人教版九年级上册数学举一反三24.9弧长和扇形的面积【十四大题型】(学生版+解析)

这是一份人教版九年级上册数学举一反三24.9弧长和扇形的面积【十四大题型】(学生版+解析)，共75页。
专题24.9 弧长和扇形的面积【十四大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc3559" 【题型1 求弧长】  PAGEREF _Toc3559 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4220" 【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】  PAGEREF _Toc4220 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31762" 【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】  PAGEREF _Toc31762 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc5442" 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】  PAGEREF _Toc5442 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc21516" 【题型5 直接求扇形面积】  PAGEREF _Toc21516 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc24078" 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】  PAGEREF _Toc24078 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc31894" 【题型7 求弓形面积】  PAGEREF _Toc31894 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc31808" 【题型8 求其他不规则图形的面积】  PAGEREF _Toc31808 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc30894" 【题型9 求圆锥侧面积】  PAGEREF _Toc30894 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc10642" 【题型10 求圆锥底面半径】  PAGEREF _Toc10642 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc6924" 【题型11 求圆锥的高】  PAGEREF _Toc6924 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc5659" 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】  PAGEREF _Toc5659 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc25256" 【题型13 圆锥的实际问题】  PAGEREF _Toc25256 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc32585" 【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】  PAGEREF _Toc32585 \h 17【知识点 弧长和扇形的面积】设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，弧长公式：l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：S扇形=n360πR2=12lR母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）【题型1 求弧长】【例1】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上一点，如果⊙O的半径为6，∠BCE=60°，那么BCD的长为（    ）  A．6π B．12π C．2π D．4π【变式1-1】（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是 ．  【变式1-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O与AD相交于点E，与BD相交于点F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，则FB的长为（    ）  A．π3 B．2π3 C．π9 D．2π9【变式1-3】（2023·河南濮阳·统考一模）如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB=60°，AO=2，分别以OA，OB的中点E，F为圆心12OA的长为半径作半圆，两个半圆相交于点C，则图中阴影部分的周长为 ．    【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】【例2】（2023春·山西·九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若∠P=60°，水平面上点M与点B之间的距离为4π，则AMB所在圆的半径是（    ）A．3 B．6 C．9 D．12【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）若弧长为4πcm的扇形的面积为8πcm2，则该扇形的半径为 cm.【变式2-2】（2023春·湖北黄石·九年级统考期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，BC的长是4π3，则⊙O的半径是 ．【变式2-3】（2023·辽宁盘锦·统考一模）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，若CE的长为2π，则⊙A的半径为 ．【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】【例3】（2023春·云南红河·九年级校考阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，则这三个扇形的圆心角的度数为（    ）A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°【变式3-1】（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（    ）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°π．【变式3-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图1，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，AC的弧长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C运动至5秒时，∠AOC的度数为（    ）  A．15° B．30° C．45° D．60°【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为 ．【题型4 求某点的弧形运动路径长度】【例4】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，OA⊥OB，C，D分别是射线OA，OB上的动点，CD的长始终为8，点E为CD的中点，则点E的运动路径长为   【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合（AB=6），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．  【变式4-2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿着直线l无滑动的翻滚一周，若BC=1，∠A=30°，则点A运动的路径长是 ．  