新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类能力拓展01玩转指对幂比较大小(原卷版+解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类能力拓展01玩转指对幂比较大小(原卷版+解析)，共54页。

命题方向一：直接利用单调性
命题方向二：引入媒介值
命题方向三：含变量问题
命题方向四：构造函数
命题方向五：数形结合
命题方向六：特殊值法、估算法
命题方向七：放缩法
命题方向八：不定方程
命题方向九：泰勒展开
命题方向十：同构法
【方法技巧与总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
【典例例题】
命题方向一：直接利用单调性
例1．（2023·北京大兴·校考三模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知，，，则三数大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）设，，，则，a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·福建·高二统考学业考试）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习），，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
命题方向二：引入媒介值
例4．（2023·江西抚州·高一校考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考期中）已知a=0.60.6，，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．aC．b变式6．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
命题方向三：含变量问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·天津·高三专题练习）已知，记，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式9．（2023·天津红桥·统考一模）设，且，则的大小关系为
A．B．C．D．
命题方向四：构造函数
例10．（2023·山西晋中·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例11．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知实数，，，满足，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式10．（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式11．（2023·天津滨海新·高三校考期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式12．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若a＝，，c＝，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜a
C．c＜b＜aD．c＜a＜b
变式14．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
变式15．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式17．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
命题方向五：数形结合
例13．（2023·江西赣州·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c与1的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式18．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知实数，，，那么实数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，且，则与2的关系为
A．B．C．D．大小不确定
变式20．（2023·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
命题方向六：特殊值法、估算法
例16．（2023·全国·高三专题练习）若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全国·高三对口高考）若，且，当时，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，（），则（ ）
A．B．
C．D．
变式22．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式23．（2023·全国·校联考模拟预测）设为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式24．（多选题）（2023·海南·统考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
命题方向七：放缩法
例19．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，，，则p，q，r的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考期中）设，，，则a，b、c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．
C．D．
变式25．（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．，大小关系无法确定
变式26．（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A．B．C．D．
变式27．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式28．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
命题方向八：不定方程
例22．（2023·全国·长郡中学校联考二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
例23．（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
例24．已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是
A．B．C．D．
命题方向九：泰勒展开
例25．已知，则（ ）
例26．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例27．设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
变式30．设，则（ ）
A． B． C． D．
命题方向十：同构法
例28．已知，，且满足，则
A．B．C．D．
例29．已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是
A．B．C．D．
例30．若，则
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三对口高考）已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河南安阳·统考三模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列大小关系中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）下列大小关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为__________．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）
14．（2023·全国·高三专题练习）设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大）_______.
16．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c大小关系是____________．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则M，N的大小关系为________．
18．（2023·全国·高三专题练习）与的大小关系为________．
19．（2023·山东德州·高二校考阶段练习）已知，则的大小关系为__________.（从小到大）
20．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）正数满足，则a与大小关系为______．
21．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为______．（用“”连接）
22．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系是_____．（用“”连接）
能力拓展01 玩转指对幂比较大小
【命题方向目录】
命题方向一：直接利用单调性
命题方向二：引入媒介值
命题方向三：含变量问题
命题方向四：构造函数
命题方向五：数形结合
命题方向六：特殊值法、估算法
命题方向七：放缩法
命题方向八：不定方程
命题方向九：泰勒展开
命题方向十：同构法
【方法技巧与总结】
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
【典例例题】
命题方向一：直接利用单调性
例1．（2023·北京大兴·校考三模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递减，所以，
，又，即，
所以.
故选：D
例2．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知，，，则三数大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，即，而，，
所以.
故选：D
例3．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）设，，，则，a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
由此可知.
故选：D.
变式1．（2023·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
故选：A.
变式2．（2023·福建·高二统考学业考试）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，.
故选：D.
变式3．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知，，
即：，又，所以；
，
，
，
所以：.
故选：C.
变式4．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，
．
故选：D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习），，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题知，
，，
，
∵，
∴，
故选：C．
命题方向二：引入媒介值
例4．（2023·江西抚州·高一校考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，
故选：A
例5．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
显然，，且，即，
所以，
所以.
故选：C
例6．（2023·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考期中）已知a=0.60.6，，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．aC．b【答案】C
【解析】，，，所以.
