图象如下图所示，
有个零点，，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
变式8．（2023·陕西汉中·统考一模）若函数的两个零点是，则（ ）
A．B．
C．D．无法判断
【答案】C
【解析】令，则，如图分别画出和，
两个零点分别设为，且函数单调递减，
如图可知，，，即，
所以.
故选：C
【通性通解总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
例7．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足.当时，，则在上的零点个数为___________.
【答案】160
【解析】因为函数满足，
所以，所以的最小正周期为3，
当时，令，
解得或，所以当时，有两个零点，
所以在上的零点个数为个.
故答案为：160.
例8．（2023·浙江·二模）已知函数，则至多有______个实数解.
【答案】7
【解析】由可得，由知，，
当时，，，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，，在单调递增，
则可作出函数的大致图像如图：
三个图分别对应时的情况，
设，则即，
则的解的个数问题即为的交点个数问题，
结合的图象可知的交点个数最多是3个，
即为图2个和图3所示情况，
不妨设交点横坐标为，当如图2所示时，，
此时无解，有1个解，最多有3个解，
故此时最多有4个解；
当如第3个图所示时，，
此时有一个解，最多有3个解，最多有3个解，
故此时最多有7个解；
故答案为：7
例9．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
【答案】1
【解析】注意到，在同一坐标系中作出与的图象，
易知零点个数为1.
故答案为：1.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数，当时的零点个数是___．
【答案】2
【解析】,
令，，当时，，
当时，，故在处取得极大值，
且在上单调递增，则，
又，，
则，，且函数在上连续不间断，
则存在，，使得，
所以时， 有两个零点.
故答案为：2.
变式10．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．
【答案】7
【解析】函数的零点即为方程的根，解方程得或．
作出函数的图像，如图所示．
由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点．
因此函数的零点有7个．
故答案为：7
变式11．（2023·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.
【答案】
【解析】当时，，解得；
当时，得，
易得，
作出函数，的图象，如图，
所以，结合指数函数与幂函数性质，函数，在有两个交点，
所以当时，有两个实数根，
所以，函数的零点个数为
故答案为：
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数零点的个数是__________．
【答案】
【解析】令，即，解得或，
作出函数的图象如图，
由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同，
所以，的实数解有个，
所以，函数零点的个数是个.
故答案为：
【通性通解总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
命题方向四：嵌套函数的零点问题
例10．（2023·江苏·高三专题练习）设定义在R上的函数，若关于的方程有3个不同的实数解，则_____________.
【答案】3
【解析】作出函数的图象，如图，
易知函数图象关于对称，
若关于的方程有3个不同的实数解，
则方程必有一个根使，不妨设为，
而另外两根关于直线对称，
于是.
故答案为：3.
例11．（2023·江西赣州·高三校联考）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为___________.
【答案】
【解析】根据已知部分的函数解析式和偶函数对称性，画图象如图，令，则原方程可化为，
根据图象可知，要使原方程恰好有个不同的实数根，
只需有两个不等的实数根、，
由韦达定理可知，，，解得，，
故.
故答案为：.
例12．（2023·全国·高三专题练习）设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m=______
【答案】2
【解析】∵题中原方程有个不同的实数根，∴即要求对应于等于某个常数有个不同实数解和个不同的实数解，∴故先根据题意作出的简图：
由图可知，只有当时，它有三个根，故关于
的方程有一个实数根，∴，∴或，时，方程
或,有5个不同的实数根，∴．
变式13．（2023·四川成都·高三石室中学校考）已知函数,若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为___________.（其中e是自然对数的底数）
【答案】5
【解析】因为,所以当时，，
当时，，即满足，则是偶函数.
当时，则，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，,
作出函数的图象，如图所示：
设，因为有8个不同的实数解，
所以由图象可得，关于t的方程有2个不同的实数解，且都大于e，
所以有，解得，
又因为，所以整数m的值为5，
故答案为：5.
变式14．（2023·江苏扬州·高三扬州中学校考）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．
【答案】
【解析】由题意，作出函数图象，如图所示：
令，根据图象可知，
关于x的方程有6个不同的实数解，
可转化为关于t的方程有2个不同的实数解，
且必有一个解为0，另一个解大于0，所以．
则，解为，．
所以，即．
所以．
故答案为：．
变式15．（2023·山东枣庄·高三阶段练习）设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是_________.
【答案】.
【解析】，所以关于直线对称，
在上递减，且；在上递增，且.
是方程的根.
令，，
由于关于的方程有五个不同的实数解，
所以有两个大于且小于的不相等的实数根，
令，
则，即，解得.