【变式4-3】（2023春·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，点P是EF上一动点，连接PC，点M为PC的中点．当点P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为 ．【题型5 直接求扇形面积】【例5】（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．π3 B．2π5 C．3π10 D．3π5【变式5-1】（2023·吉林·九年级校联考学业考试）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4，分别以点B，D为圆心，AO长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）  【变式5-2】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．    【变式5-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是长方形，以BC为直径的半圆与AD边只有一个交点，且AB=x，则阴影部分的面积为 ．  【题型6 求图形旋转后扫过的面积】【例6】（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是⊙O上任意两点，且AD=6，以AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ．  【变式6-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2022的值为 ．【变式6-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）  (1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并求出此过程中线段BA扫过的区域的面积．（结果保留π）【变式6-3】（2023·江苏南京·统考二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S1(即图中灰色区域的面积，下同)；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S2．  (1)①S1=______，S2=______；(结果保留π)②比较S1与S2的大小．(参考数据：π≈3.14，3≈1.73．)(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．【题型7 求弓形面积】【例7】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．(1)求证：直线CE是⊙O的切线；(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若CD=23，CB＝2，则阴影部分的面积是 ．【变式7-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm，得到扇形O'A'B'，若∠AOB=90°，则阴影部分的面积为 cm2．【变式7-3】（2023·湖北恩施·统考一模）如图，已知⊙O的半径为1，△ABC内接于⊙O，∠ACB=150°，则弓形ACB（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π或根号）【题型8 求其他不规则图形的面积】【例8】（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的三等分点时，图中阴影部分的面积为（    ）  A．82−2π B．162−4π C．82−4π D．162−2π【变式8-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°至AB'C'D'处，则旋转过程中，边BC所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为 ．  【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，扇形OAB的半径OA=2cm，∠AOB=120°，则以AB为直径的半圆与AB围成的区域（图中阴影部分）的面积是 cm2．  【变式8-3】（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于点D，E是边BC的中点，连接DE．若AD，AB的长是方程x2−6x+8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．83−4π3 B．43−4π3 C．43−2π3 D．83−2π3【题型9 求圆锥侧面积】【例9】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图等边△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为1，以阴影部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为 ．【变式9-1】（2023·福建南平·校联考模拟预测）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为10πcm, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 （结果保留π）．  【变式9-2】（2023·河北廊坊·统考一模）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm．（1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是 ；（2）当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，其母线长为9cm，则此时冰激凌外壳的侧面积为 cm2．（结果保留π）【变式9-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图是一张直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2 cm，DB＝4 cm，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为 cm2．   【题型10 求圆锥底面半径】【例10】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．  【变式10-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线OB长为6cm，开口直径为6cm．（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 cm；（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．【变式10-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．  【变式10-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；(2)连接AD、CD，则⊙D的半径为______；扇形DAC的圆心角度数为______；(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．【题型11 求圆锥的高】【例11】（2023春·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为12，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧CE，得扇形ACE，将扇形ACE围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）  A．35 B．63 C．105 D．2105【变式11-1】（2023春·云南·九年级专题练习）如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则该圆锥的高为 cm．【变式11-2】（2023春·九年级课前预习）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（    ）A．4 B．32 C．42 D．