故选：C.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．
故选：B
变式7．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，又，即，即，所以，
因为为偶函数，所以，又在上单调递增，
所以．即；
故选：D．
命题方向三：含变量问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：∵，
∴，．
方法二：令，则．
故选：C.
例8．（2023·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因，，则，即，
令，则，函数在上单调递增，有，
即，从而当时，，令，，在上单调递减，
则由，得，
所以.
故选：A
例9．（2023·天津·高三专题练习）已知，记，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：因为，
所以，
所以，
故选：A
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，可得，且a＞1＞b＞0，不难判断x，y，z的大小关系，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.∵a＞b＞0，，
∴可得，且a＞1＞b＞0，
∴，
，
，
又，
，单调递增，
，
∴，
∴，
∵，，，
根据对数函数性质可得，
∴．
故选B．
变式9．（2023·天津红桥·统考一模）设，且，则的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当a>1时,易知>2a，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>p
又∵(+1)−(a−1)=−a+2恒大于0(二次项系数大于0,根的判别式小于0,函数值恒大于0),即+1>a−1，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知m>n
又∵当a>1时2a显然大于a−1，同上，可知p>n.
综上∴m>p>n.
故选B.
命题方向四：构造函数
例10．（2023·山西晋中·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在内单调递增，且，
所以，
令，所以，
当，单调递增；当，单调递减；
所以，所以即，
因为，且，
所以，
综上，
故选：B
例11．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，，
则，
当时，，∴在区间上单调递增，
∴，即，
又∵在上单调递增，∴，即，∴，即；
令，，
则，
当时，，∴在区间上单调递增，
∴，即，∴，
综上所述，，，的大小关系为.
故选：C.
例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知实数，，，满足，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意， ，
又 ， 即 ；
设 ，则 ，当 时， ，单调递增，
时， ， ，
又，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，
， ；
故选：D.
变式10．（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设函数,则，
当时，，递减；当时，，递增，
故，即，当时取等号；
∵，∴，∴，
由以上分析可知，则时，有成立，当时取等号，，
即，当时取等号，∴，∴，
故，
故选：B.
变式11．（2023·天津滨海新·高三校考期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，
故令，则，
因为，所以，故恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
故，
又因为在上单调递增，所以，即.
故选：B.
变式12．（2023·全国·高三统考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设函数，
则．
令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以，即，
所以．
故选：D．
变式13．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若a＝，，c＝，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜a
C．c＜b＜aD．c＜a＜b
【答案】B
【解析】设，
，，
时，，设，则，
所以在上是增函数，，
所以时， ，
所以，即，即，，
设，，，所以是增函数，
，，，从而，，，
综上，．
故选：B．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，，
令，构造函数，，
则，因为，所以
得，
下面说明，
因为，所以，即，所以，
所以当时，，所以在是增函数，
因为，所以，
即，整理可得，即，
因为，，
令，构造函数，，
则，令，
则，故在是增函数，
所以 ，所以在是增函数，
所以，即，
所以，即，
综上，.
故选：C.
变式15．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】要比较，，等价于比较的大小,
等价于比较,
即比较,
构造函数,,
令得,令得,
所以在单调递增, 单调递减.
所以,
因为，
所以最大，即，，中最大，
设，
结合的单调性得，，
先证明，其中，
即证，
令，，其中，
则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
则有，
由可知，
所以，
因为，所以即，
因为，在单调递增，
所以，即，
因为 所以所以，
即，
因为，在单调递减.
所以，
即，即，
综上，，
故选:B.
变式16．（2023·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
因为，，则，，
令且，则，则递减，
所以，即，则，故；
因为，，由，
令且，则，则递增；
故，，而，
所以，则，即，
综上，.
故选：D
变式17．（2023·四川成都·高三成都七中校考开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
所以在上递减，所以，即，
设，则，递增，
则，即，
所以，即
因为，，
所以只要比较的大小即可，
令，则，
因为在上为减函数，且，
所以当时，，
所以在上为减函数，
因为，，
要比较与的大小，只要比较与的大小，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以当时，，所以，
所以，所以，
所以当时，，
所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以，即
所以，
故选：D
命题方向五：数形结合
例13．（2023·江西赣州·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
，其中，
在同一坐标系内画出，
故
故选：D
例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】

作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，
当时，，，，故A，B正确.
