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人教版九年级数学下册27.1成比例线段【七大题型】(学生版+解析)
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这是一份人教版九年级数学下册27.1成比例线段【七大题型】(学生版+解析)，共22页。
专题27.1 成比例线段【七大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Toc674 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Toc7506 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Toc2742 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Toc26402 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Toc3397 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Toc11543 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Toc2459 \h 6【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）A．43 B．3 C．8 D．12【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【知识点2 比例的性质】【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= ．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）A．25 B．14 C．−25 D．−14【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）A．16 B．13 C．12 D．56【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）A．若a4=c5，则ac=45 B．若a−bb=16，则ab=76 C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23 D．若ab=34，则a＝3，b＝4【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ ．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）A．15 B．9 C．5 D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab=cd，∴ab+1=cd+1．∴a+bb=c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=35，求a+bb的值；（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了 的基本性质，②第二步的解题过程运用了 的方法，由k5k得15利用了 的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．【知识点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 ．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）A．PBAP=5+12 B．PBAB=5+12 C．APAB=5−12 D．APPB=5−12【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝ ；（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．面同意，不得复制发布日期：2022/9/15 22:55:34；用户：小不1825600716号：20699374【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝ （保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.专题27.1 成比例线段【七大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Toc674 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Toc7506 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Toc2742 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Toc26402 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Toc3397 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Toc11543 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Toc2459 \h 13【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）A．43 B．3 C．8 D．12【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出A、B、C、D选项的比值，即可判断．【解答】解：A、43：2＝4：6，故A不符合题意；B、2：3＝4：6，故B不符合题意；C、2：4≠6：8，故C符合题意；D、2：4＝6：12，故D不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．【分析】由题意线段c是a、b的比例中项，可知c2＝ab，由此即可解决问题．【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝6，∴c2＝12，∵c＞0，∴c＝23，故答案为：23．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；故选：C．【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【分析】求出A'B'AB，B'C'BC的值判断即可．【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，∴A'B'AB=48=12，B'C'BC=612=12，∴A'B'AB=B'C'BC，∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【分析】设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分别表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，∴设a−c=−2ka+b=7kc−b=k，解得a=3kb=4kc=5k，∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据题意，得：x40000000=1500000，解得：x＝80，即地图上，甲乙两地的距离是80cm，故选：C．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【分析】根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答．【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故A符合题意；B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整数的结果，故B不符合题意；C、30÷（4+5）=103，不能得出整数的结果，故C不符合题意；D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整数的结果，故D不符合题意；故选：A．【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的ca+b+c．【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选：D．【知识点2 比例的性质】【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【分析】根据比例线段的性质证明即可．【解答】证明：由ab=cd=k，可得：a＝bk，c＝dk，把a＝bk，c＝dk代入a−cb−d=bk−dkb−d=k，把a＝bk，c＝dk代入a+cb+d=bk+dkb+d=k，可得：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【分析】由已知条件得到BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，两边同除以AC，即可得到结论．【解答】证明：∵ABBC=ADCD，∴BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，∴ACAB−1＝1−ACAD，∴1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【分析】（1）由等高模型可知：S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，由此即可解决问题．（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）∵S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，∴S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD．（2）∵S△ABDS△ADC=S△OBDS△ODC=BDCD，∴S△ABD−S△OBDS△ADC−S△ODC=BDCD，∴S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根据比例的基本性质得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），从而得证．【解答】证明：∵ab=cd，∴ad＝bc，∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，∵2abcd＝c2b2+a2d2∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），∴a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= 119 ．