210【变式11-3】（2023春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF纸片中，AB=6，分别以B、E为圆心，以6为半径画AC、DF．小欣把扇形BAC与扇形EDF剪下，并把它们粘贴为一个大扇形（B与E重合，F与A重合），她接着用这个大扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ．【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】【例12】（2023春·全国·九年级专题练习）圆锥的底面半径为40cm，母线长80cm，则它的侧面展开图的圆心角度数是（    ）A．180° B．150° C．120° D．90°【变式12-1】（2023春·九年级课时练习）圆锥的底面积是侧面积的18，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是 °．【变式12-2】（2023春·云南昆明·九年级校考期中）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　）度．A．120° B．135° C．150° D．160°【变式12-3】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）圆锥的高为22，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）．【题型13 圆锥的实际问题】【例13】（2023·安徽·校联考二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．  【变式13-1】（2023春·全国·九年级专题练习）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径ED=6 cm，母线长AD=12 cm．(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【变式13-2】（2023春·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm），电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？【变式13-3】（2023春·江西南昌·九年级期末）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面⊙O2的圆面⊙O1裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知⊙O1的直径AB=12cm，⊙O2的直径CD=32cm，点O、O1、O2共线，OO2与AB、CD都垂直，O1O2=103cm，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，π≈3.14，结果保留整数）        【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】【例14】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）A．3 B．23 C．33 D．3【变式14-1】（2023春·九年级校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA'=120°，OA=23，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．【变式14-2】（2023春·九年级课时练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为 ． 【变式14-3】（2023春·辽宁铁岭·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作TA，即TA=∠A的对边(底边)∠A的邻边(腰)=BCAC ，当∠A=60°时，如T60°=1．(1)T90°=　 　，T120°=　 　，TA的取值范围是 　 　；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T140°≈0.53，T70°≈0.87，T35°≈1.66）专题24.9 弧长和扇形的面积【十四大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc3559" 【题型1 求弧长】  PAGEREF _Toc3559 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4220" 【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】  PAGEREF _Toc4220 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31762" 【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】  PAGEREF _Toc31762 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc5442" 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】  PAGEREF _Toc5442 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc21516" 【题型5 直接求扇形面积】  PAGEREF _Toc21516 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc24078" 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】  PAGEREF _Toc24078 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc31894" 【题型7 求弓形面积】  PAGEREF _Toc31894 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc31808" 【题型8 求其他不规则图形的面积】  PAGEREF _Toc31808 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc30894" 【题型9 求圆锥侧面积】  PAGEREF _Toc30894 \h 34 HYPERLINK \l "_Toc10642" 【题型10 求圆锥底面半径】  PAGEREF _Toc10642 \h 37 HYPERLINK \l "_Toc6924" 【题型11 求圆锥的高】  PAGEREF _Toc6924 \h 41 HYPERLINK \l "_Toc5659" 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】  PAGEREF _Toc5659 \h 44 HYPERLINK \l "_Toc25256" 【题型13 圆锥的实际问题】  PAGEREF _Toc25256 \h 47 HYPERLINK \l "_Toc32585" 【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】  PAGEREF _Toc32585 \h 51【知识点 弧长和扇形的面积】设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，弧长公式：l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：S扇形=n360πR2=12lR母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）【题型1 求弧长】【例1】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上一点，如果⊙O的半径为6，∠BCE=60°，那么BCD的长为（    ）  A．6π B．12π C．2π D．4π【答案】D【分析】连接OB、OD，由圆内接四边形的性质得出∠A=∠BCE=60°，由圆周角定理得出∠BOD=2∠A=120°，再由弧长公式即可求出BCD的长．【详解】解∶连接OB、OD，如图所示∶  ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠BCE=60°，∴∠BOD=2∠A=120°，∴BCD的长=120π×6180=4π．