令，则，在上单调递减，所以，故C错误.
，所以，故D正确.
故选：ABD.
例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c与1的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，则
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增,
而 ，由可知 ，
故作出函数大致图象如图：
由图象易知，，
故选：C.．
变式18．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知实数，，，那么实数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于可得，即，
又由于，所以，
假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D，
所以，，，
所以,所以即，
所以，
所以，
所以即，解得，
在中，即，
所以，
由于即，所以，
所以，
因为，所以，
所以
故选：B
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，且，则与2的关系为
A．B．C．D．大小不确定
【答案】A
【解析】由题，,令则有，所以当时，
当时，，所以,在时取得极大值和最大值.
又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在
使得,不失一般性令 ,则,，
对于任意的,分别取两点、，
现在比较和的大小. ，
令分子部分为,.
求导有,
当时, ;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在 上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A．
变式20．（2023·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，由得，，即，
，由得，，
令，，恒成立，所以在递增，又，，所以在上存在唯一零点，所以，
，则得，即，
令，，或时，，时，，所以在和上是增函数，在上是减函数，
而，，，所以在上有唯一零点，所以．综上．
故选：B．
命题方向六：特殊值法、估算法
例16．（2023·全国·高三专题练习）若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以取，
则，，显然，故可排除选项A和B；
又，故可排除选项C.
故选：D.
例17．（2023·全国·高三对口高考）若，且，当时，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令
A,C选项错误;
,D选项错误;
,
,
,
,B选项正确.
故选:B.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，令，，则满足，但，故A错误；
对于B，若使，则需满足，但题中，故B错误；
对于C，同样令，，则满足，但，故C错误；
对于D，已知，由不等式的可加性可得，故D正确.
故选：D.
变式21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，（），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若，则，∴，，，故A错．
若，则，∴，，故B错．
对于C，由得：，即.
同理由得：，
所以，故C正确；
对于D，同上得：,故D错误.
故选：C．
变式22．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】令，，在上单调递减，时，，
∴，即，∴，∴，即，∴，排除AB.
时，，，，，
显然，，所以，选C，时可得相同结论，时取“”.
故选：C.
变式23．（2023·全国·校联考模拟预测）设为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于选项A，设，
所以此时，所以该选项错误；
对于选项B，设，
所以，所以该选项错误；
对于选项C，设，
所以，所以该选项错误；
由题得，因为函数单调递增，所以．
故选：D
变式24．（多选题）（2023·海南·统考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】由，故，
当时，A错；
由在定义域上递减，而，故，B错；
由，而在定义域上递增，故，C对；
因为，则，
仅当，即时等号成立，
所以，只需，而，仅当时等号成立，
综上，，仅当时等号成立，D对.
故选：CD
命题方向七：放缩法
例19．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，，，则p，q，r的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，
因为，即，
所以，即，
又因为，
所以.
故选：D.
例20．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考期中）设，，，则a，b、c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵，，，
又，
，
所以，即，
，即，
∴.
故选：A.
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.因为，故

所以 ，即
故选D
变式25．（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．，大小关系无法确定
【答案】C
【解析】易知，设，
则，设，
则，所以单调递减，
所以，即，单调递减，
因为，所以.
故选：C.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意化简得，能得出，化为指数根据当或时，判定，将两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的进而得出答案.因为，，所以，
对于，令，则故
当或时，，所以，即
所以，
将两边同时取底数为4的指数得
因为
所以
故选：B.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，，，则
，
因为，
所以，
所以，
设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以，
所以，所以，所以，所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
变式28．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
，，，
，，
，
故选：．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析：由已知得，，，
则，
因为，
所以有，
所以
设，，当时，，
所以在上单调递减，因此，即，
所以，
所以，
所以，
所以，又，
所以，综上可知
故选：．
命题方向八：不定方程
例22．（2023·全国·长郡中学校联考二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】C
【解析】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C
例23．（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，a、b、c是正实数，
所以，
因为，所以，
对于A，若，则，满足题意；
对于B，若，则，满足题意；
对于C，若，则，满足题意；
对于D，若，则，不满足题意．
故选：D．
例24．已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】先比较与2的大小，
因为，
所以，
所以，即，
故排除，，
再比较与2 的大小，
易得，当时，由，得与矛盾，舍去，
故，则有，得，
令，，
令，则，
故，
故，
从而．
故选：．
命题方向九：泰勒展开
例25．已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
例26．（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
∵，而在上单调递增，
∴
且时，，以下是证明过程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
则，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
∴，
∴，
∴.
