人教版七年级数学下册举一反三11.1期中期末专项复习之相交线与平行线十八大必考点(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册举一反三11.1期中期末专项复习之相交线与平行线十八大必考点(学生版+解析)，共112页。


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\l "_Tc17089" 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】 PAGEREF _Tc17089 \h 1
\l "_Tc31430" 【考点2 三线八角中的截线问题】 PAGEREF _Tc31430 \h 2
\l "_Tc24764" 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Tc24764 \h 4
\l "_Tc638" 【考点4 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Tc638 \h 6
\l "_Tc26937" 【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Tc26937 \h 7
\l "_Tc15413" 【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Tc15413 \h 8
\l "_Tc11305" 【考点7 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc11305 \h 10
\l "_Tc26177" 【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc26177 \h 12
\l "_Tc3087" 【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Tc3087 \h 13
\l "_Tc2198" 【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Tc2198 \h 15
\l "_Tc19100" 【考点11 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Tc19100 \h 17
\l "_Tc6504" 【考点12 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Tc6504 \h 18
\l "_Tc31578" 【考点13 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Tc31578 \h 20
\l "_Tc951" 【考点14 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Tc951 \h 22
\l "_Tc21625" 【题型15 生活中的平移现象】 PAGEREF _Tc21625 \h 24
\l "_Tc1879" 【题型16 图形的平移】 PAGEREF _Tc1879 \h 25
\l "_Tc5948" 【题型17 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc5948 \h 26
\l "_Tc26174" 【题型18 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc26174 \h 27
【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】
【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角
C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角
【变式1-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【变式1-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是( )
A．∠C与∠1是内错角
B．∠2与∠3是内错角
C．∠A与∠B是同旁内角
D．∠A与∠3是同位角
【变式1-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________
【考点2 三线八角中的截线问题】
【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（ ）
A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的
B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的
C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的
D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的
【变式2-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（ ）形成的内错角
A．直线AD、BC被直线BD所截B．直线AB、CD被直线BD所截
C．直线AB、CD被直线AC所截D．直线AD、BC被直线AC所截
【变式2-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2与∠3是直线______、____被第三条直线_____所截形成的_______．
【变式2-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：
(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.
(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.
(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.
【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】
【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴______∥______（________________________）．
∴∠A=∠BED（_____________________________）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴______∥______（__________________________）．
∴∠B=∠C（______________________________）．
【变式3-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线．
(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）
∵GM是∠BGE的平分线，
∴______＝______=12∠BGE
∵HN是∠DHG的平分线
∴______＝______=12∠DHG
∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）
∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．
(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）
(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．
【变式3-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
【变式3-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；
(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．
【考点4 直线旋转中的平行线的判定】
【例4】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（ ）
A．28°B．56°C．62°D．84°
【变式4-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【变式4-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（
A．15°B．30°C．45°D．75°
【变式4-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域，边AC与直角l1相交于点D，若∠1=35°，则图中的∠2的值为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．80°
【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】
【例5】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？
【变式5-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．
如图，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．试证明：AD⊥BC．
解：因为DG//BA（已知），
所以∠2=∠BAD（____________）．
因为∠1=∠2（已知），
所以______（等量代换），
所以EF//______（____________）．
所以∠EFB=______（两直线平行，同位角相等）
因为EF⊥BC（已知），
所以∠EFB=90°（____________）．
所以∠ADF=90°（等量代换），
所以______（垂直的定义）．
【变式5-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°．
（1）AD与BC平行吗？为什么？
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．
【变式5-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】
【例6】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．
(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；
(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数．
【变式6-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
(2)判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
【变式6-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，根据上述条件，解答下列问题：
(1)证明：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数；
(3)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
【变式6-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当∠AOB=α0°<α≤180°时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含α的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
【考点7 平行线的性质在生活中的应用】
【例7】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH.光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①③
【变式7-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜MN,NP，一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明
【变式7-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．
【变式7-3】（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．
（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；
（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；
（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？
【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例8】（2022·河北唐山·七年级期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
(1)如图1，若点F在边BC上，直接写出∠BAC与∠EFD的数量关系；
(2)若点F在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由．
【变式8-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；
(2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BPA与∠BDA的数量关系；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，探究∠ABC与∠DBN的数量关系，并证明你的结论．
【变式8-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：直线AB∥CD，经过直线AB上的定点P的直线EF交CD于点O，点M，N为直线CD上的两点，且点M在点O右侧，点N的左侧时，连接PM，PN，满足∠MPN=∠MNP．
(1)如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接写出∠COP的度数为：______．
(2)如图2，射线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系，并证明．
【变式8-3】（2022·湖北孝感·七年级期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作FG⊥FD交射线CB于点G．
(1)如图1，点F在线段BE上，
①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；
②如图，求证：∠ABC+∠BFG−∠EDF=90°；
(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】
【例9】（2022·四川德阳·七年级期末）已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．
(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；
(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．
①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；
②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．
【变式9-1】（2022·广东梅州·八年级期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
(1)如图1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度数；
(2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，如图2，当DF∥OA，且α＝60°时，证明：CE∥OA．
【变式9-2】（2022·陕西西安·八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．
(1)在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．
【变式9-3】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．
(1)证明：MN∥ST；
(2)如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ACB＝45°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接写出∠CAE：∠CAN的值．
【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】
【例10】（2022·云南普洱·七年级期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．
(1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．
(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【变式10-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
【变式10-2】（2022·广东·新丰县教育局教研室七年级期末）细观察，找规律．
（1）下列各图中的MA1与NAn平行．
①图①中的∠A1+∠A2=______度．
②图②中的∠A1+∠A2+∠A3=______度．
③图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______度．
④图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______度．
⑤第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠A11=______度．
⑥第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠An+1=______度．
（2）下列各图中AB//CD．
①图甲中∠B、∠C、∠BEC的数量关系是______．
②图乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的数量关系是______．
③图丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的数量关系是______．
【变式10-3】（2022·北京师范大学附属实验中学分校七年级期末）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80−2α＋|β﹣40|＝0
(1)α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；
(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN1∠Q的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【考点11 平行线在折叠问题的运用】
【例11】（2022·山东潍坊·七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD//BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）
A．∠1=2∠2B．∠1+∠2=90°C．∠1−∠2=30°D．2∠1−3∠2=30°
【变式11-1】（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=( )
A．60°B．70°C．80°D．90°
【变式11-2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．
【变式11-3】（2022·江苏·常州市第二十四中学七年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角： ；所有与∠C相等的角： ．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【考点12 平行线在三角尺中的运用】
【例12】（2022·浙江宁波·七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t=______________秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
【变式12-1】（2022·河北·青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN=_________；