【分析】根据2b3a−b=34，可得3a−b2b=43，再根据比例的性质即可求解．【解答】解：∵2b3a−b=34，∴3a−b2b=43，∴3a2b−12=43，∴ab=119．故答案为：119．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）A．25 B．14 C．−25 D．−14【分析】把a−ba=34化成1−ba=34，即可求出ba的值．【解答】解：∵a−ba=34，∴1−ba=34，∴ba=14，故选：B．【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）A．16 B．13 C．12 D．56【分析】先利用分式的基本性质得到ab=−2c−2d=3e3f=13，然后根据等比性质解决问题．【解答】解：∵ab=cd=ef=13，∴ab=−2c−2d=3e3f=13，而b﹣2d+3f≠0∴a−2c+3eb−2d+3f=13．故选：B．【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）A．若a4=c5，则ac=45 B．若a−bb=16，则ab=76 C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23 D．若ab=34，则a＝3，b＝4【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案．【解答】解：A、若a4=c5，则ac=45，正确，不合题意；B、若a−bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则ab=76，正确，不合题意；C、若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23，正确，不合题意；D、若ab=34，无法得出a，b的值，故此选项错误，符合题意．故选：D．【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ 2或﹣1 ．【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：此题要分情况考虑：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x+2y+2zx+y+z=2；当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）A．15 B．9 C．5 D．3【分析】设x3=y5=k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24得出3k+5k＝24，求出k，再求出x即可．【解答】解：设x3=y5=k，则x＝3k，y＝5k，∵x+y＝24．∴3k+5k＝24，解得：k＝3，∴x＝3×3＝9，故选：B．【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【分析】由若x3=y5=z6，可设x3=y5=z6=k，这样用k分别表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6k，再利用3y＝2z+6，可得到关于k的方程，解方程得到k的值，从而可确定x的值．【解答】解：设x3=y5=z6=k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，∵3y＝2z+6，∴3×5k＝2×6k+6，解得：k＝2，∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．【解答】解：（1）∵ab=cd，b+d＝0，∴a+c＝0；（2）①当a+b+c≠0时，b+ca=a+cb=a+bc=t=2(a+b+c)a+b+c=2，∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+ca=a+cb=a+bc=t=−1，∴t2﹣t﹣2＝0．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab=cd，∴ab+1=cd+1．∴a+bb=c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=35，求a+bb的值；（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【分析】（1）把要求的式子化成a+bb=ab+1，再进行计算即可得出答案；（2）根据比例的性质得出a−bb=c−dd，a+bb=c+dd，再分别相除即可得出答案．【解答】解：（1）∵ab=35，∴a+bb=ab+1=35+1=85．（2）∵ab=cd，∴ab−1=cd−1，∴a−bb=c−dd，∵a+bb=c+dd，∴a−bb÷a+bb=c−dd÷c+dd，∴a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了 等式 的基本性质，②第二步的解题过程运用了 代入消元 的方法，由k5k得15利用了 分式 的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答．【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得15利用了分式的基本性质，故答案为：等式，代入消元，分式；（2）∵x：y：z＝2：3：4，∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴x+y+zx−2y+3z=2k+3k+4k2k−6k+12k=9k8k =98．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【分析】设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka，将三式相加可以求得k＝1，所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值．【解答】解：设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，所以a+b﹣c＝kc①，a﹣b+c＝kb②，﹣a+b+c＝ka③，由①+②+③，得a+b+c＝k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k＝1．∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．∴(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c×2a×2babc=8．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．【分析】设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到x＝y＝z，计算即可．【解答】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，解得，x＝y＝z，则x−y−zx+y+z=−13．【知识点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 1 ．【分析】设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设AB＝a，∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR＞RB，∴AR=5−12AB=5−12a，则BR＝AB﹣AR＝a−5−12a=3−52a，∴S1：S2＝（5−12a）2：a×3−52a＝1，故答案为：1．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）A．PBAP=5+12 B．PBAB=5+12 C．APAB=5−12 D．APPB=5−12【分析】根据黄金分割的定义判断即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2＝PB•AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴APAB=5−12，故选：C．【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝ （55−5）cm ；（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【分析】（1）根据黄金分割的概念计算即可；（2）根据黄金三角形的概念和尺规作图的一般步骤作图；（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念证明即可．【解答】解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，∴AD=5−12AB＝（55−5）cm，故答案为：（55−5）cm；（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点B为圆心，AD的长为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，则△ABC即为所求；（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，∴底边AD=5−12乘腰AB，∴三角形ABC是黄金三角形．邮箱：18256007168；学号：20699374【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝ 5 （保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．（2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形；（3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折叠的性质得：AC=12NC＝1，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5；故答案为5；（2）四边形BADQ是菱形．证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四边形BADQ为菱形；（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；理由：∵AD＝AB=5，AN＝AC＝1，∴CD=5−1，ND=5+1，∴CDBC=5−12，故矩形BCDE是黄金矩形；∴MNND=25+1=5−12，故矩形MNDE是黄金矩形． 舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432舞蹈社溜冰社魔术社上学期312=936 412=1236 512=1536 下学期49=1636 39=1236 29=836 比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.