故答案为：
变式16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】作出函数的大致图象，如图所示，
令，则可化为，
则或，
则关于的方程恰有5个不同的实数解
等价于的图象与直线的交点个数之和为5个，
由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，
所以的图象与直线的交点个数为3个，
即此时，解得.
故答案为：.
【通性通解总结】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
命题方向五：函数的对称问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）．已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，
的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数与函数有两个交点，
即方程有两个不等式的正实数根，
即有两个不等式的正实数根，
即转化为函数图象与函数图象有2个交点．
，
当时，，单调递增．
当时，，单调递减．且时，，时，
所以
所以图象与函数图象有2个交点．
则，解得．
故选：B
例14．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）若函数图象上存在不同的两点，关于轴对称，则称点对是函数的一对“黄金点对”（注：点对与可看作同一对“黄金点对”）．已知函数则此函数的“黄金点对”有（ ）
A．0对B．1对C．2对D．3对
【答案】D
【解析】由题意，不妨设，且，
①当时，，即为与在的交点的横坐标，如下图：
故此函数在的“黄金点对”有2对；
②当时，，为与在的交点的横坐标，如下图：
故此函数在的“黄金点对”有1对，
综上所述，此函数的“黄金点对”有3对．
故选：D．
例15．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）若函数图象上不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“姊妹点对”（点对与看作同一对“姊妹点对”），已知函数，则此函数的“姊妹点对”有（ ）
A．0对B．1对C．2对D．3对
【答案】B
【解析】根据题意可得的“姊妹点对”数即为与的图象的交点个数，
画出两个函数的图象如下：
由图可得两个函数的图象有1个交点，即此函数的“姊妹点对”有1对．
故选：B．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）若M，N为函数图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对（M，N）为函数的一个“配合点对”（点对（M，N）与点对（N，M）为同一“配合点对”）．现给定函数（e为自然对数的底数），若函数的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数0）的图象关于原点对称的图象所对应的函数为
的图象上恰好有两个“配合点对”等价于函数与函数有两个交点，
即方程有两个不等式的正实数根，
即有两个不等式的正实数根，
即转化为函数图象与函数图象有2个交点．
，，
所以在上单调递增，且
所以当时，，单调递减．
当时，，单调递增．且时，，时，
所以
如图，函数图象与函数图象有令个交点．
则，解得．
故选：B．
变式18．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数（，e为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数（）与的图象上存在关于直线对称的点，
则函数（，e为自然对数的底数）
与函数的图象有交点，
即在上有解，
即在上有解，
令，（），
，
当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
故时，函数取得最小值，
当时，，
当时，，
故实数的取值范围是．
故选：A
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知方程在区间上有解，
再转化为方程在内有解，构造函数， ，得，
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．
函数在处有最小值，
又，，且，
∴，
所以，，
故选：B．
【通性通解总结】
转化为零点问题
命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型
例16．（2023·全国·模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点．
∵，，
∴函数与函数的图像的唯一交点为．
又∵，且，，
∴在上恒小于零，即在上为单调递减函数．
又∵，当且仅当，即时等号成立，且是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数，
∴可得函数与函数的大致图像如图所示．
∴要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则．
∵，，
∴，解得．
对∵，∴实数的取值范围为．
故答案为：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，得，且
由，则
若，则，此时，在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.
若，设，则，所以在上单调递增
由，所以有唯一实数根，设为，即
则当时，，，则在单调递减，
当时，，，则在单调递增，
所以当时，
由可得，即，即
所以，
又当时，，
当，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得
所以函数有两个不同零点，则
设，则
当时，有，则在上单调递增.
当时，有，则在上单调递减.
又当时，，
所以当时，，当时，，
所以的解集为
故答案为：
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】转化为有四个解，
即在范围内有四个解，
即在范围内有四个解，
即在范围内有四个解，
即在范围内有四个解，
令，
则，
令得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
做出大致图像如下：
令，
则原方程转化为，
令，
，
令得，
当时，，当时，，
所以在递减，在递增，
做出大致图像如下：
所以时，对应解出两个值，
从而对应解出四个值，
故答案为：.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）设函数 记若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是________________________.
【答案】
【解析】依题意，令，即，
设，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
因此当时，，因当时，的取值集合为，的取值集合为，
则当时，的取值集合为，当时，的取值集合为，
的取值集合为，即当时，的取值集合为，
所以函数至少存在一个零点，实数的取值范围是.
故答案为：.