【变式12-2】（2022·四川达州·八年级期末）一副三角板ADE和ABC按如图1所示放置，点B在斜边AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．现将三角板ADE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转α0°<α<180°，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD其他所有可能符合条件的度数为______．
【变式12-3】（2022·江苏苏州·七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第____秒时，边AB与边DE平行．
【考点13 平行线中的规律问题】
【例13】（2022·山东泰安·期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点
(1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC=____________；
(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
(3)①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【变式13-1】（2022·山东烟台·七年级期末）问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．
问题解决：
（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；
（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．
【变式13-2】（2022·四川·树德中学七年级期末）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【变式13-3】（2022·北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝α．如图2，将纸条作第一次折叠，使BM'与BA在同一条直线上，折痕记为BR1．
解决下面的问题：
（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠BR1N'的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折叠：BR1平分_________，BM'∥R1N'，求∠BR1N'的度数．
（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使AM''⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．
（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM'与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使BM'与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．
①第二次折叠时，∠BR2N'＝_____________（用α的式子表示）；
②第n次折叠时，∠BRnN'＝____________（用α和n的式子表示）．
【考点14 平行线中的转角问题】
【例14】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为α（旋转角0∘<α<360∘，请探究下列问题：
(1)如图2，当旋转角满足0∘<α≤60∘时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；
(2)如图3，当旋转角满足60∘<α≤120∘时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；
(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．
【变式14-1】（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含30°角的直角三角板AOB，其直角顶点O在直线l上，将三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转∠2的度数（0°<∠2<360°）．
请你解决下列问题：
(1)当∠2的度数为多少时，AB∥l（不必说理）；
(2)如右图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．
【变式14-2】（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学七年级期末）如图1，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足a−3+b−12=0，
(1)a=_____________，b=____________；
(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（t<60），两条旋转射线交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，求∠BAC与∠BCD的数量关系；
(3)若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒（t<160），若旋转中AM∥BP，求t的值．
【变式14-3】（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN=60∘，射线ME从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动．其中a，b满足方程组4a+b=173a−2b=10．
(1)求a，b的值；
(2)若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求t的值；
(3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P，过点P作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ的度数（结果用含m的代数式表示）．
【题型15 生活中的平移现象】
【例15】（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（ ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①②B．②③C．①②④D．②
【变式15-1】（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（ ）
A．对称B．旋转C．平移D．跳跃
【变式15-2】（2022春·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（ ）
A．乙比甲先到B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到D．无法确定哪只蚂蚁先到
【变式15-3】（2022春·广东广州·七年级统考期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移1m就是它的下边线，那么改造后小路的面积（ ）
A．变大了B．变小了C．没变D．无法确定
【题型16 图形的平移】
【例16】（2022春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【变式16-1】（2022春·全国·七年级期末）下列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
【变式16-2】（2022春·八年级单元测试）观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是（ ）
A．②B．③C．④D．⑤
【变式16-3】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）下列图案可以看作某一部分平移后得到的是（ ）
A．B．C．D．
【题型17 利用平移的性质求解】
【例17】（2022春·广东江门·七年级统考期末）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）
A．30B．32C．36D．40
【变式17-1】（2022春·全国·七年级专题练习）如图，直角三角形ABC的周长为2021，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形周长的和为_________．
【变式17-2】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【变式17-3】（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）
A．18B．16C．12D．8
【题型18 利用平移解决实际问题】
【例18】（2022春·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．
【变式18-1】（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
【变式18-2】（2022春·全国·七年级专题练习）如图（单位，m），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积．
【变式18-3】（2022春·全国·七年级专题练习）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A'B'，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A'B'C'，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．
问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，则S1= 平方单位；并比较大小：S1 S2（填“＞”“＝”或“＜”）；
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）
专题11.1 相交线与平行线十八大必考点
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7513" 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】 PAGEREF _Tc7513 \h 1
\l "_Tc3249" 【考点2 三线八角中的截线问题】 PAGEREF _Tc3249 \h 4
\l "_Tc17643" 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Tc17643 \h 6
\l "_Tc19178" 【考点4 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Tc19178 \h 12
\l "_Tc10396" 【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Tc10396 \h 15
\l "_Tc3434" 【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Tc3434 \h 20
\l "_Tc16002" 【考点7 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc16002 \h 25
\l "_Tc16673" 【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc16673 \h 31
\l "_Tc6714" 【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Tc6714 \h 38
\l "_Tc17408" 【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Tc17408 \h 46
\l "_Tc24492" 【考点11 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Tc24492 \h 56
\l "_Tc22813" 【考点12 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Tc22813 \h 60
\l "_Tc290" 【考点13 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Tc290 \h 65
\l "_Tc7930" 【考点14 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Tc7930 \h 74
\l "_Tc8482" 【题型15 生活中的平移现象】 PAGEREF _Tc8482 \h 81
\l "_Tc4369" 【题型16 图形的平移】 PAGEREF _Tc4369 \h 83
\l "_Tc10095" 【题型17 利用平移的性质求解】 PAGEREF _Tc10095 \h 85
\l "_Tc14337" 【题型18 利用平移解决实际问题】 PAGEREF _Tc14337 \h 88
【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】
【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角
C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角
【答案】A
【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．
【详解】A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；
C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；
D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；
故选A.
【点睛】此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角， 同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义.
【变式1-1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
【变式1-2】（2022·河北保定·七年级期末）如图所示，下列说法错误的是( )
A．∠C与∠1是内错角
B．∠2与∠3是内错角
C．∠A与∠B是同旁内角
D．∠A与∠3是同位角
【答案】B
【分析】根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到A、C、D是正确的，∠2与∠3是邻补角，不是内错角．
【详解】A、∠C与∠1是内错角，故本选项正确；
B、∠2与∠3是邻补角，故本选项错误；
C、∠A与∠B是同旁内角，故本选项正确；
D、∠A与∠3是同位角，故本选项正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单．
【变式1-3】（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是____________
【答案】6
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义分别得到a，b，c的值，即可求解．
【详解】∵同位角有：∠8与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠6与∠2，∠4与∠9，∠7与∠9，共6对；内错角有：∠7与∠1，∠6与∠4，∠5与∠9，∠2与∠9，共4对，同旁内角有：∠7与∠4，∠6与∠1，∠1与∠9，∠6与∠9共4对，
∴a=6，b=4,c=4，
∴a+b−c=6，
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握它们的定义，是解题的关键．
【考点2 三线八角中的截线问题】
【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（ ）
A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的
B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的
C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的
D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的
【答案】B
【分析】根据内错角的定义进行判断即可求解．
【详解】解：如图，∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的内错角．
故选：B
【点睛】本题考查了内错角的判断，熟知内错角的定义是解题关键，弄清哪两条直线被第三条直线所截才能形成内错角是解题关键．
【变式2-1】（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠ABD与∠BDC是（ ）形成的内错角
A．直线AD、BC被直线BD所截B．直线AB、CD被直线BD所截
C．直线AB、CD被直线AC所截D．直线AD、BC被直线AC所截
【答案】B
【分析】根据内错角的定义即可完成．
【详解】由图知，∠ABD与∠BDC是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角
故选：B
【点睛】本题考查了内错角的识别，两条直线被第三条直线所截，若两个角在两条截线之间，且在被截线的两旁，则称这对角为内错角，掌握内错角的含义是正确识别内错角的关键．
【变式2-2】（2022·甘肃·陇西县巩昌中学七年级期末）如图，∠2与∠3是直线______、____被第三条直线_____所截形成的_______．
【答案】 AB AC BD 同旁内角
【分析】根据同旁内角的定义即可判断．
【详解】由同旁内角的概念可知：
如图所示，∠2与∠3是直线AB，AC被直线BD所截而成的同旁内角；
故答案为：AB；AC；BD；同旁内角；
【点睛】本题考查了同旁内角的定义，熟悉掌握同旁内角的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2022·全国·七年级）如图所示，从标有数字的角中找出：
(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.
(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.
(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.
【答案】(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角是∠2和∠5； (2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角是∠1和∠7；(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角是∠3和∠4
【分析】根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角.
【详解】解：(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角是∠2和∠5.
(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角是∠1和∠7.
(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角是∠3和∠4.
【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．
【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】
【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴______∥______（________________________）．
∴∠A=∠BED（_____________________________）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴______∥______（__________________________）．
∴∠B=∠C（______________________________）．
【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】先通过已知条件证明DE∥AF，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠C．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），
∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式3-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线．