专题27.1 成比例线段【七大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Toc674 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Toc7506 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Toc2742 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Toc26402 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Toc3397 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Toc11543 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Toc2459 \h 6【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）A．43 B．3 C．8 D．12【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【知识点2 比例的性质】【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= ．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）A．25 B．14 C．−25 D．−14【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）A．16 B．13 C．12 D．56【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）A．若a4=c5，则ac=45 B．若a−bb=16，则ab=76 C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23 D．若ab=34，则a＝3，b＝4【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ ．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）A．15 B．9 C．5 D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab=cd，∴ab+1=cd+1．∴a+bb=c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=35，求a+bb的值；（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了 的基本性质，②第二步的解题过程运用了 的方法，由k5k得15利用了 的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．【知识点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 ．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）A．PBAP=5+12 B．PBAB=5+12 C．APAB=5−12 D．APPB=5−12【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝ ；（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．面同意，不得复制发布日期：2022/9/15 22:55:34；用户：小不1825600716号：20699374【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝ （保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.专题27.1 成比例线段【七大题型】【人教版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc674" 【题型1 成比例线段的概念】 PAGEREF _Toc674 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7506" 【题型2 成比例线段的应用】 PAGEREF _Toc7506 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2742" 【题型3 比例的证明】 PAGEREF _Toc2742 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc26402" 【题型4 利用比例的性质求比值】 PAGEREF _Toc26402 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc3397" 【题型5 利用比例的性质求参】 PAGEREF _Toc3397 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11543" 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Toc11543 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc2459" 【题型7 黄金分割】 PAGEREF _Toc2459 \h 13【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（ ）A．43 B．3 C．8 D．12【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出A、B、C、D选项的比值，即可判断．【解答】解：A、43：2＝4：6，故A不符合题意；B、2：3＝4：6，故B不符合题意；C、2：4≠6：8，故C符合题意；D、2：4＝6：12，故D不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 23 ．【分析】由题意线段c是a、b的比例中项，可知c2＝ab，由此即可解决问题．【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝6，∴c2＝12，∵c＞0，∴c＝23，故答案为：23．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；故选：C．【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【分析】求出A'B'AB，B'C'BC的值判断即可．【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，∴A'B'AB=48=12，B'C'BC=612=12，∴A'B'AB=B'C'BC，∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【分析】设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分别表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，∴设a−c=−2ka+b=7kc−b=k，解得a=3kb=4kc=5k，∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据题意，得：x40000000=1500000，解得：x＝80，即地图上，甲乙两地的距离是80cm，故选：C．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（ ）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【分析】根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答．【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故A符合题意；B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整数的结果，故B不符合题意；C、30÷（4+5）=103，不能得出整数的结果，故C不符合题意；D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整数的结果，故D不符合题意；故选：A．【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的ca+b+c．【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选：D．【知识点2 比例的性质】【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【分析】根据比例线段的性质证明即可．【解答】证明：由ab=cd=k，可得：a＝bk，c＝dk，把a＝bk，c＝dk代入a−cb−d=bk−dkb−d=k，把a＝bk，c＝dk代入a+cb+d=bk+dkb+d=k，可得：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【分析】由已知条件得到BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，两边同除以AC，即可得到结论．【解答】证明：∵ABBC=ADCD，∴BCAB=CDAD，即AC−ABAB=AD−ACAD，∴ACAB−1＝1−ACAD，∴1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【分析】（1）由等高模型可知：S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，由此即可解决问题．（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）∵S△ABOS△BOD=AOOD，S△ACOS△COD=AOOD，∴S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD．（2）∵S△ABDS△ADC=S△OBDS△ODC=BDCD，∴S△ABD−S△OBDS△ADC−S△ODC=BDCD，∴S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根据比例的基本性质得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），从而得证．【解答】证明：∵ab=cd，∴ad＝bc，∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，∵2abcd＝c2b2+a2d2∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），∴a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab= 119 ．【分析】根据2b3a−b=34，可得3a−b2b=43，再根据比例的性质即可求解．