命题方向七：唯一零点求值问题
例19．（2023·江西·校联考二模）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【解析】已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：
∴令∵有唯一零点，且是偶函数，
所以，∴
∴或
若时，则
当时，则令解得，∴（不合题意舍去）
若时，则
∵在上单调递减∴
∵是偶函数∴只有唯一零点0
∴只有唯一零点2023
综上：.
故选：D.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，
故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，
∴，即．
故选：D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
记，则，令则，所以是偶函数，图象关于轴对称，因为只有唯一的零点，所以零点只能是于是
故选：C
变式21．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A．B．3C．或3D．4
【答案】B
【解析】，令，
则有是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即，从而.
当时，有3个零点，舍去.
故，此时，则，故.
故选：B
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解.因为，
令 则，
因为函数有唯一零点，
所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得，
故选：D.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．1或C．或2D．或1
【答案】A
【解析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：，
由于关于对称，
则关于对称，
为偶函数，关于轴对称，
则关于对称，
由于有唯一零点，
则必有，，
即：，
解得：或.
故选：A.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】函数有唯一零点，
设
则函数有唯一零点，
则
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，
∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），
故选A．
【通性通解总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
命题方向八：分段函数的零点问题
例22．（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
故选：D
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令可得，
当时，，
当时，的图象与关于轴对称，
所以作出函数与函数的图象如下图所示：
由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，
此时，函数有2个零点.
因此，实数的取值范围是.即实数的最小值为1.
故选：D
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令可得出，令，
由于函数有零点，
所以，实数的取值范围即为函数的值域.
当时，；
当时，由于函数均为单调递增函数，故函数单调递增，此时，.
综上所述，函数的值域为.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】当时，，
令，解得，
即函数在上有两个零点，
由题意得：在上无零点.
所以在上无解，
即在上无解，
当时，，
所以或.
故选：D
变式26．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】因为，
所以或
解得或
故函数有两个零点，
故选：B
【通性通解总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
命题方向九：零点嵌套问题
例25．（2023·河北沧州·高三统考阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为________．
【答案】1
【解析】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，
∴，作出的图象，如图
要使有三个不同的零点，，其中
令，则需要有两个不同的实数根（其中）
则，即或，且
若，则，∵，∴，则
∴，则，且
∴=
若，则，因为，且，
∴，故不符合题意，舍去
综上
故答案为：1
例26．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为______．
【答案】4
【解析】，又，
则有三个不同的零点，，，且，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增
则在时取得最大值，时，
令，则
则必有二根，且
则
则有一解，有二解且
故
故答案为：4
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.
【答案】36
【解析】因为
所以
因为，所以
有三个不同的零点，
令，则，
所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以,当时，
令，则
必有两个根，不妨令，
且,
即必有一解，-有两解，
且，
故
.
故答案为：36.
变式27．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考开学考试）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______．
【答案】
【解析】由，两边同时除以变形为，
有
设即，所以
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，当时，其大致图像如下．
要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，且．
结合图像可得关于t的方程一定有两个不等的实数根，
且，从而．
，，则，．
所以
.
故答案为：
变式28．（2023·江苏苏州·高二江苏省震泽中学校考阶段练习）已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为_______．
【答案】
【解析】由题意令，
，
令，则
所以函数有四个不同的零点，
等价于关于 的方程，
即方程有两个不同的实根，
且此时直线与的图象应有四个交点，
交点的横坐标分别为，
由上，；上，，
，
且当时，；当时，，
所以由数形结合可知：
，
故答案为：
变式29．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为__________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，由可得，
令，可得，即，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，当时，，且，
作出函数的图象如下图所示：
若使得方程由三个不等的实根、、，且满足，
则关于的方程有两个不等的实根、，设，
由韦达定理可得，则，
由图可知，，
因此，.
故答案为：.
【通性通解总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
命题方向十：等高线问题
例28．（2023·湖北武汉·高一期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】D
【解析】函数图像如图所示，
，，，，
由，
∴，
当且仅当时，等号成立，此时；
，当且仅当时等号成立，此时.
所以的最小值为.
故选：D
例29．（2023·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】作函数和的图象，如图所示：
当时，，即，解得，此时，故A错误；
结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；
当时，，即，
故，即，所以，
故，即，所以，故D正确.
故选：D.
例30．（2023·江西上饶·高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象如下：
因为方程有四个不同的解，，，，且，
所以有，，
故，
再由可得或，即，
令，（），
任取，则，，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
又，，所以.
即的取值范围是.
故选：B.
变式30．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以函数的图象关于直线对称，
设五个零点分别为，且，
则，
所以,所以，
则，由，可得，则.
故选：C.