(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）
∵GM是∠BGE的平分线，
∴______＝______=12∠BGE
∵HN是∠DHG的平分线
∴______＝______=12∠DHG
∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）
∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．
(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）
(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．
【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；GM∥HN；同位角相等，两直线平行；
(2)成立
(3)不成立，GM⊥HN．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠MGE=∠NHG，再利用平行线的判定即可；
（2）根据平行线的性质可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM=∠NHG，再利用平行线的判定即可；
（3）设GM与HN交于点P，根据平行线的性质可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形内角和定理可求出∠GPH=90°即可解答．
（1）证明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DHG（两直线平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分线，∴∠BGM＝∠MGE＝12∠BGE∵HN是∠DHG的平分线∴∠DHN＝∠NHG＝12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）∴GM和HN的位置关系是GM∥HN（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵GM是∠AGH的平分线，∴∠AGM= ∠HGM=∠AGH，∵HN是∠DHG的平分线，∴∠GHN=∠DHN=∠DHG，∴∠HGM=∠NHG（等量代换）∴GM∥HN．
（3）（3）（1）中的结论不成立，GM⊥HN，理由：如图：设GM与HN交于点P，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°，∵GM是∠BGH的平分线，∴∠BGM= ∠HGM=12∠BGH，∵HN是∠DHG的平分线，∴∠GHN=∠DHN=12∠DHG，∴∠HGM+ ∠NHG=12∠BGH+12∠DHG=90°，∴∠GPH=180°-（∠HGM+ ∠NHG）=90°∴GM⊥HN．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
【变式3-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2=180°，
∴2∠1+∠2=180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4=90°（2），
∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3=180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1+∠3=180°，
∴2∠1+2∠3=360°（3），
∵2∠1+∠2=180°（1），
（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4=180°，
∴∠3+∠AEC+∠4=180°，
∵AE⊥CE，
∴∠1+∠AEC=90°，
∴∠AEC=90°-∠1，
∴∠3+∠4-∠1=90°，
∵2∠1-∠4=90°，
∴∠1=45°+12∠4，
∴∠3+12∠4=135°，故④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【变式3-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；
(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)57°
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，进而推出∠C+∠B=180°，即可证明AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，据此即可证明结论；
（2）先由平行线的性质得到∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，进而推出∠EBG=∠CBG=∠G，即可证明BG是∠EBC的平分线；
（3）设∠GDH=∠HDC=α，设∠EBG=∠CBG=β，根据平行线的性质推出66°+2β+2α=180°，则α+β=57°，过点H作HP∥AB交AG于P，得到∠PHB+∠ABH=180°，推出∠DHP=∠HDC=α，则∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∠BHD=57°；
（1）
解：∵ AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D；
（2）
解：∵ AD∥BC，
∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，
∵∠AEB=2∠G，
∴∠CBE=2∠G，
∴∠EBG+∠CBG=2∠G，
∴∠EBG=∠CBG=∠G，
∴BG是∠EBC的平分线；
（3）
解：∵ DH是∠GDC的平分线，
∴∠GDH=∠HDC，
设∠GDH=∠HDC=α，
∵AD∥BC，
∴∠BCD=∠GDC=2α，
设∠EBG=∠CBG=β，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°，
∴66°+2β+2α=180°，
∴α+β=57°，
过点H作HP∥AB交AG于P，
∴∠PHB+∠ABH=180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥HP，
∴∠DHP=∠HDC=α，
∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°
即α+∠BHD+66°+β=180°，
∴∠BHD=57°；
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
【考点4 直线旋转中的平行线的判定】
【例4】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（ ）
A．28°B．56°C．62°D．84°
【答案】B
【分析】此题可以构造平行线，根据平行线的性质进行分析计算．
【详解】解：如图所示，
过点O作DE∥AC，
则有∠1=∠OAC=28°
而∠2=∠1，
所以，上下最大可以转动的角度为∠2=∠1=56°．
故选：B．
【点睛】本题是一道生活问题，将其转化为关于平行线的问题，解题关键是利用“两直线平行,同位角相等”解答．
【变式4-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，∠1=75°，∠AOB=35°，
∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°，
当∠2=∠AOB时，a∥b，
∴∠2=40°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【变式4-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（
A．15°B．30°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，则可求出答案．
【详解】解：过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，
∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，
∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，
∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式4-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域，边AC与直角l1相交于点D，若∠1=35°，则图中的∠2的值为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．80°
【答案】A
【分析】过A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根据平行线的性质得出∠3，进而求得∠4，再根据平行线的性质可求出答案．
【详解】解：过C作CE∥l1，
∵l1∥l2，
∴CE∥l1∥l2，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠4=90°-∠3=55°，
∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．
故选：A．
【点睛】题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】
【例5】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？
【答案】见解析
【分析】根据∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．
【详解】证明：∵∠1=∠C，
∴ ED∥BC，
∴∠2=∠DBC，
∵∠2=∠3，
∴∠DBC=∠3
∴BD∥FG，
∵FG⊥AC，
∴BD⊥AC．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质及判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【变式5-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．
如图，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．试证明：AD⊥BC．
解：因为DG//BA（已知），
所以∠2=∠BAD（____________）．
因为∠1=∠2（已知），
所以______（等量代换），
所以EF//______（____________）．
所以∠EFB=______（两直线平行，同位角相等）
因为EF⊥BC（已知），
所以∠EFB=90°（____________）．
所以∠ADF=90°（等量代换），
所以______（垂直的定义）．
【答案】两直线平行，内错角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，两直线平行；∠ADB；垂直的定义；AD⊥BC
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：因为DG//BA（已知），
所以∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
因为∠1=∠2（已知），
所以∠1=∠BAD（等量代换），
所以EF//AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠EFB=∠ADB（两直线平行，同位角相等），
因为EF⊥BC（已知），
所以∠EFB=90°（垂直的定义），
所以∠ADF=90°（等量代换），
所以AD⊥BC（垂直的定义），
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，两直线平行；∠ADB；垂直的定义；AD⊥BC．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
【变式5-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°．
（1）AD与BC平行吗？为什么？
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）不能，可添加CD⊥AC．
【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理，即可得到结论．
【详解】（1）平行．理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°．
∵∠B=60°，
∴∠B+∠BAD=60°+120°=180°，
∴AD∥BC；
（2）不能判断AB与CD平行，添加CD⊥AC即可判断AB与CD平行．
∵ AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键．
【变式5-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠DGF=180°-12α，理由见解析
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．
（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本结论可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解．
(1)
解：①图形如图所示．
②证明：过点C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．
(2)
解：∠DGF=180°-12α，理由如下：
如图，
由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN=12∠CDN，∠GFQ=12∠CFQ，
∴∠DGF=12（∠CDN+∠CFQ）=12（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=12（360°-∠DCF）=180°-12α．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】
【例6】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．
(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；
(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)62∘
【分析】（1）由∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180∘，得到∠1=∠DOE，则BD∥EF，∴ ∠B=∠EFC，由∠B=∠3，∠3=∠EFC，即可证明DE∥BC；
（2）由（1）的结论得到∠3=∠EFC，则∠AEF=118∘，再由同旁内角的性质得到∠A的度数即可．
（1）
∵ ∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180∘，
∴ ∠1=∠DOE，
∴ BD∥EF，
∴ ∠B=∠EFC，
∵ ∠B=∠3，
∴ ∠3=∠EFC，
∴ DE∥BC．
（2）
由（1）知： ∠3=∠EFC
∵ ∠AED+∠EFC=118°
∴ ∠3+∠AED=∠AEF=118∘
由（1）知BD∥EF,
且∠AEF、∠A互为同旁内角，
∴∠AEF+∠A=180∘，
∴∠A=180∘−∠AEF=180∘−118∘=72∘
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定式关键．
【变式6-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
(2)判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)45°
(2)BE∥CD；证明见解析
【分析】（1）根据∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，从而得到∠EDC+∠C=180°，结合∠EDC＝3∠C，代入计算即可．
（2）根据∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，从而得到∠E=∠ABE，结合∠C＝∠E，得到∠ABE=∠C，得到BE∥CD．
（1）
∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠EDC+∠C=180°，
∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C=180°，
∴∠C=45°．
（2）
BE与CD的位置关系是BE∥CD．理由如下：
∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠E=∠ABE，
∵∠C＝∠E，
∴∠ABE=∠C，
∴BE∥CD．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式6-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，根据上述条件，解答下列问题：
(1)证明：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数；
(3)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠EOB=35°
(3)不变，∠OBC:∠OFC=1:2．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠COA，再根据∠COA+∠OAB=180∘，可得OC∥AB；
（2）根据∠FOB=∠AOB， OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA ，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA,∠OFC=∠FOA，再根据∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB ，即可得出答案．
（1）
∵CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，
∴∠COA=180°−∠C=180°−110°=70°，
∴∠COA+∠OAB=180°，
∴OC∥AB；
（2）
∵∠FOB=∠AOB，
∴OB平分∠AOF，
又OE平分∠COF，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA=12×70°=35°；
（3）
不变．
∵CB∥OA，
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA，
又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2．
【点睛】本题考查平行线、角平分线的性质及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清各角间的关系时解题关键．
【变式6-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当∠AOB=α0°<α≤180°时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含α的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②30°
(2)∠OCD＋∠BFH＝360°－α，证明见解析
【分析】（1）①根据题意补图即可；
②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可．
(1)
解：①依据题意，补全图1如下：
②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
(2)
解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【考点7 平行线的性质在生活中的应用】
【例7】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH.光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①③
【答案】B
【分析】根据平行线的性质定理逐个证明，看是否正确即可.
【详解】①正确，根据AB//CD，可得∠2=∠3，再根据已知可得∠1=∠2=∠3=∠4，进而证明∠EFC=∠FGH,因此可得EF//GH；
②正确，根据∠3=∠4，可得∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；
③正确，因为①证明了∠1=∠4 ，所以只要证明∠1 的角平分线垂直于∠BFE 的角平分线即可；
④不正确，因为∠2+∠3=90°,所以∠EFC+∠FGH=180°，即EF//GH.
故正确的有①②③，因此选B.
【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是基本知识点，必须熟练掌握.