故选：C．
例27．设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，由函数切线放缩得，因此．
故答案为：
变式30．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选
命题方向十：同构法
例28．已知，，且满足，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
，，，，
又，，
，
，．
故选：．
例29．已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由已知，因为，
所以原式可变形为，
令，，
函数与均为上的增函数，且，且（1）（1），
当时，，，，
当时，，，，
要比较与的大小，只需比较与的大小，
，
设，则，
故在上单调递减，
又（1），（2），
则存在使得，
所以当时，，
当，时，，
又因为（1），（1），（4），
所以当时，，当时，正负不确定，
故当，时，，所以（1），故，
当，时，正负不定，所以与的正负不定，
所以，，均有可能，即选项，，均有可能，选项不可能．
故选：．
例30．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为；
因为，
所以，
令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；
且（a）；
故选：．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三对口高考）已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，又，
分别画出这两个函数的图象，
其中的图象可看成是由的图象向上平移1个单位得到，如图，

由图可知：．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
3．（2023·河南安阳·统考三模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，
，，
，，
故选：B.
4．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，则，
且，即.
故选：B
5．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数，得，
由题意可得，，即.
设，，
因为，所以，
易得在上单调递减且，，
故.
由，，
由题意得：，易知，所以，
因为，所以.
故选:D.
6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
可得，
设，可得，所以单调递减，
则，即，所以；
又由，
设函数，可得，
当时，，单调递增，
所以，即，所以，
所以.
故选：C.
7．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，
，∴，
，∵，
且在R上为增函数，∴，即，
故选：C．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，∴，A选项正确；
，B选项正确；
，，由，得，即，C选项错误；
，D选项正确.
故选：ABD
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列大小关系中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因，则，因此，A不正确；，B正确；
，C不正确；而，即有，D不正确.
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）下列大小关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，而是增函数，所以，即，故A正确；
对于B，根据指数函数为单调递减可知，，
又由幂函数为单调递增可知，
所以，故B正确；
对于C，由换底公式可知，
根据对数函数单调性可知， ,
所以，故C错误；
对于D，由指数函数单调性可知，所以，故D正确；
故选：ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，，又，所以，所以；
故选：AD
三、填空题
12．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为__________．
【答案】
【解析】因为在上单调递减，，
故且，所以，
因为在R上单调递减，，
所以，
，
故.
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）
【答案】
【解析】，所以，
，所以，
，所以，
，所以，所以.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．
【答案】
【解析】因为x，y，z为正数，可设，
则，
因为，所以，
所以，即．
故答案为：．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大）_______.
【答案】
【解析】因为，所以，
=
，
所以即，
所以，故有
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c大小关系是____________．
【答案】/．
【解析】令，，则，
令，得，即在上单调递增，
，
∴，即，
即，
令，则，
令得，即在单调递减，
因为，所以，即，
所以，即.
所以.
故答案为：.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则M，N的大小关系为________．
【答案】
【解析】令，
显然是R上的减函数，∴，即.
故答案为：.
18．（2023·全国·高三专题练习）与的大小关系为________．
【答案】
【解析】因为，
又，0<π－e<1，
∴，
即，
即.
故答案为：.
19．（2023·山东德州·高二校考阶段练习）已知，则的大小关系为__________.（从小到大）
【答案】
【解析】由，
令，可得，所以单调递减，
所以，即，
令，可得，所以单调递增，
所以，即，
又由，所以，即，所以，
所以.
故答案为：.
20．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）正数满足，则a与大小关系为______．
【答案】/
【解析】因为，
所以，
设，则，
所以，
又因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以.
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为______．（用“”连接）
【答案】
【解析】令，则在恒成立，故在上单调递减，
则，即，即．
令，则在上恒成立，故在上单调递增，
则，即，所以，即，
综上，的大小关系为.
故答案为: .
22．（2023·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系是_____．（用“”连接）
【答案】
【解析】
由幂函数在为减函数知在上单调递增，
故，
即.
故答案为：.