【通性通解总结】
数形结合
命题方向十一：二分法
例31．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，若，即.
故选：B．
例32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（ ）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
【答案】C
【解析】在上单调递增.
设近似值为，
由表格有，
所以
故选：C
例33．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【解析】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
【答案】C
【解析】因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；
故选：C
变式32．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3B．1.32C．1.4375D．1.25
【答案】B
【解析】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可.
故选：B
变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分函数值如下表所示：
那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）
A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89
【答案】B
【解析】根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57
故选：B
【通性通解总结】
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西萍乡·统考二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
2．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）函数的零点为（ ）
A．4B．4或5C．5D．或5
【答案】C
【解析】由题意可得：，解得，故的定义域为，
令，得，则，解得或，
又∵，所以．
故选：C.
3．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数则在上的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．2023
【答案】B
【解析】解:由题知
所以,
当时,
当时,
,
当时，，；
当时，，；
故，
综上， 在上单调递增,
因为,
故函数在上有1个零点.
故选:B
4．（2023·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】令解得，
的定义域为，
的图像如图所示，
由图像可知在和上单调递减，在和上单调递增，
所以由复合函数单调性可知在和上单调递减，在和上单调递增，
的图像如图所示，
由图像可知有两个根，有四个根，
所以函数有6个零点，
故选：C
5．（2023·湖南·模拟预测）若函数在内有2个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得或．
依题意可得，且，所以，且．
故选：D．
6．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若方程恰有三个不同的实数根，
则函数与有3个不同的交点
如图与的图像
由图可得函数与有3个不同的交点，则
故选：A.
7．（2023·吉林长春·长春市实验中学校考二模）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
8．（2023·四川巴中·统考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，
因为当时，，所以；
当时，，；
当时，，；
且，如图令，得或；
若对任意，都有，结合图像则的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·海南·校联考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】对于选项A，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点，
故选项A正确.
对于选项B，因为，所以该函数不是偶函数，故选项B错误.
对于选项C，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点，
故选项C正确.
对于选项D，令，即，无实数解，所以函数不存在零点，
故选项D错误.
故选：AC
10．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增B． 的图象关于直线对称
C．若则D．有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．
11．（2023·福建福州·统考模拟预测）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上为减函数D．方程仅有6个实数解
【答案】ABD
【解析】A：为偶函数，故，
令，得，
为奇函数，故，
令，得，其中，
所以，故A正确；
B：因为为奇函数，则,得，
又为偶函数，则，得，
所以，令得，
即，则，
即，所以8为函数的一个周期.
故，所以，
从而为奇函数，故B正确；
C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称，
所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误；
D：作出与的大致图象，如图所示，
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，
故方程仅有6个实数解，故D正确.
故选：ABD.
12．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】令，则方程化为，
由给定的选项知，方程有实根，设其根为，
函数定义域为R，
，在上递减，在上递增，
且的图象关于直线对称，，
当时，方程无解，
当时，方程有一解，
当时，方程有两解且和为2，
对于A，当时，方程有两解且和为4，
与题意矛盾，故A不符合要求；
对于B，当时，方程有两解且和为2，又关于对称，故B符合要求；
对于C，当时，方程有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C不符合要求；
对于D，当时，方程有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又关于对称，关于对称，故D符合要求，
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.
【答案】36
【解析】因为
所以
因为，所以
有三个不同的零点，
令，则，
所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以,当时，
令，则
必有两个根，不妨令，
且,
即必有一解，-有两解，
且，
故
.
故答案为：36.
14．（2023·上海闵行·统考二模）已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；
【答案】4
【解析】的零点为2，即的图象过点（2，0），
所以的图象过点（0，2），
即，解得，
故答案为：4
15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】方程在（0，2]上恰有三个根，
即直线与函数的图像有三个交点，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，1]上单调递增.
结合函数的“周期现象”得f（x）在（0，2]上的图像如下：
由于直线l；过定点A（0，）.如图连接A，B（1，0）两点作直线，过点A作的切线l2，
设切点P（，），其中，则斜率
切线过点A（0，）.
则，即，则，
当直线绕点A（0，）在与之间旋转时.
直线与函数在[-1，2]上的图像有三个交点，故
故答案为：
16．（2023·四川乐山·统考一模）函数 上所有零点之和为_____.
【答案】4
【解析】函数，即，
函数和都关于对称，
所以函数和的交点也关于对称，
如图画出两个函数在区间的函数图象，
两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，
交点横坐标的和.
故答案为：4
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f（x）
-1
0.875
-0.2969
0.2246
-0.05151
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897