【变式7-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜MN,NP，一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明
【答案】会，理由见解析
【分析】作BE⊥NB，CF⊥NC，根据NB⊥NC可得出∠2+∠3=∠1+∠4=90°，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：AB//CD．
理由如下：作BE⊥NB，CF⊥NC，如图，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，BE//NC，
∴∠2=∠NCB，
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB//CD．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知入射角等于反射角是解答此题的关键．
【变式7-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）（1）若组成∠1和∠2的两条边互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB,EF与上拉杆CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB=25°时，点H，D，B在同一直线上，求∠H的度数．
【答案】（1）15°或115°；（2）120°
【分析】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．
（2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H．
【详解】解：（1）①当∠1=∠2时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠1=2∠1-15°，
解得∠1=15°；
②当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠2+2∠2-15°=180°，
解得∠2=65°，
∴∠1=180°-∠2=115°；
（2）过D点作DI∥EF，
∵∠F=145°，
∴∠FDI=35°，
∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，
∴∠ABH=90°-30°=60°．
∵GH∥AB，
∴∠H=180°-60°=120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等．
【变式7-3】（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．
（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；
（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；
（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？
【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2）∠PMQ=108° ；（3）当开启15s或1357s或2257s后，两灯的光束互相垂直．
【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果；
（2）过点M作FM//AB，利用平行线的相关性质求解即可；
（3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，PM返回时，第一次与DM相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，PM返回时，第二次与DM相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，
∴P灯照射一次需要的时间是：18010=18（秒）
Q灯照射一次需要的时间是：1804=45（秒）；
（2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚，
∴∠APM=10∘×12=120∘,
∠DQM=4∘×12=48∘，
如下图示，过点M作FM//AB，
则有FM//AB//CD
∴∠APM+∠PMF=180∘， ∠FMQ=∠DQM=48∘，
∴∠PMF=180∘−∠APM=180∘−120∘=60∘，
∴∠PMQ=∠PMF+∠FMQ=60∘+48∘=108∘；
（3）①当两灯开启时间小于18秒时，
如图1所示，
过点M作FM//AB，
则有FM//AB//CD
∵∠APM=10t，∠FMQ=∠DQM=4t，
∴∠PMF=180∘−∠APM=180∘−10t，
∵两灯的光束互相垂直，
∴依题意可得：180∘−10t+4t=90∘
解之得：t=15；
②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，
PM返回时，第一次与DM相遇，则如图2所示，
过点M作FM//AB，
则有FM//AB//CD
∴∠PMF=∠BPM=10t−180∘， ∠FMQ=∠DQM=4t，
∵两灯的光束互相垂直，
∴依题意可得：10t−180∘+4t=90∘
解之得：t=1357；
③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，
PM返回时，第二次与DM相遇，则如图3所示，
过点M作FM//AB，
则有FM//AB//CD
∵∠BPM=10t−180∘，∠DQM=4t，
∴∠PMF=180∘−∠BPM=360∘−10t，
∠FMQ=180∘−∠DQM=180∘−4t
∵两灯的光束互相垂直，
∴依题意可得：360∘−10t+180∘−4t=90∘
解之得：t=2257；
综上所述，当开启15s或1357s或2257s后，两灯的光束互相垂直．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键．
【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
【例8】（2022·河北唐山·七年级期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点D．
(1)如图1，若点F在边BC上，直接写出∠BAC与∠EFD的数量关系；
(2)若点F在边BC的延长线上，（1）中的数量关系还成立吗？若成立，给子证明；若不成立，又有怎样的数量关系，请在备用图中画出图形并说明理由．
【答案】(1)∠BAC=∠EFD
(2)不成立，当点F在边BC的延长线上时，∠BAC +∠EFD=180°，图见解析，证明见解析
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到∠BAC与∠EFD的数量关系；
（2）首先作出图形，再结合平行线的性质即可得到结论．
（1）
解：∠BAC=∠EFD，
证明：∵EF∥AC，
∴∠BAC=∠BEF，
∵DF∥AB，
∴∠EFD=∠BEF，
∴∠BAC=∠EFD；
（2）
如图2，当点F在边BC的延长线上时，（1）中的数量关系不成立，
数量关系为∶∠BAC+∠EFD=180°，
证明：∵DF∥AB，
∴∠D=∠BAC．
∵EF∥AC，
∴∠EFD+∠D=180°，
∴∠BAC+∠EFD=180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等以及两直线平行，同旁内角互补等知识．
【变式8-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；
(2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BPA与∠BDA的数量关系；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，探究∠ABC与∠DBN的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)65°
(2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系不随之发生变化，∠BPA＝2∠BDA
(3)∠ABC＝∠DBN．证明见解析
【分析】（1）根据AM∥BN，可得∠A＋∠ABN＝180°，从而得到∠ABN＝130°，再由BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，可得∠CBD=12∠ABP+∠PBN，即可求解；
（2）根据AM∥BN，可得∠BPA＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由∠PBD=∠DBN=12∠PBN，可得∠PBN＝2∠BDA，即可求解；
（3）根据AM∥BN，可得∠ACB＝∠CBN，再由∠ACB＝∠ABD，可得∠CBN＝∠ABD，即可求解．
（1）
解：∵AM∥BN，
∴∠A＋∠ABN＝180°，
又∠A＝50°，
∴∠ABN＝130°，
∵BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，
∴∠CBP=12∠ABP，∠PBD=∠DBN=12∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠PBD=12∠ABP+∠PBN=65°．
（2）
解：在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系不随之发生变化，∠BPA＝2∠BDA．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠BPA＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
又∵∠PBD=∠DBN=12∠PBN，
∴∠PBN＝2∠BDA，
∴∠BPA＝2∠BDA．
（3）
解：∠ABC＝∠DBN．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
∵∠ACB＝∠ABD﹐
∴∠CBN＝∠ABD﹐
即∠ABC＋∠CBD＝∠DBN＋∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBN．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
【变式8-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知：直线AB∥CD，经过直线AB上的定点P的直线EF交CD于点O，点M，N为直线CD上的两点，且点M在点O右侧，点N的左侧时，连接PM，PN，满足∠MPN=∠MNP．
(1)如图1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接写出∠COP的度数为：______．
(2)如图2，射线PQ为∠MPE的角平分线，用等式表示∠NPQ与∠POM之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)125°
(2)∠POM=2∠NPQ，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质以及题干中∠MPN=∠MNP即可推出∠COP的度数．
（2）结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到∠NPQ与∠POM的等量关系．
（1）
∵AB∥CD，
∴∠COP=∠BPO，∠BPN=∠MNP=50°．
∵∠MPO=25°，∠MPN=∠MNP=50°，
∴∠COP=∠BPO=∠MPO+∠MPN+∠BPN=25°+50°+50°=125°．
（2）
结论：∠POM=2∠NPQ．
理由：
∵AB∥CD，
∴∠EPB=∠POD，∠BPN=∠PNM．
又∵射线PQ为∠MPE的角平分线，
∴∠EPQ=∠MPQ=12∠MPE．
∵∠MPN=∠PNM=∠NPB，
∴∠MPN=∠NPB=12(∠MPN+∠NPB)=12∠MPB．
∴∠NPQ=∠MPQ−∠MPN=12∠MPE−12∠MPB=12∠EPB=12∠POM．
即∠POM=2∠NPQ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识．解题关键是熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．
【变式8-3】（2022·湖北孝感·七年级期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作FG⊥FD交射线CB于点G．
(1)如图1，点F在线段BE上，
①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；
②如图，求证：∠ABC+∠BFG−∠EDF=90°；
(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
【答案】(1)①∠EDF+∠BGF=90°，理由见解析；②过程见解析
(2)∠BGF -∠EDF=90°或∠BGF +∠EDF=90°
【分析】对于（1）①，过点F作平行线，再根据平行线的性质∠EDF=∠1和∠BGF=∠2，
然后根据垂直可得结论；
对于②，根据平行线的性质得∠ABC=∠AFH和∠EDF=∠1，再根据垂直定义得∠BFG+∠3=90°，整理可得结论；
对于（2），分两种情况讨论，再结合（1）给出证明即可．
（1）
过点F作FH∥BC交AC于点H
①∠EDF+∠BGF=90°．

理由如下：
∵FH∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FH，
∴∠EDF=∠1．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠2，
∴∠EDF+∠BGF=∠1+∠2．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°，即∠1+∠2=90°，
∴∠EDF+∠BGF=90°；
②∵FH∥BC，
∴∠ABC=∠AFH，即∠ABC=∠1+∠3．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°，
∴∠BFG+∠3=90°，即∠BFG=90°-∠3．
∵ED∥FH，
∴∠EDF=∠1，
∴∠ABC+∠BFG -∠BFG=∠1+∠3+90°-∠3-∠1=90°；
（2）
当点G在线段BC上时，∠BGF -∠EDF=90°；
过点F作FH∥BC，
∵FH∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FH，
∴∠EDF=∠DFH．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠GFH，
∴∠BGF=∠GFD+∠EDF．
∵FG⊥FD，
∴∠GFD=90°，
∴∠BGF-∠EDF =90°；
当点G在点B的左侧时，∠BGF+∠EDF=90°；
过点F作FR∥BC，
∵FR∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FR，
∴∠EDF=∠DFR．
∵FR∥BC，
∴∠BGF+∠GFR=180°，
∴∠BGF+∠GFD+∠EDF=180°．
∵FG⊥FD，
∴∠GFD=90°，
∴∠BGF+90°+∠EDF =180°，
即∠BGF+∠EDF =90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等，构造平行线是解题的关键．
【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】
【例9】（2022·四川德阳·七年级期末）已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．