故选∶ D．【点睛】此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质、弧长公式；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．【变式1-1】（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是 ．  【答案】6π【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的14圆弧构成，计算出每个正方形的边长，再根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5……，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的14圆弧构成，故前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是：14⋅2π1+1+2+3+5=6π，故答案为：6π．【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长．【变式1-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O与AD相交于点E，与BD相交于点F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，则FB的长为（    ）  A．π3 B．2π3 C．π9 D．2π9【答案】D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可．【详解】如图，连接AF,OF，  ∵AB为⊙O的直径，∴AF⊥BD，∵DF=BF，∴∠DAF=∠BAF=12∠BAD，∵平行四边形ABCD，∠C=40°，∴∠DAF=∠BAF=12∠BAD=12∠C=20°，∴∠BOF=2∠BAF=40°，∵AB=2，∴OB=12AB=1，∴FB=40×π×1180=2π9，故选D．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，平行四边形的性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式，圆周角定理是解题的关键．【变式1-3】（2023·河南濮阳·统考一模）如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB=60°，AO=2，分别以OA，OB的中点E，F为圆心12OA的长为半径作半圆，两个半圆相交于点C，则图中阴影部分的周长为 ．    【答案】2π3+2【分析】如图所示，连接CE，CF，证明四边形OECF是菱形，得到∠OEC=120°，再利用弧长公式求出CF、CE的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接CE，CF，由题意得， OE=CE=CF=OF=12OA=12OB=1，∴四边形OECF是菱形，∴∠OEC=180°−∠EOF=120°，∴CF=12×120×π×1180=π3，同理CE=12×120×π×1180=π3，∴图中阴影部分的周长为1+1+π3+π3=2π3+2，故答案为：2π3+2．    【点睛】本题主要考查了求弧长，菱形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键．【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】【例2】（2023春·山西·九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若∠P=60°，水平面上点M与点B之间的距离为4π，则AMB所在圆的半径是（    ）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】如图：过A、B作PA,PB的垂线交于点O，O即为圆心；再根据题意可得∠AOB的度数，然后可得得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：过A、B作PA,PB的垂线交于点O，设圆的半径为r∵PA，PB分别与AMB所在圆相切于点A，B，∴O为圆心，∵∠P=60°，∴∠AOB=120°，∴∠MOB=120°，∵水平面上点M与点B之间的距离为4π，∴MB=4π∴120°×2πr360°=4π，解得：r=6．故选B．【点睛】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，解答本题的关键是求出优弧MB的圆心角．【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）若弧长为4πcm的扇形的面积为8πcm2，则该扇形的半径为 cm.【答案】4【分析】由一个扇形的弧长是4πcm，扇形的面积为8πcm2，根据扇形的面积等于弧长与半径积的一半，即可求得答案．【详解】设半径是rcm，∵一个扇形的弧长是4πcm，扇形的面积为8πcm2，∴8π=12×4π×r，解得r=4．故答案为：4．【点睛】此题考查了扇形面积公式．此题比较简单，解题的关键是熟记扇形的公式．【变式2-2】（2023春·湖北黄石·九年级统考期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，BC的长是4π3，则⊙O的半径是 ．【答案】2【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；【详解】连接OB、OC．∵∠BOC=2∠BAC=120°，BC的长是4π3，∴120⋅π⋅r180=4π3，∴r=2．故答案为2．    ．【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式．【变式2-3】（2023·辽宁盘锦·统考一模）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，若CE的长为2π，则⊙A的半径为 ．【答案】8【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，求出∠DAC=45°，根据弧长公式求出即可．【详解】连接AC，∵CD切⊙A于C，∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠ACD=90°，∠DAC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°=∠DAC，∵CE的长为2π，∴45π×AC180=2π，解得：AC=8，即⊙A的半径是8，故答案为8．【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式等知识点，能求出∠DAC的度数是解此题的关键．【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】【例3】（2023春·云南红河·九年级校考阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，则这三个扇形的圆心角的度数为（    ）A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°【答案】A【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，可得这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，可设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x,4x，从而得到2x+3x+4x=360°，即可求解．【详解】解：∵一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，∴这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x,4x，根据题意得：2x+3x+4x=360°，解得：x=40°，∴这三个扇形的圆心角的度数分别为80°,120°,160°．故选：A．【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4是解题的关键．【变式3-1】（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（    ）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°π．