【解答】解：∵2b3a−b=34，∴3a−b2b=43，∴3a2b−12=43，∴ab=119．故答案为：119．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（ ）A．25 B．14 C．−25 D．−14【分析】把a−ba=34化成1−ba=34，即可求出ba的值．【解答】解：∵a−ba=34，∴1−ba=34，∴ba=14，故选：B．【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（ ）A．16 B．13 C．12 D．56【分析】先利用分式的基本性质得到ab=−2c−2d=3e3f=13，然后根据等比性质解决问题．【解答】解：∵ab=cd=ef=13，∴ab=−2c−2d=3e3f=13，而b﹣2d+3f≠0∴a−2c+3eb−2d+3f=13．故选：B．【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ ）A．若a4=c5，则ac=45 B．若a−bb=16，则ab=76 C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23 D．若ab=34，则a＝3，b＝4【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案．【解答】解：A、若a4=c5，则ac=45，正确，不合题意；B、若a−bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则ab=76，正确，不合题意；C、若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23，正确，不合题意；D、若ab=34，无法得出a，b的值，故此选项错误，符合题意．故选：D．【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x+yz=k，则k＝ 2或﹣1 ．【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：此题要分情况考虑：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x+2y+2zx+y+z=2；当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（ ）A．15 B．9 C．5 D．3【分析】设x3=y5=k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24得出3k+5k＝24，求出k，再求出x即可．【解答】解：设x3=y5=k，则x＝3k，y＝5k，∵x+y＝24．∴3k+5k＝24，解得：k＝3，∴x＝3×3＝9，故选：B．【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【分析】由若x3=y5=z6，可设x3=y5=z6=k，这样用k分别表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6k，再利用3y＝2z+6，可得到关于k的方程，解方程得到k的值，从而可确定x的值．【解答】解：设x3=y5=z6=k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，∵3y＝2z+6，∴3×5k＝2×6k+6，解得：k＝2，∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．【解答】解：（1）∵ab=cd，b+d＝0，∴a+c＝0；（2）①当a+b+c≠0时，b+ca=a+cb=a+bc=t=2(a+b+c)a+b+c=2，∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+ca=a+cb=a+bc=t=−1，∴t2﹣t﹣2＝0．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab=cd，∴ab+1=cd+1．∴a+bb=c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=35，求a+bb的值；（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【分析】（1）把要求的式子化成a+bb=ab+1，再进行计算即可得出答案；（2）根据比例的性质得出a−bb=c−dd，a+bb=c+dd，再分别相除即可得出答案．【解答】解：（1）∵ab=35，∴a+bb=ab+1=35+1=85．（2）∵ab=cd，∴ab−1=cd−1，∴a−bb=c−dd，∵a+bb=c+dd，∴a−bb÷a+bb=c−dd÷c+dd，∴a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z=3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了 等式 的基本性质，②第二步的解题过程运用了 代入消元 的方法，由k5k得15利用了 分式 的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答．【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得15利用了分式的基本性质，故答案为：等式，代入消元，分式；（2）∵x：y：z＝2：3：4，∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴x+y+zx−2y+3z=2k+3k+4k2k−6k+12k=9k8k =98．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【分析】设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka，将三式相加可以求得k＝1，所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值．【解答】解：设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，所以a+b﹣c＝kc①，a﹣b+c＝kb②，﹣a+b+c＝ka③，由①+②+③，得a+b+c＝k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k＝1．∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．∴(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c×2a×2babc=8．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．【分析】设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到x＝y＝z，计算即可．【解答】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，解得，x＝y＝z，则x−y−zx+y+z=−13．【知识点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为 1 ．【分析】设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设AB＝a，∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR＞RB，∴AR=5−12AB=5−12a，则BR＝AB﹣AR＝a−5−12a=3−52a，∴S1：S2＝（5−12a）2：a×3−52a＝1，故答案为：1．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）A．PBAP=5+12 B．PBAB=5+12 C．APAB=5−12 D．APPB=5−12【分析】根据黄金分割的定义判断即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2＝PB•AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴APAB=5−12，故选：C．【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝ （55−5）cm ；（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【分析】（1）根据黄金分割的概念计算即可；（2）根据黄金三角形的概念和尺规作图的一般步骤作图；（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念证明即可．【解答】解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，∴AD=5−12AB＝（55−5）cm，故答案为：（55−5）cm；（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点B为圆心，AD的长为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，则△ABC即为所求；（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，∴底边AD=5−12乘腰AB，∴三角形ABC是黄金三角形．邮箱：18256007168；学号：20699374【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝ 5 （保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度．（2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形；（3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断．【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折叠的性质得：AC=12NC＝1，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=12+22=5；故答案为5；（2）四边形BADQ是菱形．证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四边形BADQ为菱形；（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；理由：∵AD＝AB=5，AN＝AC＝1，∴CD=5−1，ND=5+1，∴CDBC=5−12，故矩形BCDE是黄金矩形；∴MNND=25+1=5−12，故矩形MNDE是黄金矩形． 舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432舞蹈社溜冰社魔术社上学期312=936 412=1236 512=1536 下学期49=1636 39=1236 29=836 比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.
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