(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；
(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．
①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；
②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．
【答案】(1)见解析
(2)①45°；②n=180−2m
【分析】（1）过点E作EM∥AB，利用平行线的性质证明即可；
（2）①利用（1）中结论求解即可；
②结论：n＝180−2m，过点I作IJ∥AB，设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．利用（1）中结论求解即可．
（1）
证明：过点E作MN∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠APE=∠PEN，∠CQE=∠NEQ，
∴∠PEQ=∠PEN+∠NEQ=∠APE+∠CQE．
（2）
解：①∵∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H，
∴∠APH=12∠APE，∠CGH=12∠CGF，
∵FG由EQ平移而来，
∴FG∥EQ，
∴∠CGF=∠CQE，
由（1）可知，∠APE+∠CQE=∠E=90°，
∴∠H=∠APH+∠CGH
=12∠APE+12∠CGF
=12∠APE+12∠CQE
=12(∠APE+∠CQE)
=45°
②n=180−2m．理由如下：
过点I作IJ∥AB，如图所示：
设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．
∵AB∥CD，
∴IJ∥CD，同法可证∠H＝∠CGH＋∠JIH，
∵∠BPI＝∠PIJ，
∴∠PIH＝∠JIH＋∠PIJ，
∵∠PIH−∠H＝m°，
∴∠BPI＋∠JIH−（∠CGH＋∠JIH）＝m°，
∴12（180°−x°）−12y°＝m°，
∴90°−12（x＋y）°＝m°，
∴90°−12n°＝m°，
即n=180−2m．
【点睛】本题主要考查作图−平移变换，角平分线的定义，平行线的公理应用，平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-1】（2022·广东梅州·八年级期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
(1)如图1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度数；
(2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，如图2，当DF∥OA，且α＝60°时，证明：CE∥OA．
【答案】(1)45°
(2)见解析
【分析】（1）过点E作EF∥MN，根据MN∥OB，可得EF∥OB，根据平行线的性质可得∠AOB=45°；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义即可说明CE∥OA；
（1）
解：如图，过点E作EF∥MN，
∴∠DEF=∠NDE=45°，
∵∠CED=90°，
∴∠FEC=45°，
∵MN∥OB，
∴EF∥OB，
∴∠BCE=∠FCE=45°，
∵AO∥CE，
∴∠AOB=∠ECB=45°，
则α=45°，
（2）
证明：∵DF∥OA，
∴∠DFC=∠AOB=α=60°，
∵MN∥OB，
∴∠MDF=∠DFC，
∵DF平分∠MDC，
∴∠CDF=∠MDF=60°，
在直角三角形DCE中，∠DCE=60°，
∴∠CDF=∠DCE，
∴CE∥DF，
∵DF∥OA，
∴CE∥OA；
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
【变式9-2】（2022·陕西西安·八年级期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°．
(1)在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．
【答案】(1)44°
(2)∠2−∠1=120°，理由见解析
(3)∠1=∠2，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠3，根据平行线的性质解答；
（2）过点B作BD//a，根据平行线的性质得到∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠l，结合图形计算，证明结论；
（3）过点C作CE//a，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
（1）解：∵∠BCA=90°，∴∠3=90°−∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°
（2）证明：过点B作BD∥a，则∠ABD=180°−∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC=∠1，∵∠ABC=60°，∴180°−∠2+∠1=60°，∴∠2−∠1=120°；
（3）解：∠1=∠2，理由如下：过点C作CE∥a，∵AC平分∠BAM，∴∠BAM=2∠BAC=60°，∵CE∥a，∴∠2=∠BCE，∵a∥b，BD∥a，∴CE∥b，∠1=∠BAM=60°，∴∠ECA=∠CAM=30°，∴∠2=∠BCE=60°，∴∠1=∠2．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
【变式9-3】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．
(1)证明：MN∥ST；
(2)如图2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE＝2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ACB＝45°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接写出∠CAE：∠CAN的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠CAE＝2∠CAN；理由见解析
(3)3
【分析】（1）如图：作CH//MN，然后根据平行线的性质可得∠MAC＋∠ACH＝180°．再结合∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°可得∠HCB＋∠SBC＝180°，即CH//ST，最后根据平行公理即可证明结论；
（2）如图：作CF//ST，设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α．由平行线的性质可得∠BCF＝∠CBT＝α，进而得到∠ACF＝60°－α；再说明MN//CF可得∠CAN＝∠ACF＝60°－α；然后根据AD//BC得到∠DAC＋∠ACB＝180°，最后根据等量代换和角的和差即可解答；
（3）设∠CBT=β，根据∠MAE=4∠CBT，表示出∠MAE=4β，∠ACF=∠CAN=45°-β，∠CAE=3（45°-β），求人CAE：∠CAN的值即可．
（1）
证明：如图：作CH//MN
∴∠MAC＋∠ACH＝180°．
∵∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°，
∴∠HCB＋∠SBC＝180°，
∴CH//ST
∴MN//ST．
（2）
解：∠CAE＝2∠CAN，理由如下：
如图：作CF//ST，
设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α．
∵CF//ST
∴∠BCF＝∠CBT＝α，
∵∠ACB＝60°
∴∠ACF＝60°－α
∵CF//ST，MN//ST
∴MN//CF
∴∠CAN＝∠ACF＝60°－α
∵AD//BC，
∴∠DAC＋∠ACB＝180°
∴∠DAC＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，
∴∠CAE＝∠DAC－∠DAE＝120°－2α＝2（60°－α）
∴∠CAE＝2∠CAN．
（3）
解：如图：作CF//ST，
设∠CBT=β，
∵∠MAE=4∠CBT，
∴∠MAE=4β，
∵CF//ST，
∴∠CBT=∠BCF=β，
∴∠ACF=∠CAN=45°-β，
∠CAE=180°-∠MAE-∠CAN=180°-4β-（45°-β）=135°-3β=3（45°-β），
∴∠CAE：∠CAN=3（45°-β）：（45°-β）=3．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，根据角度的灵活转换、构建数量关系式是解答本题的关键．
【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】
【例10】（2022·云南普洱·七年级期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．
(1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．
(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)30，60
(2)∠EMC +∠CAF =90°，理由见解析；
(3)∠BAG-∠BMD=30°，理由见解析
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠ HCA，∠EMC转化为∠ MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF=∠MCH +∠ACH=∠ACB= 90°；
（3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC = 30°．
（1）
解：∵DE∥GF，AB⊥DE，
∴AB⊥GF，
∴∠BAF=90°，
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC= 90°- 60°=30° ，
过点C作CH∥GF，则CH∥DE，
∴∠HCA=∠CAF=30°，
∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
（2）
∠EMC +∠CAF=90°，理由如下：
如图，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC =∠HCM，
∴∠EMC +∠CAF=∠MCH +∠ACH=∠ACB =90°；
（3）
∠BAG-∠BMD=30°，理由如下：
如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG =∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK ∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算．
【变式10-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①∠E+2∠F=180°，证明见解析；②70°
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
（1）
解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）
①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含α，β的式子表示∠E，∠F，从而得到∠E，∠F之间的数量关系．
【变式10-2】（2022·广东·新丰县教育局教研室七年级期末）细观察，找规律．
（1）下列各图中的MA1与NAn平行．
①图①中的∠A1+∠A2=______度．
②图②中的∠A1+∠A2+∠A3=______度．
③图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______度．
④图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______度．
⑤第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠A11=______度．
⑥第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠An+1=______度．
（2）下列各图中AB//CD．
①图甲中∠B、∠C、∠BEC的数量关系是______．
②图乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的数量关系是______．
③图丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的数量关系是______．
【答案】（1）①180°；②360°；③540°；④720°；⑤1800°；⑥180n°；（2）①∠B+∠C=∠BEC；②∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F；③∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M
【分析】（1）通过作平行线，由平行线的性质可逐题求解，注意找规律；
（2）通过作平行线，由平行线的性质可逐题求解．
【详解】解：（1）∵ MA1//NA2，
∴ ∠A1+∠A2=180°；
过A2作A2P//MA1，
∵ MA1//NA3，
∴ A2P//NA3，
∴ ∠A1+∠A2+∠A3=2×180°=360°；
过A2作A2P//MA1，过A3作A3Q//MA1，
∵ MA1//NA4，
∴ A2P//MA1//A3Q//NA4，
∴ ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=3×180°=540°；
过A2作A2P//MA1，过A3作A3Q//MA1，过A4作A4B//MA1，
∵ MA1//NA5，
∴ A2P//MA1//A3Q//A4B//NA5，
∴ ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=4×180°=720°；
…
同理：∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠A11=10×180°=1800°；
∠A1+∠A2+∠A3+⋅⋅⋅+∠An+1=180n°；
故答案为①180°；②360°；③540°；④720°；⑤1800°；⑥180n°；
（2）①∵ AB//EF//CD，
∴ ∠B=∠BEF，∠C=∠CEF，
∴ ∠B+∠C=∠BEC；
②过G作GN//AB，
∵ AB//CD，
∴ AB//GN//CD，
∴ ∠B+∠EGN=∠E，∠NGF+∠C=∠F，
∴ ∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F；
③过F作FP//AB，过H作HQ//AB，
∵ AB//CD，
∴ AB//FP//HQ//CD，
∴ ∠B+∠EFP=∠E，∠PFG+∠GHQ=∠G，∠QHM+∠C=∠M，
∴ ∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M．
故答案为①∠B+∠C=∠BEC；
②∠B+∠EGF+∠C=∠E+∠F；
③∠B+∠EFG+∠GHM+∠C=∠E+∠G+∠M．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，作出辅助线．
【变式10-3】（2022·北京师范大学附属实验中学分校七年级期末）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80−2α＋|β﹣40|＝0