【答案】D【分析】根据题意BC的长就是边BC的长，由弧长公式nπR180即可求解．【详解】解：设AB=BC=x，∴CBC=x，∴nπx180=x，解得：n=180π，∴圆心角的度数为：180°π故选：D．【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．【变式3-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图1，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，AC的弧长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C运动至5秒时，∠AOC的度数为（    ）  A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】根据图像可知半圆的周长为10π进而得到半圆的半径为10，再根据题意得到弧长l与时间t（秒）的函数关系式及弧长公式即可解答．【详解】解：设半圆的半径为R，∠AOC=n，根据图像可知半圆的周长为10π，∴πR=10π，∴R=10，设弧长l与时间t（秒）的函数关系式：l=ktk≠0,∵图像经过20，10π，∴k=π2，∴弧长l与时间t（秒）的函数关系式为l=π2t,∴当x=5秒时，l=5π2,∴根据弧长公式可知：nπ×10180=5π2,∴n=45°,故选C．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形关系，弧长公式，一次函数图像与性质，掌握一次函数与几何图形关系是解题的关键．【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为 ．【答案】100°/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S=12lR，求出R，再根据扇形面积公式求解.【详解】∵一个扇形的弧长是10π3，面积是10π，∴S=12lR，即10π=12×10π3R，解得：R=6，∴S=10π=nπ×62360，解得：n=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.【题型4 求某点的弧形运动路径长度】【例4】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，OA⊥OB，C，D分别是射线OA，OB上的动点，CD的长始终为8，点E为CD的中点，则点E的运动路径长为   【答案】2π【分析】根据垂直的定义可知△AOB是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知OE=CE=DE=12CD，最后利用弧长公式即可解答．【详解】解：连接OC，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴△AOB是直角三角形，∵CD=8，∴OE=CE=DE=12CD=4，∴点E的运动路径长为弧GD，∴弧GD的长度：90°×π×4180°=2π，故答案为2π．    【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键．【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合（AB=6），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．  【答案】2π【分析】首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．【详解】解：连接OE，  ∵∠ACB=90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，∵∠ACE=3×20°=60°，∴∠AOE=2∠ACE=120°．∴点E在量角器上运动路径长=120π·3180 =2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式4-2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿着直线l无滑动的翻滚一周，若BC=1，∠A=30°，则点A运动的路径长是 ．  【答案】8+336π【分析】根据题意，可知点A的运动路径为AD和A'D，然后根据含30度角的直角三角形的特点求出CD，B'D的长，进而利用弧长公式求出答案即可．【详解】解：根据题意，可知点A的运动路径为AD和A'D，∠ACD=90°，∠DB'A'=120°，在Rt△ABC中AB=2BC=2，AC=3BC=3∴AC=CD=3，DB'=A'B'=AB=2，∴点A运动的路径长为90180⋅π⋅3+120180π⋅2=8+336π，故答案为：8+336π．  【点睛】本题主要考查了求动点的运动轨迹长，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，确定出点A的运动轨迹是解题的关键．【变式4-3】（2023春·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，点P是EF上一动点，连接PC，点M为PC的中点．当点P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为 ．【答案】23π/2π3【分析】令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、H，连接OP、OC、OG、OH、OM，易证△COP为等腰三角形，根据三线合一可得，则点M的运动路径为以GH中点为圆心，以12GH为半径，圆心角为60°的弧长，即可求解．【详解】解：令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、H，连接OP、OC、OG、OH、OM，∵AB为⊙O直径，点O为AB中点，∴OA=OP，∵∠ACB=90°，点O为AB中点，∴OC=12AB=OA=OP，∴△COP为等腰三角形，∵点M为PC的中点，∴OM⊥PC，则∠OMC=90°，∵点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，∴点M的运动路径为以GH中点为圆心，以12GH为半径，圆心角为60°的弧长，∵点G、O、H、分别为AC、BC、AB中点，AC=BC=4，∴GO∥BC，GO=12BC=2，OH∥AC，OH=12AC=2，∵∠ACB=90°，∴四边形GCHO为正方形，GH=22+22=22，∴OC=GH,∠GOH=90°，∴点M的运动路径长为60180⋅π⋅2=23π．故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了求点的运动轨迹，解题的关键是正确作出辅助线，根据等腰三角形的性质，正方形的性质以及圆周角确定点M的运动轨迹为以GH为直径的半圆．【题型5 直接求扇形面积】【例5】（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．π3 B．2π5 C．3π10 D．3π5【答案】C【分析】连接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式进行计算．【详解】解：连接OA、OB、OC，∵正五边形ABCDE，∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°，OB=OC，∵ OF⊥BC，∴∠BOF=12∠BOC=36°，∴∠AOF=108°，∴S=108°×π360°=3π10，  故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出AC所对的圆心角度数是解题的关键．【变式5-1】（2023·吉林·九年级校联考学业考试）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4，分别以点B，D为圆心，AO长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）  【答案】83π【分析】由矩形ABCD，△OAB是等边三角形，AB=4，可得∠ABC=90°，∠ABO=60°，OB=AB=4，则∠OBC=30°，根据S阴影=2×30π×42360，计算求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD，△OAB是等边三角形，AB=4，∴∠ABC=90°，∠ABO=60°，OB=AB=4，∴∠OBC=30°，∴S阴影=2×30π×42360=83π，故答案为：83π．