(1)α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；
(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN1∠Q的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)40，40，平行；
(2)∠GHF+∠FMN =180°；证明见解析；
(3)不变，2
【分析】（1）根据非负数的性质求出α、β，再根据角平分线的性质和平行线的判定得出AB平行于CD；
（2）根据AB∥CD得出∠BMN＝∠PNF，由∠MGH＝∠PNF可得∠MGH＝∠BMN，可证MN∥GH，利用平行线的性质可证∠FMN=∠GHF；
（3）作QU∥AB，PI∥AB，可证∠MQM1=∠QM1B−∠QFN，∠FPN1=∠PM1B−∠PFN，再根据角平分线的性质可得∠FPN1∠MQM1=2．
(1)
解：∵80−2a＋|β﹣40|＝0，
∴80−2α=0，β﹣40＝0，
∴α=40，β＝40，
∵∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，
∴∠PFM＝∠NFM＝40°，
∴∠EFM＝∠NFM，
∴AB∥CD，
故答案为：40，40，平行．
(2)
解：∠GHF+∠FMN =180°；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BMN＝∠PNF，
∵∠MGH＝∠PNF，
∴∠MGH＝∠BMN，
∴MN∥GH，
∴∠FMN=∠GHM，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠GHF+∠FMN =180°．
(3)
解：不变；
作QU∥AB，PI∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥QU∥PI ，
∴∠UQM1＝∠QM1B，∠UQF＝∠QFN，∠IPM1＝∠PM1B，∠IPF＝∠PFN，
∴∠MQM1=∠QM1B−∠QFN，∠FPN1=∠PM1B−∠PFN，
∵∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，
∴∠PM1B=2∠QM1B，∠PFN=2∠QFN，
∴∠FPN1=2∠MQM1，
∴∠FPN1∠MQM1=2．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理和证明．
【考点11 平行线在折叠问题的运用】
【例11】（2022·山东潍坊·七年级期末）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD//BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）
A．∠1=2∠2B．∠1+∠2=90°C．∠1−∠2=30°D．2∠1−3∠2=30°
【答案】B
【分析】根据平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根据折叠和平角定义可求出∠1+∠2=90°．
【详解】解：由翻折可知，∠DAE=2∠1，∠CBF=2∠2，
∵AD//BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠DAE+∠CBF=180°，
即2∠1+2∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．
【变式11-1】（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=( )
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】C
【详解】试题分析：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=110°，∠C=90°，
∴∠FMB＝∠A＝110°，∠FNB＝∠C＝90°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=∠FMN=12∠FMB=12×110°=55°，
∠BNM=∠FNM=12∠FNM=12×90°=45°，
∠B=180°－∠BMN－∠BNM=80°，
故选：C．
【点睛】点睛：本题考查了平行线性质，翻折变换，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠BMN和∠BNM的度数．
【变式11-2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．
【答案】见解析.
【分析】由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行线的判定证明即可．
【详解】∵将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE，
∴∠AED＝∠CED，∠AED＋∠CED＝180°，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC.
【点睛】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
【变式11-3】（2022·江苏·常州市第二十四中学七年级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角： ；所有与∠C相等的角： ．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30
【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得∠B+∠C=90°，再由∠C−∠B=50°根据角的和差计算即可得∠C的度数，进而得∠B的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．
【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，
即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠FDE，
∴AC∥DE，
∴∠CAF＝∠E，
∴∠CAF＝∠E＝∠B
故与∠B相等的角有∠CAF和∠E；
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°
∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°
∴∠BAF＝∠C
又AC∥DE，
∴∠C＝∠CDE，
∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；
（2）①∵∠BAC=90°
∴∠B+∠C=90°
又∵∠C−∠B=50°，
∴∠C＝70°，∠B＝20°;
②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则∠ADB=160°−x°,∠ADF=20°+x°,
由翻折可知：∵∠ADE=∠ADB=160°−x°, ∠E=∠B=20°,
∴∠FDE=140°−2x°, ∠DFE=20°+2x°,
当∠FDE＝∠DFE时，140°−2x°=20°+2x°, 解得：x°=30°；
当∠FDE＝∠E时，140°−2x°=20°，解得：x°=60°（因为0＜x≤45，故舍去）；
当∠DFE＝∠E时，20°+2x°=20°，解得：x°＝0（因为0＜x≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且x=30．
【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
【考点12 平行线在三角尺中的运用】
【例12】（2022·浙江宁波·七年级期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t=______________秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
【答案】2或3或5
【分析】分三种情况：①当A'C ∥AB时，②当A'D' ∥AC时，③当A'D' ∥AB时，分别根据平行线的性质求出∠A'CA的度数，进而解答即可．
【详解】解：分三种情况：
①当A'C ∥AB时，如图：
∴∠A'CA＝∠BAC＝45°，
∴15t＝45，
∴t＝3；
②当A'D' ∥AC时，如图，
∴∠A'CA＝∠A'＝30°，
∴15t＝30，
∴t＝2；
③当A'D' ∥AB时，如图，过点C作CE∥AB，则CE∥AB∥ A'D'，
∴∠ACE＝∠A，∠ECA'＝∠A'，
∴∠A'CA＝∠ACE＋∠ECA'＝∠A＋∠A'＝75°，
∴15t＝75，
∴t＝5．
综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【变式12-1】（2022·河北·青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN=_________；
【答案】75°##75度
【分析】利用平角的定义可得∠ACD=180°−∠ACB−∠FCD=75°，然后利用平行线的性质即可求解.
【详解】由题意得：∠ACD=180°−∠ACB−∠FCD=75°，∵MN∥AC，∴∠CDN=∠ACD=75°,
故答案为75°.
【点睛】本题主要考查了平角的定义，平行线的性质，能熟练运用平角的定义和平行线的性质是解决本题的关键.
【变式12-2】（2022·四川达州·八年级期末）一副三角板ADE和ABC按如图1所示放置，点B在斜边AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．现将三角板ADE固定不动，三角板ABC绕点A顺时针旋转α0°<α<180°，使两块三角板至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD其他所有可能符合条件的度数为______．
【答案】45°或60°或105°或135°
【分析】分四种情形：当AC∥DE时，当BC∥AD时，当AE∥BC时，当AB∥DE时，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图3-1中，当AC∥DE时，∠BAD=45°．
如图3-2中，当BC∥AD时，∠BAD=∠B=60°．
如图3-3中，当AE∥BC时，∠BAE=∠B=60°，
∴∠BAD=∠EAB+∠DAE=60°+45°=105°．
如图3-4中，当AB∥DE时，∠EAB=∠E=90°，
∴∠BAD=∠EAB+∠DAB=90°+45°=135°．
综上所述，∠BAD其他所有可能符合条件的度数为45°或60°或105°或135°．
故答案为：45°或60°或105°或135°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，含特殊角的三角形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式12-3】（2022·江苏苏州·七年级期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第____秒时，边AB与边DE平行．
【答案】252或852
【分析】分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案．
【详解】①当DE在AB上方，
∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE=∠E=45°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，
∴旋转时间为：75°6°=252（秒）；
②当DE在AB下方，
∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE+∠E=180°，
∴∠BAE=180°-∠E=135°，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°，
∴旋转角度为：360°-∠CAE=255°，
∴旋转时间为：255°6°=852（秒），
综上所述：在旋转过程中，第252或852秒时，边AB与边DE平行，
故答案为：252或852．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是对DE的位置进行讨论，画出相应图形解答．
【考点13 平行线中的规律问题】
【例13】（2022·山东泰安·期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点
(1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC=____________；
(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
(3)①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【答案】(1)55°
(2)见解析
(3)①2∠AFC+∠AEC=360°，理由见解析；②∠F=360°−mn+1
【分析】（1）如图①，过点E作EF//AB．利用平行线的性质即可解决问题；
（2）如图②中，作EG//AB，利用平行线的性质即可解决问题；
（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．
（1）解：过E点作EF//AB，∵AB//CD，∴EF//CD，∵AB//CD，∴∠BAE＝∠1，∵EF//CD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵∠BAE=35°，∠DCE=20°，∴∠AEC=55°
（2）过E点作AB//EG．∵AB//CD，∴EG//CD，∵AB//CD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EG//CD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．
（3）①由（1）知∠AFC=∠BAF+∠DCF ，∵FA为∠BAE平分线，CF为∠DCE平分线，∴∠BAF=12∠BAE,∠DCF=12∠DCE ，∴∠AFC=12∠BAE+∠DCE ，即∠BAE+∠DCE=2∠AFC ，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC=360° ，②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE=360° ，∵∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，∠BAF+∠DCF=∠F ，∴∠F=1n∠FAE+∠FCE 即∠FAE+∠FCE=n∠F ，∴∠F+∠E+n∠F=360° ，∵∠E=m ，∴∠F=360°−mn+1 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
【变式13-1】（2022·山东烟台·七年级期末）问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．
问题解决：
（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；
（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．
【答案】（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°
【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；
（3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
【详解】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α-β；
如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC，
∴∠APC=β-α；
（3）如图3，过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥QF∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，
∵∠APC=116°，
∴∠BAP+∠PCD=116°，
∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，
∴∠BAQ=12∠BAP，∠DCQ=12∠PCD，
∴∠BAQ+∠DCQ=12（∠BAP+∠PCD）=58°，
∵AB∥QF∥CD，
∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，
∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，
∴∠AQC=58°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．
【变式13-2】（2022·四川·树德中学七年级期末）（1）如图①，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
（2）如图②，已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
（3）如图③，已知AB∥CD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【答案】（1）∠2=∠1+∠3；（2）∠1+∠3=∠2+∠4；（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（4）当AB∥CD时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．
【分析】（1）过E作EM//AB，推出AB//EM//CD，根据平行线性质得出∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，即可求出答案；
（2）通过作辅助线：过E作EM//AB，过F作NF//AB，得到EM//AB//NF//CD，得到∠PEM=∠1，∠MEF=∠EFN，∠4=∠QFN即可得:∠PEM+∠MEF+∠4=∠1+∠EFN+∠QFN,即可得到答案：∠2+∠4=∠1+∠3；
（3）做辅助线，GM//CD通过（2）可知：∠1+∠3=∠2+∠FGM，再由平行得∠5=∠MGD，即可∠1+∠3+∠5=∠2+∠FGM+∠MGD，即：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
（4）通过以上3个问题，发现：当AB∥CD时，奇数角的和等于偶数角的和．
【详解】解：（1）∠2=∠1+∠3，
理由是：
过E作EM//AB，推出AB//EM//CD，
过E作EM//AB，
∵AB//CD，
∴AB//EM//CD，
∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，
∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；
∴∠2=∠1+∠3，
（2）∠1+∠3=∠2+∠4;
理由如下：过E作EM//AB，过F作NF//AB
∵EM//AB，NF//AB，CD//AB
∴EM//AB//NF//CD
∴∠PEM=∠1
同理：∠MEF=∠EFN
∠4=∠QFN
∴∠PEM+∠MEF+∠4=∠1+∠EFN+∠QFN
即：∠2+∠4=∠1+∠3
即：已知AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间关系：∠1+∠3=∠2+∠4．
（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；
理由如下：过点G，作GM//CD
由（2）可知：∠1+∠3=∠2+∠FGM
∵GM//CD
∴∠5=∠MGD
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠FGM+∠MGD、
即：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
（4）通过以上3个问题，发现：当AB∥CD时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，题目比较典型，是一道比较好的题目．
【变式13-3】（2022·北京市第一零一中学温泉校区七年级期末）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝α．如图2，将纸条作第一次折叠，使BM'与BA在同一条直线上，折痕记为BR1．
解决下面的问题：
（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠BR1N'的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折叠：BR1平分_________，BM'∥R1N'，求∠BR1N'的度数．
（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使AM''⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．
（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM'与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使BM'与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．
①第二次折叠时，∠BR2N'＝_____________（用α的式子表示）；
②第n次折叠时，∠BRnN'＝____________（用α和n的式子表示）．
【答案】（1）∠ABM，∠BR1N'＝135°；（2）能，α=45°；（3）180°－α4，180°－a2n
【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得结论；
（2）根据折叠的性质和平行线的性质结合三角形内角和定理可求出α的值；
（3）①根据折叠和平行线的性质可求出∠BR1N'=180°−α2，同理可求出∠BR2N'=180°−α4；
②由①可得到规律得出∠BRnN'=180°−α2n．
【详解】（1）由折叠得，∠ABR1=∠MBR1 ，
∴BR1平分∠ABM，
∵∠ABM＝90°，
∴∠ABR1=12∠ABM=45°，
∵M'B//N'R1 ，
∴∠ABR1+∠BR1N'=180°，
∴∠BR1N'=180°−∠ABR1=180°−45°=135°；
故答案为：∠ABM；
（2）如图，
∵PN//QM，
∴∠M'AR=∠ABM=α，
由折叠得，∠ABR1=∠MBR1=α2，∠M″AR1=∠M'AR1=α，
由PN//QR得，∠AR1B=α2，
∴∠1=α+α2，
∵∠ABR1+∠1+∠BAM″=180°，且∠BAM″=90°，
∴∠ABR1+∠1=90°，
∴2α=90°，
∴α=45°；
（3）①如图，
由折叠得，∠ABR1=∠MBR1，
∴∠ABR1=12∠ABM=12α，
∵BM'//R1N'，
∴∠ABR1+∠BR1N'=180°，
∴∠BR1N'=180°−∠ABR1=180°−α2；
同理可得，∠R1BR2=14∠ABM=14α，
∴∠BR2N'=180°−∠R1BR2=180°−α4，
故答案为：180°−α4；
②由①可得∠BR3N'=180°−∠R3BR2=180°−α8，
由此可以得出：∠BRnN'=180°−∠RnBRn−1=180°−α2n，
故答案为：180°−α2n．
【点睛】本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．还考查了平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
【考点14 平行线中的转角问题】
【例14】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为α（旋转角0∘<α<360∘，请探究下列问题：
(1)如图2，当旋转角满足0∘<α≤60∘时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；
(2)如图3，当旋转角满足60∘<α≤120∘时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；
(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)∠BCD=∠ACE，理由见解析；
(2)∠BCE-∠ACD=120°，理由见解析；
(3)旋转角为60°或240°．
【分析】（1）结合图形，根据等边三角形及各角之间的数量关系即可得出结果；
（2）结合图形利用各角之间的数量关系即可得出结果；
（3）由平行线的性质进行分类讨论即可得出结果．
（1）
解：∠BCD=∠ACE，理由如下：
∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∠ACE+∠ACD=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE；
（2）
∠BCE-∠ACD=120°，理由如下：
∵∠BCE=∠BCA+∠ACD+∠DCE，
∴∠BCE-∠ACD=∠BCA+∠DCE=120°；
（3）
∵DE∥BC，
∴①∠BCD=∠D=60°，边CD与边AC重合，
旋转角α=60°；
∴②∠BCD+∠D=180°，
旋转角α=180°+60°=240°，
∴当DE∥BC时，旋转角为60°或240°．
【点睛】题目主要考查角度之间的计算、平行线的性质等，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
【变式14-1】（2022·福建泉州·七年级期末）现有一块含30°角的直角三角板AOB，其直角顶点O在直线l上，将三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转∠2的度数（0°<∠2<360°）．
请你解决下列问题：
(1)当∠2的度数为多少时，AB∥l（不必说理）；
(2)如右图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，试探究：图中提供的字母或数字能表示的所有角（不包含该图中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，试写出所有相等的角，并说明理由；若不存在，请举例说明．
【答案】(1)∠2=30°或∠2=210°；
(2)存在，∠1=∠OBD，∠2=∠OAC，理由见解析．
【分析】（1）利用平行线的性质求解即可；
（2）利用平行线的判定及性质求解即可．
（1）
解：如图：
∵∠ABO=30°，AB∥l，
∴∠2=∠ABO=30°，
如图：
∵∠OAB=60°，AB∥l
∴∠12=∠ABO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠2=360−∠1−∠ABO=210°，
综上所述：当∠2=30°或∠2=210°，AB∥l．
（2）
解：图中所有相等的角分别为：
∠1=∠OBD，∠2=∠OAC．
理由如下：
在同一平面内，过点O作射线OE⊥l，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴AC∥EO∥BD，
∴∠AOE=∠OAC，∠BOE=∠OBD，
∵∠1+∠AOE=∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠1=∠BOE=∠OBD，
即∠1=∠OBD，
同理可得∠2=∠OAC．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质．
【变式14-2】（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学七年级期末）如图1，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足a−3+b−12=0，
(1)a=_____________，b=____________；
(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（t<60），两条旋转射线交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，求∠BAC与∠BCD的数量关系；
(3)若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒（t<160），若旋转中AM∥BP，求t的值．
【答案】(1)3，1
(2)2∠BAC=3∠BCD
(3)t=10或8
【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值；
（2）由题意可得∠BAC＝3t﹣135°，再根据PQ∥MN即可得到∠BCA＝∠CBD+∠CAN，从而可得∠BCA＝180°﹣2t，再根据∠ACD＝90°，可得∠BCD＝2t﹣90°，从而可得∠BAC：∠BCD＝3：2，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM、射线BP互相平行时的时间．
（1）
解：（1）∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣1）2＝0．
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b，1，
故答案为：3，1；
（2）
解：由题意得∠CAM＝3t，∠CBD＝t，
∵∠CAN＝180°﹣3t，∠BAN＝45°，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
过点C作CE∥PQ，
∴∠CBD＝∠BCE＝t，
∵PQ∥MN，
∴CE∥MN，
∴∠CAN＝∠ACE＝180°﹣3t，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB，
∴∠ACB＝CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD；
（3）
解：∵t＜160，
∴（20+t）×1＜180，3t＜480，即射线BP旋转的角度小于180°，
①当3t＜180，即0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得：t＝10；
②当180＜3t＜270且（20+t）×1＞90，即70＜t＜90时，
3t﹣180+（20+t）×1＝180，
解得：t＝85；
③当360＜3t＜480且（20+t）×1＞90，即120＜t＜160时，
3t﹣360＝（20+t）×1，
解得：t＝190（不合题意，舍去）；
∴若旋转中AM∥BP，t的值为10或85．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
【变式14-3】（2022·浙江湖州·七年级期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN=60∘，射线ME从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动．其中a，b满足方程组4a+b=173a−2b=10．
(1)求a，b的值；
(2)若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求t的值；