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，扇形面积．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式5-2】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．    【答案】5π36/536π【分析】根据三角形外角的性质得到∠C=∠ADO−∠CAB=65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC=50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵∠ADO=85°，∠CAB=20°， ∴∠C=∠ADO−∠CAB=65°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=65°， ∴∠AOC=50°， ∴阴影部分的扇形OAC面积=50π×12360=5π36， 故答案为：5π36．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC=50°是解题的关键．【变式5-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是长方形，以BC为直径的半圆与AD边只有一个交点，且AB=x，则阴影部分的面积为 ．  【答案】πx24【分析】作OF⊥AD，则三角形BOP与三角形DEP全等，那么阴影部分的面积=扇形BOF的面积．依此根据面积公式计算．【详解】解：作OF⊥AD  ∵OB=DF∠FDB=∠OBD∠FPD=∠BPO∴△DFP≌△BOP∴S△DFP=S△BOP根据扇形面积公式得：阴影部分面积=90π×x2360=πx24．故答案为：πx24．【点睛】本体考查了求不规则图形的面积，解题的关键是看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的．然后根据面积公式计算．【题型6 求图形旋转后扫过的面积】【例6】（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是⊙O上任意两点，且AD=6，以AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ．  【答案】9π【分析】如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．则BC边扫过的面积为以OC为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出DE=AE=3，进而可得出CF=DE=3，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出BC边扫过的面积．【详解】解：如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．    ∵AD为弦，OE⊥AD，∴由垂径定理可得DE=AE=12AD=3．∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，AD=BC=6，∠CDA=90°，∴∠CFO=∠DEO=90°，∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=3．∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，∴圆环面积为S=π⋅OC2−π⋅OF2=πOC2−OF2=π⋅CF2=9π．故答案为：9π．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AD边的旋转，找出BC边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键．【变式6-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2022的值为 ．【答案】22018π【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn=2n−3π，依此规律即可得出结论．【详解】由题意△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、⋯、都是等腰直角三角形，∴OA2=2，OA4=2， OA6=22，⋯，∴S1=45π×12360=18π， S2=45π×(2)2360=14π， S3=45π×22360=12π， S4=45π×(22)2360，⋯；∴Sn＝2n−4π，∴S2022＝22018π，故答案为：22018π【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解题的关键是找出规律Sn=2n−3π．【变式6-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）  (1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并求出此过程中线段BA扫过的区域的面积．（结果保留π）【答案】(1)见详解(2)见详解，134π【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点对称的对称点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得△A2BC2；利用扇形面积公式列式计算可得答案．【详解】（1）解：如下图，△A1B1C1即为所求；  （2）如图，△A2BC2即为所求，由图可知，AB=32+22=13，则线段BA扫过的区域的面积为S=90°360°×π×(13)2=134π．【点睛】本题主要考查了作图﹣中心对称变换和旋转变换、勾股定理以及扇形面积公式等知识，解题的关键是根据中心对称和旋转的性质作出变换后的对应点．【变式6-3】（2023·江苏南京·统考二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S1(即图中灰色区域的面积，下同)；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S2．  (1)①S1=______，S2=______；(结果保留π)②比较S1与S2的大小．(参考数据：π≈3.14，3≈1.73．)(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．【答案】(1)①4π，8π−83；②S1>S2(2)①见解析；②S3=1633(3)见解析【分析】（1）①利用圆的面积公式计算S1，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍△ABC的面积计算S2；②利用参考数据计算近似值再比较即可；（2）①依题意补全方案3的示意图即可；②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；（3）作等边△ABC，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上，运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到ACA'B'边，接着两次同样的方式旋转到BCA'B'边和ABB'A'边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明S411.28，∴S1>S2；（2）①依题意补全方案3的示意图如下：  ②连接EM，M为切点，则AA'的中点，EM=4  设AM=x，则AE=2x，由勾股定理得：AM2+EM2=AE2，即x2+42=4x2，解得：x=433，∴AA'=AE=2x=833，∴S3=12AA'·EM=12×833×4=1633．（3）设计方案4：如下图，△ABC是等边三角形，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到ACA'B'边，接着两次同样的方式旋转到BCA'B'边和ABB'A'边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．  对于第一次旋转，当旋转AB旋转到DH时，此时DH⊥BC，又作DE平行AB，则S△CDE=S3=S△ABC+S梯形ABEB依题意得：阴影部分比等边三角形ABC多三块全等的图形，记每块面积为a，则有a