(3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P，过点P作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ的度数（结果用含m的代数式表示）．
【答案】(1)a=4, b=1
(2)10或66或130或138
(3)∠NPQ=34m
【分析】(1)用加减消元法直接求出a和b的值即可；
(2)由题意分四种情况讨论：当0＜t≤45时，NF在MN的左侧，ME在MN的右侧，由∠EMD=∠ANF，可得4t=30+t，解得t=10；当45＜t≤90时，NF在MN的左侧，ME在MN的右侧，可得360-4t=30+t，解得t=66；当90＜t＜135时，NF在MN的右侧，ME在MN的左侧，则4t-360=30+t，解得t=130；当135＜t≤150时，60−4t−540=30+t−120，解得t=138；
(3)过点P作PT∥AB，如解析图中得到∠2+∠3=180°−3t，进而得到∠NPQ=3t−90∘=3t−30∘，最后利用∠NME=4t−120=4t−30∘=m即可求解．
（1）
解：由题意可知：4a+b=173a−2b=10，
解得： a=4, b=1．
（2）
解：由(1)可知，射线NF绕点N以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，射线ME绕点M以每秒4度的速度按逆时针方向旋转，
分类讨论：①当0∠NME=120−4t，∠MNF=90∘−t，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
120−4t=90−t，
解得t=10；
②当45∠NME=4t−240，∠MNF=90−t，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
4t−240=90−t，
解得t=66；
③当90∠NME=4t−480，∠MNF=t−90，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
4t−480=t−90，
解得t=130；
④当135当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
60−4t−540=30+t−120，
解得t=138；
综上所述，t的值为10或66或130或138．
（3）
解：如图，过点P作PT∥AB，
∵AB∥CD，
∴PT∥AB∥CD，
∴∠2=∠1=180°−4t，∠3=∠4=t，
∴∠2+∠3=180°−3t，
又∵∠2+∠3+∠NPQ=90∘，
∴∠NPQ=3t−90∘=3t−30∘，
又∵∠NME=4t−120=4t−30∘，
∴当∠NME=m时，∠NPQ=34m.
【点睛】本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键．
【题型15 生活中的平移现象】
【例15】（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）下列现象中属于平移的是（ ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①②B．②③C．①②④D．②
【答案】D
【分析】直接根据平移的定义分别判断．
【详解】解：①方向盘的转动是旋转，故不符合题意；
②打气筒打气时，活塞的运动是平移，故符合题意；
③钟摆的摆动是旋转，故不符合题意；
④汽车雨刷的运动是旋转，故不符合题意；
综上分析可知，属于平移的是②，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置．
【变式15-1】（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）今年4月，被称为“猪儿虫”的璧山云巴正式运行．云巴在轨道上运行可以看作是（ ）
A．对称B．旋转C．平移D．跳跃
【答案】C
【分析】根据平移与旋转定义判断即可．
【详解】解：云巴在轨道上运行可以看作是数学上的平移．
故选：C．
【点睛】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
【变式15-2】（2022春·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（ ）
A．乙比甲先到B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到D．无法确定哪只蚂蚁先到
【答案】C
【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．
【详解】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，
∵甲乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的爬行速度也相同，
∴两只蚂蚁同时到达点B．
故选C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键．
【变式15-3】（2022春·广东广州·七年级统考期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移1m就是它的下边线，那么改造后小路的面积（ ）
A．变大了B．变小了C．没变D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平移的性质即可判断出小路的面积变化．
【详解】由平移的性质可得笔直小路和弯曲小路的面积相等，
故选：C
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，正确理解题意，灵活运用平移的性质是解决问题的关键．
【题型16 图形的平移】
【例16】（2022春·内蒙古兴安盟·七年级统考期末）2022年，中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，即可解答．
【详解】解：如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是，
故选：D．
【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移不改变图形的大小形状，只改变位置是解决问题的关键．
【变式16-1】（2022春·全国·七年级期末）下列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、是一个旋转对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；
B、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；
C、是一个旋转对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；
D、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，注意分清图形的平移与旋转或翻转．
【变式16-2】（2022春·八年级单元测试）观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是（ ）
A．②B．③C．④D．⑤
【答案】B
【分析】根据平移的性质，观察图案可得结论．
【详解】解：观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的是③．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式16-3】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）下列图案可以看作某一部分平移后得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平移只改变位置和不改大小和形状以及位置进行求解即可．
【详解】A、不可以利用平移得出已知图案，故此选项不符合题意；
B、不可以利用平移得出已知图案，故此选项不符合题意；
C、不可以利用平移得出已知图案，故此选项不符合题意；
D、可以利用平移得出已知图案，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，熟知平移只改变位置不改变大小和形状以及方向是解题的关键．
【题型17 利用平移的性质求解】
【例17】（2022春·广东江门·七年级统考期末）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）
A．30B．32C．36D．40
【答案】A
【分析】利用平移的性质求得HM=BN=2,DM=FN=3，根据阴影部分的面积=长方形ABCD的面积-长方形AMGN的面积，求解即可．
【详解】解：如图，
∵将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
∴HM=BN=2,DM=FN=3
∵长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，
∴AM=AD−DM=6−3=3,AN=AB−BN=8−2=6，
∴长方形AMGN=AM×AN= 3×6=18，
∴阴影部分的面积为8×6−18=30，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【变式17-1】（2022春·全国·七年级专题练习）如图，直角三角形ABC的周长为2021，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形周长的和为_________．
【答案】2021
【分析】根据题意得这5个小直角三角形都有一条边与AC平行，则有小直角三角形中与AC平行的边的和等于AC，与BC平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长和等于直角△ABC的周长，据此即可求解．
【详解】解：因为这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，AC⊥AB，
所以这5个小直角三角形都有一条边与AC平行，
这5个小直角三角形周长的和等于直角△ABC的周长2021，
故答案为：2021
【点睛】本题主要考查了平移的应用，正确理解小直角三角形的周长和等于直角△ABC的周长是解题的关键．
【变式17-2】（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为______．
【答案】25°
【分析】根据平移的性质得出∠EBD=55°，进而利用平角的性质得出∠CBE的度数．
【详解】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置， ∠CAB=55°，
∴ ∠EBD=55°，
∵ ∠ABC=100°，
∴ ∠CBE的度数为：180°−∠ABC−∠EBD=180°−100°−55°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出∠EBD的度数是解题关键．
【变式17-3】（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）
A．18B．16C．12D．8
【答案】B
【分析】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤的面积为4个正方形的面积和，即可得到结论．
【详解】解：一个正方形面积为2×2=4，而把一个正方形从①﹣④变换，面积并没有改变，所以图⑤由4个图④构成，故图⑤面积为4×4=16，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形拼接与平移的变换，解答本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，即面积没有改变．
【题型18 利用平移解决实际问题】
【例18】（2022春·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．
【答案】162
【分析】利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形，利用公式计算即可．
【详解】解：草地部分的面积为20−2×10−1=162152（平方米），
故答案为：162．
【点睛】此题考查了利用平移的性质解决实际问题，正确理解平移的性质是解题的关键．
【变式18-1】（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
【答案】8
【分析】根据平移的性质，即可求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长．
【详解】解：由平移的性质可知，
所需要的地毯的长度为2.7+5.3=8(m)，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式18-2】（2022春·全国·七年级专题练习）如图（单位，m），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积．
【答案】48平方米
【分析】根据长方形草坪的面积-石子路的面积=草坪（阴影部分）的面积得出．
【详解】解：6×12-2×6×2=48平方米，
答：草坪（阴影部分）的面积48平方米．
【点睛】本题考查了平移的应用，应熟记长方形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；阴影部分面积=原面积-空白的面积．
【变式18-3】（2022春·全国·七年级专题练习）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度）
在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到A'B'，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）；
在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线A'B'C'，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）．
问题解决：
(1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分：
(2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，则S1= 平方单位；并比较大小：S1 S2（填“＞”“＝”或“＜”）；
(3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示）
【答案】(1)见解析过程；
(2)40，=；
(3)（ab-a）
【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB；
（2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积；
（3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积．
【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求；
（2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2，
则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位；
∴S1=S2，
故答案为：40，=；
（3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度，
∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位．
故答案为：（ab-a）．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．